Kenapa rata-rata dari banyak sampel cenderung berbentuk lonceng (normal), padahal data mentahnya sendiri bisa sangat menceng? Dalil Limit Pusat (Central Limit Theorem/CLT) menjawab pertanyaan ini — salah satu hasil paling penting dalam statistik karena menjadi dasar hampir semua uji hipotesis dan interval keyakinan yang mengasumsikan normalitas rata-rata sampel.
Cara Pakai
Pilih bentuk sebaran klaim populasi: eksponensial (banyak klaim kecil, sedikit klaim sangat besar — pola klasik asuransi kerugian), seragam (variasi merata), atau bimodal (dua kelompok terpisah, mis. kerusakan kecil vs kebakaran besar). Geser slider Ukuran portofolio n untuk mengubah berapa polis dirata-ratakan setiap kali sampel diambil. Panel kiri menampilkan histogram populasi asli (statis, sesuai bentuk yang dipilih); panel kanan menampilkan histogram rata-rata dari 260 portofolio yang diambil berulang — perhatikan bagaimana bentuknya makin mendekati kurva normal (garis overlay hijau) dan makin menyempit seiring n digeser lebih besar.
Rumus Kunci
Dalil Limit Pusat: untuk populasi dengan rata-rata $\mu$ dan simpangan baku $\sigma$ berhingga (bentuk populasi bebas), distribusi rata-rata sampel $\bar{X}_n$ mendekati normal seiring $n$ membesar:
$$\bar{X}_n \ \xrightarrow{d}\ N\!\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad \text{untuk } n \to \infty$$Simpangan baku dari distribusi sampling ini disebut standard error (SE):
$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$Contoh Angka
Ambil populasi kecil dan berhingga supaya bisa dihitung tuntas secara manual: populasi = {2, 4, 6, 8} (mis. lama waktu layanan dalam menit).
Langkah 1 — parameter populasi. Rata-rata populasi:
$$\mu = \frac{2+4+6+8}{4} = 5$$Ragam populasi (pembagi $N$, karena ini seluruh populasi bukan sampel):
$$\sigma^2 = \frac{(2-5)^2+(4-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2}{4} = \frac{9+1+1+9}{4} = 5 \quad\Rightarrow\quad \sigma = \sqrt{5} \approx 2{,}236$$Langkah 2 — enumerasi semua sampel berukuran n = 2 (dengan pengembalian, seperti cara widget menarik polis). Ada $4 \times 4 = 16$ pasangan berurutan yang mungkin, dengan rata-rata sampel:
| 2 | 4 | 6 | 8 | |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 4 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 6 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 8 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Rata-rata dari 16 rata-rata sampel ini: $\frac{80}{16} = 5 = \mu$ (tepat sama dengan rata-rata populasi, sesuai teori).
Langkah 3 — ragam distribusi sampling. Jumlah kuadrat selisih tiap sel terhadap 5 adalah 40 (dihitung dari tabel di atas), sehingga:
$$\text{Var}(\bar{X}) = \frac{40}{16} = 2{,}5 \quad\Rightarrow\quad SD(\bar{X}) = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}581$$Langkah 4 — cocokkan dengan rumus SE.
$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2{,}236}{\sqrt{2}} = \frac{2{,}236}{1{,}414} \approx 1{,}581$$Persis sama dengan hasil enumerasi manual — membuktikan bahwa rumus $SE = \sigma/\sqrt{n}$ memang tepat menghitung lebar distribusi rata-rata sampel, sementara CLT menjamin bentuknya (untuk n yang lebih besar) akan mendekati kurva lonceng normal, seperti yang tervisualisasi di widget.