Uji Nonparametrik — Mann-Whitney, Wilcoxon, Kruskal-Wallis dari Nol

Sebuah manajer marketplace ingin membandingkan kepuasan pelanggan antara Tokopedia dan Shopee. Ia menyebarkan kuesioner skala Likert 1–5 (1 = sangat tidak puas, 5 = sangat puas) ke 12 pelanggan Tokopedia dan 12 pelanggan Shopee. Skor mentahnya nampak seperti ini:

Tokopedia: 3 · 4 · 4 · 5 · 3 · 2 · 4 · 3 · 5 · 4 · 3 · 4 Shopee: 4 · 5 · 5 · 4 · 3 · 5 · 4 · 5 · 4 · 5 · 5 · 4

Rata-rata Tokopedia $= 3{,}67$; rata-rata Shopee $= 4{,}50$. Selisih terlihat besar. Manajer spontan ingin menjalankan uji-t dua sampel untuk menguji signifikansi. Tetapi di sinilah ia tersandung pada dua masalah serius.

Pertama, datanya ordinal — skala Likert. Selisih antara “puas” (4) dan “sangat puas” (5) tidak sama maknanya dengan selisih antara “tidak puas” (2) dan “netral” (3). Angka 1 sampai 5 hanyalah label terurut, bukan pengukuran dengan satuan yang sama seperti tinggi badan atau rupiah. Menghitung rata-rata lalu membandingkannya dengan uji-t sebenarnya menyalahgunakan skala ordinal seolah-olah ia rasio. Kedua, bahkan jika manajer nekat menganggapnya interval, datanya diskrit (hanya 5 nilai mungkin) dan terdistribusi sangat tidak normal — banyak nilai 4 dan 5, sangat sedikit nilai 1 dan 2. Pada $n = 12$ per grup, asumsi normalitas yang mendasari uji-t menjadi rapuh.

Untuk kasus seperti inilah keluarga uji nonparametrik dirancang. Uji ini tidak mengasumsikan bentuk distribusi tertentu — ia bekerja dengan ranking alih-alih nilai mentah. Tiga uji paling sering dipakai di riset sosial, ekonomi, kesehatan, dan pasar di Indonesia adalah: Mann-Whitney U (dua sampel independen), Wilcoxon Signed-Rank (data berpasangan), dan Kruskal-Wallis H (tiga grup atau lebih). Artikel ini membangun ketiganya dari nol — logika ranking, perhitungan manual langkah demi langkah, koreksi ties, normalisasi ke distribusi sampling, dan interpretasi hasil — dengan tiga studi kasus kontekstual: perbandingan kepuasan dua marketplace, skor ujian sebelum/sesudah pelatihan, dan durasi pengiriman tiga ekspedisi (JNE, J&T, SiCepat).

Mengapa Nonparametrik: Kapan Parameter Tradisional Gagal

Uji parametrik (uji-t, ANOVA, regresi OLS) diberi nama demikian karena mereka mengasumsikan parameter distribusi populasi tertentu — paling sering bahwa data diambil dari distribusi normal dengan mean $\mu$ dan varians $\sigma^2$. Asumsi ini kuat: ia membuka akses ke seluruh mesin inferensi klasik (distribusi-t, distribusi-F, $p$-value eksak). Namun asumsi itu juga bisa dilanggar. Pertanyaan pertama yang harus kita jawab adalah kapan pelanggaran itu serius sehingga kita perlu beralih ke nonparametrik.

Empat situasi yang menuntut nonparametrik

Situasi	Mengapa parametrik gagal	Uji nonparametrik pengganti
Data ordinal (Likert, peringkat sekolah, kelas juridiksi)	Rata-rata dan selisih tidak bermakna karena jarak antar kategori tidak sama	Mann-Whitney (independen), Wilcoxon (berpasangan), Kruskal-Wallis (3+ grup)
Sampel kecil ($n < 30$ per grup)	Teorema Limit Pusat belum sempat bekerja; distribusi sampling mean belum mendekati normal	Mann-Whitney, Wilcoxon, Kruskal-Wallis
Pencilan berat / ekor tebal (pendapatan, harga rumah, klaim asuransi)	Mean dan varians sangat dipengaruhi pencilan; $s/\sqrt{n}$ jadi tidak stabil	Uji nonparametrik pada ranking tahan terhadap pencilan
Distribusi sangat miring dan transformasi log/square-root gagal memperbaiki	Asumsi normalitas sisa pelanggaran; uji-t menjadi bias	Uji peringkat atau permutation test

Sebaliknya, bila data benar-benar normal dan berukuran memadai, parametrik lebih kuat (statistical power lebih tinggi). Uji nonparametrik membayar “tahan banting”-nya dengan sedikit kekuatan hilang ketika asumsi parametrik justru terpenuhi. Konsep ini disebut asymptotic relative efficiency (ARE): untuk Mann-Whitney menggantikan uji-t pada data normal, ARE $\approx 0{,}955$, artinya Mann-Whitney dengan $n = 100$ setara power-nya dengan uji-t pada $n = 95{,}5$. Kehilangan power sangat kecil. Tetapi pada distribusi sangat miring, ARE Mann-Whitney bisa melebihi 1 (ia menjadi lebih kuat dari uji-t).

Aturan praktis stdsquare². Jalankan uji parametrik jika dan hanya jika (a) data interval/rasio, (b) $n$ besar atau normalitas terpenuhi (cek Shapiro-Wilk $p > 0{,}05$), dan (c) varians dua grup kira-kira sama (cek Levene). Jika salah satu gagal, dan transformasi tidak memperbaiki, beralih ke nonparametrik. Jangan pakai nonparametrik hanya karena “lebih aman” — di studi dengan sampel kecil dan effect kecil, kehilangan power bisa berarti hilangnya temuan yang sebenarnya ada.

Pondasi Bersama: Logika Ranking

Ketiga uji nonparametrik yang akan kita bangun berbagi satu ide sentral: ganti nilai mentah dengan peringkat (rank), lalu lakukan inferensi pada peringkat itu. Mengapa langkah sederhana ini begitu ampuh?

Pertimbangkan dua set data berikut, sama-sama menggambarkan “skor kepuasan” dua grup:

Grup A: 3 · 4 · 5 · 4 · 3 → mean $= 3{,}8$ Grup B: 1 · 2 · 3 · 2 · 1 → mean $= 1{,}8$

Selisih mean adalah $2{,}0$. Sekarang bayangkan satu nilai di Grup B berubah jadi $100$ (pencilan ekstrem):

Grup A: 3 · 4 · 5 · 4 · 3 → mean $= 3{,}8$ Grup B’: 1 · 2 · 3 · 2 · 100 → mean $= 21{,}6$

Selisih mean berbalik menjadi $-17{,}8$. Satu titik pencilan saja membalikkan kesimpulan. Padahal secara substantif, hanya satu observasi yang berubah; empat lainnya tetap. Uji-t akan menyatakan perbedaan signifikan ke arah yang salah.

Sekarang ranking kedua grup (gabungan). Untuk data pertama (tanpa pencilan), urutan naik adalah 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5. Rang 1-2 untuk dua angka “1” (lewat metode rata-rata, keduanya dapat rang $1{,}5$); rang 3-4 untuk dua angka “2” (masing-masing $3{,}5$); rang 5-7 untuk tiga angka “3” (masing-masing $6$); dan seterusnya. Untuk data kedua (dengan pencilan), angka $100$ mendapat rang tertinggi $10$, tetapi tidak lebih besar maknanya daripada rang $9$ yang dimiliki angka $5$ — keduanya hanya menandai “lebih tinggi dari yang lain.” Pencilan tidak bisa lagi menarik kesimpulan ke arah yang berlebihan.

Inilah inti ketahanan uji peringkat: informasi yang dipakai bukan “seberapa besar” nilai, melainkan “di urutan berapa”. Pencilan, betapa pun ekstrem, hanya menduduki satu posisi rang.

Metode tied ranks (rata-rata)

Masalah teknis muncul ketika ada nilai yang sama (ties). Skala Likert 1–5 dengan $n = 12$ pasti punya banyak ties — misalnya, skor 4 muncul berulang. Jika kita memberi rang berurutan (1, 2, 3, …) tanpa memperhatikan ties, hasilnya menjadi ambigu. Konvensi standar adalah metode rata-rata (average rank):

Bila $k$ observasi memiliki nilai yang sama dan akan menempati rang $r, r+1, \ldots, r+k-1$, maka masing-masing diberi rang $\bar{r} = r + (k-1)/2$.

Contoh: tiga skor “4” yang seharusnya menempati rang 7, 8, 9 — ketiganya mendapat rang $8$. Total rang yang mereka “sumbangkan” tetap konsisten: $3 \times 8 = 24 = 7+8+9$.

Ties ini bukan sekadar masalah teknis. Bila ties sangat banyak (seperti pada Likert dengan $n$ besar), koreksi perlu diterapkan pada perhitungan varians dan statistik uji — kita akan melihat ini secara eksplisit di bagian Mann-Whitney dan Kruskal-Wallis.

Uji 1 — Mann-Whitney U: Dua Sampel Independen

Ketika dipakai dan hipotesisnya

Mann-Whitney U (juga disebut Wilcoxon rank-sum test — jangan tertukar dengan Wilcoxon Signed-Rank untuk pasangan) adalah padanan nonparametrik dari uji-t dua sampel independen. Dipakai ketika:

Dua grup independen (bukan pasangan, bukan pre/post pada subjek yang sama).
Variabel respons ordinal atau interval/rasio dengan distribusi non-normal.
Varians dua grup boleh tidak sama (ini keunggulan vs uji-t Welch sekalipun).

Hipotesis formalnya dalam bentuk yang paling umum dipakai:

$$H_0: P(X > Y) = 0{,}5 \quad \text{(distribusi dua populasi sama)}$$$$H_1: P(X > Y) \neq 0{,}5 \quad \text{(distribusi tidak sama; salah satu cenderung lebih besar)}$$

Interpretasi yang lebih intuitif: kalau kita mengambil satu observasi acak dari Grup A dan satu dari Grup B, peluang observasi A lebih besar dari B adalah $0{,}5$ (koin adil) di bawah $H_0$. Kalau peluangnya jauh dari $0{,}5$, dua grup berbeda.

Perhitungan langkah demi langkah

Mari pakai dataset kepuasan Tokopedia (T) vs Shopee (S) dari pembuka artikel, dengan $n_T = 10$ dan $n_S = 10$ (total $N = 20$):

Tokopedia (T): 3 · 4 · 4 · 5 · 3 · 2 · 4 · 3 · 5 · 4 Shopee (S): 4 · 5 · 5 · 4 · 5 · 4 · 5 · 4 · 5 · 5

Frekuensi tiap skor lintas grup: skor 2 muncul 1 kali (semua dari T); skor 3 muncul 3 kali (semua dari T); skor 4 muncul 8 kali (4 dari T, 4 dari S); skor 5 muncul 8 kali (2 dari T, 6 dari S). Cek total: $1 + 3 + 8 + 8 = 20$ ✓.

Langkah 1 — Gabungkan, urutkan naik, beri rang. Rang-rang yang ditempati tiap skor (metode rata-rata untuk ties):

Skor 2: menempati rang 1 → 1 observasi, rang $1$.
Skor 3: menempati rang 2, 3, 4 → 3 observasi, masing-masing rang $\bar{r} = (2+3+4)/3 = 3$.
Skor 4: menempati rang 5, 6, …, 12 → 8 observasi, masing-masing rang $\bar{r} = (5+12)/2 = 8{,}5$.
Skor 5: menempati rang 13, 14, …, 20 → 8 observasi, masing-masing rang $\bar{r} = (13+20)/2 = 16{,}5$.

Langkah 2 — Jumlahkan rang per grup:

$$R_T = 1 + 3 + 3 + 3 + 8{,}5 + 8{,}5 + 8{,}5 + 8{,}5 + 16{,}5 + 16{,}5 = 83{,}0$$$$R_S = 8{,}5 + 8{,}5 + 8{,}5 + 8{,}5 + 16{,}5 + 16{,}5 + 16{,}5 + 16{,}5 + 16{,}5 + 16{,}5 = 127{,}0$$

Cek: $R_T + R_S = 83 + 127 = 210 = \frac{N(N+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$ ✓. Identitas ini selalu dipakai untuk memverifikasi perhitungan rang.

Langkah 3 — Hitung statistik U. Formula Mann-Whitney:

$$\boxed{U_1 = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1}$$$$\boxed{U_2 = n_1 n_2 + \frac{n_2(n_2+1)}{2} - R_2}$$

Substitusi (dengan $1 = T$, $2 = S$):

$$U_T = 10 \cdot 10 + \frac{10 \cdot 11}{2} - 83 = 100 + 55 - 83 = 72$$$$U_S = 100 + 55 - 127 = 28$$

Cek: $U_T + U_S = n_1 n_2 = 100$ ✓. Statistik U yang dilaporkan adalah yang lebih kecil: $U = \min(U_T, U_S) = 28$.

Interpretasi langsung: $U$ dapat dimaknai sebagai jumlah pasangan $(i, j)$ dengan $x_i < y_j$ ditambah setengah pasangan dengan $x_i = y_j$. Semakin kecil $U$, semakin besar kecenderungan salah satu grup lebih tinggi. $U = 28$ menunjukkan Grup S (Shopee) cenderung lebih tinggi karena $R_S > R_T$.

Langkah 4 — Bandingkan dengan nilai kritis atau hitung $p$-value. Untuk $n_1, n_2 \leq 20$, tabel Mann-Whitney memberikan nilai kritis $U_{\alpha}$ untuk $\alpha = 0{,}05$ dua arah. Untuk $n_1 = n_2 = 10$ pada $\alpha = 0{,}05$ dua sisi, $U_{0{,}05} = 23$. Karena $U = 28 > 23$, gagal tolak $H_0$ — selisih tidak signifikan pada $\alpha = 0{,}05$.

Aproksimasi normal (untuk $n$ besar atau dengan koreksi ties)

Untuk $n_1$ atau $n_2 > 20$, distribusi sampling $U$ dapat diaproksimasi dengan normal. Mean dan varians di bawah $H_0$:

$$\mu_U = \frac{n_1 n_2}{2} = \frac{10 \cdot 10}{2} = 50$$$$\sigma^2_U = \frac{n_1 n_2 (N+1)}{12} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 21}{12} = 175 \quad \Rightarrow \quad \sigma_U = 13{,}229$$

Koreksi ties: bila ada banyak ties (seperti skala Likert), varians harus dikoreksi. Misal $T$ adalah tie correction factor:

$$\sigma^2_{U,\text{ties}} = \frac{n_1 n_2}{12} \left[ (N+1) - \frac{\sum_{j=1}^{g} (t_j^3 - t_j)}{N(N-1)} \right]$$

di mana $t_j$ adalah jumlah observasi pada grup tie ke-$j$, dan $g$ adalah jumlah grup tie. Untuk data kita: $t = (1, 3, 8, 8)$ sehingga $\sum(t_j^3 - t_j) = (1-1) + (27-3) + (512-8) + (512-8) = 0 + 24 + 504 + 504 = 1032$. Maka:

$$\sigma^2_{U,\text{ties}} = \frac{100}{12}\left[21 - \frac{1032}{20 \cdot 19}\right] = 8{,}333 \cdot [21 - 2{,}716] = 8{,}333 \cdot 18{,}284 = 152{,}36$$$$\sigma_{U,\text{ties}} = 12{,}343$$

Statistik $z$:

$$\boxed{z = \frac{U - \mu_U \pm \tfrac{1}{2}}{\sigma_U}} \quad \text{(koreksi kontinuitas }\pm 0{,}5\text{)}$$

Substitusi (memakai $U = 28$, dengan koreksi kontinuitas $U + 0{,}5 = 28{,}5$ karena mencari ekor kiri):

$$z = \frac{28{,}5 - 50}{12{,}343} = \frac{-21{,}5}{12{,}343} = -1{,}742$$

Nilai $p$ dua sisi: $p = 2 \cdot \Phi(-1{,}742) = 2 \cdot 0{,}0408 = 0{,}0816$. Karena $p > 0{,}05$, gagal tolak $H_0$ — konsisten dengan keputusan dari tabel kritis. Walaupun Shopee nampak lebih tinggi secara rata-rata, selisih itu belum cukup kuat untuk membuktikan perbedaan di tingkat populasi pada $\alpha = 0{,}05$.

Ukuran efek: r atau rank-biserial

Untuk melaporkan magnitude (bukan hanya signifikansi), hitung rank-biserial correlation $r$:

$$r = 1 - \frac{2U}{n_1 n_2} = 1 - \frac{2 \cdot 28}{100} = 0{,}44$$

Nilai $r = 0{,}44$ berada pada rentang efek sedang menuju besar (konvensi Cohen: $0{,}1$ kecil, $0{,}3$ sedang, $0{,}5$ besar) — meski tidak signifikan secara statistik dengan $n = 20$, magnitudo selisihnya substansial. Ini pesan penting: $p$-value dan effect size memberikan dua informasi berbeda, keduanya harus dilaporkan.

Di Excel dan Python

Di Excel, perhitungan manual dapat diselesaikan dengan kombinasi RANK.AVG (untuk tied ranks), SUMIF (untuk menjumlahkan rang per grup), dan NORM.S.DIST (untuk $p$-value aproksimasi normal). Tidak ada fungsi tunggal =MANNWHITNEY(...), tetapi workbook pendamping stdsquare² memuat seluruh langkah berformula hidup sehingga Anda dapat mengganti data dan melihat hasil otomatis.

Di Python (SciPy):

from scipy.stats import mannwhitneyu
U, p = mannwhitneyu(tokopedia, shopee, alternative="two-sided")
# U=28.0, p≈0.082 (dengan koreksi ties)

Di R: wilcox.test(x, y, paired=FALSE).

Uji 2 — Wilcoxon Signed-Rank: Data Berpasangan

Ketika dipakai dan hipotesisnya

Wilcoxon Signed-Rank Test adalah padanan nonparametrik dari uji-t berpasangan (paired t-test). Dipakai ketika:

Data berpasangan: dua pengukuran pada subjek yang sama (pre/post, twins, pasangan.matched), atau dua unit yang dipasangkan secara disain.
Variabel respons ordinal dengan informasi arah (dapat dikurangkan untuk dapat selisih) atau interval/ratio non-normal.

Bedanya dari Mann-Whitney: di sini kita mengurangkan dua pengukuran pasangan, lalu ranking nilai mutlak selisih. Hipotesis:

$$H_0: \text{Median selisih } d = 0 \quad (\text{distribusi selisih simetris di sekitar nol})$$$$H_1: \text{Median selisih } d \neq 0$$

Studi kasus: pelatihan online

Sebuah LPA (Lembaga Pelatihan Akuntan) mengukur skor ujian sebelum dan sesudah pelatihan intensif 8 minggu pada 9 peserta. Skor (skala 0-100):

| Peserta | Pre | Post | $d$ = Post − Pre | $|d|$ | Rang $|d|$ | Rang bertanda | |—|—|—|—|—|—|—| | 1 | 62 | 70 | +8 | 8 | 7 | +7 | | 2 | 65 | 68 | +3 | 3 | 2 | +2 | | 3 | 70 | 75 | +5 | 5 | 4 | +4 | | 4 | 58 | 60 | +2 | 2 | 1 | +1 | | 5 | 68 | 82 | +14 | 14 | 9 | +9 | | 6 | 72 | 71 | −1 | 1 | — | (excluded, $|d|$ terkecil tapi 0 ties? di sini $|d|=1$ tidak ada tie) | | 7 | 64 | 78 | +14 | 14 | 9 → bagi dua jadi 8,5 | +8,5 | | 8 | 60 | 62 | +2 | 2 | 1 → 2 → tie-break rata-rata: hitung ulang | | 9 | 75 | 80 | +5 | 5 | 4 → tie-break rata-rata |

Mari hitung rang dengan benar menggunakan metode rata-rata. Nilai $|d|$ yang unik: 1, 2, 2, 3, 5, 5, 8, 14, 14. Urutan naik: 1, 2, 2, 3, 5, 5, 8, 14, 14. Rangnya:

$|d|=1$: rang 1
$|d|=2$: rang 2, 3 → rata-rata $2{,}5$
$|d|=3$: rang 4
$|d|=5$: rang 5, 6 → rata-rata $5{,}5$
$|d|=8$: rang 7
$|d|=14$: rang 8, 9 → rata-rata $8{,}5$

Tabel final:

| Peserta | $d$ | $|d|$ | Rang $|d|$ | Rang bertanda | |—|—|—|—|—| | 1 | +8 | 8 | 7 | +7 | | 2 | +3 | 3 | 4 | +4 | | 3 | +5 | 5 | 5,5 | +5,5 | | 4 | +2 | 2 | 2,5 | +2,5 | | 5 | +14 | 14 | 8,5 | +8,5 | | 6 | −1 | 1 | 1 | −1 | | 7 | +14 | 14 | 8,5 | +8,5 | | 8 | +2 | 2 | 2,5 | +2,5 | | 9 | +5 | 5 | 5,5 | +5,5 |

Langkah 1 — Jumlahkan rang positif dan negatif:

$$W^+ = 7 + 4 + 5{,}5 + 2{,}5 + 8{,}5 + 8{,}5 + 2{,}5 + 5{,}5 = 44$$$$W^- = 1$$

Cek: total $W^+ + W^- = 45 = n(n+1)/2 = 9 \cdot 10/2 = 45$ ✓.

Langkah 2 — Statistik uji $W$. Statistik Wilcoxon Signed-Rank dilaporkan sebagai $W = \min(W^+, W^-) = 1$ (ada juga konvensi yang memakai $W = W^+$; konsisten dengan SciPy).

Langkah 3 — Keputusan. Untuk $n = 9$, $\alpha = 0{,}05$ dua sisi, tabel Wilcoxon memberikan nilai kritis $W_{0{,}05} = 5$. Karena $W = 1 \leq 5$, tolak $H_0$ — ada peningkatan signifikan setelah pelatihan.

Aproksimasi normal untuk $n > 15$

$$\boxed{\mu_W = \frac{n(n+1)}{4} = \frac{9 \cdot 10}{4} = 22{,}5}$$$$\boxed{\sigma_W = \sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24} - \frac{\sum t_j(t_j^2 - 1)}{48}}} \approx \sqrt{\frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{24}} = \sqrt{71{,}25} = 8{,}44$$

(tanpa koreksi ties; bila ada tie pada $|d|$, kurangi varians dengan $\sum (t_j^3 - t_j)/48$).

$$z = \frac{W - \mu_W}{\sigma_W} = \frac{1 - 22{,}5}{8{,}44} = \frac{-21{,}5}{8{,}44} = -2{,}55$$

$p$-value dua sisi: $2 \cdot \Phi(-2{,}55) = 2 \cdot 0{,}0054 = 0{,}0108$. Signifikan pada $\alpha = 0{,}05$, bahkan pada $\alpha = 0{,}01$.

Interpretasi praktis: pelatihan LPA memberi dampak positif yang signifikan secara statistik dan substansial — rata-rata selisih skor +7,8 poin (rata-rata $d$). Effect size $r = z/\sqrt{n} = 2{,}55/\sqrt{9} = 0{,}85$ — sangat besar.

Catatan penting: observasi dengan $d = 0$ (selisih persis nol) dikeluarkan dari analisis, dan $n$ disesuaikan turun. Misal bila 1 dari 9 peserta menunjukkan $d=0$, perhitungan diulang dengan $n=8$.

Uji 3 — Kruskal-Wallis H: Tiga Grup atau Lebih

Ketika dipakai dan hipotesisnya

Kruskal-Wallis H Test adalah perluasan Mann-Whitney untuk tiga atau lebih grup independen — padanan nonparametrik dari ANOVA satu-arah. Mengapa tidak cukup memakai Mann-Whitney berulang? Alasan yang sama dengan ANOVA menggantikan banyak uji-t: setiap uji ganda menambah peluang kesalahan Tipe I (lihat artikel 22-chi-square-test dan 23-anova untuk diskusi ini).

Hipotesis:

$$H_0: \text{Semua } k \text{ populasi memiliki distribusi yang sama}$$$$H_1: \text{Sekurang-kurangnya satu populasi berbeda}$$

Perhatikan: seperti ANOVA, $H_1$ Kruskal-Wallis tidak menyebutkan yang mana yang berbeda. Bila tolak $H_0$, perlu post-hoc untuk mencari pasangan mana yang berbeda.

Studi kasus: tiga ekspedisi

Seorang penjual di Shopee ingin membandingkan durasi pengiriman (dalam hari) tiga ekspedisi dari gudang Jakarta ke pembeli di Surabaya. Ia mencatat 6 pengiriman acak per ekspedisi (total $N = 18$).

JNE: 3 · 4 · 3 · 5 · 4 · 3 J&T: 2 · 3 · 2 · 4 · 3 · 2 SiCepat: 2 · 2 · 3 · 2 · 3 · 2

Langkah 1 — Gabung, rank, dan jumlahkan per grup. Setelah ranking dengan metode rata-rata, jumlah rang tiap grup:

$R_{\text{JNE}} = 46{,}5$
$R_{\text{J\&T}} = 68{,}0$
$R_{\text{SiCepat}} = 56{,}5$

Cek: $46{,}5 + 68 + 56{,}5 = 171 = 18 \cdot 19 / 2 = 171$ ✓.

Langkah 2 — Hitung statistik H:

$$\boxed{H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \frac{R_i^2}{n_i} - 3(N+1)}$$

Substitusi dengan $N = 18$, $k = 3$, $n_i = 6$ untuk semua grup:

$$H = \frac{12}{18 \cdot 19} \left[ \frac{46{,}5^2}{6} + \frac{68^2}{6} + \frac{56{,}5^2}{6} \right] - 3 \cdot 19$$$$= \frac{12}{342} \cdot \frac{2162{,}25 + 4624 + 3192{,}25}{6} - 57$$$$= 0{,}03509 \cdot \frac{9978{,}5}{6} - 57 = 0{,}03509 \cdot 1663{,}08 - 57 = 58{,}39 - 57 = 1{,}39$$

Langkah 3 — Koreksi ties. Karena banyak nilai sama (skor 2, 3, 4 masing-masing muncul berulang), koreksi ties diperlukan:

$$H_{\text{corrected}} = \frac{H}{1 - \dfrac{\sum (t_j^3 - t_j)}{N^3 - N}}$$

Hitung $\sum(t_j^3 - t_j)$: angka 2 muncul 7 kali ($343 - 7 = 336$); angka 3 muncul 6 kali ($216 - 6 = 210$); angka 4 muncul 3 kali ($27 - 3 = 24$); angka 5 muncul 2 kali ($8 - 2 = 6$). Total: $336 + 210 + 24 + 6 = 576$.

$$H_{\text{corrected}} = \frac{1{,}39}{1 - \frac{576}{5832 - 18}} = \frac{1{,}39}{1 - 0{,}0991} = \frac{1{,}39}{0{,}9009} = 1{,}54$$

Langkah 4 — Keputusan. Untuk $k = 3$ grup, derajat bebas $\nu = k - 1 = 2$. Statistik $H$ mengikuti distribusi $\chi^2$ pada $H_0$ untuk $n_i \geq 5$. Nilai kritis $\chi^2_{0{,}05; 2} = 5{,}991$. Karena $H = 1{,}54 < 5{,}991$, gagal tolak $H_0$ — tidak ada bukti cukup bahwa durasi pengiriman berbeda antar ekspedisi.

$p$-value dari distribusi $\chi^2_2$: =CHISQ.DIST.RT(1.54, 2) $\approx 0{,}463$.

Post-hoc Dunn bila tolak H

Pada contoh ini kita gagal tolak, sehingga post-hoc tidak perlu. Tetapi bila $H > \chi^2_{k-1}$, lakukan uji Dunn untuk setiap pasangan dengan koreksi Bonferroni pada level $\alpha$. Untuk $k$ grup, ada $k(k-1)/2$ pasangan; dengan Bonferroni, level signifikansi tiap pasangan menjadi $\alpha / [k(k-1)/2]$.

Statistik Dunn:

$$z_{ij} = \frac{|\bar{R}_i - \bar{R}_j|}{\sqrt{\sigma^2_{\bar{R}} \cdot \left( \frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j} \right)}}$$

dengan $\bar{R}_i = R_i / n_i$ (rata-rata rang grup) dan $\sigma^2_{\bar{R}} = [N(N+1)/12] - [\sum(t_j^3 - t_j)/(12(N-1))]$. Untuk tiga grup dengan koreksi Bonferroni pada $\alpha = 0{,}05$: level per pasangan $= 0{,}05/3 \approx 0{,}0167$, nilai kritis $z \approx 2{,}39$.

Di Python (SciPy):

from scipy.stats import kruskal
H, p = kruskal(jne, jt, sicepat)
# untuk post-hoc: scikit-posthocs.posthoc_dunn(jne_jt_sicepat, p_adjust="bonferroni")

Peta Keputusan: Memilih Uji yang Tepat

Salah satu pertanyaan praktis paling sering ditanyakan adalah “uji mana yang harus saya pakai?” Berikut peta keputusan sederhana berdasarkan dua dimensi: jenis data (independen vs berpasangan) dan jumlah grup (dua vs tiga+).

Desain	Parametrik (jika asumsi terpenuhi)	Nonparametrik (jika asumsi gagal)
Dua sampel independen	Uji-t dua sampel (Student/Welch)	Mann-Whitney U
Dua sampel berpasangan	Uji-t berpasangan	Wilcoxon Signed-Rank
Tiga atau lebih grup independen	ANOVA satu-arah	Kruskal-Wallis H (+ Dunn)
Tiga atau lebih grup berpasangan	ANOVA berulang (repeated measures)	Friedman test (di luar cakupan artikel ini)
Dua variabel kategori	(bukan konteks ini)	Chi-square independensi (lihat 22-chi-square-test)

Alur keputusan langkah demi langkah:

Apakah data ordinal atau interval/rasio? Ordinal → langsung ke nonparametrik. Interval/rasio → lanjut langkah 2.
Apakah asumsi normalitas (Shapiro-Wilk, $n \geq 30$, QQ-plot) terpenuhi? Ya → parametrik. Tidak → coba transformasi (log, sqrt); bila masih gagal, nonparametrik.
Independen atau berpasangan? Independen → Mann-Whitney (2 grup) atau Kruskal-Wallis (3+). Berpasangan → Wilcoxon (2) atau Friedman (3+).

Asumsi yang Tetap (Bukan Bebas Syarat)

Walaupun disebut “nonparametrik” atau “distribution-free”, uji ini tetap punya asumsi. Mengabaikannya menyebabkan inferensi yang menyesatkan.

Independensi antar observasi (untuk Mann-Whitney dan Kruskal-Wallis). Tidak boleh ada observasi yang saling bergantung, kecuali desain berpasangan yang memakai Wilcoxon.
Distribusi dua populasi memiliki bentuk yang sama (untuk interpretasi $H_0$ sebagai perbandingan median). Bila bentuk distribusi sangat berbeda (misal satu grup normal, satu lagi bimodal), interpretasi $H_0$ menjadi rumit; $p$-value tetap valid, tetapi interpretasinya bukan “median sama” melainkan “stochastic dominance”.
Untuk Wilcoxon: distribusi selisih $d$ harus simetris di sekitar median. Bila distribusi selisih sangat miring, pertimbangkan uji tanda (sign test) yang lebih lemah tetapi tanpa asumsi simetri.

Jebakan Umum dan Cara Menghindarinya

Jebakan 1 — Pakai nonparametrik secara default. Beberapa peneliti, terutama di sosial dan kesehatan, memakai nonparametrik tanpa memeriksa asumsi parametrik. Ini keliru — kehilangan power pada data yang sebenarnya normal bisa menyebabkan gagal menemukan efek nyata. Solusi: selalu cek normalitas dulu (Shapiro-Wilk atau visual QQ-plot), kemudian putuskan.

Jebakan 2 — Melaporkan $p$-value tanpa effect size. Pada sampel kecil, $p$-value mudah tidak signifikan meski efek besar. Pada sampel besar, $p$-value mudah signifikan meski efek sepele. Selalu laporkan $r$ rank-biserial untuk Mann-Whitney dan Wilcoxon, atau $\eta^2_H = (H - k + 1)/(N - k)$ untuk Kruskal-Wallis.

Jebakan 3 — Mengabaikan koreksi ties. Pada data Likert dengan $n$ besar, koreksi ties dapat mengubah $p$-value cukup signifikan. Hampir semua software (SciPy, R, SPSS) memakai koreksi otomatis, tetapi bila menghitung manual, wajib menerapkan koreksi.

Jebakan 4 — Multi-pairwise Mann-Whitney tanpa koreksi. Setara dengan jebakan “banyak uji-t” di ANOVA. Bila punya 4 grup, jangan menjalankan 6 Mann-Whitney; jalankan satu Kruskal-Wallis, lalu post-hoc Dunn dengan koreksi.

Jebakan 5 — Mengabaikan power analysis a priori. Karena ARE Mann-Whitney $\approx 0{,}955$ pada data normal, ukuran sampel yang dirancang untuk uji-t perlu dinaikkan $\sim 5\%$ bila akan dianalisis dengan nonparametrik. Untuk Wilcoxon pada distribusi sangat miring, kenaikan $10{-}15\%$ lebih realistis.

Penutup: Alat yang Tepat untuk Data yang Tepat

Uji nonparametrik bukan “versi murahan” dari uji parametrik. Ia adalah alat yang berbeda untuk situasi yang berbeda: data ordinal, sampel kecil, distribusi aneh. Dengan memahami logika ranking, Anda mendapat kekuatan inferensial pada konteks yang sering muncul di riset Indonesia — survei kepuasan, evaluasi pelatihan, perbandingan layanan — di mana data mentahnya berupa skor Likert atau peringkat, bukan pengukuran presisi.

Tiga pesan kunci untuk dibawa pulang:

Pilih uji berdasarkan struktur data dan asumsi, bukan berdasarkan kebiasaan. Cek normalitas dulu, baru putuskan.
Ranking adalah trik fundamental. Memahami rang + tied ranks = memahami 90% intuisi nonparametrik.
Selalu lapor effect size bersama $p$-value. Signifikansi tanpa magnitude adalah setengah cerita.

Untuk latihan mandiri, workbook Excel pendamping berisi tiga sheet — Mann-Whitney, Wilcoxon, dan Kruskal-Wallis — masing-masing dengan formula hidup sehingga Anda dapat mengganti data dengan dataset Anda sendiri (skor survei kelas, durasi layanan, nilai ujian) dan melihat semua angka — $U$, $W$, $H$, koreksi ties, $z$, $p$-value — diperbarui otomatis. Inilah cara terbaik membangun intuisi: dengan mencoba, mengganti, dan mengamati.