"Kenapa hanya ada satu garis yang dianggap 'terbaik', padahal α dan β bisa digeser ke kombinasi mana pun?"

"Karena OLS mendefinisikan 'terbaik' sebagai kombinasi α, β yang meminimalkan SSE — dan SSE(α, β) adalah fungsi kuadratik cembung (convex) terhadap kedua parameter itu. Fungsi convex hanya punya satu titik minimum global, ditemukan lewat turunan parsial ∂SSE/∂α = 0 dan ∂SSE/∂β = 0, yang menghasilkan rumus closed-form β̂ = Sxy/Sxx dan α̂ = ȳ − β̂x̄."

"Apa makna praktis dari slope (β) pada contoh biaya iklan vs omzet ini?"

"β adalah tambahan omzet (juta Rupiah) untuk setiap tambahan 1 juta Rupiah biaya iklan — interpretasinya adalah efek marjinal rata-rata, bukan return on investment (ROI) langsung, karena β tidak memperhitungkan biaya iklan itu sendiri sebagai pengurang laba bersih."

"Kenapa garis selalu berputar di sekitar satu titik ('poros') saat slider β digeser?"

"Karena garis regresi OLS selalu melewati titik (x̄, ȳ) — sifat aljabar langsung dari rumus α̂ = ȳ − β̂x̄. Menggeser β memutar garis di sekitar titik poros itu (x̄, ŷ(x̄)), sedangkan menggeser α menggeser seluruh garis secara vertikal tanpa mengubah kemiringannya."

Regresi Linear Sederhana — Simulator Slider α & β

Regresi linear sederhana mencari garis $\hat{y} = \alpha + \beta x$ yang paling pas untuk sekumpulan titik data. Tapi “paling pas” itu sebenarnya berarti apa, secara matematis? Widget ini membiarkan Anda menggeser α dan β sendiri, melihat langsung SSE (total kuadrat error) naik-turun, sampai menemukan sendiri kenapa hanya satu kombinasi yang benar-benar minimum — dan itulah yang disebut ordinary least squares (OLS).

Cara Pakai

Geser slider Intercept (α) dan Slope (β) untuk membentuk garis model $\hat{y} = \alpha + \beta x$ pada data 24 UMKM (biaya iklan vs omzet, dalam juta Rupiah/bulan). Setiap garis putus-putus vertikal dari titik data ke garis model adalah residual (error) — nilai SSE di panel atas adalah total kuadrat semua residual itu, dan berubah live setiap slider digeser. Bandingkan SSE Anda dengan SSE minimum OLS yang ditampilkan di sebelahnya. Klik ⌖ Optimum untuk melompat langsung ke α̂ dan β̂ hasil OLS — di titik itu, caption akan mengonfirmasi bahwa menggeser slider ke mana pun hanya akan menaikkan SSE, tidak pernah menurunkannya.

Rumus Kunci

Model garis: $\hat{y} = \alpha + \beta x$

Fungsi objektif yang diminimalkan (SSE sebagai fungsi α dan β):

$$SSE(\alpha,\beta) = \sum_{i=1}^{n}\left(y_i - (\alpha+\beta x_i)\right)^2$$

Solusi OLS closed-form (didapat dari $\partial SSE/\partial \alpha = 0$ dan $\partial SSE/\partial \beta = 0$):

$$\hat\beta = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2} \qquad \hat\alpha = \bar{y} - \hat\beta\,\bar{x}$$

Contoh Angka

Data mini 5 UMKM (x = biaya iklan, juta Rp/bulan; y = omzet, juta Rp): (1, 3), (2, 5), (3, 6), (4, 8), (5, 9).

Langkah 1 — rata-rata: $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 31/5 = 6{,}2$.

Langkah 2 — solusi OLS:

$$S_{xy} = (-2)(-3{,}2)+(-1)(-1{,}2)+(0)(-0{,}2)+(1)(1{,}8)+(2)(2{,}8) = 6{,}4+1{,}2+0+1{,}8+5{,}6 = 15{,}0$$$$S_{xx} = 4+1+0+1+4 = 10 \qquad \hat\beta = \frac{15{,}0}{10} = 1{,}5 \qquad \hat\alpha = 6{,}2 - 1{,}5\times 3 = 1{,}7$$

Garis OLS optimum: $\hat{y} = 1{,}7 + 1{,}5x$.

Langkah 3 — bandingkan dua posisi slider berbeda.

Posisi sembarang (α = 1, β = 1): $\hat{y} = 1+x$ → prediksi 2, 3, 4, 5, 6 → residual 1, 2, 2, 3, 3 →

$$SSE = 1^2+2^2+2^2+3^2+3^2 = 1+4+4+9+9 = 27$$

Posisi optimum OLS (α = 1,7, β = 1,5): prediksi 3,2, 4,7, 6,2, 7,7, 9,2 → residual −0,2, 0,3, −0,2, 0,3, −0,2 →

$$SSE = 0{,}04+0{,}09+0{,}04+0{,}09+0{,}04 = 0{,}30$$

Turun dari SSE = 27 (tebakan sembarang) menjadi SSE = 0,30 (posisi OLS) — selisih 26,7. Inilah yang ditunjukkan tombol ⌖ Optimum: dari semua kombinasi α dan β yang mungkin, hanya (1,7; 1,5) yang memberi SSE sekecil ini pada data tersebut.

Regresi Linear Sederhana — Simulator Slider α & β

Cara Pakai

Rumus Kunci

Contoh Angka

Terkait