Z-Test dan T-Test

Sebuah pabrik mengisi kotak sereal dengan label “berat bersih 500 gram”. Seorang petugas pengawas curiga isinya kurang, lalu menimbang 30 kotak acak. Rata-ratanya 498,3 gram — sedikit di bawah 500. Pertanyaannya bukan “apakah 498,3 lebih kecil dari 500” (jelas iya), melainkan: apakah selisih sekecil ini cukup besar untuk menuduh pabrik curang, atau cuma kebetulan dari 30 kotak yang kebetulan terpilih?

Itulah pekerjaan uji rata-rata. Anda punya sebuah angka klaim (500 gram), sebuah rata-rata sampel (498,3 gram), dan keraguan apakah selisihnya berarti. Dua alat paling sering dipakai untuk menjawabnya adalah z-test dan t-test. Keduanya menjawab pertanyaan yang sama; bedanya cuma satu hal kecil — tetapi salah memilih membuat kesimpulan jadi keliru.

Intuisi: satu selisih, dibagi kegoyahannya

Sebelum rumus apa pun, pegang gambaran ini. Setiap uji rata-rata mengubah pertanyaan menjadi satu pecahan:

$$\text{statistik uji} = \frac{\text{selisih yang diamati}}{\text{seberapa goyah selisih itu}}$$

• Pembilang = jarak rata-rata sampel dari angka klaim ($\bar{x} - \mu_0$). Sereal: $498{,}3 - 500 = -1{,}7$ gram.
• Penyebut = ukuran “kegoyahan” rata-rata sampel, yaitu galat baku. Sampel kecil atau data yang berserakan membuat rata-rata mudah meleset, sehingga selisih yang sama jadi kurang meyakinkan.

Statistik uji menghitung berapa galat baku jarak itu. Selisih sebesar 3 galat baku itu jauh — sulit terjadi cuma karena kebetulan. Selisih sebesar 0,5 galat baku itu wajar — bisa terjadi setiap hari. Seluruh perbedaan z-test dan t-test terletak pada dari mana kita ambil angka kegoyahan untuk penyebut itu.

Pertanyaan kunci: apakah σ diketahui?

Ada satu sekat yang memisahkan z-test dari t-test:

• z-test dipakai bila simpangan baku populasi ($\sigma$) diketahui — angka pasti, biasanya dari catatan historis yang sangat panjang. Ini langka.
• t-test dipakai bila $\sigma$ tidak diketahui, jadi kita menaksirnya dari simpangan baku sampel ($s$). Ini keadaan yang hampir selalu kita hadapi.

Kenapa ditaksir dengan $s$ membuat segalanya berbeda? Karena $s$ sendiri ikut goyah dari sampel ke sampel. Menambahkan ketidakpastian satu lapis ini membuat sebaran statistik uji sedikit lebih “berekor gemuk” daripada kurva normal — itulah distribusi-t. Dua kurva ini punya bentuk lonceng yang sama, tetapi t sedikit lebih pendek di puncak dan lebih tebal di ekor, terutama saat sampel kecil.

Aturan praktis di lapangan: karena $\sigma$ populasi nyaris tak pernah benar-benar diketahui, pilihan bakunya adalah t-test. z-test sebagian besar muncul di buku teks dan di kasus dengan catatan historis yang sangat mapan. Kabar baiknya: makin besar sampel, distribusi-t makin mirip normal, sehingga untuk $n$ besar hasil z dan t hampir tak terbedakan (kita tunjukkan angkanya nanti).

Statistik z (σ diketahui)

Saat $\sigma$ populasi diketahui, galat baku rata-rata adalah $\sigma/\sqrt{n}$, dan statistik ujinya:

$$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$

Penjelasan tiap lambang:

• $\bar{x}$ (dibaca “x-bar”) = rata-rata sampel. Contoh: dari 50 sekrup, rata-rata diameternya 4,96 mm.
• $\mu_0$ (dibaca “mu-nol”) = nilai klaim yang diuji, dari $H_0$. Contoh: pabrik mengklaim diameter rata-rata 5 mm, jadi $\mu_0 = 5$.
• $\sigma$ (dibaca “sigma”) = simpangan baku populasi yang diketahui. Contoh: dari catatan mesin selama bertahun-tahun, $\sigma = 0{,}15$ mm.
• $n$ = banyak data dalam sampel. Contoh: $n = 50$.
• $\sigma/\sqrt{n}$ = galat baku rata-rata: seberapa jauh rata-rata 50 sekrup biasanya meleset dari rata-rata sebenarnya. Makin besar $n$, makin kecil galat baku — rata-rata sampel besar lebih stabil.

Contoh hitung dari nol: diameter sekrup

Pabrik mengklaim diameter rata-rata sekrup 5 mm, dengan $\sigma = 0{,}15$ mm dari catatan historis. Sebuah sampel 50 sekrup memberi rata-rata 4,96 mm. Masih sesuai spesifikasi?

• $H_0$: $\mu = 5$ (rata-rata sesuai klaim)
• $H_1$: $\mu \neq 5$ (rata-rata menyimpang, dua arah)
• $\alpha = 0{,}05$

Langkah 1 — galat baku:

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}15}{\sqrt{50}} = \frac{0{,}15}{7{,}071} = 0{,}0212 \text{ mm}$$

Langkah 2 — statistik z:

$$z = \frac{4{,}96 - 5}{0{,}0212} = \frac{-0{,}04}{0{,}0212} = -1{,}886$$

Rata-rata sampel berjarak 1,886 galat baku di bawah klaim. Apakah itu cukup jauh?

Langkah 3 — bandingkan dengan nilai kritis. Untuk uji dua arah dengan $\alpha = 0{,}05$, nilai kritisnya $\pm 1{,}960$. Statistik kita ($-1{,}886$) belum melewati $-1{,}960$, jadi belum masuk daerah penolakan.

Langkah 4 — nilai-p (cara setara, lebih informatif). Nilai-p = peluang melihat selisih sejauh ini (ke dua arah) bila $H_0$ benar:

$$p = 2 \times P(Z < -1{,}886) = 0{,}0593$$

Di Excel: =2*NORM.S.DIST(-1,886; TRUE) memberi 0,0593.

Langkah 5 — keputusan. Karena $p = 0{,}0593 > 0{,}05$, kita gagal tolak $H_0$. Secara statistik, diameter masih sesuai spesifikasi: selisih 0,04 mm bisa muncul wajar dari 50 sekrup. (Perhatikan: nilai-p $> 0{,}05$ dan statistik di dalam batas kritis selalu memberi keputusan yang sama — keduanya dua sisi mata uang yang sama.)

Statistik t satu sampel (σ tidak diketahui)

Inilah keadaan biasa: kita tidak punya $\sigma$ populasi, jadi kita pakai simpangan baku sampel $s$ sebagai taksiran. Rumusnya kembar dengan z, hanya $\sigma$ diganti $s$:

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

Karena kita menaksir simpangan baku dari data, statistik ini dibandingkan dengan distribusi-t, bukan normal. Distribusi-t butuh satu angka tambahan: derajat bebas.

$$df = n - 1$$

• $s$ = simpangan baku sampel (dihitung dari data, lihat Variabilitas). Menggantikan $\sigma$ yang tak kita ketahui.
• $s/\sqrt{n}$ = galat baku versi taksiran.
• $df$ (degrees of freedom, derajat bebas) = $n - 1$. Maknanya: saat menghitung $s$, kita sudah memakai $\bar{x}$ dari data yang sama, sehingga satu informasi “terpakai” — tinggal $n-1$ nilai yang bebas. Derajat bebas kecil membuat ekor distribusi-t lebih gemuk (lebih hati-hati); derajat bebas besar membuatnya mendekati normal.

Contoh hitung dari nol: sereal yang dicurigai kurang

Kembali ke cerita pembuka. Pabrik mengklaim 500 gram. Sampel 30 kotak memberi $\bar{x} = 498{,}3$ gram dan $s = 8{,}5$ gram. Karena $\sigma$ populasi tidak diketahui (kita hanya punya $s$ dari sampel), ini t-test.

• $H_0$: $\mu = 500$  ·  $H_1$: $\mu \neq 500$  ·  $\alpha = 0{,}05$
• $df = n - 1 = 30 - 1 = 29$

Langkah 1 — galat baku:

$$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{8{,}5}{\sqrt{30}} = \frac{8{,}5}{5{,}477} = 1{,}552 \text{ gram}$$

Langkah 2 — statistik t:

$$t = \frac{498{,}3 - 500}{1{,}552} = \frac{-1{,}7}{1{,}552} = -1{,}095$$

Langkah 3 — nilai kritis. Untuk $df = 29$, uji dua arah, $\alpha = 0{,}05$, nilai kritisnya $\pm 2{,}045$ — sedikit lebih lebar dari $\pm 1{,}960$ milik z, persis karena ekor-t lebih gemuk. Statistik kita ($-1{,}095$) jauh di dalam batas.

Langkah 4 — nilai-p:

$$p = 2 \times P(T_{29} < -1{,}095) = 0{,}283$$

Di Excel: =T.DIST.2T(ABS(-1,095); 29) memberi 0,283.

Langkah 5 — keputusan. $p = 0{,}283 \gg 0{,}05$ → gagal tolak $H_0$. Tidak ada cukup bukti pabrik curang. Selisih 1,7 gram, dengan data yang berserakan sampai $s = 8{,}5$ gram, sama sekali tidak meyakinkan.

Kapan t bertemu z: efek ukuran sampel

Nilai kritis menunjukkan dengan jelas mengapa untuk $n$ besar t dan z menyatu. Untuk uji dua-arah $\alpha = 0{,}05$:

Saat sampel kecil ($df = 5$), t menuntut bukti jauh lebih kuat (2,571) daripada z (1,960) — hukuman karena $s$ masih sangat goyah. Saat sampel besar ($df = 1.000$), keduanya nyaris berimpit. Inilah dasar aturan praktis “untuk $n$ besar, t mendekati z” — tetapi karena hampir tak ada biaya memakai t, jadikan t pilihan baku kapan pun $\sigma$ tidak benar-benar diketahui.

T-Test Dua Sampel Independen

Sampai di sini kita membandingkan satu kelompok dengan satu angka klaim. Sering kita justru membandingkan dua kelompok yang tidak saling terkait — kelas dengan metode lama vs metode baru, mesin A vs mesin B, kelompok perlakuan vs kontrol. Pertanyaannya: apakah dua rata-rata cukup berbeda untuk disebut nyata?

Intuisi pecahannya tak berubah; pembilangnya sekarang selisih dua rata-rata, dan penyebutnya galat baku selisih itu:

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}}, \quad df = n_1 + n_2 - 2$$

• $\bar{x}_1, \bar{x}_2$ = rata-rata kelompok 1 dan 2.
• $n_1, n_2$ = ukuran tiap kelompok.
• $s_p$ = simpangan baku gabungan (pooled): satu taksiran simpangan baku bersama, dirata-rata dari kedua kelompok dengan bobot derajat bebasnya:

$$s_p = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)\,s_1^2 + (n_2 - 1)\,s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}$$

di mana $s_1^2$ dan $s_2^2$ adalah varians tiap kelompok. Gabungan dipakai karena, bila kedua kelompok memang punya sebaran serupa, menyatukan informasinya memberi taksiran galat baku yang lebih stabil. Derajat bebasnya $df = n_1 + n_2 - 2$: dua rata-rata dipakai, jadi dua informasi terpakai.

Contoh hitung dari nol: metode mengajar lama vs baru

Dua kelas kecil, masing-masing 5 mahasiswa, diuji setelah memakai metode berbeda. Nilai ujian:

• Kelas Lama: 72, 75, 78, 81, 84
• Kelas Baru: 80, 83, 86, 89, 92

Apakah metode baru benar-benar lebih unggul, atau selisihnya kebetulan?

• $H_0$: $\mu_1 = \mu_2$ (rata-rata sama)  ·  $H_1$: $\mu_1 \neq \mu_2$  ·  $\alpha = 0{,}05$

Langkah 1 — rata-rata tiap kelompok.

$$\bar{x}_1 = \frac{72+75+78+81+84}{5} = 78, \qquad \bar{x}_2 = \frac{80+83+86+89+92}{5} = 86$$

Langkah 2 — varians tiap kelompok (pembagi $n-1$, lihat Variabilitas). Kebetulan kedua kelompok punya pola simpangan yang sama:

Untuk masing-masing kelompok, jumlah kuadrat simpangan = 90, sehingga:

$$s_1^2 = s_2^2 = \frac{90}{5 - 1} = \frac{90}{4} = 22{,}5$$

Langkah 3 — simpangan baku gabungan. Karena $s_1^2 = s_2^2 = 22{,}5$, gabungannya juga 22,5:

$$s_p = \sqrt{\frac{(5-1)\,22{,}5 + (5-1)\,22{,}5}{5 + 5 - 2}} = \sqrt{\frac{90 + 90}{8}} = \sqrt{22{,}5} = 4{,}74$$

Langkah 4 — galat baku selisih:

$$s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} = 4{,}74 \times \sqrt{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}} = 4{,}74 \times 0{,}632 = 3{,}0$$

Langkah 5 — statistik t:

$$t = \frac{78 - 86}{3{,}0} = \frac{-8}{3{,}0} = -2{,}667, \qquad df = 5 + 5 - 2 = 8$$

Langkah 6 — nilai kritis & nilai-p. Untuk $df = 8$, uji dua arah, $\alpha = 0{,}05$: nilai kritis $\pm 2{,}306$. Statistik kita ($-2{,}667$) melewati $-2{,}306$ → masuk daerah penolakan. Nilai-p:

$$p = 2 \times P(T_8 < -2{,}667) = 0{,}029$$

Di Excel: =T.DIST.2T(ABS(-2,667); 8) memberi 0,029.

Langkah 7 — keputusan. $p = 0{,}029 < 0{,}05$ → tolak $H_0$. Selisih rata-rata 8 poin cukup besar relatif terhadap sebaran data; metode baru memang berbeda secara statistik. (Catatan: dengan 5 mahasiswa per kelas, ini hanya ilustrasi cara hitung — penelitian sungguhan butuh sampel jauh lebih besar.)

Coba sendiri: geser dua sampel

Geser rata-rata dan simpangan baku tiap kelompok, lalu amati bagaimana statistik t dan nilai-p berubah seketika. Perhatikan tiga hal: menjauhkan dua rata-rata membesarkan t; membesarkan simpangan baku (data lebih berserakan) mengecilkan t; menambah ukuran sampel mempertajam keputusan.

Sekilas: varian lain yang akan Anda temui

Dua varian di bawah memakai logika yang sama; di sini cukup dikenali kapan dipakai.

• t-test berpasangan (paired) — saat dua angka datang dari subjek yang sama (misalnya kecepatan lari tiap orang sebelum vs sesudah latihan). Triknya: hitung selisih tiap pasang $d_i = x_{1i} - x_{2i}$ lebih dulu, lalu jalankan t satu sampel pada selisih itu terhadap nol. Misal rata-rata penurunan waktu lari 0,39 detik dengan $s_d = 0{,}17$ pada 10 orang memberi $t = 0{,}39 / (0{,}17/\sqrt{10}) = 7{,}13$ ($df = 9$, $p \approx 0{,}00005$) — pengurangan yang sangat meyakinkan. Memasangkan data membuang variasi antar-orang sehingga jauh lebih peka.
• t-test Welch — versi dua sampel yang tidak mengasumsikan varians kedua kelompok sama; alih-alih satu $s_p$, ia memakai $\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}$ langsung dengan derajat bebas yang disesuaikan. Banyak praktisi menjadikannya pilihan baku karena aman: bila varians ternyata sama (seperti contoh kelas di atas), hasilnya nyaris identik dengan versi gabungan; bila berbeda, ia tetap benar. Excel: =T.TEST(rentang1; rentang2; 2; 3).

Rumus di Excel

z-test satu sampel (σ diketahui):
  galat baku: =σ/SQRT(n)
  z-stat:     =(AVERAGE(rentang)-μ₀)/(σ/SQRT(COUNT(rentang)))
  nilai-p 2 arah: =2*NORM.S.DIST(-ABS(z); TRUE)

t-test satu sampel (σ tidak diketahui):
  t-stat: =(AVERAGE(rentang)-μ₀)/(STDEV.S(rentang)/SQRT(COUNT(rentang)))
  df:     =COUNT(rentang)-1
  nilai-p 2 arah: =T.DIST.2T(ABS(t-stat); df)

t-test dua sampel independen (varians sama / gabungan):
  =T.TEST(rentang1; rentang2; 2; 2)     → nilai-p langsung

t-test dua sampel (Welch, varians beda):
  =T.TEST(rentang1; rentang2; 2; 3)

t-test berpasangan:
  =T.TEST(rentang_sebelum; rentang_sesudah; 2; 1)

Nilai kritis (pembanding statistik uji):
  t*: =T.INV.2T(0,05; df)      z*: =NORM.S.INV(0,975)

⬇ Unduh 21-z-test-dan-t-test.xlsx

Berkas pendamping memuat keempat kasus (z satu sampel, t satu sampel, t dua sampel, berpasangan) dengan formula hidup dari data mentah — galat baku, statistik uji, derajat bebas, dan nilai-p semuanya terhitung dari sel data, sehingga ubah datanya dan semua hasil ikut bergerak.

Cek Pemahaman

1. Sebuah sampel 16 baterai memberi rata-rata daya tahan $\bar{x} = 41$ jam dengan simpangan baku sampel $s = 4$ jam. Pabrik mengklaim rata-rata 40 jam. Hitung statistik uji yang tepat dari nol, sebutkan derajat bebasnya, dan jelaskan kenapa Anda memilih t bukan z.

Lihat jawaban

Pilih t karena yang kita punya simpangan baku sampel ($s$), bukan $\sigma$ populasi yang diketahui. Galat baku: $s/\sqrt{n} = 4/\sqrt{16} = 4/4 = 1$ jam. Statistik: $t = (41 - 40)/1 = 1{,}0$. Derajat bebas: $df = n - 1 = 16 - 1 = 15$. (Untuk $df = 15$, nilai kritis dua-arah $\pm 2{,}131$; karena $1{,}0$ jauh di dalam batas, kita gagal tolak $H_0$ — daya tahan tak terbukti berbeda dari 40 jam.)

2. (transfer) Sebuah laboratorium memiliki catatan 20 tahun sebuah alat ukur dan tahu pasti simpangan baku galat alat itu $\sigma = 0{,}5$ satuan, sangat stabil. Dari 64 pengukuran baru hari ini, rata-ratanya 100,2; nilai acuan 100,0. Uji manakah yang tepat, dan apa statistik ujinya?

Lihat jawaban

Karena $\sigma$ benar-benar diketahui (catatan 20 tahun yang stabil), inilah salah satu kasus langka yang membolehkan z-test. Galat baku: $\sigma/\sqrt{n} = 0{,}5/\sqrt{64} = 0{,}5/8 = 0{,}0625$. Statistik: $z = (100{,}2 - 100{,}0)/0{,}0625 = 3{,}2$ — jauh melewati nilai kritis $\pm 1{,}960$, jadi tolak $H_0$: pengukuran hari ini berbeda nyata dari acuan. Kuncinya bukan ukuran sampel, melainkan apakah $\sigma$ sungguh diketahui.

3. (transfer) Seorang peneliti membandingkan tinggi 12 tanaman yang dipupuk vs 12 tanaman kontrol, dan memakai t dua sampel independen dengan $df = 22$. Rekannya menghitung selisih tinggi tiap pasangan tanaman kembar lalu menjalankan uji berpasangan. Tanpa angka, varian mana yang umumnya menghasilkan nilai-p lebih kecil untuk efek yang sama, dan kenapa?

Lihat jawaban

Bila tanaman memang berpasangan secara alami (kembar), uji berpasangan umumnya lebih peka (nilai-p lebih kecil) karena ia membuang variasi antar-individu — yang dibandingkan hanya selisih dalam tiap pasang, bukan dua kelompok yang masing-masing punya sebaran sendiri. Uji independen “membuang” informasi pasangan itu sehingga galat bakunya lebih besar dan keputusannya lebih konservatif. Syaratnya: pasangan harus benar-benar ada by design; memaksakan uji berpasangan pada data yang tidak berpasangan adalah kesalahan.

Kesalahan Umum

Memakai z padahal σ hanya ditaksir. Bila simpangan baku Anda dihitung dari data sampel itu sendiri (rumus $s$), itu taksiran, bukan $\sigma$ yang diketahui — pakai t. Memakai z di sini meremehkan ketidakpastian, membuat nilai-p terlalu kecil dan kesimpulan terlalu berani, terutama pada sampel kecil.

Salah derajat bebas pada dua sampel. Untuk t dua sampel gabungan, $df = n_1 + n_2 - 2$, bukan $n - 1$. Salah $df$ menggeser nilai kritis dan nilai-p.

Lupa galat baku, langsung pakai $s$. Penyebut statistik uji adalah galat baku ($s/\sqrt{n}$), bukan $s$ telanjang. Melewatkan pembagian $\sqrt{n}$ membuat statistik uji jauh terlalu kecil dan hampir selalu gagal menolak $H_0$.

Menyamakan dua sampel independen dengan berpasangan. Bila tiap angka di kelompok 1 berpasangan alami dengan satu angka di kelompok 2 (sebelum–sesudah orang yang sama), itu berpasangan. Memakai uji independen membuang kepekaan dan berisiko gagal mendeteksi efek yang nyata.

Membaca “gagal tolak” sebagai “terbukti sama”. Gagal tolak $H_0$ berarti bukti tidak cukup, bukan bahwa rata-rata pasti sama. Pada kasus sereal, kita tidak membuktikan isinya tepat 500 gram — kita hanya gagal membuktikan ia berbeda.

Dipakai di Dunia Nyata

• Uji A/B produk digital. Membandingkan rata-rata waktu kunjung atau nilai keranjang antara dua tampilan tombol: t dua sampel (sering Welch), dengan sampel ribuan pengguna.
• Uji klinis. Obat vs plasebo memakai t dua sampel; desain sebelum–sesudah pada pasien yang sama memakai t berpasangan.
• Riset pendidikan. Nilai prates vs pascates setelah sebuah intervensi: t berpasangan. Kelas perlakuan vs kelas kontrol: t dua sampel independen.
• Kendali mutu pabrik. Dimensi produk dibandingkan dengan target spesifikasi: t satu sampel; bila simpangan baku mesin terdokumentasi sangat stabil dari catatan panjang, sesekali z satu sampel.

Lanjutan

z-test dan t-test menjawab perbandingan satu atau dua rata-rata. Begitu kelompok bertambah, alatnya berganti agar tidak menumpuk kesalahan dari banyak uji sekaligus:

• Untuk membandingkan tiga kelompok atau lebih, lanjut ke ANOVA — generalisasi t-test yang menjaga tingkat kesalahan tetap terkendali.
• Untuk memperdalam apa arti angka 0,05 dan jebakan menafsirkannya, baca P-value dan Misinterpretasinya.

Bila fondasinya masih goyah:

• Kembali ke kerangka lima langkah di Uji Hipotesis.
• Segarkan ingatan tentang simpangan baku ($s$) dan varians di Variabilitas — bahan utama penyebut tiap statistik uji di sini.