Distribusi Binomial

Sebuah pabrik memproduksi lampu, dan dari pengalaman bertahun-tahun diketahui sekitar 10 dari setiap 100 lampu cacat. Pagi ini seorang pemeriksa mutu mengambil 5 lampu dari ban berjalan untuk diuji. Berapa kemungkinan tepat 1 dari 5 itu cacat? Berapa kemungkinan kelimanya mulus?

Pertanyaan seperti ini muncul di mana-mana. Seorang pemasar mengirim 1.000 surel dan ingin tahu berapa kemungkinan lebih dari 200 dibuka. Seorang dokter memberi vaksin ke 20 pasien dan ingin tahu berapa yang diperkirakan kebal. Seorang penjudi melempar koin 10 kali dan penasaran berapa peluang muncul tepat 7 gambar.

Sepintas keempat cerita itu berbeda. Tetapi semuanya punya kerangka yang sama: sesuatu dilakukan berulang kali, tiap kali hasilnya cuma dua kemungkinan (cacat atau mulus, dibuka atau tidak, kebal atau tidak, gambar atau angka), dan kita ingin tahu peluang munculnya sekian keberhasilan dari sekian kali percobaan. Pola inilah yang dijawab oleh distribusi binomial.

Satu Percobaan: Bernoulli

Sebelum berbicara tentang banyak percobaan, kita mulai dari satu saja. Percobaan Bernoulli adalah satu tindakan yang hasilnya hanya dua: kita sebut keberhasilan (dengan peluang $p$) dan kegagalan (dengan peluang $1-p$).

$$P(\text{berhasil}) = p \qquad P(\text{gagal}) = 1 - p$$

“Keberhasilan” di sini cuma label — bukan berarti hasil yang baik. Untuk pemeriksa lampu, menemukan lampu cacat justru dilabeli “keberhasilan” kalau itu yang sedang dihitung peluangnya. Yang penting cuma dua: ada dua hasil, dan kedua peluangnya menjumlah 1.

Contoh paling polos: satu lemparan koin adil. Keberhasilan = muncul gambar, $p = 0,5$; kegagalan = muncul angka, $1 - p = 0,5$. Satu lampu yang diperiksa: cacat dengan $p = 0,1$, mulus dengan $1 - p = 0,9$.

Distribusi binomial muncul ketika kita mengulang percobaan Bernoulli yang sama sebanyak $n$ kali, lalu menghitung total keberhasilannya.

Empat Syarat Pola Binomial

Sebuah situasi mengikuti distribusi binomial bila keempat syarat ini terpenuhi:

1. Jumlah percobaan tetap, disebut $n$. Kita lempar koin tepat 10 kali, periksa tepat 5 lampu.
2. Tiap percobaan dua hasil saja: berhasil atau gagal.
3. Peluang berhasil tetap sama di tiap percobaan, disebut $p$. Koin adil selalu $p = 0,5$; mesin lampu selalu $p = 0,1$.
4. Antarpercobaan saling bebas: hasil satu lemparan tidak memengaruhi lemparan berikutnya.

Kalau salah satu syarat pincang, polanya bukan binomial lagi — kita bahas kasus seperti itu di bagian Kesalahan Umum.

Kita menulis singkat: kalau $X$ adalah jumlah keberhasilan dari $n$ percobaan dengan peluang $p$, maka

$$X \sim B(n, p)$$

dibaca “$X$ berdistribusi binomial dengan parameter $n$ dan $p$”. Lambang $X$ adalah peubah acak — angka hasil percobaan yang belum pasti sampai percobaan dijalankan; nilainya bisa $0, 1, 2, \ldots,$ sampai $n$.

Bentuk Distribusinya

Sebelum ke rumus, lihat dulu wujudnya. Untuk koin adil dilempar 10 kali ($n = 10$, $p = 0,5$), tiap kemungkinan jumlah gambar — dari 0 sampai 10 — punya peluangnya sendiri. Gambar di bawah menyusun semua peluang itu berdampingan:

Tiap batang dihitung dengan satu rumus yang sama. Itulah yang kita bedah sekarang.

Rumus Peluang Binomial

Peluang munculnya tepat $k$ keberhasilan dari $n$ percobaan adalah:

$$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\, (1-p)^{n-k}$$

Rumus ini terdiri atas tiga bagian yang dikalikan. Mari bongkar satu per satu.

Bagian $p^{k}$ — peluang $k$ keberhasilan tertentu terjadi. Karena tiap percobaan bebas, peluang gabungannya tinggal dikalikan: $k$ keberhasilan, masing-masing berpeluang $p$, memberi $p \times p \times \cdots = p^{k}$. Contoh: peluang 7 gambar tertentu pada koin adil $= 0,5^{7} = 0,0078125$.

Bagian $(1-p)^{n-k}$ — peluang sisanya gagal. Kalau ada $k$ keberhasilan dari $n$ percobaan, berarti ada $n - k$ kegagalan, masing-masing berpeluang $1 - p$. Contoh: sisa 3 lemparan harus angka $= 0,5^{3} = 0,125$.

Bagian $\binom{n}{k}$ — disebut koefisien binomial, dibaca “$n$ pilih $k$”. Ini menghitung berapa banyak cara menyusun $k$ keberhasilan di antara $n$ percobaan. Sebab 7 gambar bisa muncul di urutan mana saja (gambar di lemparan 1–7, atau 1–6 dan 8, dan seterusnya), dan tiap urutan punya peluang sama, kita harus mengalikan dengan jumlah urutannya. Rumusnya:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$

Lambang $!$ (faktorial) berarti perkalian menurun: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$, dan menurut kesepakatan $0! = 1$. Contoh: banyaknya cara menempatkan 7 gambar dalam 10 lemparan adalah

$$\binom{10}{7} = \frac{10!}{7!\,3!} = \frac{3{.}628{.}800}{5{.}040 \times 6} = 120.$$

Ringkasnya, rumus binomial membaca: (berapa cara) × (peluang keberhasilannya) × (peluang kegagalannya).

Penjelasan tiap lambang sekaligus:

• $n$ = banyak percobaan (mis. 10 lemparan).
• $k$ = jumlah keberhasilan yang ditanya (mis. 7 gambar); nilainya $0, 1, \ldots, n$.
• $p$ = peluang berhasil dalam satu percobaan (mis. 0,5); $1-p$ = peluang gagal.
• $\binom{n}{k}$ = banyaknya cara memilih posisi $k$ keberhasilan dari $n$ percobaan.

Contoh Hitung dari Nol

Mari kembali ke pabrik lampu di pembuka. Pemeriksa mengambil $n = 5$ lampu; tiap lampu cacat dengan peluang $p = 0,1$ (jadi mulus dengan peluang $1 - p = 0,9$). “Keberhasilan” di sini = menemukan lampu cacat. Kita ingin peluang tepat 1 dari 5 cacat, yaitu $P(X = 1)$.

Langkah 1 — hitung koefisien binomial. Berapa cara 1 lampu cacat bisa muncul di antara 5 lampu? Cacat itu bisa lampu ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, atau ke-5 — jadi 5 cara:

$$\binom{5}{1} = \frac{5!}{1!\,4!} = \frac{120}{1 \times 24} = 5.$$

Langkah 2 — peluang bagian keberhasilan, $p^{k} = 0,1^{1} = 0,1$.

Langkah 3 — peluang bagian kegagalan, $(1-p)^{n-k} = 0,9^{4} = 0,6561$.

Langkah 4 — kalikan ketiganya:

$$P(X = 1) = \binom{5}{1}\, 0,1^{1}\, 0,9^{4} = 5 \times 0,1 \times 0,6561 = 0,3281.$$

Jadi peluang tepat 1 dari 5 lampu cacat sekitar 32,8%.

Dengan cara yang sama kita bisa hitung seluruh distribusinya. Tabel berikut menampilkan tiap nilai $k$ beserta hasilnya:

Perhatikan kolom terakhir menjumlah tepat 1 — seperti seharusnya, karena salah satu dari 0 sampai 5 cacat pasti terjadi. Baris paling atas juga memberi jawaban pertanyaan kedua di pembuka: peluang kelima lampu mulus ($k = 0$) adalah $0,9^{5} = 0,5905$, atau sekitar 59,0%. Dan peluang paling tidak ada 1 cacat tinggal $1 - 0,5905 = 0,4095$ (sekitar 41,0%) — sering lebih cepat dihitung lewat pelengkapnya daripada menjumlah $k = 1$ sampai $5$.

Di Excel, satu baris ini cukup: =BINOM.DIST(1; 5; 0,1; FALSE) menghasilkan 0,3281 — persis sama dengan hitung tangan kita.

Rata-rata dan Varians

Setelah tahu seluruh distribusi, dua angka ringkasan paling berguna adalah rata-rata (berapa keberhasilan yang diharapkan) dan varians (seberapa lebar sebarannya). Untuk binomial, keduanya punya rumus pintas yang sangat sederhana:

$$\mu = np \qquad\qquad \sigma^{2} = np(1-p)$$

• $\mu$ (dibaca “mu”) = rata-rata atau jumlah keberhasilan yang diharapkan. Masuk akal: kalau tiap percobaan berpeluang $p$ berhasil dan ada $n$ percobaan, rata-ratanya $n \times p$.
• $\sigma^{2}$ (dibaca “sigma kuadrat”) = varians, ukuran sebaran di sekitar rata-rata. Standar deviasinya tinggal diakar: $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$.

(Kalau lambang $\mu$, $\sigma^{2}$, dan gagasan “sebaran” terasa asing, Variabilitas dan sebaran membahasnya dari nol.)

Contoh lampu ($n = 5$, $p = 0,1$): rata-rata cacat $\mu = 5 \times 0,1 = 0,5$ lampu, varians $\sigma^{2} = 5 \times 0,1 \times 0,9 = 0,45$. Artinya dari setiap 5 lampu, rata-rata kita temukan setengah lampu cacat — atau lebih intuitif, dari 100 lampu rata-rata $100 \times 0,1 = 10$ cacat.

Contoh koin ($n = 10$, $p = 0,5$, gambar di grafik di atas): rata-rata $\mu = 10 \times 0,5 = 5$ gambar — tepat di puncak grafik tadi. Variansnya $\sigma^{2} = 10 \times 0,5 \times 0,5 = 2,5$, sehingga standar deviasi $\sigma = \sqrt{2,5} \approx 1,58$. Jadi jumlah gambar biasanya berkisar 5 plus-minus sekitar 1,6.

Bereksperimen Sendiri

Geser parameter $n$ (banyak percobaan) dan $p$ (peluang berhasil), lalu perhatikan bagaimana bentuk distribusi bergeser: simetris saat $p = 0,5$, condong ke salah satu sisi saat $p$ jauh dari 0,5, dan makin menyerupai lonceng saat $n$ membesar.

Menjawab Pertanyaan Pembuka: Koin 10 Kali

Sekarang kita punya semua bahan untuk menjawab penjudi di pembuka. Koin adil dilempar $n = 10$ kali, $p = 0,5$.

Tepat 7 gambar — pakai rumus dengan $k = 7$:

$$P(X = 7) = \binom{10}{7}\, 0,5^{7}\, 0,5^{3} = 120 \times 0,0078125 \times 0,125 = 0,1172.$$

Sekitar 11,7%. (Di Excel: =BINOM.DIST(7; 10; 0,5; FALSE).)

Paling tidak 8 gambar — ini $P(X \geq 8) = P(7\text{ ke atas yang tidak termasuk})$, paling mudah lewat pelengkap. Peluang “7 ke bawah” adalah $P(X \leq 8 - 1) = P(X \leq 7) = 0,9453$, sehingga

$$P(X \geq 8) = 1 - P(X \leq 7) = 1 - 0,9453 = 0,0547,$$

sekitar 5,5%. (Di Excel: =1 - BINOM.DIST(7; 10; 0,5; TRUE); parameter TRUE berarti kumulatif, “sampai dengan”.)

Saat $n$ Besar: Pintasan Lonceng

Menjumlah binomial untuk $n$ besar melelahkan. Untungnya, ketika percobaan banyak dan $p$ tidak terlalu ekstrem, bentuk binomial makin menyerupai kurva lonceng normal, sehingga peluangnya bisa didekati tanpa menjumlah panjang:

$$B(n, p) \approx \mathcal{N}\big(np,\ np(1-p)\big)$$

Patokan kapan boleh: $np \geq 5$ dan $n(1-p) \geq 5$.

Kembali ke pemasar di pembuka: kirim $n = 1.000$ surel, peluang dibuka $p = 0,22$. Maka $np = 220$ dan $n(1-p) = 780$ — keduanya jauh di atas 5, jadi pendekatan lonceng sah. Rata-rata $\mu = 220$, standar deviasi $\sigma = \sqrt{1.000 \times 0,22 \times 0,78} \approx 13,1$. Peluang kurang dari 200 surel dibuka kira-kira peluang nilai lonceng di bawah $(200 - 220)/13,1 \approx -1,53$, yaitu sekitar 6,3%.

Cek Pemahaman

1. Seorang mahasiswa menebak acak 4 soal pilihan benar–salah ($p = 0,5$ tiap soal). Berapa peluang ia menjawab tepat 3 benar?

Lihat jawaban

Pakai $n = 4$, $k = 3$, $p = 0,5$. Koefisien binomial $\binom{4}{3} = \dfrac{4!}{3!\,1!} = 4$. Maka

$$P(X = 3) = \binom{4}{3}\, 0,5^{3}\, 0,5^{1} = 4 \times 0,125 \times 0,5 = 0,25.$$

Peluangnya 25%. (Logis: tebak acak benar-salah, rata-rata $\mu = np = 4 \times 0,5 = 2$ benar, dan 3 benar masih cukup mungkin.)

2. (Transfer) Sebuah vaksin efektif pada 90% penerima ($p = 0,9$). Vaksin diberikan ke 20 orang. Berapa rata-rata orang yang diperkirakan kebal, dan berapa rata-rata yang tidak kebal?

Lihat jawaban

Rata-rata kebal $= np = 20 \times 0,9 = 18$ orang. Rata-rata tidak kebal $= n(1-p) = 20 \times 0,1 = 2$ orang. (Perhatikan keduanya menjumlah $n = 20$.) Variansnya $\sigma^{2} = np(1-p) = 20 \times 0,9 \times 0,1 = 1,8$, jadi standar deviasi $\sigma = \sqrt{1,8} \approx 1,34$ — sebaran di sekitar 18 cukup sempit.

Kesalahan Umum

Memakai binomial saat percobaan tidak saling bebas. Kalau Anda mengambil kartu tanpa dikembalikan, atau memilih orang dari kelompok kecil tanpa pengembalian, peluang berubah tiap langkah — bukan binomial, melainkan distribusi hipergeometris. Binomial mensyaratkan $p$ tetap dan antarpercobaan bebas.

Menganggap $p$ tetap padahal berubah. Perilaku pelanggan bisa bergeser sepanjang hari; mesin bisa makin aus. Kalau peluang keberhasilan tidak benar-benar konstan, hasil binomial menyesatkan.

Memakai pendekatan lonceng saat $np < 5$. Untuk $n$ kecil atau $p$ sangat ekstrem, bentuk binomial masih menceng dan pendekatan normal meleset. Periksa dulu syarat $np \geq 5$ dan $n(1-p) \geq 5$.

Mengacaukan $P(X = k)$ dengan $P(X \leq k)$. “Tepat $k$” berbeda dari “paling banyak $k$”. Di Excel, parameter terakhir BINOM.DIST mengatur ini: FALSE untuk tepat sama dengan, TRUE untuk kumulatif (sampai dengan).

Dipakai di Dunia Nyata

• Uji A/B. Jumlah konversi dari $n$ pengunjung mengikuti binomial. Membandingkan dua versi halaman berarti membandingkan dua peluang keberhasilan $p$.
• Kendali mutu. Dari $n$ unit yang diperiksa, berapa yang cacat? Binomial memberi peluang menerima atau menolak satu batch berdasarkan jumlah cacat yang ditemukan.
• Pemasaran. Peluang surel dibuka, peluang iklan diklik — tiap penerima satu percobaan Bernoulli, totalnya binomial.
• Jajak pendapat. Jumlah pendukung dalam sampel acak adalah binomial; dari sinilah margin galat survei dihitung.
• Genetika. Perbandingan pewarisan sifat Mendel (mis. peluang anak berfenotipe tertentu) mengikuti pola binomial.

Rumus di Excel

=BINOM.DIST(k; n; p; FALSE)        → P(X = k) tepat
=BINOM.DIST(k; n; p; TRUE)         → P(X ≤ k) kumulatif
=BINOM.INV(n; p; alpha)            → k terkecil dengan P(X ≤ k) ≥ alpha
=COMBIN(n; k)                      → koefisien binomial C(n,k)
=BINOM.DIST.RANGE(n; p; k1; k2)    → P(k1 ≤ X ≤ k2)

⬇ Unduh 17-distribusi-binomial.xlsx

Berkas pendamping menampilkan tabel distribusi lengkap dengan formula hidup dari data mentah, contoh kasus koin dan kendali mutu, serta perbandingan rumus binomial penuh dengan pendekatan lonceng saat $n$ besar.

Lanjutan

Distribusi binomial adalah pintu masuk ke keluarga distribusi peluang diskret. Dua arah lanjutan yang erat:

• Distribusi Poisson — apa yang terjadi pada binomial saat $n$ sangat besar dan $p$ sangat kecil (mis. jumlah kejadian langka per satuan waktu).
• Distribusi Normal — kurva lonceng tempat pendekatan $n$ besar tadi berasal.

Perlu menyegarkan fondasinya dulu? Balik ke Probabilitas dasar. Setelah binomial, Anda siap memakainya untuk interval kepercayaan proporsi — memperkirakan peluang sebenarnya dari data sampel.