Determinan & Invers Matriks 2×2

Matriks 2×2 muncul di mana-mana dalam ekonometrika dan optimasi — dari sistem dua persamaan permintaan hingga inti perhitungan regresi berganda. Widget ini menunjukkan dua langkah kunci aljabar matriks: menghitung determinan (penentu apakah sistem punya solusi unik) dan invers (kebalikan matriks, analog 1/x untuk skalar).

Cara Pakai

Geser slider a, b, c, d untuk mengubah elemen matriks A — di sini direpresentasikan sebagai koefisien respons kuantitas kopi dan teh terhadap perubahan harga di warung “Kopi & Teh Bu Sri”. Panel determinan menunjukkan hasil silang-kurang det(A) = ad − bc secara langsung. Selama det(A) tidak mendekati nol, panel invers menampilkan langkah pembentukan A⁻¹ lewat matriks adjugat, dan panel verifikasi menunjukkan bahwa A dikalikan A⁻¹ menghasilkan matriks identitas I. Klik ⌖ Contoh Default untuk mengembalikan slider ke kondisi awal yang tidak singular.

Rumus Kunci

$$\det(A) = ad - bc$$$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \qquad \det(A) \neq 0$$

Contoh Angka

Matriks default: $a=2$, $b=1$, $c=1$, $d=3$, sehingga $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.

Langkah 1 — determinan:

$$\det(A) = (2 \times 3) - (1 \times 1) = 6 - 1 = 5$$

Karena $\det(A) = 5 \neq 0$, matriks tidak singular dan inversnya ada.

Langkah 2 — adjugat dan invers:

$$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}2 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}$$

Langkah 3 — verifikasi $A \cdot A^{-1} = I$:

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}2 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(0{,}6)+1(-0{,}2) & 2(-0{,}2)+1(0{,}4) \\ 1(0{,}6)+3(-0{,}2) & 1(-0{,}2)+3(0{,}4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Hasil kalinya persis matriks identitas I — invers terverifikasi benar. Coba geser slider d mendekati $b \times c / a = 0{,}5$ (mis. d = 0,5 dengan a=2,b=1,c=1) agar $\det(A) = 2(0{,}5)-1(1) = 0$ — widget akan langsung menampilkan peringatan matriks singular karena baris A menjadi saling sejajar.