Power Analysis dan Sample Size

Anda merancang percobaan untuk menguji program pelatihan baru: satu kelompok ikut program, satu kelompok tidak, lalu dibandingkan. Sebelum mengumpulkan data, ada satu pertanyaan yang menentukan nasib seluruh studi: berapa orang yang perlu saya rekrut?

Jawaban refleks adalah “sebanyak mungkin”. Tetapi tiap peserta berarti waktu, biaya, dan tenaga koordinasi. Merekrut terlalu banyak adalah pemborosan. Merekrut terlalu sedikit jauh lebih berbahaya: studi bisa gagal menemukan efek yang sebenarnya ada — Anda sudah bekerja keras, mengeluarkan biaya, lalu pulang dengan tangan kosong bukan karena programnya tidak bekerja, melainkan karena sampelnya kurang.

Ada titik tengah yang tepat: jumlah peserta paling sedikit yang masih memberi peluang besar untuk menangkap efek bila efek itu nyata. Mencari titik itu adalah seluruh isi materi ini — namanya power analysis (analisis kekuatan uji).

Intuisi: dua kemungkinan keliru, satu yang ingin kita kecilkan

Tiap uji hipotesis bisa keliru dua arah. Galat tipe I ($\alpha$): kita berteriak “ada efek!” padahal tidak ada. Galat tipe II ($\beta$): ada efek nyata, tetapi kita melewatkannya dan menyimpulkan “tidak ada apa-apa”.

Power adalah lawan dari galat tipe II. Power adalah peluang kita berhasil menangkap efek ketika efek itu benar-benar ada. Kalau $\beta$ adalah peluang melewatkan, maka power adalah peluang tidak melewatkan.

Bayangkan dua kurva lonceng. Kurva kiri menggambarkan dunia “tidak ada efek” ($H_0$). Kurva kanan menggambarkan dunia “ada efek” ($H_1$). Garis vertikal di tengah adalah ambang keputusan: di sebelah kanannya kita menolak $H_0$. Power adalah seberapa besar bagian kurva kanan yang jatuh di sisi “menolak” itu.

Dari gambar ini terbaca empat tuas yang bisa kita putar untuk memperbesar power: menggeser kedua kurva makin terpisah (efek lebih besar), membuat kurva lebih ramping (lebih banyak data atau keragaman lebih kecil), atau menggeser garis kritis (mengubah $\alpha$). Itulah keempat faktor yang akan kita bahas.

Power dan keempat penentunya

Secara rumus, power adalah satu dikurangi peluang galat tipe II:

$$\text{power} = 1 - \beta$$

Penjelasan tiap lambang:

• $\beta$ (dibaca “beta”) = peluang galat tipe II, yaitu peluang gagal menolak $H_0$ padahal $H_0$ salah (ada efek tapi terlewat). Kalau $\beta = 0{,}20$, artinya ada 20% peluang efek nyata terlewat.
• $\text{power}$ = peluang berhasil menolak $H_0$ saat $H_0$ memang salah. Kalau $\beta = 0{,}20$, maka power $= 1 - 0{,}20 = 0{,}80$, yaitu 80% peluang menangkap efek.

Standar yang lazim di penelitian: power minimal 0,80 (80%). Artinya kita bersedia menerima paling banyak 20% peluang melewatkan efek nyata.

Power tidak berdiri sendiri. Empat hal menggerakkannya, dan keempatnya saling terkait:

Karena saling terkait, kalau kita tahu tiga, kita bisa hitung yang keempat. Skenario paling sering di lapangan: kita perkirakan ukuran efek, kita tetapkan $\alpha$ dan target power, lalu kita cari $n$ — berapa data yang harus dikumpulkan. Itu yang akan kita kerjakan dari nol.

Ukuran efek: seberapa besar “besar”?

Sebelum bisa menghitung $n$, kita perlu menebak ukuran efek — seberapa kuat perbedaan yang kita harapkan. Untuk uji-t, ukuran efek yang lazim adalah Cohen’s d, yaitu selisih dua rata-rata yang dibagi simpangan baku:

$$d = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s}$$

Penjelasan tiap lambang:

• $\bar{x}_1, \bar{x}_2$ = rata-rata kelompok pertama dan kedua. Misalnya kelompok ikut pelatihan rata-rata skornya 78, kelompok tanpa pelatihan 73.
• $s$ = simpangan baku (sebaran khas data). Misalnya $s = 10$.
• $d$ = selisih rata-rata yang diukur dalam satuan simpangan baku. Pada contoh ini $d = (78-73)/10 = 0{,}5$ — selisihnya setara setengah simpangan baku.

Karena dibagi $s$, Cohen’s d tanpa satuan, jadi bisa dibandingkan lintas studi. Sebagai pegangan kasar (konvensi Cohen):

Angka-angka ini hanya kompas, bukan hukum. Tebakan paling jujur datang dari studi terdahulu pada topik serupa atau dari studi rintisan kecil.

Rumus jumlah sampel untuk uji-t

Untuk uji-t (membandingkan rata-rata), perkiraan cepat jumlah sampel memakai rumus berikut. Ini hampiran dengan kurva normal — cukup akurat untuk perencanaan:

$$n = \left(\frac{z_{\alpha/2} + z_{\beta}}{d}\right)^2$$

Penjelasan tiap lambang:

• $z_{\alpha/2}$ = nilai $z$ kritis untuk taraf nyata $\alpha$. Untuk $\alpha = 0{,}05$ dua-arah, nilainya 1,96 (titik pada kurva normal baku yang menyisakan 2,5% di tiap ekor).
• $z_{\beta}$ = nilai $z$ yang berkaitan dengan target power. Untuk power 0,80, nilainya 0,84 (titik yang menyisakan 20% di satu ekor — sesuai $\beta = 0{,}20$).
• $d$ = ukuran efek (Cohen’s d) yang kita perkirakan.
• $n$ = jumlah data yang dibutuhkan per kelompok.

Catatan penting tentang “per kelompok”: rumus di atas menghasilkan $n$ untuk satu kelompok (uji satu-sampel). Untuk membandingkan dua kelompok (perlakuan vs kontrol), kita perlu jumlah itu di tiap kelompok — secara praktis kalikan dua hasil satu-sampel untuk memperoleh total per pasangan, dengan $n$ per kelompok ≈ $2 \times$ hasil satu-sampel.

Contoh hitung jumlah sampel dari nol

Kembali ke program pelatihan pembuka. Kita memperkirakan efek sedang: Cohen’s $d = 0{,}5$. Kita pakai $\alpha = 0{,}05$ (dua-arah) dan menargetkan power $0{,}80$. Berapa peserta yang perlu kita rekrut?

Langkah 1 — kumpulkan ketiga bahan. Dari $\alpha = 0{,}05$ dua-arah: $z_{\alpha/2} = 1{,}96$. Dari power $0{,}80$: $z_{\beta} = 0{,}84$. Ukuran efek $d = 0{,}5$.

Langkah 2 — jumlahkan kedua nilai $z$.

$$z_{\alpha/2} + z_{\beta} = 1{,}96 + 0{,}84 = 2{,}80$$

Langkah 3 — bagi dengan ukuran efek.

$$\frac{2{,}80}{0{,}5} = 5{,}6$$

Langkah 4 — kuadratkan. Inilah jumlah sampel untuk satu kelompok (satu-sampel):

$$n = 5{,}6^2 = 31{,}36 \;\to\; 32 \text{ (dibulatkan ke atas)}$$

Langkah 5 — sesuaikan untuk dua kelompok. Studi kita membandingkan dua kelompok, jadi kalikan dua:

$$2 \times 31{,}36 = 62{,}72 \;\to\; \textbf{63 peserta per kelompok}$$

Ringkasan tiap langkah:

Selalu bulatkan ke atas: 62,72 peserta tidak ada, dan membulatkan ke bawah membuat power sedikit di bawah target.

Perangkat lunak khusus memakai rumus yang lebih persis (distribusi-t takpusat, bukan hampiran normal) dan memberi 64 per kelompok untuk kasus ini — hampir sama dengan hitungan tangan kita. Tabel acuan di bawah memakai angka persis itu.

Tabel acuan jumlah sampel

Untuk perbandingan dua kelompok dengan $\alpha = 0{,}05$ dan target power $0{,}80$, inilah jumlah sampel per kelompok pada berbagai ukuran efek (angka persis dari distribusi-t takpusat, dibulatkan ke atas):

Pelajaran utama: efek kecil menuntut sampel yang sangat besar. Untuk menangkap efek kecil ($d = 0{,}2$) butuh 394 orang per kelompok; untuk efek besar ($d = 0{,}8$) cukup 26. Polanya bukan kebetulan: $n$ kira-kira berbanding terbalik dengan kuadrat ukuran efek. Bila efek dibuat separuh (dari $d = 0{,}5$ ke $0{,}25$), $n$ membengkak hampir empat kali lipat (dari 64 ke 253 per kelompok). Inilah alasan banyak studi efek kecil yang berkekuatan rendah: peneliti meremehkan betapa besar sampel yang sebenarnya diperlukan.

Bereksperimen sendiri

Geser ukuran efek, $\alpha$, dan target power, lalu amati bagaimana jumlah sampel yang dibutuhkan ikut berubah. Perhatikan betapa cepat $n$ melonjak ketika ukuran efek diperkecil.

Rumus untuk uji lain

Pola dasarnya sama — yang berbeda hanya penyebut dan sedikit penyesuaian.

Korelasi. Untuk menguji apakah korelasi $r$ berbeda dari nol, jumlah sampel adalah:

$$n = \left(\frac{z_{\alpha/2} + z_{\beta}}{z'_r}\right)^2 + 3$$

Di sini $z'_r$ adalah transformasi Fisher dari $r$, yaitu $z'_r = \tfrac{1}{2}\ln\!\frac{1+r}{1-r}$ (mengubah $r$ agar sebarannya mendekati normal). Untuk $r = 0{,}3$: $z'_r = 0{,}31$, sehingga $n = (2{,}80/0{,}31)^2 + 3 \approx 85$ — sekitar 85 pasangan data untuk menangkap korelasi sedang.

ANOVA $k$ kelompok. Dipakai $f^2$ Cohen dan sebuah parameter ketakpusatan $\lambda$:

$$n = \frac{\lambda}{f^2 \cdot k}$$

dengan $\lambda$ dibaca dari tabel ketakpusatan dan $k$ = banyak kelompok.

Proporsi (dua kelompok). Untuk membandingkan dua proporsi $p_1$ dan $p_2$:

$$n = \frac{\left(z_{\alpha/2}\sqrt{2\bar{p}\,\bar{q}} + z_{\beta}\sqrt{p_1 q_1 + p_2 q_2}\right)^2}{(p_1 - p_2)^2}$$

dengan $\bar{p}$ rata-rata kedua proporsi dan $q = 1-p$.

Regresi berganda. Pakai $f^2$ Cohen dengan menyertakan banyak prediktor. Untuk kasus ini, kalkulator khusus lebih aman daripada hitung tangan.

Empat cara memakai power analysis

Power analysis bukan hanya untuk mencari $n$. Ada empat mode, dan keliru memilih mode adalah sumber kesalahan yang umum:

• A-priori (sebelum studi): hitung $n$ yang dibutuhkan dari perkiraan efek, $\alpha$, dan target power. Ini mode yang wajib dilaporkan di pra-registrasi dan proposal hibah.
• Pasca-studi (post-hoc): menghitung power yang tercapai setelah data masuk, memakai efek yang teramati. Mode ini kontroversial dan menyesatkan — kalau hasilnya tidak signifikan, power pasca-studi otomatis rendah, sehingga tidak menjelaskan apa-apa. Jangan pakai mode ini untuk membela “tidak signifikan berarti tidak ada efek”.
• Sensitivitas: bila $n$ sudah terlanjur tetap (mis. data sekunder), hitung ukuran efek terkecil yang masih bisa terdeteksi. Berguna untuk menilai apa yang realistis dari data yang ada.
• Kompromi: menyeimbangkan $\alpha$ dan $\beta$ berdasarkan biaya relatif kedua jenis galat. Misalnya menetapkan $\alpha = \beta$ ketika kedua galat sama-sama merugikan.

Cek Pemahaman

1. Sebuah studi merancang perbandingan dua kelompok dengan target efek besar (Cohen’s $d = 0{,}8$), $\alpha = 0{,}05$ dua-arah, power $0{,}80$. Hitung jumlah sampel per kelompok dengan rumus hampiran, dari nol.

Lihat jawaban

Bahan: $z_{\alpha/2} = 1{,}96$, $z_{\beta} = 0{,}84$, $d = 0{,}8$. Jumlahkan $z$: $1{,}96 + 0{,}84 = 2{,}80$. Bagi efek: $2{,}80 / 0{,}8 = 3{,}5$. Kuadratkan: $3{,}5^2 = 12{,}25 \to 13$ (satu-sampel, dibulatkan ke atas). Untuk dua kelompok kalikan dua: $2 \times 12{,}25 = 24{,}5 \to \textbf{25 per kelompok}$. (Perangkat lunak persis memberi 26 per kelompok — hampir sama.) Bandingkan dengan contoh $d = 0{,}5$ yang butuh 63 per kelompok: efek lebih besar, sampel jauh lebih hemat.

2. Seorang peneliti hanya punya anggaran untuk 30 peserta per kelompok. Ia tetap berharap menangkap efek sedang ($d = 0{,}5$) pada $\alpha = 0{,}05$. Tanpa menghitung persis, apakah studinya berkekuatan cukup (power ≥ 0,80)? Mode power analysis mana yang ia pakai?

Lihat jawaban

Dari tabel acuan, efek sedang ($d = 0{,}5$) butuh 64 per kelompok untuk power 0,80. Dengan hanya 30 per kelompok, sampelnya kurang dari separuh kebutuhan — studinya berkekuatan rendah (power-nya hanya sekitar 0,48, jauh di bawah 0,80). Karena $n$ sudah tetap dan ia memeriksa apa yang bisa dicapai dengan $n$ itu, ini adalah mode sensitivitas. Pilihan jujurnya: cari dana untuk menambah sampel, terima bahwa hanya efek besar yang bisa terdeteksi, atau tunda studi.

3. (transfer) Tim A/B testing sebuah aplikasi awalnya merancang studi untuk mendeteksi peningkatan konversi setara $d = 0{,}5$. Manajemen lalu meminta studi sanggup menangkap efek separuhnya ($d = 0{,}25$), karena bahkan peningkatan kecil pun bernilai bisnis besar. Kira-kira berapa kali lipat sampel harus diperbesar, dan kenapa?

Lihat jawaban

Sekitar empat kali lipat. Jumlah sampel berbanding terbalik dengan kuadrat ukuran efek ($n \propto 1/d^2$). Bila efek dibuat separuh, $1/d^2$ menjadi empat kali lipat. Cek dengan angka: $d = 0{,}5$ butuh 64 per kelompok; $d = 0{,}25$ butuh 253 per kelompok — kira-kira empat kali lipat. Pelajarannya: menuntut sensitivitas terhadap efek yang lebih halus itu sangat mahal dalam jumlah sampel, dan keputusan ini harus diambil sebelum mengumpulkan data, bukan sesudah.

Kesalahan Umum

Melewatkan power analysis “karena ribet”. Akibatnya studi berkekuatan rendah: efek nyata terlewat, biaya terbuang, naskah ditolak resensi. Power analysis a-priori adalah asuransi paling murah untuk seluruh studi.

Memakai ukuran efek yang terlalu optimistis. Mengasumsikan $d = 0{,}8$ padahal kenyataannya $d = 0{,}3$ membuat $n$ yang dihitung jauh lebih kecil daripada yang sebenarnya dibutuhkan — studi tampak cukup di atas kertas, tetapi gagal di lapangan. Pakai perkiraan efek yang konservatif.

Memakai power pasca-studi untuk membela “tidak signifikan = tidak ada efek”. Ini keliru secara logika. Power pasca-studi hanya menceritakan ulang nilai-$p$ dengan cara lain. Yang sahih adalah power a-priori, dihitung sebelum data masuk.

Mengira sampel besar otomatis berkekuatan cukup. Untuk efek yang sangat kecil, bahkan $n$ besar bisa berkekuatan rendah. Besar-kecilnya sampel hanya bermakna relatif terhadap ukuran efek yang dikejar.

Salah memasukkan parameter ke kalkulator. Keliru memilih satu-arah vs dua-arah, atau kelompok seimbang vs tak seimbang, mengubah hasil secara drastis. Pahami tiap parameter sebelum mengetik angka — kalkulator hanya sebaik masukannya.

Dipakai di Dunia Nyata

• Uji klinis. Otoritas obat (mis. FDA) mewajibkan power analysis untuk menyetujui rancangan uji, lazimnya target power 80–90%. Jumlah pasien yang direkrut harus dapat dipertanggungjawabkan secara statistik dan etis — terlalu sedikit berarti membahayakan pasien tanpa hasil yang berarti.
• A/B testing produk digital. Tim produk menghitung jumlah pengunjung yang dibutuhkan untuk mendeteksi kenaikan konversi sebesar target tertentu, sebelum menjalankan eksperimen, agar tidak menghentikan tes terlalu dini.
• Proposal hibah penelitian. Penyandang dana menuntut justifikasi jumlah sampel dan anggaran. Power analysis a-priori adalah bagian baku yang menentukan lolos-tidaknya proposal.
• Studi replikasi. Replikasi biasanya menargetkan power lebih tinggi (di atas 90%) karena tujuannya memastikan, bukan sekadar mendeteksi — sampelnya pun lebih besar daripada studi aslinya.

Lanjutan

Power analysis adalah jembatan antara teori galat dan praktik merancang studi: ia mengubah trade-off abstrak $\alpha$–$\beta$ menjadi satu angka konkret, yaitu berapa data yang harus dikumpulkan.

• Balik dulu ke Type I dan Type II Error bila arti $\alpha$, $\beta$, dan power belum mantap — itu fondasi langsung materi ini.
• Lanjut ke Effect Size — masukan utama power analysis; di sana ukuran efek (Cohen’s d, $r$, $f^2$) dibahas tuntas, termasuk cara memperkirakannya secara jujur.
• Sebagai kerangka pelengkap, Confidence Interval menawarkan cara lain memandang ketidakpastian — lebar selang juga ditentukan oleh jumlah sampel.