Salah satu jebakan umum dalam statistik inferensial: memakai distribusi z (normal baku) untuk menghitung interval keyakinan atau uji hipotesis, padahal simpangan baku populasi sebenarnya tidak diketahui dan sampelnya kecil. Distribusi t hadir justru untuk situasi ini — mengoreksi ketidakpastian ekstra akibat menaksir σ dari sampel kecil lewat derajat bebas (degrees of freedom, df).

Cara Pakai

Geser slider Derajat bebas (df = n − 1) untuk mensimulasikan ukuran sampel warung yang berbeda-beda (df = 1 hingga 30, setara n = 2 hingga 31 warung). Grafik menampilkan kurva densitas t (merah, sesuai df yang dipilih) dioverlay pada kurva normal baku z (hijau, tetap sebagai acuan), lengkap dengan garis nilai kritis 95% masing-masing. Perhatikan bagaimana ekor kurva t (area terarsir) menebal drastis saat df kecil, lalu menipis dan berimpit dengan z saat df membesar. Tombol Optimum melompat langsung ke df = 30 untuk melihat titik konvergensi praktis.

Rumus Kunci

Statistik uji t untuk rata-rata sampel, dengan σ populasi tidak diketahui:

$$t = \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}, \qquad df = n - 1$$

Fungsi kepadatan (pdf) distribusi t-Student dengan derajat bebas $df$:

$$f(t) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{df+1}{2}\right)}{\sqrt{df\,\pi}\ \Gamma\!\left(\frac{df}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{df}\right)^{-\frac{df+1}{2}}$$

di mana $\Gamma(\cdot)$ adalah fungsi gamma. Saat $df \to \infty$, $f(t)$ konvergen ke pdf normal baku $\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}$.

Contoh Angka

Bandingkan nilai kritis 97,5% (dua sisi, untuk interval keyakinan 95%) pada dua ukuran sampel warung yang berbeda, memakai nilai baku dari tabel-t:

Kasus 1 — sampel kecil: n = 11 warung → df = 10.

  • Nilai kritis $t_{0{,}975,\,10} = 2{,}228$ (dari tabel-t baku)
  • Nilai kritis $z_{0{,}975} = 1{,}960$ (tetap, tidak tergantung n)
  • Selisih $= 2{,}228 - 1{,}960 = 0{,}268$ — cukup besar, artinya interval keyakinan yang dibangun pakai t akan 21,5% lebih lebar ($0{,}268/1{,}960$) daripada kalau (secara keliru) memakai z. Pada df sekecil ini, wajib pakai t.

Kasus 2 — sampel besar: n = 31 warung → df = 30.

  • Nilai kritis $t_{0{,}975,\,30} = 2{,}042$
  • Nilai kritis $z_{0{,}975} = 1{,}960$ (sama seperti sebelumnya)
  • Selisih $= 2{,}042 - 1{,}960 = 0{,}082$ — jauh lebih kecil (hanya 4,2% dari nilai z), sesuai aturan praktis n ≥ 30 boleh pakai z sebagai aproksimasi, meski t tetap teknisnya lebih tepat.

Pola ini konsisten dengan yang ditunjukkan widget: makin besar df, kurva t makin “kurus” dan mendekati z, karena taksiran simpangan baku sampel $s$ makin stabil mendekati $\sigma$ populasi sesungguhnya.