"Apa itu volatility smile, dan kenapa Black-Scholes tidak bisa menangkapnya?"

"Volatility smile adalah pola empiris di mana volatilitas tersirat (implied volatility) pasar naik saat strike price menjauh dari harga saham (deep ITM atau deep OTM), membentuk kurva seperti senyuman saat diplot terhadap strike. Black-Scholes klasik mengasumsikan σ KONSTAN untuk semua strike pada jatuh tempo yang sama — asumsi ini melanggar bukti empiris pasar opsi sejak crash 1987, sehingga harga BS di strike jauh dari ATM cenderung bias."

"Kenapa model ML bisa 'lebih akurat' tapi juga lebih berisiko?"

"Model ML mempelajari pola volatility smile langsung dari data historis harga opsi, jadi lebih fleksibel mengikuti bentuk pasar riil ketimbang asumsi kaku σ konstan. Tapi fleksibilitas ini berbahaya kalau data pelatihan sedikit atau tidak representatif — model bisa overfitting pada pola historis yang tidak berlaku lagi saat kondisi pasar berubah (mis. rezim volatilitas baru), sedangkan Black-Scholes tetap punya dasar teoritis (no-arbitrage) yang berlaku universal."

"Di mana letak gap harga terbesar antara Black-Scholes dan model ML?"

"Biasanya di strike yang jauh dari at-the-money (ATM) — deep in-the-money atau deep out-of-the-money — karena di situlah volatility smile paling menonjol. Tepat di ATM (K = S), σ efektif model ML mendekati σ dasar sehingga kedua model nyaris berimpit; gap melebar secara sistematis begitu strike menjauh dari harga saham."

Black-Scholes vs Machine Learning: Harga Opsi

Model Black-Scholes tetap jadi fondasi penetapan harga opsi karena elegan dan berbasis argumen no-arbitrage, tapi asumsinya bahwa volatilitas konstan di semua strike sering meleset dari harga pasar riil. Widget ini membandingkan harga opsi call dari Black-Scholes klasik dengan pendekatan berbasis data (disimulasikan sebagai model ML) yang menangkap pola volatility smile — berguna untuk memahami kenapa trader opsi tidak pernah memakai satu angka volatilitas untuk semua strike.

Cara Pakai

Atur harga saham (S) dan volatilitas tersirat dasar (σ). Widget menghitung harga opsi call di 31 titik strike dari 0,7×S sampai 1,3×S menggunakan dua model: Black-Scholes dengan σ konstan, dan model ML ilustratif yang menaikkan σ efektif secara kuadratik saat strike menjauhi harga saham (meniru pola volatility smile yang dipelajari dari data). Grafik menunjukkan kedua kurva plus area gap yang diarsir.

Rumus Kunci

Black-Scholes untuk opsi call Eropa:

$$C = S \cdot N(d_1) - K e^{-rT} \cdot N(d_2)$$$$d_1 = \frac{\ln(S/K) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$

Volatilitas efektif model ML (ilustratif, meniru volatility smile):

$$\sigma_{ML}(K) = \sigma_{base} \times \left(1 + 0{,}8 \, m^2\right), \qquad m = \frac{K/S - 1}{0{,}3}$$

di mana $S$ = harga saham, $K$ = strike price, $r$ = suku bunga bebas risiko, $T$ = waktu jatuh tempo, dan $N(\cdot)$ = fungsi distribusi normal kumulatif.

Contoh Angka

Saham BBCA S = Rp10.000, volatilitas dasar σ = 25%, r = 5,5% (ilustratif, ~BI7DRR), T = 3 bulan (0,25 tahun). Ambil strike deep OTM K = Rp11.500 (15% di atas harga saham):

$m = (11.500/10.000 - 1)/0{,}3 = 0{,}15/0{,}3 = 0{,}5$ → $\sigma_{ML} = 25\% \times (1+0{,}8 \times 0{,}5^2) = 25\% \times 1{,}2 = \mathbf{30\%}$
Dengan σ = 25% (Black-Scholes): $d_1 = -0{,}9456$, $d_2 = -1{,}0706$ → harga call $\approx \mathbf{Rp\ 109}$
Dengan σ = 30% (model ML): $d_1 = -0{,}7651$, $d_2 = -0{,}9151$ → harga call $\approx \mathbf{Rp\ 179}$
Gap = 179 − 109 = Rp 69, atau sekitar 64% lebih mahal menurut model ML dibanding Black-Scholes di strike yang sama

Persis di ATM (K = S), $m = 0$ sehingga $\sigma_{ML} = \sigma_{base}$ dan kedua model menghasilkan harga yang identik — gap hanya muncul dan melebar saat strike bergerak menjauhi harga saham. Perbandingan ini bersifat edukatif untuk memahami keterbatasan model, bukan rekomendasi keputusan trading.

Black-Scholes vs Machine Learning: Harga Opsi

Cara Pakai

Rumus Kunci

Contoh Angka

Terkait