Sebuah kafe mencatat dua angka tiap hari: berapa jam matahari bersinar, dan berapa gelas es kopi terjual. Hari cerah panjang, kopi dingin laku keras; hari mendung, sepi. Pemiliknya curiga kedua angka itu “bergerak bersama” — tetapi seberapa erat? Apakah cukup erat untuk dipakai meramal stok?
Pertanyaan “seberapa erat dua hal bergerak bersama” muncul di mana-mana: jam belajar dan nilai ujian, suku bunga dan harga saham, dosis obat dan tekanan darah. Mata kita bisa melihat polanya di sebuah grafik, tetapi “lumayan erat” bukan ukuran yang bisa dibandingkan atau dilaporkan. Kita perlu satu angka yang merangkum keeratan itu.
Angka itu disebut korelasi. Artikel ini membahas cara menghitungnya dari nol, cara membacanya, dan satu jebakan yang menjatuhkan banyak orang — bahwa korelasi bukan bukti sebab-akibat.
Intuisi: Bergerak Bersama atau Tidak
Bayangkan tiap hari adalah satu titik pada grafik: sumbu mendatar jam matahari, sumbu tegak gelas kopi. Setelah sebulan, kita punya sekumpulan titik — sebuah diagram pencar (scatter plot). Bentuk awan titik itulah yang diringkas korelasi:
- Kalau titik cenderung menanjak dari kiri-bawah ke kanan-atas (banyak matahari → banyak kopi), korelasinya positif.
- Kalau titik cenderung menurun dari kiri-atas ke kanan-bawah (makin satu, makin sedikit yang lain), korelasinya negatif.
- Kalau titik berserakan tanpa kemiringan jelas, korelasinya mendekati nol.
Korelasi $r$ menangkap dua hal sekaligus: arah (positif/negatif, dari tandanya) dan keeratan (seberapa rapat titik menempel pada sebuah garis lurus, dari besarnya). Yang penting diingat sejak awal: Pearson mengukur keeratan terhadap garis lurus. Awan titik yang melengkung rapi bisa saja memberi $r$ kecil walaupun jelas berpola — kita akan kembali ke soal ini.
Korelasi Pearson: Rumusnya
Cara paling lugas menulis korelasi Pearson adalah lewat kovarians dibagi hasil kali dua standar deviasi:
$$r = \frac{\operatorname{cov}(x, y)}{s_x \, s_y}$$Mari bongkar tiap bagian dengan polos.
- Kovarians $\operatorname{cov}(x,y)$ mengukur apakah dua variabel cenderung bergerak searah. Untuk tiap data, kalikan simpangan-$x$ dengan simpangan-$y$, lalu rata-ratakan:
Kalau sebuah titik di atas rata-rata pada kedua sumbu (kedua simpangan positif), hasil kalinya positif. Kalau di bawah rata-rata pada keduanya (kedua simpangan negatif), hasil kalinya juga positif (negatif kali negatif). Jadi titik yang “kompak” — sama-sama tinggi atau sama-sama rendah — menambah kovarians; titik yang “berlawanan” (tinggi di satu, rendah di lain) menguranginya.
$s_x$ dan $s_y$ adalah standar deviasi masing-masing variabel (lihat variabilitas) — sebaran khasnya.
$\bar{x}$ dan $\bar{y}$ adalah rata-rata; $n$ adalah banyak pasangan data; $\sum_{i=1}^{n}$ artinya “jumlahkan untuk semua data, dari yang ke-1 sampai ke-$n$”.
Kenapa kovarians dibagi $s_x s_y$? Karena kovarians mentah ikut satuan data — kovarians “jam × gelas” tak bisa dibandingkan dengan kovarians “rupiah × cm”. Membaginya dengan kedua standar deviasi membuat hasilnya tanpa satuan dan selalu jatuh di rentang $[-1, 1]$. Itulah yang membuat $r$ bisa dibandingkan antar-kasus.
Kalau pembagi $n-1$ pada kovarians, $s_x$, dan $s_y$ kita tulis lengkap, semua faktor $\tfrac{1}{n-1}$ saling membatalkan, dan rumusnya menjadi bentuk yang lebih sering dipakai untuk hitung tangan:
$$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \; \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$$Kedua rumus memberi angka yang sama persis — bentuk pertama enak untuk memahami kenapa, bentuk kedua enak untuk menghitung.
Kenapa r selalu antara −1 dan 1
Pembilang ($\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$) tak akan pernah melebihi penyebut ($\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2 \sum(y_i-\bar{y})^2}$) — ini sifat matematis yang dijamin (pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, kalau ingin namanya). Maka:
- $r = +1$ hanya saat semua titik tepat pada satu garis lurus menanjak (hubungan linear positif sempurna).
- $r = -1$ hanya saat semua titik tepat pada satu garis lurus menurun (linear negatif sempurna).
- $r = 0$ saat tak ada kemiringan lurus — titik tak condong ke arah mana pun.
Tanda $r$ datang dari pembilang (kovarians); besarnya menunjukkan seberapa dekat titik ke garis lurus sempurna.
Contoh Hitung dari Nol
Misalkan kita catat jam belajar per pekan ($x$) dan nilai ujian ($y$) dari lima mahasiswa:
| Mahasiswa | Jam belajar $x$ | Nilai $y$ |
|---|---|---|
| A | 2 | 55 |
| B | 4 | 65 |
| C | 6 | 70 |
| D | 8 | 80 |
| E | 10 | 75 |
Langkah 1 — rata-rata tiap variabel.
$$\bar{x} = \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6, \qquad \bar{y} = \frac{55+65+70+80+75}{5} = 69$$Langkah 2 — tabel simpangan. Untuk tiap mahasiswa hitung simpangan-$x$ ($x_i-\bar{x}$), simpangan-$y$ ($y_i-\bar{y}$), hasil kalinya, dan kuadrat masing-masing simpangan:
| $x_i$ | $y_i$ | $x_i-\bar{x}$ | $y_i-\bar{y}$ | $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ | $(x_i-\bar{x})^2$ | $(y_i-\bar{y})^2$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 55 | −4 | −14 | 56 | 16 | 196 |
| 4 | 65 | −2 | −4 | 8 | 4 | 16 |
| 6 | 70 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 8 | 80 | 2 | 11 | 22 | 4 | 121 |
| 10 | 75 | 4 | 6 | 24 | 16 | 36 |
| Σ | 0 | 0 | 110 | 40 | 370 |
Perhatikan dua kolom simpangan berjumlah 0 — itu selalu terjadi (sifat rata-rata), persis seperti pada varians. Yang kita pakai adalah tiga kolom terakhir.
Langkah 3 — masukkan ke rumus.
$$r = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2 \; \sum (y_i-\bar{y})^2}} = \frac{110}{\sqrt{40 \times 370}} = \frac{110}{\sqrt{14\,800}} = \frac{110}{121{,}66} \approx 0{,}90$$Korelasi Pearson $r \approx 0{,}90$ — positif dan kuat. Belajar lebih lama cenderung berbarengan dengan nilai lebih tinggi pada data ini. (Perhatikan mahasiswa E: belajar paling lama tetapi nilainya turun sedikit dari D — satu titik yang “membandel” inilah yang menahan $r$ tidak mencapai 1.)
Membaca Angkanya
Tanda dan kekuatan
Tanda menunjukkan arah; besarnya menunjukkan keeratan. Sebagai pegangan kasar yang lazim dipakai (mengikuti Cohen, 1988):
| Nilai $\lvert r \rvert$ | Tafsiran keeratan |
|---|---|
| 0,0 – 0,1 | Diabaikan |
| 0,1 – 0,3 | Lemah |
| 0,3 – 0,5 | Sedang |
| 0,5 – 0,7 | Kuat |
| 0,7 – 0,9 | Sangat kuat |
| > 0,9 | Hampir sempurna |
Ambang ini bergantung bidang. Di penelitian klinis dengan banyak variabel pengganggu, $r = 0{,}30$ bisa dianggap temuan penting. Di pengukuran fisika yang seharusnya nyaris deterministik, $r = 0{,}85$ malah dianggap lemah. Angka yang sama berbicara beda tergantung konteksnya.
r² — porsi keragaman yang terjelaskan
Kuadratkan korelasi dan kita dapat $r^2$ (dibaca “r-kuadrat”), yang punya tafsiran sangat berguna: porsi keragaman $y$ yang bisa dijelaskan oleh hubungan liniernya dengan $x$.
Pada contoh kita, $r \approx 0{,}90$, jadi $r^2 \approx 0{,}82$ — sekitar 82% keragaman nilai ujian “sejalan dengan” perbedaan jam belajar; sisanya 18% datang dari hal lain (bakat, kondisi hari ujian, keberuntungan soal). Angka $r^2$ ini sama dengan koefisien determinasi pada regresi linear.
Di sinilah satu kesalahpahaman umum bersembunyi: $r$ dan $r^2$ bukan hal yang sama. Korelasi $r = 0{,}5$ terdengar seperti “separuh”, padahal $r^2 = 0{,}25$ — hanya 25% keragaman yang terjelaskan, bukan 50%. Selalu kuadratkan dulu sebelum bicara “berapa persen”.
Korelasi bukan kemiringan garis
Korelasi mengukur keeratan, bukan kecuraman. Dua data bisa punya $r$ sama tetapi garis dengan kemiringan sangat berbeda — keeratan dan kecuraman adalah dua hal terpisah. Hubungannya dengan kemiringan regresi $b$ adalah:
$$b = r \cdot \frac{s_y}{s_x}$$Singkatnya: korelasi menjawab “seberapa erat keduanya bergerak bersama”; regresi menjawab “kalau $x$ naik satu satuan, berapa perkiraan kenaikan $y$”. Korelasi simetris — korelasi $x$-ke-$y$ sama dengan $y$-ke-$x$; regresi tidak. Untuk garis itu sendiri, lanjut ke regresi linear sederhana.
Bereksperimen Sendiri
Geser titik atau ubah pola sebaran, lalu amati bagaimana angka korelasi ikut berubah — perhatikan betapa cepat $r$ jatuh begitu satu titik ditarik menjauh dari pola.
Kapan Pearson Tidak Cukup: Spearman
Pearson hanya melihat garis lurus. Kalau hubungannya melengkung tetapi tetap “naik terus” (atau “turun terus”), Pearson meremehkan keeratannya. Untuk kasus seperti itu — atau saat ada pencilan ekstrem, atau data hanya berupa peringkat (ordinal, seperti skala Likert) — kita pakai korelasi Spearman.
Idenya sederhana: ubah dulu tiap nilai menjadi peringkat (terkecil = 1, berikutnya = 2, dan seterusnya), lalu hitung korelasi Pearson atas peringkat itu, bukan atas nilai aslinya. Karena yang dipakai hanya urutan, lengkungan dan pencilan tak lagi mengganggu. Spearman menangkap hubungan monoton (searah konsisten), tak harus lurus. Rumus pintasnya, untuk data tanpa peringkat kembar:
$$\rho = 1 - \frac{6 \sum_{i=1}^{n} d_i^2}{n(n^2 - 1)}$$Tiap lambang:
- $\rho$ (dibaca “rho”) = korelasi Spearman, juga selalu antara −1 dan 1.
- $d_i$ = selisih peringkat pasangan ke-$i$ — peringkat-$x$ dikurangi peringkat-$y$. Misalnya sebuah item peringkat ke-2 pada $x$ tetapi ke-5 pada $y$ → $d = 2 - 5 = -3$.
- $n$ = banyak pasangan data; angka 6 adalah tetapan agar hasilnya pas di rentang $[-1,1]$.
Contoh hitung dari nol. Dua juri menilai lima karya, masing-masing memberi peringkat 1 (terbaik) sampai 5:
| Karya | Peringkat Juri 1 | Peringkat Juri 2 | $d_i$ | $d_i^2$ |
|---|---|---|---|---|
| A | 1 | 1 | 0 | 0 |
| B | 2 | 3 | −1 | 1 |
| C | 3 | 2 | 1 | 1 |
| D | 4 | 5 | −1 | 1 |
| E | 5 | 4 | 1 | 1 |
| Σ | 4 |
Dengan $n = 5$ dan $\sum d_i^2 = 4$:
$$\rho = 1 - \frac{6 \times 4}{5(5^2 - 1)} = 1 - \frac{24}{5 \times 24} = 1 - \frac{24}{120} = 1 - 0{,}2 = 0{,}80$$Spearman $\rho = 0{,}80$ — kedua juri sangat sepakat soal urutan, walau tak persis sama.
Kapan memilih Spearman alih-alih Pearson:
- Data berupa peringkat atau ordinal (skala Likert 1–5, posisi lomba).
- Hubungan jelas searah tetapi melengkung (misalnya tumbuh makin cepat) — Pearson akan melaporkan angka lebih kecil dari keeratan sebenarnya.
- Ada pencilan ekstrem yang tak bisa dibuang — peringkat menumpulkan pengaruhnya.
Kendall’s Tau: Sepupu yang Lebih Berhati-hati
Masih dari keluarga peringkat, Kendall’s tau ($\tau$) menghitung keeratan dengan cara berbeda: bandingkan tiap pasang data dan tanyakan apakah keduanya “sepakat”.
$$\tau = \frac{C - D}{\binom{n}{2}}$$- $C$ = banyak pasangan konkordan (urutannya searah pada kedua variabel).
- $D$ = banyak pasangan diskordan (urutannya berlawanan).
- $\binom{n}{2}$ = banyak semua pasangan yang mungkin = $\tfrac{n(n-1)}{2}$.
Pada data dua juri tadi ($n=5$, jadi $\binom{5}{2} = 10$ pasangan), perhitungan memberi $C = 8$ pasangan sepakat dan $D = 2$ berlawanan:
$$\tau = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = 0{,}60$$Untuk data yang sama, Spearman memberi 0,80 tetapi Kendall hanya 0,60 — bukan karena salah satu keliru, melainkan karena keduanya memang skala yang berbeda. Kendall cenderung lebih kecil dan lebih konservatif, serta sering lebih disukai pada sampel kecil. Untuk hitung tangan ia lebih repot (harus memeriksa tiap pasangan), jadi di praktik biasanya dihitung lewat perangkat lunak.
| Korelasi | Mengukur | Cocok untuk |
|---|---|---|
| Pearson ($r$) | Keeratan linear | Data kontinu, hubungan lurus, tanpa pencilan ekstrem |
| Spearman ($\rho$) | Keeratan monoton (atas peringkat) | Data ordinal/Likert, hubungan melengkung searah, ada pencilan |
| Kendall ($\tau$) | Kesepakatan antar-pasang | Sampel kecil, butuh ukuran konservatif |
Korelasi ≠ Kausalitas
Inilah peringatan terpenting dari seluruh artikel: korelasi tidak membuktikan sebab-akibat. Dua hal bisa bergerak bersama tanpa yang satu menyebabkan yang lain. Ada tiga jalan klasik bagaimana korelasi muncul tanpa kausalitas:
Penyebab tersembunyi yang sama. Penjualan es krim dan jumlah kasus tenggelam berkorelasi tinggi sepanjang tahun. Es krim jelas tak menenggelamkan siapa pun — keduanya didorong faktor ketiga: cuaca panas (orang beli es krim dan lebih banyak berenang). Faktor ketiga ini disebut pengganggu (confounder).
Arah sebab terbalik. Stres dan sakit berkorelasi. Apakah stres memicu sakit, atau justru sakit yang menimbulkan stres? Korelasi saja tak bisa menjawab arahnya.
Kebetulan belaka. Kalau cukup banyak pasangan variabel diuji, sebagian pasti tampak berkorelasi hanya karena kebetulan. Situs “Spurious Correlations” milik Tyler Vigen mengumpulkan ratusan contoh lucu — misalnya konsumsi keju yang “berkorelasi” dengan jumlah orang yang tersangkut sprei tempat tidur. Tak ada hubungan nyata; hanya angka yang kebetulan sejalan.
Untuk benar-benar mengklaim sebab-akibat, dibutuhkan eksperimen terkendali (acak siapa dapat perlakuan) atau strategi identifikasi khusus. Korelasi adalah petunjuk awal yang berharga — tetapi ia membuka penyelidikan, bukan menutupnya.
Cek Pemahaman
1. Sebuah data sampel: $x = 1, 2, 3$ dan $y = 2, 4, 6$. Hitung korelasi Pearson $r$ dari nol.
Lihat jawaban
Rata-rata: $\bar{x} = (1+2+3)/3 = 2$, $\bar{y} = (2+4+6)/3 = 4$. Simpangan-$x$: −1, 0, 1. Simpangan-$y$: −2, 0, 2. Hasil kali: $(-1)(-2)=2$, $0$, $(1)(2)=2$ → $\sum = 4$. Kuadrat simpangan-$x$: 1, 0, 1 → $\sum = 2$. Kuadrat simpangan-$y$: 4, 0, 4 → $\sum = 8$.
$$r = \frac{4}{\sqrt{2 \times 8}} = \frac{4}{\sqrt{16}} = \frac{4}{4} = 1{,}0$$Korelasi sempurna positif — masuk akal, karena ketiga titik tepat pada satu garis lurus ($y = 2x$).
2. Seorang peneliti melaporkan korelasi $r = 0{,}40$ antara jam tidur dan nilai ujian, lalu menulis “40% nilai dijelaskan oleh jam tidur”. Apa yang keliru, dan berapa angka yang benar?
Lihat jawaban
Yang keliru: ia membaca $r$ seolah-olah itu $r^2$. Porsi keragaman yang terjelaskan adalah $r^2$, bukan $r$. Di sini $r^2 = 0{,}40^2 = 0{,}16$, jadi yang benar adalah 16% keragaman nilai yang sejalan dengan jam tidur — bukan 40%. (Dan bahkan 16% itu pun belum tentu sebab-akibat.)
3. (Transfer) Seorang analis menemukan korelasi $r = 0{,}88$ antara jumlah pembangkit listrik yang dibangun pemerintah dan rata-rata nilai ujian nasional, lalu menyimpulkan “membangun pembangkit meningkatkan prestasi belajar”. Sebutkan satu penjelasan alternatif dan satu langkah untuk mengujinya.
Lihat jawaban
Penjelasan alternatif (pengganggu): pertumbuhan ekonomi daerah. Daerah yang makmur sama-sama membangun lebih banyak infrastruktur dan mampu mendanai pendidikan lebih baik — keduanya naik bersama tanpa pembangkit menyebabkan nilai naik. Bisa juga arah terbalik atau kebetulan dari banyak perbandingan.
Langkah menguji: kendalikan pengganggu — misalnya bandingkan daerah dengan tingkat ekonomi setara, atau gunakan strategi identifikasi (seperti variabel instrumen) yang dibahas di regresi. Tanpa itu, $r = 0{,}88$ hanya menunjukkan dua angka bergerak bersama, bukan bahwa yang satu menyebabkan yang lain.
Rumus di Excel
=CORREL(rentang_x; rentang_y) → korelasi Pearson r
=PEARSON(rentang_x; rentang_y) → sama dengan CORREL
=RSQ(rentang_y; rentang_x) → r² langsung (koefisien determinasi)
Spearman: tidak ada fungsi bawaan.
Beri peringkat dulu dengan =RANK.AVG(), lalu =CORREL() atas peringkat.
Kendall: tidak ada fungsi bawaan. Pakai R atau Python.
Uji signifikansi r: t = r*AKAR(n-2)/AKAR(1-r^2), lalu =T.DIST.2T(ABS(t); n-2)
Berkas pendamping memuat lembar KALKULASI_MANUAL — tabel simpangan jam-belajar lengkap dengan formula hidup, dari kolom $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ sampai $r$ akhir — dan KALKULASI_OTOMATIS yang membandingkannya dengan CORREL dan RSQ bawaan Excel agar hasilnya bisa dicocokkan.
Kesalahan Umum
Memakai Pearson untuk hubungan melengkung. Pearson hanya melihat garis lurus, jadi $r$ bisa nyaris 0 padahal polanya jelas (misalnya berbentuk huruf U). Selalu lihat diagram pencar dulu sebelum percaya pada satu angka.
Mengira $r$ membuktikan sebab-akibat. Kesalahan paling fatal. Korelasi membuka pertanyaan, bukan menjawabnya — butuh eksperimen atau strategi identifikasi untuk klaim kausal.
Mencampur $r$ dengan $r^2$. $r = 0{,}5$ berarti 25% keragaman terjelaskan ($0{,}5^2$), bukan 50%. Kuadratkan dulu sebelum bicara persentase.
Melompat ke angka tanpa melihat grafik. “Kuartet Anscombe” adalah empat kumpulan data dengan $r$ identik tetapi bentuk awan titik yang sama sekali berbeda — satu lurus, satu melengkung, satu didikte sebuah pencilan. Angka korelasi yang sama bisa menyembunyikan cerita yang sangat berbeda.
Memakai Pearson untuk data Likert. Skala Likert (sangat setuju … sangat tidak setuju) sejatinya ordinal — jaraknya tak pasti sama. Spearman lebih tepat; Pearson hanya bisa ditoleransi saat jumlah data sangat besar.
Dipakai di Dunia Nyata
- Manajemen portofolio. Korelasi antar-imbal hasil saham adalah inti diversifikasi: menggabungkan aset yang korelasinya rendah (apalagi negatif) menurunkan risiko portofolio tanpa mengorbankan banyak imbal hasil. Matriks korelasi adalah bahan baku teori portofolio Markowitz.
- Kendali mutu. Pabrik mencari korelasi antara parameter proses (suhu, tekanan) dan cacat produk untuk menemukan pengungkit perbaikan yang patut diselidiki lebih lanjut.
- Penelitian klinis. Korelasi antara biomarker dan hasil pengobatan menyaring kandidat yang layak diuji lewat eksperimen acak — korelasi sebagai langkah penyaringan, bukan kesimpulan.
- Skoring kredit. Lembaga keuangan memeriksa korelasi antara variabel calon peminjam dan kemungkinan gagal bayar untuk memilih prediktor yang masuk ke model penilaian.
Lanjutan
Korelasi mengukur keeratan; langkah berikutnya adalah menggambar garisnya dan memakainya untuk meramal.
- Lanjut ke Regresi Linear Sederhana — mengubah korelasi menjadi persamaan ramalan $\hat{y} = b_0 + b_1 x$, lewat hubungan $b_1 = r \cdot s_y/s_x$.
- Perlu menyegarkan dulu standar deviasi dan simpangan yang jadi bahan baku korelasi? Balik ke Variabilitas dan Sebaran.
- Korelasi $r$ juga dipakai sebagai ukuran besar-efek; lihat Effect Size.