Chi-Square Test

Anda seorang analis di tim kampanye. Sebuah survei menjaring 1.000 pemilih dan mencatat dua hal dari tiap orang: tingkat pendidikannya dan calon yang ia dukung. Hasilnya tersusun dalam tabel — pemilih lulusan SMA lebih banyak memilih Calon A, lulusan S2 lebih menyebar. Pertanyaan pimpinan tim sederhana: apakah pilihan calon memang bergantung pada pendidikan, atau pola itu cuma kebetulan acak?

Pertanyaan ini tidak bisa dijawab dengan rata-rata, dengan uji-t, atau dengan korelasi biasa. Sebabnya, datanya bukan angka yang bisa dirata-rata — datanya berupa kategori: “SMA”, “S1”, “S2”, “Calon A”, “Calon B”. Yang kita punya hanyalah cacahan: berapa orang masuk tiap kotak.

Alat untuk pertanyaan semacam ini adalah uji khi-kuadrat (chi-square test). Inti gagasannya satu kalimat: bandingkan apa yang kita amati dengan apa yang seharusnya terjadi kalau tidak ada hubungan, lalu ukur seberapa jauh keduanya.

Intuisi: Seberapa Jauh dari “Tidak Ada Hubungan”

Bayangkan dadu yang Anda lempar 600 kali. Kalau dadu jujur, tiap angka mestinya muncul sekitar 100 kali. Itulah yang kita sebut frekuensi harapan ($E$) — cacahan yang diperkirakan kalau dugaan dasar (dadu jujur) benar. Yang benar-benar muncul di lemparan nyata disebut frekuensi amatan ($O$, dari observed).

Tidak ada dadu jujur pun yang menghasilkan tepat 100-100-100-100-100-100. Selalu ada selisih kecil karena keacakan. Pertanyaannya: selisih yang kita lihat ini masih wajar untuk dadu jujur, atau sudah terlalu besar sehingga lebih masuk akal kalau dadunya berat sebelah?

Uji khi-kuadrat menjawabnya dengan menumpuk semua selisih $O-E$ menjadi satu angka. Makin besar angkanya, makin jauh data dari dugaan “tidak ada apa-apa”. Sebaran nilai yang mungkin untuk angka itu — kalau dugaan dasar benar — berbentuk kurva yang menceng ke kanan:

Logikanya searah dengan semua uji hipotesis: kalau statistik $\chi^2$ hasil hitungan jatuh di ekor kanan (melewati nilai kritis), kita tolak $H_0$ — selisihnya terlalu besar untuk kebetulan. Kalau tidak, kita gagal tolak $H_0$.

Rumus Inti

Kedua jenis uji khi-kuadrat memakai statistik uji yang sama:

$$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$$

Penjelasan tiap lambang:

• $\chi^2$ (dibaca “khi-kuadrat”, huruf Yunani chi) = nama statistik uji ini. Nilainya selalu $\geq 0$ karena pembilangnya dikuadratkan.
• $O$ = frekuensi amatan, yaitu cacahan yang benar-benar kita hitung di tiap kategori. Contoh: 95 kali dadu menunjukkan angka 1.
• $E$ = frekuensi harapan, yaitu cacahan yang diperkirakan kalau $H_0$ benar. Contoh: 100 (dadu jujur, $600/6$).
• $(O-E)$ = selisih amatan dari harapan untuk satu kategori. Misalnya $95-100=-5$.
• $\sum$ artinya “jumlahkan suku $\dfrac{(O-E)^2}{E}$ untuk semua kategori (atau semua sel tabel)”.

Kenapa dibagi $E$? Selisih 5 itu besar atau kecil tergantung skalanya. Meleset 5 dari harapan 100 hampir tak berarti; meleset 5 dari harapan 8 sudah mencolok. Membagi dengan $E$ membuat tiap selisih relatif terhadap besarnya cacahan yang diharapkan — meleset jauh pada kategori berisi sedikit data dihukum lebih berat.

Mengapa $(O-E)$ dikuadratkan? Sama seperti pada varians: kalau selisih dijumlahkan apa adanya, yang positif dan negatif saling membatalkan sampai totalnya nol. Mengkuadratkan menghilangkan tanda sekaligus memberi bobot ekstra pada selisih yang jauh.

Ada dua situasi pemakaian. Keduanya memakai rumus di atas; yang berbeda hanya cara menghitung $E$ dan cara menghitung derajat bebas.

Uji Kebaikan-Suai: Apakah Dadu Ini Jujur?

Jenis pertama memeriksa satu variabel kategori: apakah cacahan amatannya sesuai dengan pola yang kita harapkan.

Data. Sebuah dadu dilempar 600 kali. Cacahan tiap mata dadu (1 sampai 6):

$$O = \{95,\ 105,\ 100,\ 110,\ 90,\ 100\}$$

Totalnya $95+105+100+110+90+100 = 600$ lemparan.

Hipotesis.

• $H_0$: dadu jujur — tiap mata punya peluang sama, $1/6$.
• $H_1$: dadu berat sebelah — peluangnya tidak seragam.

Langkah 1 — frekuensi harapan. Kalau dadu jujur, tiap mata diharapkan muncul:

$$E_i = \frac{\text{total lemparan}}{\text{banyak kategori}} = \frac{600}{6} = 100$$

untuk keenam mata dadu.

Langkah 2 — hitung tiap suku $\dfrac{(O-E)^2}{E}$. Susun dalam tabel agar tiap angka terlihat:

Perhatikan kolom $O-E$: jumlahnya selalu 0 — itulah alasan kita mengkuadratkan dulu sebelum menjumlah.

Langkah 3 — statistik khi-kuadrat. Jumlahkan kolom terakhir:

$$\chi^2 = 0{,}25 + 0{,}25 + 0 + 1{,}00 + 1{,}00 + 0 = 2{,}50$$

Langkah 4 — derajat bebas. Untuk uji kebaikan-suai:

$$df = k - 1$$

dengan $k$ = banyak kategori. Di sini $df = 6 - 1 = 5$. Kita kurangi satu karena begitu lima cacahan ditentukan, yang keenam terpaksa mengikuti (totalnya wajib 600) — jadi hanya lima yang benar-benar “bebas”.

Langkah 5 — nilai-p dan keputusan. Nilai-p adalah peluang melihat $\chi^2 \geq 2{,}50$ kalau dadu memang jujur. Di Excel: =CHISQ.DIST.RT(2,5; 5) memberi $0{,}7765$.

Karena $p = 0{,}7765 > 0{,}05$, kita gagal tolak $H_0$. Selisih yang kita lihat sepenuhnya wajar untuk dadu jujur; tidak ada bukti dadu berat sebelah.

Uji Independensi: Pendidikan vs Pilihan Calon

Jenis kedua memeriksa dua variabel kategori sekaligus, disusun dalam tabel kontingensi (tabel silang cacahan). Kita kembali ke kasus survei pembuka.

Tabel amatan ($O$) — cacahan 1.000 pemilih:

Hipotesis.

• $H_0$: pendidikan dan pilihan calon saling bebas (tidak ada hubungan).
• $H_1$: keduanya berhubungan — pilihan calon bergantung pada pendidikan.

Langkah 1 — total baris, total kolom, total besar. Lengkapi tabel dengan jumlah pinggir:

Langkah 2 — frekuensi harapan tiap sel. Inilah kunci uji independensi. Kalau dua variabel benar-benar bebas, cacahan tiap sel dapat diperkirakan dari total pinggirnya saja:

$$E_{ij} = \frac{\text{Total baris}_i \times \text{Total kolom}_j}{\text{Total besar}}$$

Lambangnya: $E_{ij}$ = frekuensi harapan untuk sel di baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$. Gagasannya: kalau pendidikan tak berpengaruh, proporsi pendukung tiap calon mestinya sama di semua jenjang. Sel SMA–Calon A misalnya:

$$E_{\text{SMA, A}} = \frac{300 \times 400}{1.000} = 120$$

Diulang untuk kesembilan sel, didapat tabel harapan:

(Periksa: tiap total baris dan kolom tabel harapan sama persis dengan tabel amatan — $120+120+60=300$, dan seterusnya.)

Langkah 3 — hitung tiap suku $\dfrac{(O-E)^2}{E}$. Sembilan sel, satu per satu:

$$\chi^2 = 30 + 7{,}5 + 15 + 2{,}5 + 10 + 5 + 13{,}33 + 0{,}83 + 41{,}67 = 125{,}83$$

Langkah 4 — derajat bebas. Untuk tabel kontingensi:

$$df = (r - 1)(c - 1)$$

dengan $r$ = banyak baris, $c$ = banyak kolom. Di sini $df = (3-1)(3-1) = 4$. (Sekali lagi: begitu sebagian sel terisi, sisanya terpaksa mengikuti karena total pinggir sudah tetap.)

Langkah 5 — nilai-p dan keputusan. =CHISQ.DIST.RT(125,83; 4) memberi nilai $\approx 3 \times 10^{-26}$ — praktis nol.

Karena $p \ll 0{,}05$, kita tolak $H_0$. Pendidikan dan pilihan calon tidak saling bebas: ada hubungan nyata di antara keduanya. (Sel S2–Calon C, dengan suku terbesar $41{,}67$, adalah penyumbang terkuat: lulusan S2 jauh lebih banyak memilih Calon C daripada yang diharapkan kalau tak ada hubungan.)

Ukuran Efek: Cramér’s V

Statistik $\chi^2$ punya satu kelemahan penting: nilainya membesar seiring jumlah sampel. Dengan data yang cukup banyak, selisih sekecil apa pun bisa “signifikan secara statistik” padahal lemah secara praktis. Maka nilai-p saja tak cukup — kita perlu ukuran efek yang tak bergantung jumlah sampel. Untuk tabel kontingensi, ukuran bakunya adalah Cramér’s V:

$$V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \cdot \min(r-1,\ c-1)}}$$

Lambangnya: $n$ = total besar (jumlah seluruh amatan); $\min(r-1, c-1)$ = yang lebih kecil antara (baris$-1$) dan (kolom$-1$). Nilai $V$ selalu antara 0 (tak ada hubungan) dan 1 (hubungan sempurna).

Untuk kasus survei: $n = 1.000$, $\min(3-1, 3-1) = 2$, maka

$$V = \sqrt{\frac{125{,}83}{1.000 \times 2}} = \sqrt{0{,}0629} \approx 0{,}25$$

Pegangan kasar penafsiran (untuk $df^\* = \min(r-1,c-1) = 2$): $V \approx 0{,}07$ kecil; $0{,}21$ sedang; $0{,}35$ besar. Jadi $V = 0{,}25$ menunjukkan hubungan sedang — nyata dan layak diperhatikan, tetapi bukan hubungan yang sangat kuat. Inilah gunanya ukuran efek: nilai-p tadi ($3 \times 10^{-26}$) membuat hubungan terdengar luar biasa kuat, padahal $V$ menunjukkan kekuatannya hanya sedang. Yang membuat nilai-p begitu kecil terutama adalah besarnya sampel (1.000 orang), bukan kuatnya hubungan.

Bereksperimen Sendiri

Ubah cacahan tiap sel pada tabel kontingensi dan amati bagaimana frekuensi harapan, statistik $\chi^2$, derajat bebas, dan nilai-p ikut berubah secara langsung.

Asumsi yang Harus Dipenuhi

Uji khi-kuadrat baru sahih kalau tiga syarat ini terpenuhi:

• Amatan saling bebas. Tiap responden (atau tiap lemparan) masuk tepat satu sel, dan satu kali. Mengukur orang yang sama dua kali melanggar syarat ini.
• Data berupa cacahan, bukan persentase atau rata-rata. Masukkan jumlah orang, bukan proporsi.
• Frekuensi harapan $E \geq 5$ di (hampir) semua sel. Ini aturan praktis terpenting. Kalau banyak sel ber-$E$ kecil, sebaran $\chi^2$ jadi taksiran yang buruk dan nilai-p tak bisa dipercaya. Kalau syarat ini gagal, gabungkan kategori yang berdekatan, atau pakai uji eksak Fisher (Fisher’s exact test) untuk tabel kecil.

Rumus di Excel

=CHISQ.TEST(rentang_O; rentang_E)   → nilai-p uji independensi langsung
                                       (Anda hitung dulu tabel E sendiri)
=CHISQ.DIST.RT(chi2; df)            → nilai-p dari statistik dan df
=CHISQ.INV.RT(0,05; df)            → nilai kritis pada α = 0,05
=SUMPRODUCT((O-E)^2/E)             → statistik χ² manual dari dua rentang

Alur manual yang setara dengan hitung-tangan di atas: hitung tabel $E$ tiap sel dengan =total_baris*total_kolom/total_besar, lalu jumlahkan $(O-E)^2/E$ semua sel dengan SUMPRODUCT, tentukan $df=(r-1)(c-1)$, dan ambil nilai-p dengan CHISQ.DIST.RT.

⬇ Unduh 22-chi-square-test.xlsx

Berkas pendamping memuat kedua jenis uji dengan formula hidup: lembar KEBAIKAN_SUAI (kasus dadu) dan INDEPENDENSI (tabel pendidikan vs calon, lengkap dengan tabel harapan terhitung otomatis dan kalkulator Cramér’s V), serta perbandingan hasil manual dengan fungsi bawaan CHISQ.TEST.

Cek Pemahaman

1. Sebuah koin dilempar 100 kali: muncul 60 sisi muka dan 40 sisi belakang. Dengan $H_0$ koin jujur (harapan 50–50), hitung $\chi^2$ dan derajat bebasnya dari nol.

Lihat jawaban

Frekuensi harapan tiap sisi $E = 100/2 = 50$. Hitung tiap suku: sisi muka $(60-50)^2/50 = 100/50 = 2$; sisi belakang $(40-50)^2/50 = 100/50 = 2$. Maka $\chi^2 = 2 + 2 = 4$. Derajat bebas $df = k - 1 = 2 - 1 = 1$. Nilai-p =CHISQ.DIST.RT(4; 1) $= 0{,}0455$ — tepat di bawah $0{,}05$, jadi kita tolak $H_0$: ada sedikit bukti koin tidak jujur.

2. Sebuah toko daring menguji apakah jenis kelamin berhubungan dengan keputusan membeli. Dari 200 pengunjung: pria 30 membeli, 70 tidak; wanita 50 membeli, 50 tidak. Susun tabel kontingensi $2\times2$, hitung frekuensi harapan tiap sel, lalu $\chi^2$ dan $df$. Apakah ada hubungan pada $\alpha = 0{,}05$?

Lihat jawaban

Tabel amatan: pria (30 beli, 70 tidak) total baris 100; wanita (50 beli, 50 tidak) total baris 100. Total kolom: beli $= 80$, tidak $= 120$; total besar $= 200$.

Frekuensi harapan, $E_{ij} = (\text{total baris}\times\text{total kolom})/200$:

• pria–beli $= (100\times80)/200 = 40$; pria–tidak $= (100\times120)/200 = 60$
• wanita–beli $= 40$; wanita–tidak $= 60$

Statistik: $\dfrac{(30-40)^2}{40} + \dfrac{(70-60)^2}{60} + \dfrac{(50-40)^2}{40} + \dfrac{(50-60)^2}{60} = 2{,}5 + 1{,}67 + 2{,}5 + 1{,}67 = 8{,}33$.

Derajat bebas $df = (2-1)(2-1) = 1$. Nilai-p =CHISQ.DIST.RT(8,33; 1) $= 0{,}0039 < 0{,}05$. Tolak $H_0$: ada hubungan antara jenis kelamin dan keputusan membeli — wanita membeli lebih sering daripada yang diharapkan kalau tak ada hubungan.

Kesalahan Umum

Memakai khi-kuadrat untuk data numerik. Uji ini hanya untuk cacahan kategori. Untuk membandingkan rata-rata data numerik, pakai uji-t atau uji-z; untuk lebih dari dua kelompok, ANOVA.

Memasukkan persentase, bukan cacahan. Rumus $(O-E)^2/E$ mengandaikan $O$ dan $E$ berupa jumlah orang/kejadian. Memasukkan proporsi (mis. 0,18 alih-alih 180) membuat hasilnya tak berarti.

Salah hitung derajat bebas. Untuk tabel kontingensi $df = (r-1)(c-1)$, bukan (jumlah sel $-1$). Tabel $3\times3$ punya $df = 4$, bukan 8.

Mengabaikan syarat $E \geq 5$. Kalau banyak sel ber-harapan kecil, nilai-p tak bisa dipercaya. Gabungkan kategori atau pakai uji eksak Fisher.

Menyimpulkan sebab-akibat dari hubungan. Uji khi-kuadrat hanya mendeteksi ada-tidaknya hubungan, bukan arah sebab-akibatnya. Pendidikan berhubungan dengan pilihan calon tidak berarti pendidikan menyebabkan pilihan itu.

Melaporkan nilai-p tanpa ukuran efek. Dengan sampel besar, nilai-p hampir selalu signifikan. Selalu sertakan Cramér’s V agar pembaca tahu hubungannya kuat atau lemah secara praktis.

Dipakai di Dunia Nyata

• Pemasaran. Preferensi produk vs segmen demografi (usia, wilayah, pendapatan) — menentukan target pasar dan menguji apakah kampanye menjangkau segmen yang dituju.
• Politik dan survei. Pola memilih vs wilayah, usia, atau pendidikan — persis kasus pembuka materi ini.
• Penelitian klinis. Hasil pengobatan (sembuh / tidak) vs jenis terapi, untuk menguji apakah satu terapi berbeda nyata dari yang lain pada data biner.
• Kendali mutu. Jenis cacat vs lini produksi — mengidentifikasi lini yang menghasilkan pola kerusakan menyimpang.
• Uji A/B berhasil-gagal. Varian halaman (A vs B) vs hasil (konversi / tidak) — kerangka standar untuk eksperimen berskala besar pada keluaran kategori.

Lanjutan

Uji khi-kuadrat melengkapi kotak alat inferensi untuk data kategori — pelengkap uji-t/uji-z dan ANOVA yang menangani data numerik.

• Butuh menyegarkan kerangka tolak/gagal-tolak lebih dulu? Balik ke Uji Hipotesis.
• Untuk menafsirkan nilai-p yang muncul di sini secara benar (dan menghindari salah-tafsir umum), baca P-value dan Misinterpretasinya.
• Cramér’s V hanyalah salah satu ukuran efek; gambaran lengkapnya ada di Effect Size.