Bayes Theorem

Bayangkan sebuah penyakit langka: hanya 1 dari 100 orang yang benar-benar mengidapnya. Ada tes yang cukup bagus — kalau Anda sakit, tes ini menangkapnya 9 dari 10 kali; kalau Anda sehat, tes ini benar 9 dari 10 kali juga.

Suatu hari Anda ikut tes massal di kantor, dan hasilnya positif. Wajar kalau Anda panik. Tesnya bagus, hasilnya positif — rasanya hampir pasti Anda sakit.

Padahal tidak. Kalau dihitung dengan benar, peluang Anda benar-benar sakit cuma sekitar 8 persen. Lebih dari sembilan dari sepuluh orang yang dapat hasil positif di tes massal ini sebenarnya sehat. Angka itu mengejutkan hampir semua orang — bahkan banyak dokter. Alat untuk menghitungnya dengan tepat bernama Teorema Bayes, dan itulah isi materi ini.

Intuisi Dulu: Hitung Kepala Orang

Sebelum menyentuh rumus apa pun, mari hitung dengan cara paling polos: bayangkan 1.000 orang ikut tes, lalu kita hitung berapa kepala di tiap kelompok.

Dari 1.000 orang, karena penyakitnya langka (1%):

• 10 orang benar-benar sakit (1% dari 1.000).
• 990 orang sehat (sisanya).

Sekarang kita tes semuanya. Tesnya menangkap 9 dari 10 orang sakit, dan benar pada 9 dari 10 orang sehat:

• Dari 10 yang sakit: 9 dapat hasil positif (benar tertangkap), 1 lolos.
• Dari 990 yang sehat: 10% keliru dapat positif → $990 \times 0{,}10 = 99$ orang dapat positif palsu.

Jadi siapa saja yang hasilnya positif? Ada $9 + 99 = 108$ orang. Tetapi dari 108 orang itu, hanya 9 yang benar-benar sakit. Sisanya 99 orang sehat yang kena positif palsu.

Peluang Anda benar-benar sakit, padahal sudah positif, adalah:

$$\frac{9}{108} \approx 0{,}083 = 8{,}3\%$$

Inti masalahnya: orang sehat jauh lebih banyak (990 lawan 10). Jadi walaupun tes jarang salah pada orang sehat (cuma 10%), 10% dari kelompok besar tetap menghasilkan banyak sekali positif palsu — cukup banyak untuk menenggelamkan 9 positif yang benar. Gambar berikut memperlihatkan seluruh hitungan kepala itu sekaligus:

Anda baru saja menyelesaikan satu soal Bayes lengkap tanpa satu rumus pun. Teorema Bayes hanyalah cara menuliskan hitungan kepala ini dalam lambang, supaya bisa dipakai untuk angka berapa pun.

Rumus Bayes dan Tiap Lambangnya

Misalkan:

• $A$ = kejadian yang ingin kita ketahui peluangnya (di contoh: “benar-benar sakit”).
• $B$ = bukti yang sudah kita amati (di contoh: “tes positif”).

Teorema Bayes menyatakan:

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,\cdot\,P(A)}{P(B)}$$

Empat bagian, dan tiap bagian punya nama yang dipakai di mana-mana:

• $P(A \mid B)$ = posterior — peluang $A$ setelah melihat bukti $B$. Inilah yang kita cari. Di contoh: peluang sakit setelah tes positif = 8,3%.
• $P(B \mid A)$ = likelihood — peluang melihat bukti $B$ jika $A$ benar. Di contoh: peluang tes positif jika memang sakit = 0,90 (ini “sensitivitas” tes).
• $P(A)$ = prior — keyakinan kita sebelum melihat bukti apa pun. Di contoh: peluang sakit sebelum tes = 0,01 (ini “base rate” alias prevalensi).
• $P(B)$ = evidence (peluang total bukti $B$) — seberapa sering bukti $B$ muncul secara keseluruhan, dari sumber mana pun. Ini penyebut yang membuat hasil akhir berupa peluang yang sah (antara 0 dan 1).

Bagian yang paling sering bikin bingung adalah evidence, $P(B)$. Bukti “tes positif” bisa datang dari dua arah: dari orang sakit yang benar positif, atau dari orang sehat yang positif palsu. Kita harus menjumlahkan keduanya. Tulis $A^c$ untuk “bukan $A$” (di contoh: “sehat”). Maka:

$$P(B) = \underbrace{P(B \mid A)\,P(A)}_{\text{positif benar}} \;+\; \underbrace{P(B \mid A^c)\,P(A^c)}_{\text{positif palsu}}$$

Lambang $P(B \mid A^c)$ = peluang tes positif padahal sehat = 0,10 di contoh kita (10% kesalahan pada orang sehat), dan $P(A^c) = 1 - P(A) = 0{,}99$. Memasukkan penyebut ini ke dalam rumus Bayes memberi bentuk lengkap yang bisa langsung dihitung:

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B \mid A)\,P(A) + P(B \mid A^c)\,P(A^c)}$$

Perhatikan: penyebut ini persis sama dengan “menjumlahkan semua orang yang hasilnya positif” tadi (9 + 99 = 108, dalam bentuk peluang), dan pembilangnya adalah “yang positif dan benar sakit” (9 orang). Rumus dan hitung-kepala adalah hal yang sama, ditulis dengan dua bahasa.

Contoh Hitung dari Nol (Lewat Rumus)

Sekarang kita ulangi kasus tes medis di atas, kali ini lewat rumus, supaya terlihat bahwa hasilnya sama persis dengan hitung kepala (8,3%).

Data mentah:

Langkah 1 — pembilang (jalur “sakit lalu positif”):

$$P(B \mid A)\,P(A) = 0{,}90 \times 0{,}01 = 0{,}009$$

Langkah 2 — penyebut/evidence (semua jalur “positif”):

$$P(B) = \underbrace{0{,}90 \times 0{,}01}_{0{,}009} + \underbrace{0{,}10 \times 0{,}99}_{0{,}099} = 0{,}108$$

Langkah 3 — bagi:

$$P(A \mid B) = \frac{0{,}009}{0{,}108} \approx 0{,}0833 = 8{,}3\%$$

Sama persis dengan $9/108$ dari hitung kepala. (Memang harus sama: kalikan pembilang dan penyebut dengan 1.000 dan Anda kembali ke 9 dan 108.)

Pohon peluang berikut membantu melihat bagaimana tiap angka mengalir — tiap cabang adalah peluang bersyarat, dan peluang gabungan di ujung cabang adalah hasil kali sepanjang jalur (contoh ini memakai cuaca lalu lalu lintas, tetapi bentuk hitungnya identik dengan tes medis: dua tahap, kalikan sepanjang jalur):

Apa Arti Angka 8,3 Persen Ini

Hasil 8,3% tidak berarti tesnya jelek. Tesnya memang menaikkan keyakinan: sebelum tes, peluang Anda sakit cuma 1%; setelah hasil positif, naik jadi 8,3% — naik delapan kali lipat. Itulah pekerjaan sebuah bukti: menggeser keyakinan, bukan memberi kepastian.

Yang berubah hanyalah titik berangkatnya. Karena penyakitnya sangat langka (prior 1%), bahkan setelah digeser delapan kali lipat, peluangnya masih jauh di bawah 50%. Sebaliknya, kalau Anda menjalani tes karena memang sudah bergejala — sehingga prior Anda jauh lebih tinggi — hasil positif yang sama akan berarti peluang sakit yang jauh lebih besar (Anda akan menghitungnya sendiri di Cek Pemahaman).

Pelajaran utamanya: hasil tes positif tidak bisa ditafsirkan tanpa tahu seberapa langka kondisinya. Angka yang sama (positif) berarti hal yang sangat berbeda pada populasi yang berbeda.

Bereksperimen Sendiri

Geser prevalensi, sensitivitas, dan spesifisitas, lalu lihat posterior berubah. Coba turunkan prevalensi ke angka kecil: posterior anjlok walau tesnya tetap akurat. Itulah jebakan base rate, terlihat langsung.

Bayes dalam Bahasa Sehari-hari

Kalau empat lambang tadi terlalu padat, ringkasnya begini:

$$\text{posterior} = \frac{\text{likelihood} \times \text{prior}}{\text{evidence}}$$

Atau dalam kalimat: keyakinan baru = keyakinan lama, disetel ulang oleh bukti. Anda mulai dengan suatu dugaan (prior), datang sebuah bukti, dan Bayes memberi tahu seberapa jauh dugaan itu harus digeser. Itu sebabnya Bayes disebut cara matematis untuk memperbarui keyakinan.

Keindahannya: proses ini bisa diulang. Posterior hari ini menjadi prior untuk bukti berikutnya. Dapat satu bukti lagi, geser lagi. Inilah dasar “belajar dari pengalaman” yang bisa dihitung — dan persis itulah yang membuat penyaring spam makin pintar tiap kali Anda menandai sebuah email.

Cek Pemahaman

1. Pakai tes yang sama (sensitivitas 0,90, positif palsu 0,10), tetapi kali ini pasien datang karena sudah bergejala, sehingga prevalensi di kelompok ini bukan 1% melainkan 10%. Berapa peluang benar-benar sakit jika hasilnya positif?

Lihat jawaban

Pakai hitung kepala atas 1.000 orang. Prevalensi 10% → 100 sakit, 900 sehat.

• Dari 100 sakit: $100 \times 0{,}90 = 90$ positif benar.
• Dari 900 sehat: $900 \times 0{,}10 = 90$ positif palsu.
• Semua positif = $90 + 90 = 180$.

$$P(\text{sakit}\mid\text{tes}+) = \frac{90}{180} = 0{,}50 = 50\%$$

Tes yang sama, hasil positif yang sama — tetapi karena prior naik dari 1% ke 10%, posteriornya melompat dari 8,3% ke 50%. Inilah inti pelajaran: posterior sangat bergantung pada prior.

2. (transfer) Kembali ke skrining massal (prior 1%). Anda dapat positif, jadi peluang Anda sekarang 8,3%. Dokter menyuruh tes ulang dengan tes yang sama, dan hasilnya positif lagi. Berapa peluang Anda sakit sekarang? (Petunjuk: posterior dari tes pertama menjadi prior untuk tes kedua.)

Lihat jawaban

Setelah tes pertama, kelompok “positif” tinggal 108 orang: 9 sakit dan 99 sehat. Tes kedua kita kenakan hanya pada 108 orang ini.

• Dari 9 sakit: $9 \times 0{,}90 = 8{,}1$ positif lagi.
• Dari 99 sehat: $99 \times 0{,}10 = 9{,}9$ positif palsu lagi.
• Semua positif kedua = $8{,}1 + 9{,}9 = 18$.

$$P(\text{sakit}\mid\text{positif dua kali}) = \frac{8{,}1}{18} = 0{,}45 = 45\%$$

Dua hasil positif menaikkan keyakinan dari 8,3% ke 45% — jauh lebih meyakinkan daripada satu hasil positif. Itu sebabnya kondisi langka biasanya dikonfirmasi dengan tes kedua, bukan diputuskan dari satu hasil saja. Perhatikan polanya: posterior tes pertama (8,3%) menjadi prior tes kedua.

Kesalahan Umum

Menukar $P(B \mid A)$ dengan $P(A \mid B)$. Ini kesalahan paling sering. “Peluang tes positif jika sakit” (0,90) sama sekali bukan “peluang sakit jika tes positif” (0,083). Keduanya peluang bersyarat dengan arah yang berlawanan — dan justru pekerjaan Bayes adalah membalik arah itu. Jangan pernah menyamakan keduanya.

Mengabaikan prior (jebakan base rate). Tergoda menyimpulkan “tes 90% akurat, hasil positif, jadi 90% sakit”. Salah: angka itu lupa memperhitungkan betapa langkanya kondisinya. Tanpa prior, posterior tak bisa dihitung.

Lupa kalikan dengan prior. Posterior bukan sekadar likelihood. Likelihood (0,90) harus dikalikan prior (0,01) lebih dulu, lalu dibagi evidence. Melewatkan langkah perkalian prior membuat hasil melonjak jauh terlalu tinggi.

Salah menyusun evidence $P(B)$. Penyebut harus mencakup semua cara bukti bisa muncul — positif benar dan positif palsu. Banyak yang hanya menulis $P(B \mid A)P(A)$ di penyebut dan lupa suku positif palsu, sehingga posterior keliru jadi 100%.

Menyangka p-value adalah posterior. Dalam uji hipotesis, p-value bukan $P(H_0 \mid \text{data})$ — bukan peluang hipotesis benar setelah melihat data. Itu kekeliruan tafsir yang umum; bedanya dibahas di P-value.

Dipakai di Dunia Nyata

• Penyaring spam. Tiap kata dalam email adalah “bukti”. Penyaring menghitung $P(\text{spam} \mid \text{kata ini muncul})$ dan memperbaruinya kata demi kata. Setiap kali Anda menandai email sebagai spam, prior penyaring bergeser — itulah Bayes yang bekerja diam-diam.
• Diagnosis medis. Dokter yang baik tidak membaca satu hasil tes mentah-mentah; mereka menimbangnya terhadap prevalensi penyakit dan gejala pasien. Tes konfirmasi pada kondisi langka adalah penerapan langsung “posterior jadi prior” seperti di Cek Pemahaman nomor 2.
• Pembelajaran mesin. Pengklasifikasi Naive Bayes memakai teorema ini langsung untuk menggolongkan teks dan dokumen. Lebih luas lagi, statistika Bayes memberi prior pada parameter model lalu memperbaruinya dengan data.
• Forensik dan hukum. “Peluang bersalah jika ada bukti DNA” menuntut Bayes — dan menukarnya dengan “peluang bukti DNA jika tak bersalah” adalah kesalahan terkenal yang disebut prosecutor’s fallacy, persis kesalahan menukar arah peluang bersyarat di atas.

Lanjutan

Teorema Bayes adalah jembatan dari probabilitas dasar menuju cara berpikir statistik yang lebih dewasa: data memperbarui keyakinan, tidak memberi kepastian. Sekali Anda terbiasa menimbang bukti terhadap prior, banyak teka-teki statistik yang tampak ganjil menjadi masuk akal.

• Perlu menyegarkan peluang bersyarat dan aturan perkalian dulu? Balik ke Probabilitas Dasar.
• Lanjut ke Distribusi Binomial — pola peluang untuk percobaan berulang (seperti melempar koin berkali-kali), batu loncatan ke distribusi-distribusi penting berikutnya.
• Penasaran kenapa p-value sering disangka posterior padahal bukan? Lihat P-value.