Distribusi Poisson

Anda mengelola sebuah kedai kopi. Dari catatan tiga bulan terakhir, rata-rata ada 24 pelanggan per hari. Besok pagi Anda mau menyiapkan stok dan jadwal barista, jadi muncul pertanyaan: berapa kemungkinan besok justru kebanjiran sampai 30 pelanggan? Atau, mimpi buruknya, tidak ada satu pun yang datang?

Rata-rata 24 tidak menjawab itu. Rata-rata hanya bilang “biasanya segitu” — ia tidak memberi tahu seberapa sering kenyataan menyimpang jauh dari biasanya. Yang Anda butuhkan adalah cara memberi angka peluang pada setiap kemungkinan jumlah pelanggan: peluang tepat 24, peluang 30, peluang 0, dan seterusnya.

Untuk situasi seperti ini — menghitung berapa kali sesuatu terjadi dalam satu periode tetap, padahal tiap kejadiannya jarang dan datang acak — ada satu alat yang pas: distribusi Poisson.

Kapan Memakai Poisson

Poisson menjawab satu jenis pertanyaan: “Berapa kali kejadian X muncul dalam satu interval tetap?” Intervalnya bisa waktu (per jam, per hari), bisa ruang (per meter persegi, per halaman), bisa apa saja — asalkan tetap.

Ciri khas situasinya:

• Kita menghitung kejadian, bukan mengukur. Hasilnya bilangan cacah: 0, 1, 2, 3, … Tidak ada “2,5 pelanggan”.
• Kejadiannya jarang dan acak. Tidak ada jadwal pasti; pelanggan bisa datang kapan saja.
• Ada satu angka rata-rata yang stabil. Misalnya 24 pelanggan/hari, atau 3 kerusakan/kilometer kabel.

Contoh nyata yang semuanya cocok:

• Pelanggan masuk toko per jam — untuk merencanakan jumlah kasir.
• Panggilan masuk call center per menit — untuk mengatur jumlah operator.
• Cacat produksi per 100 unit — untuk kendali mutu.
• Klaim asuransi per polis per tahun — untuk menetapkan premi.

Tiga syarat teknisnya, dengan bahasa polos:

1. Kejadian saling bebas — satu pelanggan datang tidak memaksa pelanggan lain ikut datang.
2. Rata-rata kejadian tetap sepanjang interval yang ditinjau.
3. Dua kejadian tidak terjadi tepat bersamaan (penyederhanaan matematis; pada potongan waktu yang cukup kecil, paling banyak satu kejadian).

Intuisi: Satu Angka Mengatur Segalanya

Hal yang membuat Poisson begitu praktis: seluruh distribusi ini dikendalikan oleh satu angka saja, yaitu rata-rata kejadian per interval. Angka itu dilambangkan $\lambda$ (huruf Yunani, dibaca “lambda”). Sebut saja $\lambda$ sebagai “laju” atau “rata-rata kejadian”.

Kalau Anda tahu $\lambda$, Anda tahu peluang untuk setiap kemungkinan jumlah. Tidak perlu informasi lain. Misalnya untuk laju $\lambda = 3$ kejadian per interval, sebaran peluangnya terlihat seperti ini:

Perhatikan dua hal pada gambar. Pertama, distribusi ini tidak simetris — ekornya panjang ke kanan, karena jumlah kejadian tidak punya batas atas (bisa saja, walau kecil peluangnya, terjadi 8 atau 10 kali) tetapi tidak bisa kurang dari 0. Kedua, puncaknya ada di sekitar nilai $\lambda$ itu sendiri — masuk akal, karena $\lambda$ adalah rata-ratanya.

Rumus Peluang Poisson

Inilah jantung materi ini. Peluang melihat tepat $k$ kejadian saat laju rata-ratanya $\lambda$:

$$P(X = k) = \frac{\lambda^k \, e^{-\lambda}}{k!}$$

Kelihatan padat, tetapi tiap bagiannya punya tugas yang jelas. Mari bedah satu per satu.

• $X$ = banyak kejadian yang benar-benar terjadi (acak, belum kita ketahui sebelum diamati). Menulis $X \sim \text{Pois}(\lambda)$ artinya “$X$ mengikuti distribusi Poisson dengan laju $\lambda$”.
• $k$ = angka spesifik yang peluangnya kita tanyakan. Misal kita tanya “peluang tepat 30 pelanggan”, maka $k = 30$. Nilai $k$ boleh $0, 1, 2, \ldots$ tanpa batas atas.
• $\lambda$ (lambda) = rata-rata kejatuhan per interval. Pada kedai kopi, $\lambda = 24$. Inilah satu-satunya bilangan yang harus Anda ketahui untuk memakai rumus.
• $\lambda^k$ = laju dipangkatkan $k$. Misal $\lambda = 2$ dan $k = 3$, maka $\lambda^k = 2^3 = 8$.
• $e^{-\lambda}$ = bilangan $e$ (≈ 2,71828, konstanta matematika seperti $\pi$) dipangkatkan $-\lambda$. Bagian ini menyusut cepat saat $\lambda$ membesar; tugasnya membuat seluruh peluang berjumlah tepat 1. Misal $\lambda = 2$, maka $e^{-2} \approx 0{,}1353$.
• $k!$ (dibaca “$k$ faktorial”) = perkalian semua bilangan bulat dari 1 sampai $k$. Contoh: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$, dan $0! = 1$ (kesepakatan baku). Bagian ini ada di penyebut, jadi makin besar $k$ makin kecil peluangnya — itulah yang membuat ekor kanan menurun.

Jadi membaca rumusnya secara utuh: peluang tepat $k$ kejadian = (laju pangkat $k$) dikali (peluruhan $e^{-\lambda}$) dibagi ($k$ faktorial).

Mean dan varians: dua-duanya sama dengan λ

Poisson punya satu sifat yang sangat khas dan berguna:

$$\mu = \lambda \qquad \text{dan} \qquad \sigma^2 = \lambda$$

Di sini $\mu$ (mu) adalah mean (rata-rata jumlah kejadian) dan $\sigma^2$ (sigma kuadrat) adalah varians (ukuran sebaran — lihat Variabilitas dan sebaran). Pada Poisson, keduanya sama persis dengan $\lambda$. Maka standar deviasinya:

$$\sigma = \sqrt{\lambda}$$

Untuk kedai kopi dengan $\lambda = 24$: rata-ratanya 24 pelanggan, variansnya juga 24, dan standar deviasinya $\sqrt{24} \approx 4{,}9$ pelanggan — artinya jumlah harian biasanya menyimpang sekitar 5 pelanggan dari rata-rata 24.

Sifat mean = varians ini juga jadi alat diagnosis. Kalau pada data nyata Anda variansnya jauh lebih besar dari rata-ratanya, datanya kemungkinan bukan Poisson murni (gejala ini disebut overdispersion, sebaran berlebih) — pertanda perlu model lain.

Contoh Hitung dari Nol

Mari pakai angka kecil supaya tiap langkah bisa dihitung tangan. Sebuah call center kecil menerima rata-rata 2 panggilan per menit. Jadi $\lambda = 2$. Kita mau menyusun tabel peluang lengkap untuk $k = 0$ sampai $k = 5$.

Langkah 0 — siapkan bahan tetap. Satu bagian rumus tidak berubah-ubah: $e^{-\lambda} = e^{-2} \approx 0{,}1353$. Angka ini kita pakai ulang di tiap baris.

Langkah 1 — hitung peluang nol panggilan ($k = 0$). Masukkan ke rumus:

$$P(X = 0) = \frac{2^0 \, e^{-2}}{0!} = \frac{1 \times 0{,}1353}{1} = 0{,}1353$$

(Ingat $2^0 = 1$ dan $0! = 1$.) Jadi peluang satu menit tanpa panggilan sama sekali ≈ 13,5%.

Langkah 2 — hitung peluang satu panggilan ($k = 1$).

$$P(X = 1) = \frac{2^1 \, e^{-2}}{1!} = \frac{2 \times 0{,}1353}{1} = 0{,}2707$$

Langkah 3 — lanjutkan untuk $k = 2, 3, 4, 5$ dengan pola yang sama. Hasil lengkapnya kita rangkum di tabel; kolom $\lambda^k$ dan $k!$ sengaja ditampilkan agar terlihat dari mana angkanya:

Beberapa pengamatan langsung dari tabel:

• Peluang terbesar ada di $k = 1$ dan $k = 2$, persis di sekitar $\lambda = 2$. Wajar — itu rata-ratanya.
• Peluang $k = 1$ dan $k = 2$ sama persis (0,2707). Ini kebetulan yang hanya muncul saat $\lambda$ bilangan bulat: $P(k=\lambda)$ dan $P(k=\lambda-1)$ selalu kembar.
• Jumlah peluang $k = 0$ sampai $5$ sudah $0{,}1353 + 0{,}2707 + 0{,}2707 + 0{,}1804 + 0{,}0902 + 0{,}0361 = 0{,}9834$ — sekitar 98,3%. Sisa 1,7% tersebar di $k \geq 6$ (ekor kanan).

Pertanyaan turunan — peluang menit yang sibuk. Berapa peluang dalam satu menit masuk 3 panggilan atau lebih (tanda menit padat)? Lebih mudah lewat pelengkap:

$$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - (0{,}1353 + 0{,}2707 + 0{,}2707) = 1 - 0{,}6767 = 0{,}3233$$

Jadi sekitar 32,3% menit adalah menit padat. Di Excel cukup =1 - POISSON.DIST(2; 2; TRUE).

Kembali ke Kedai Kopi

Sekarang kita jawab pertanyaan pembuka dengan $\lambda = 24$. Angka pangkatnya terlalu besar untuk tangan, jadi kita pakai Excel — tetapi rumus dan logikanya identik dengan tabel di atas.

Peluang tepat 30 pelanggan:

$$P(X = 30) = \frac{24^{30} \, e^{-24}}{30!} \approx 0{,}0363$$

Sekitar 3,6%. Di Excel: =POISSON.DIST(30; 24; FALSE).

Peluang nol pelanggan:

$$P(X = 0) = \frac{24^0 \, e^{-24}}{0!} = e^{-24} \approx 3{,}8 \times 10^{-11}$$

Praktis nol — kedai pasti kedatangan orang. Angka mungil ini datang langsung dari faktor $e^{-\lambda}$ yang menyusut tajam saat $\lambda$ besar.

Peluang ramai (30 pelanggan atau lebih):

$$P(X \geq 30) = 1 - P(X \leq 29) \approx 0{,}1321$$

Sekitar 13,2%. Di Excel: =1 - POISSON.DIST(29; 24; TRUE). Artinya kira-kira satu dari tujuh hari adalah hari ramai — informasi konkret untuk menyiapkan stok dan barista tambahan, yang tidak bisa diberikan oleh angka rata-rata 24 saja.

Bereksperimen Sendiri

Geser laju $\lambda$ dan amati bagaimana bentuk sebaran bergeser: makin besar $\lambda$, puncaknya bergerak ke kanan dan distribusinya makin menyerupai lonceng simetris.

Hubungan dengan Binomial

Dari mana sebenarnya distribusi Poisson berasal? Ia lahir dari binomial saat percobaannya sangat banyak tetapi peluang suksesnya sangat kecil.

Bayangkan satu menit di call center dipotong jadi 1.000 selang waktu sangat pendek. Pada tiap selang, paling banyak satu panggilan masuk, dengan peluang sukses $p$ yang amat kecil. Itu persis kerangka binomial dengan $n$ besar dan $p$ kecil. Saat $n \to \infty$ dan $p \to 0$ dengan hasil kali $\lambda = np$ dijaga tetap, rumus binomial berubah persis menjadi rumus Poisson:

$$\text{Binom}(n, p) \;\xrightarrow[\;p \to 0\;]{\;n \to \infty\;}\; \text{Pois}(\lambda), \qquad \lambda = np$$

Konvergensi ini bukan sekadar teori — ia tampak pada angka. Berikut $P(X=1)$ untuk binomial dengan $np$ dijaga tetap di 2, dibanding Poisson($\lambda = 2$):

Makin besar $n$ (sambil $p$ mengecil agar $np$ tetap 2), peluang binomial makin merapat ke peluang Poisson. Pada $n = 100$ saja keduanya sudah sama sampai empat angka di belakang koma.

Untuk apa ini berguna? Saat $n$ sangat besar, menghitung binomial (yang memuat $\binom{n}{k}$ dengan faktorial raksasa) jadi merepotkan. Poisson memberi jawaban yang nyaris identik dengan satu parameter saja. Aturan praktis: kalau $n \geq 50$, $p$ kecil, dan $np < 10$, pakai Poisson dengan $\lambda = np$ sebagai pendekatan binomial.

Contoh. Sebuah pabrik mengirim 1.000 komponen; tiap komponen punya peluang cacat 0,5% ($p = 0{,}005$). Maka $\lambda = np = 1000 \times 0{,}005 = 5$. Peluang tepat 5 komponen cacat ≈ $P(X=5) = 0{,}1755$ lewat Poisson, sementara binomial penuh memberi 0,1759 — selisihnya tak sampai 0,0005, padahal Poisson jauh lebih ringkas.

Pendekatan Normal untuk λ Besar

Saat $\lambda$ membesar (aturan praktis: $\lambda \geq 30$), bentuk Poisson yang tadinya menceng makin simetris dan menyerupai lonceng. Pada titik itu Poisson bisa didekati dengan distribusi normal yang mean dan variansnya sama-sama $\lambda$:

$$\text{Pois}(\lambda) \approx \mathcal{N}(\lambda,\ \lambda) \qquad (\lambda \geq 30)$$

Gunanya: untuk menghitung peluang rentang (misal “antara 100 dan 150 panggilan”) tanpa harus menjumlahkan puluhan suku Poisson satu per satu — cukup pakai skor-z normal.

Cek Pemahaman

1. Sebuah halaman buku memuat rata-rata 4 salah ketik ($\lambda = 4$). Berapa peluang sebuah halaman memuat tepat 2 salah ketik? Hitung dari rumus.

Lihat jawaban

Pakai $P(X=k) = \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ dengan $\lambda = 4$, $k = 2$. Bahan: $\lambda^k = 4^2 = 16$; $k! = 2! = 2$; $e^{-4} \approx 0{,}0183$.

$$P(X = 2) = \frac{16 \times 0{,}0183}{2} = 0{,}1465$$

Jadi sekitar 14,7%. Di Excel: =POISSON.DIST(2; 4; FALSE).

2. (Transfer) Di sebuah persimpangan, rata-rata terjadi 1,5 kecelakaan per minggu ($\lambda = 1{,}5$). (a) Berapa peluang satu minggu tanpa kecelakaan? (b) Kalau Anda menengok rentang dua minggu, berapa peluang tanpa kecelakaan? (Petunjuk: laju ikut menyesuaikan panjang interval.)

Lihat jawaban

(a) Tanpa kecelakaan berarti $k = 0$ dengan $\lambda = 1{,}5$:

$$P(X = 0) = \frac{1{,}5^0\, e^{-1{,}5}}{0!} = e^{-1{,}5} \approx 0{,}2231$$

Sekitar 22,3%.

(b) Kunci soal transfer: laju sebanding dengan panjang interval. Untuk dua minggu, $\lambda$ menjadi $1{,}5 \times 2 = 3$. Maka:

$$P(X = 0) = e^{-3} \approx 0{,}0498$$

Sekitar 5,0% — jauh lebih kecil, masuk akal karena rentang waktunya dua kali lipat sehingga “selamat tanpa kecelakaan” lebih sulit.

Kesalahan Umum

Memakai Poisson untuk kejadian yang tidak saling bebas. Kalau kedatangan dipicu satu pemicu bersama — misal lonjakan pelanggan akibat promo serentak — kejadiannya tidak lagi independen, dan Poisson akan keliru.

Menganggap $\lambda$ tetap padahal berubah. Laju kedatangan biasanya bergerak: jam sibuk vs sepi, hari kerja vs akhir pekan. Memaksa satu $\lambda$ untuk seluruh hari akan menyesatkan; pakai laju per segmen waktu (Poisson tak-homogen).

Menganggap mean = varians tanpa mengecek. Ini ciri pembeda Poisson. Kalau pada data nyata varians jauh melebihi rata-rata (sebaran berlebih / overdispersion), datanya bukan Poisson — pertimbangkan model lain seperti binomial negatif.

Memakai Poisson saat sebenarnya binomial dengan $n$ kecil. Pendekatan Poisson baru bagus untuk $n$ besar dan $p$ kecil. Kalau $n$ kecil (mis. $n < 50$), hitung langsung dengan binomial — pendekatannya tidak menghemat apa pun dan justru menambah galat.

Lupa menyesuaikan $\lambda$ saat interval berubah. Laju Poisson melekat pada panjang interval. Kalau $\lambda = 1{,}5$ per minggu lalu Anda menghitung untuk dua minggu, $\lambda$ harus dijadikan 3 — bukan tetap 1,5.

Dipakai di Dunia Nyata

• Perencanaan layanan (antrean). Bank, toko, dan restoran memodelkan kedatangan pelanggan sebagai Poisson untuk menentukan jumlah kasir/teller agar antrean tidak menumpuk. Ini fondasi teori antrean.
• Kapasitas call center. Panggilan masuk per menit dimodelkan Poisson untuk menjadwalkan operator — terlalu sedikit menimbulkan antrean panjang, terlalu banyak memboroskan biaya.
• Kendali mutu manufaktur. Jumlah cacat per unit atau per batch mengikuti Poisson; pabrik memantau apakah laju cacat naik melewati ambang.
• Penetapan premi asuransi. Jumlah klaim per polis per tahun sering Poisson; aktuaris memakainya untuk menghargai risiko dan menetapkan premi.
• Analitik olahraga. Jumlah gol per pertandingan sepak bola kerap dimodelkan Poisson — dasar banyak model prediksi skor.

Rumus di Excel

=POISSON.DIST(k; lambda; FALSE)   → P(X = k)        peluang tepat k
=POISSON.DIST(k; lambda; TRUE)    → P(X ≤ k)        peluang kumulatif
=1 - POISSON.DIST(k; lambda; TRUE) → P(X > k) = P(X ≥ k+1)
=EXP(-lambda)                     → e^(-lambda), faktor pada rumus

Catatan: Excel tidak menyediakan fungsi kebalikan POISSON.INV. Untuk mencari $k$ dari peluang kumulatif tertentu, pakai tabel atau penelusuran bertahap.

⬇ Unduh 18-distribusi-poisson.xlsx

Berkas pendamping menampilkan tabel PMF dengan formula hidup (kolom $\lambda^k$, $k!$, dan $P(X=k)$ dihitung dari data mentah), contoh kasus kedai kopi, perbandingan dengan binomial, dan contoh perencanaan jumlah operator.

Lanjutan

Poisson adalah salah satu distribusi diskret terpenting setelah binomial. Langkah berikutnya:

• Kembali ke Distribusi binomial — induk dari Poisson; pahami betul agar tahu kapan beralih ke pendekatan Poisson.
• Lanjut ke Distribusi normal — distribusi kontinu terpenting, sekaligus pendekatan untuk Poisson saat $\lambda$ besar.
• Perlu menyegarkan dasar peluang? Balik ke Probabilitas dasar.

Setelah menguasai distribusi-distribusi ini, Anda siap masuk statistika inferensial: interval kepercayaan dan uji hipotesis.