"Kenapa bola menumpuk paling banyak di keranjang tengah?"

"Karena setiap bola melewati 12 baris pasak dan di tiap pasak peluang belok kiri atau kanan sama (50:50), keranjang akhir tempat bola mendarat ditentukan oleh berapa kali bola itu belok kanan dari 12 kesempatan. Belok kanan 6 dari 12 kali (mendarat di keranjang tengah) adalah hasil yang paling banyak kombinasinya — jauh lebih banyak kombinasi dibanding belok kanan 0 kali atau 12 kali — sehingga secara peluang jauh lebih sering terjadi."

"Apa hubungan papan Galton dengan distribusi binomial di halaman lain?"

"Papan Galton adalah demonstrasi FISIK dari distribusi binomial B(n, p) dengan n = 12 (jumlah baris pasak) dan p = 0,5 (peluang belok kanan). Tiap bola = satu percobaan acak dengan 12 langkah biner independen, dan keranjang akhirnya = jumlah keberhasilan (belok kanan). Kalau halaman binomial-distribution menjelaskan RUMUS P(X=k) secara aljabar, papan Galton menunjukkan MENGAPA rumus itu menghasilkan bentuk lonceng — secara visual, bukan hitungan."

"Apa itu teorema limit pusat (Central Limit Theorem) dan apa kaitannya di sini?"

"Teorema limit pusat menyatakan bahwa jumlah dari banyak variabel acak independen — apa pun distribusi asalnya — cenderung mendekati distribusi Normal saat jumlah variabelnya besar. Tiap bola pada papan Galton adalah jumlah dari 12 keputusan biner independen (kiri/kanan); karena 12 sudah cukup banyak, hasil akhirnya (posisi keranjang) sudah cukup dekat dengan kurva Normal — inilah alasan papan Galton jadi alat peraga klasik untuk menjelaskan asal-usul kurva lonceng."

Papan Galton · stdsquare²

Papan Galton adalah alat peraga klasik: bola dijatuhkan dari atas, melewati larik pasak berbentuk segitiga, dan di setiap pasak bola membelok kiri atau kanan secara acak dengan peluang sama. Setelah melewati 12 baris pasak, bola jatuh ke salah satu keranjang di dasar — dan kalau cukup banyak bola dijatuhkan, tumpukannya membentuk kurva lonceng yang familiar.

Cara Pakai

Animasi berjalan otomatis: 60 bola dijatuhkan satu per satu dari corong di tengah atas, tiap bola melewati 12 baris pasak dengan belokan kiri/kanan acak (50:50) di tiap pasak, lalu mendarat di salah satu dari 13 keranjang di dasar. Gunakan ⏸ Jeda untuk menghentikan animasi dan mengamati posisi bola, atau ↻ Ulang untuk menjatuhkan ulang seluruh siklus bola dari awal (jalur setiap bola diacak ulang). Tumpukan histogram di keranjang dasar terbentuk secara bertahap — semakin banyak bola menumpuk, semakin jelas bentuk lonceng simetrisnya.

Rumus Kunci

Posisi keranjang akhir sebuah bola sama dengan jumlah belokan kanan dari 12 pasak yang dilewati — ini persis distribusi binomial dengan n = 12 (jumlah baris pasak) dan p = 0,5 (peluang belok kanan):

$$P(\text{bola mendarat di keranjang } k) = \binom{12}{k} (0{,}5)^k (0{,}5)^{12-k} = \binom{12}{k} (0{,}5)^{12}$$

Rata-rata dan simpangan baku posisi keranjang:

$$\mu = np = 12 \times 0{,}5 = 6 \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{12 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$$

Contoh Angka

Berapa peluang satu bola mendarat tepat di keranjang tengah (k = 6, yaitu belok kanan 6 dari 12 kali)?

$\binom{12}{6} = \dfrac{12!}{6!\,6!} = \dfrac{479.001.600}{720 \times 720} = 924$
$(0{,}5)^{12} = \dfrac{1}{4.096} = 0{,}000244$
$P(X=6) = 924 \times 0{,}000244 = \dfrac{924}{4.096} = 0{,}2256$

Jadi sekitar 22,6% bola diperkirakan mendarat di keranjang tengah — proporsi tertinggi dibanding keranjang mana pun, karena jumlah kombinasi jalur (belok kanan 6 dari 12 kali) memang paling banyak. Bandingkan dengan mendarat di keranjang paling ujung (k = 0, belok kanan 0 kali): $P(X=0) = \binom{12}{0}(0{,}5)^{12} = 1/4.096 \approx 0{,}024\%$ — nyaris tidak pernah terjadi dari 60 bola yang dijatuhkan.

Papan Galton

Cara Pakai

Rumus Kunci

Contoh Angka

Terkait