"Kenapa Wq melonjak drastis padahal ρ cuma naik sedikit, misalnya dari 0,80 ke 0,95?"

"Karena Wq bukan fungsi linear terhadap ρ — pada M/M/1, Wq sebanding dengan ρ/(1−ρ), yang mendekati tak hingga saat ρ mendekati 1. Selisih ρ 0,80 ke 0,95 kelihatan kecil di angka, tapi (1−ρ) turun dari 0,20 menjadi 0,05 — penyebutnya menyusut 4×, sehingga waktu tunggu melonjak jauh lebih dari 4×. Ini alasan operasional loket/call center jarang sengaja dijalankan di atas ρ=0,85: sedikit lonjakan kedatangan bisa membuat antrean meledak."

"Kenapa menambah 1 teller kadang jauh lebih efektif daripada mempercepat layanan satu teller?"

"Menambah teller (c) menurunkan ρ = λ/(c·μ) secara langsung dengan membagi beban ke lebih banyak server, sekaligus memberi ruang redundansi — kalau satu teller sedang melayani nasabah lama, teller lain tetap bisa menerima nasabah baru. Mempercepat μ satu teller hanya menaikkan kapasitas satu jalur; kalau λ sudah dekat c·μ, penambahan c biasanya menurunkan Wq lebih signifikan dibanding menaikkan μ dengan margin yang sama."

"Apa yang terjadi kalau ρ ≥ 1?"

"Sistem menjadi tidak stabil (unstable) — laju kedatangan λ melebihi atau menyamai kapasitas total layanan c·μ, sehingga panjang antrean bertambah terus tanpa mencapai kondisi keseimbangan (steady state). Widget ini mendeteksi kondisi ini dan menampilkan L, Lq, Wq, W sebagai ∞ disertai peringatan, bukan angka yang menyesatkan seolah sistem masih terkendali."

Antrean M/M/1 & M/M/c · stdsquare²

Bank, klinik, dan call center perlu tahu berapa lama rata-rata nasabah mengantre dan berapa banyak orang menunggu di depan loket, sebelum memutuskan menambah petugas atau mempercepat layanan. Model antrean M/M/1 (dan generalisasinya M/M/c untuk banyak server paralel) memberi rumus tertutup untuk metrik-metrik ini dari dua angka saja: laju kedatangan dan laju layanan.

Cara Pakai

Atur Kedatangan (λ) — rata-rata jumlah nasabah datang per menit, Layanan (μ) — rata-rata jumlah nasabah yang bisa dilayani satu teller per menit, dan Jumlah teller (c) — banyaknya teller yang melayani paralel (c=1 adalah kasus M/M/1 klasik, c>1 adalah M/M/c). Widget menampilkan ilustrasi antrean nasabah di depan teller, kartu Utilisasi ρ, Rerata sistem (L), Rerata antre (Lq), dan Waktu tunggu (Wq), serta grafik kedua yang menunjukkan bagaimana Wq melonjak nonlinear saat ρ mendekati 1.

Rumus Kunci

Utilisasi sistem dengan $c$ server paralel:

$$\rho = \frac{\lambda}{c\mu}$$

Untuk kasus khusus $c=1$ (M/M/1 klasik):

$$L = \frac{\rho}{1-\rho} \qquad L_q = \frac{\rho^2}{1-\rho} \qquad W_q = \frac{L_q}{\lambda} \qquad W = \frac{L}{\lambda}$$

Untuk $c$ server (M/M/c, formula Erlang-C), dengan $a = \lambda/\mu$ (offered load):

$$P_0 = \left[\sum_{k=0}^{c-1}\frac{a^k}{k!} + \frac{a^c}{c!(1-\rho)}\right]^{-1} \qquad L_q = \frac{P_0\, a^c\, \rho}{c!\,(1-\rho)^2}$$$$W_q = \frac{L_q}{\lambda} \qquad W = W_q + \frac{1}{\mu} \qquad L = \lambda W$$

Sistem hanya stabil jika $\rho < 1$. Kalau $\rho \geq 1$, widget menampilkan $L_q, L, W_q, W = \infty$ disertai peringatan, karena antrean bertambah panjang tanpa batas dan rumus di atas tidak berlaku.

Contoh Angka

Loket teller BCA: kedatangan λ = 8 nasabah/menit, layanan μ = 5 nasabah/menit per teller, jumlah teller c = 2.

ρ = 8 / (2 × 5) = 0,80
P0 = 1 / 9 = 0,111 (dari sum offered-load $a=1{,}6$ hingga $k=c-1=1$, ditambah suku terakhir)
Lq = (0,111 × 1,6² × 0,80) / (2! × 0,20²) = 0,228 / 0,08 = 2,84 orang
Wq = 2,84 / 8 = 0,36 menit (≈ 21 detik)
L = λ × (Wq + 1/μ) = 8 × (0,36 + 0,20) = 4,44 orang

Dengan 2 teller pada beban ini, sistem masih stabil (ρ=0,80 < 1) tapi sudah cukup sibuk — nasabah rata-rata menunggu sekitar 21 detik sebelum dilayani, dengan rata-rata 2,84 orang mengantre di depan loket.

Antrean M/M/1 & M/M/c

Cara Pakai

Rumus Kunci

Contoh Angka

Terkait