Persentil dan Kuartil

Anda harus menjawab satu pertanyaan dari atasan: berapa gaji entry-level yang pantas ditawarkan ke fresh graduate IT? Pesannya singkat — “jangan kerendahan, jangan ketinggian, yang wajar saja”. Anda buka data survei 5.000 fresh graduate. Rata-ratanya Rp 8,2 juta. Apakah angka itu sudah cukup?

Sayangnya belum. Rata-rata bisa terdongkrak segelintir orang berpenghasilan ekstrem — misalnya satu-dua lulusan yang langsung mendirikan startup dan menggaji diri sendiri Rp 50 juta. Yang benar-benar Anda butuhkan adalah posisi: berapa nilai yang memisahkan 25% terbawah dari sisanya, dan 25% teratas. Ternyata 25% terbawah berhenti di Rp 6,5 juta dan 25% teratas mulai dari Rp 9,8 juta. Sekarang Anda punya jawaban yang bisa dipakai: separuh pasar ada di rentang Rp 6,5–9,8 juta.

Dua angka tadi — Rp 6,5 juta dan Rp 9,8 juta — adalah persentil ke-25 dan persentil ke-75. Itulah yang dibahas materi ini: ukuran yang menggambarkan posisi sebuah nilai di dalam data, sesuatu yang tidak bisa diberikan rata-rata.

Apa Itu Persentil

Persentil ke-$k$ adalah nilai yang membuat $k$ persen data berada di bawahnya. Itu saja intinya.

Beberapa contoh yang sering dipakai:

• Persentil ke-50 (P50): separuh data ada di bawahnya — ini persis median.
• Persentil ke-25 (P25): seperempat data ada di bawahnya — ini kuartil pertama, Q1.
• Persentil ke-75 (P75): tiga perempat data ada di bawahnya — ini kuartil ketiga, Q3.
• Persentil ke-90 (P90): 90% data di bawah, hanya 10% teratas yang melampauinya.
• Persentil ke-99 (P99): batas masuk 1% teratas.

Yang penting dipahami sejak awal: persentil menggambarkan posisi, bukan menghitung nilai khas seperti rata-rata. Karena hanya soal urutan, satu nilai ekstrem tidak menggesernya jauh — itulah kenapa persentil tahan terhadap pencilan (nilai yang jauh menyimpang dari mayoritas data).

Kuartil: Membagi Data Jadi Empat

Kuartil adalah persentil istimewa yang memotong data terurut menjadi empat bagian sama banyak. Ada tiga titik potong:

Q1 dan Q3 mengapit 50% data yang ada di tengah. Lebar daerah tengah itu punya nama sendiri: IQR (interquartile range, jarak antarkuartil), yaitu $Q_3 - Q_1$. IQR sudah Anda temui di Variabilitas sebagai ukuran sebaran yang tahan pencilan; di sini kita menghitungnya tuntas.

Cara Menghitung: Posisi Dulu, Baru Nilai

Menghitung persentil selalu dua tahap: cari posisinya dulu di data terurut, lalu baca atau interpolasi nilainya. Yang sering bikin bingung pemula adalah rumus posisinya — ada beberapa versi yang beredar di buku teks, dan masing-masing memberi angka sedikit berbeda. Supaya hitung tangan Anda cocok persis dengan Excel (PERCENTILE.INC dan QUARTILE.INC, yang dipakai secara default), kita pakai rumus posisi ini:

$$\text{posisi} = 1 + (n - 1)\,p$$

Penjelasan tiap lambang:

• $n$ = banyak data. Misalnya kalau ada 10 nilai, $n = 10$.
• $p$ = persentil yang dicari, ditulis sebagai pecahan antara 0 dan 1. Untuk P25, $p = 0{,}25$; untuk P90, $p = 0{,}90$.
• $\text{posisi}$ = letak nilai yang dicari pada data yang sudah diurutkan dari kecil ke besar, dihitung mulai dari 1. Posisi 1 = data terkecil, posisi $n$ = data terbesar.

Kenapa bentuknya $1 + (n-1)p$ dan bukan sekadar $n \times p$? Karena posisi di sini dihitung mulai dari 1, bukan 0. Saat $p = 0$ posisi jatuh tepat di data ke-1 (nilai terkecil); saat $p = 1$ posisi jatuh di data ke-$n$ (nilai terbesar). Rumus ini “merentangkan” persentil 0%–100% persis di sepanjang seluruh data.

Kalau posisinya bilangan bulat (misalnya 3), nilainya langsung dibaca — data ke-3. Kalau posisinya pecahan (misalnya 3,25), artinya nilai yang dicari ada di antara dua data tetangga, jadi kita interpolasi: ambil data bawah lalu tambahkan sebagian dari jarak ke data berikutnya, sebanyak pecahannya.

$$\text{nilai} = x_{\text{bawah}} + d \times (x_{\text{atas}} - x_{\text{bawah}})$$

Di sini $x_{\text{bawah}}$ dan $x_{\text{atas}}$ adalah dua data yang mengapit posisi, dan $d$ adalah bagian pecahan dari posisi (untuk posisi 3,25 maka $d = 0{,}25$). Contoh kecil: kalau posisi 3,25 jatuh di antara nilai 70 (data ke-3) dan 72 (data ke-4), maka nilainya $70 + 0{,}25 \times (72 - 70) = 70{,}5$ — seperempat jalan dari 70 menuju 72.

Contoh hitung dari nol

Data terurut ($n = 10$): 60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 90.

Beri nomor posisi 1 sampai 10 dulu, supaya gampang dibaca:

Median (Q2 / P50), $p = 0{,}50$.

$$\text{posisi} = 1 + (10 - 1)\times 0{,}50 = 1 + 4{,}5 = 5{,}5$$

Posisi 5,5 ada di antara data ke-5 (75) dan ke-6 (78), tepat di tengah ($d = 0{,}5$):

$$\text{Median} = 75 + 0{,}5\,(78 - 75) = 75 + 1{,}5 = 76{,}5$$

Q1 (P25), $p = 0{,}25$.

$$\text{posisi} = 1 + 9 \times 0{,}25 = 1 + 2{,}25 = 3{,}25$$

Posisi 3,25 ada di antara data ke-3 (70) dan ke-4 (72), dengan $d = 0{,}25$:

$$Q_1 = 70 + 0{,}25\,(72 - 70) = 70 + 0{,}5 = 70{,}5$$

Q3 (P75), $p = 0{,}75$.

$$\text{posisi} = 1 + 9 \times 0{,}75 = 1 + 6{,}75 = 7{,}75$$

Posisi 7,75 ada di antara data ke-7 (80) dan ke-8 (82), dengan $d = 0{,}75$:

$$Q_3 = 80 + 0{,}75\,(82 - 80) = 80 + 1{,}5 = 81{,}5$$

IQR.

$$\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 81{,}5 - 70{,}5 = 11$$

Lima angka ringkasan ini — minimum, Q1, median, Q3, maksimum — adalah bahan baku boxplot. Begini gambarnya:

P90 (top 10%), $p = 0{,}90$.

$$\text{posisi} = 1 + 9 \times 0{,}90 = 1 + 8{,}1 = 9{,}1$$

Posisi 9,1 ada di antara data ke-9 (85) dan ke-10 (90), dengan $d = 0{,}1$:

$$P_{90} = 85 + 0{,}1\,(90 - 85) = 85 + 0{,}5 = 85{,}5$$

Artinya 90% data bernilai di bawah 85,5; hanya 10% teratas yang melampauinya.

Cocok dengan Excel

Hitung-tangan di atas sama persis dengan fungsi default Excel:

=QUARTILE.INC(range; 1)   → 70,5   (Q1)
=MEDIAN(range)            → 76,5   (Q2)
=QUARTILE.INC(range; 3)   → 81,5   (Q3)
=PERCENTILE.INC(range; 0,9) → 85,5 (P90)

Kenapa “INC”, dan kenapa hasilnya bisa beda dengan buku lain. Sebagian buku teks memakai rumus posisi $(n+1)\times p$ — itu metode eksklusif (PERCENTILE.EXC / QUARTILE.EXC di Excel). Untuk data yang sama, metode itu memberi Q1 $= 68{,}75$, Q3 $= 82{,}75$, dan P90 $= 89{,}5$ — beda dari hasil kita. Bukan salah satu yang keliru; keduanya konvensi yang sah, hanya beda cara memperlakukan ujung data. Sepanjang materi ini kita sengaja konsisten memakai metode inklusif ($1 + (n-1)p$, sama dengan fungsi .INC default Excel) supaya hitung tangan Anda dan hitung Excel selalu menghasilkan angka yang identik. Pilih satu metode, lalu pakai terus — jangan campur.

Boxplot dan Pendeteksian Pencilan

Boxplot (diagram kotak-garis) adalah cara membaca lima angka ringkasan sekaligus dalam satu gambar, seperti yang sudah Anda lihat di atas. Komponennya:

• Kotak membentang dari Q1 ke Q3; tingginya = IQR.
• Garis di dalam kotak = median.
• Ekor (whisker) menjulur dari kotak ke nilai terjauh yang masih “wajar”.
• Titik di luar ekor = pencilan.

Batas “wajar” itu ditentukan oleh pagar yang dihitung dari IQR:

$$\text{pagar bawah} = Q_1 - 1{,}5\times\text{IQR}, \qquad \text{pagar atas} = Q_3 + 1{,}5\times\text{IQR}$$

Nilai di luar rentang $[\,Q_1 - 1{,}5\,\text{IQR};\ Q_3 + 1{,}5\,\text{IQR}\,]$ ditandai sebagai pencilan dan digambar sebagai titik tersendiri. Untuk data contoh kita ($Q_1 = 70{,}5$, $Q_3 = 81{,}5$, IQR $= 11$):

$$\text{pagar bawah} = 70{,}5 - 1{,}5\times 11 = 54, \qquad \text{pagar atas} = 81{,}5 + 1{,}5\times 11 = 98$$

Semua data kita ada di antara 54 dan 98 (minimum 60, maksimum 90), jadi tidak ada pencilan — ekor cukup sampai 60 dan 90. Andai ada satu nilai 120, ia akan jatuh di luar pagar atas (98) dan muncul sebagai titik terpisah, bukan menambah panjang ekor.

Angka 1,5 di rumus pagar adalah konvensi baku (diperkenalkan Tukey); cukup longgar untuk tidak menandai data normal, cukup ketat untuk menangkap nilai yang benar-benar menyimpang.

Kapan Persentil Mengalahkan Rata-rata

Rata-rata bukan musuh — untuk data yang simetris dan tanpa pencilan, rata-rata justru lebih informatif karena memakai setiap nilai. Persentil unggul justru saat rata-rata mulai menyesatkan:

Pola besarnya: begitu data menceng (tidak simetris) atau punya ekor panjang, rata-rata berhenti mewakili “pengalaman khas” dan persentil mengambil alih.

Cek Pemahaman

1. Data sampel sudah terurut: 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35 ($n = 9$). Hitung Q1, median, dan Q3 dengan metode $1 + (n-1)p$, lalu tentukan IQR-nya.

Lihat jawaban

Karena $n = 9$, semua posisi kebetulan jatuh tepat di bilangan bulat — tidak perlu interpolasi.

• Q1 ($p = 0{,}25$): posisi $= 1 + 8\times 0{,}25 = 3$ → data ke-3 $= 18$.
• Median ($p = 0{,}50$): posisi $= 1 + 8\times 0{,}50 = 5$ → data ke-5 $= 22$.
• Q3 ($p = 0{,}75$): posisi $= 1 + 8\times 0{,}75 = 7$ → data ke-7 $= 28$.

$\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 28 - 18 = 10$.

2. (soal penerapan) Tim Anda memantau waktu respons situs (milidetik) dari 10 permintaan terurut: 40, 42, 45, 48, 50, 55, 60, 70, 95, 140. Rata-ratanya 64,5 ms. Atasan ingin tahu persentil ke-95 sebagai patokan SLA. Hitung P95, lalu jelaskan kenapa angka itu lebih berguna untuk SLA daripada rata-rata.

Lihat jawaban

Posisi $= 1 + (10-1)\times 0{,}95 = 1 + 8{,}55 = 9{,}55$ → di antara data ke-9 (95) dan ke-10 (140), dengan $d = 0{,}55$:

$$P_{95} = 95 + 0{,}55\,(140 - 95) = 95 + 24{,}75 = 119{,}75 \text{ ms}$$

Rata-rata 64,5 ms terdengar bagus, tetapi menyembunyikan kenyataan bahwa 5% permintaan terlambat mendekati 120 ms — justru pengguna yang paling mungkin kabur dari situs yang lambat. SLA dirancang untuk menjamin pengalaman terburuk yang masih bisa diterima, jadi persentil ekor (P95/P99) yang relevan, bukan rata-rata yang meratakan masalah itu.

Kesalahan Umum

Mengira Q1 berarti “kuartal pertama”. Dalam statistika, Q1 adalah kuartil pertama (P25), bukan periode Januari–Maret. Sama tulisan, beda dunia.

Membaca persentil sebagai nilai data, bukan ambang. “P90 = 85,5” tidak berarti “data ke-90 bernilai 85,5”. Artinya: 85,5 adalah nilai yang membuat 90% data berada di bawahnya. Persentil itu ambang posisi, bukan baris data tertentu.

Mencampur dua metode posisi. Kalau Anda mulai dengan $1 + (n-1)p$ (inklusif / .INC), pakai itu terus. Mencampur dengan $(n+1)p$ (eksklusif / .EXC) di tengah jalan membuat Q1 dan Q3 tidak konsisten dan IQR jadi salah. Pilih satu, catat metodenya, konsisten.

Memakai rata-rata untuk data yang menceng. Distribusi gaji dan harga rumah hampir selalu menceng ke kanan, jadi rata-ratanya terdongkrak segelintir nilai besar. Untuk data seperti ini laporkan median dan IQR, bukan rata-rata.

Membandingkan persentil dua data berskala beda tanpa penyetaraan. P90 gaji fresh graduate dan P90 gaji manajer senior tidak bisa diadu langsung — skalanya beda. Setarakan dulu (mis. ubah ke z-score atau rasio terhadap median) sebelum membandingkan.

Dipakai di Dunia Nyata

• Pemantauan kinerja perangkat lunak. Insinyur jarang melaporkan rata-rata waktu respons; mereka memantau P95 dan P99 (“p99 di bawah 200 ms”), karena ekor itulah yang menentukan apakah pengguna kabur. Rata-rata menyembunyikan 1% pengalaman terburuk.
• Standar layanan (SLA/KPI). Target seperti “99,9% permintaan selesai di bawah X” adalah pernyataan persentil — komitmen atas kasus terburuk yang masih dijamin, bukan rata-rata.
• Antropometri dan ergonomi. Ukuran kursi, pintu, dan kabin pesawat dirancang memakai persentil populasi (mis. mengakomodasi P5 sampai P95 tinggi badan), bukan rata-rata, supaya cocok untuk mayoritas orang.
• Pertumbuhan anak. Kartu kesehatan memakai kurva persentil berat dan tinggi terhadap usia; dokter membaca posisi anak (mis. “berat di persentil 25”) alih-alih satu angka rata-rata.
• Patokan upah dan kebijakan publik. Survei gaji dan garis kemiskinan dilaporkan dengan median dan kuartil justru karena distribusi pendapatan menceng — rata-rata akan menyesatkan.

Rumus di Excel

=PERCENTILE.INC(A1:A100; 0,9)   → Persentil 90 (metode inklusif, default — yang dipakai materi ini)
=PERCENTILE.EXC(A1:A100; 0,9)   → Persentil 90 (metode eksklusif, posisi (n+1)p)
=QUARTILE.INC(A1:A100; 1)       → Q1 (P25)
=QUARTILE.INC(A1:A100; 2)       → Q2 (median)
=QUARTILE.INC(A1:A100; 3)       → Q3 (P75)
=MEDIAN(A1:A100)                → Median = Q2 = P50
=QUARTILE.INC(A1:A100;3)-QUARTILE.INC(A1:A100;1)  → IQR
=PERCENTRANK.INC(A1:A100; nilai)                  → Persentil suatu nilai (kebalikannya)

⬇ Unduh 05-persentil-dan-kuartil.xlsx

Berkas pendamping memakai studi kasus 50 gaji fresh graduate IT (menceng kanan, lengkap dengan pencilan). Lembar KALKULASI_MANUAL menampilkan langkah hitung Q1, Q3, dan P90, dan lembar EXCEL_FUNCTIONS membandingkannya dengan fungsi bawaan — tempat terbaik melihat selisih inklusif vs eksklusif pada data nyata.

Lanjutan

Persentil melengkapi dua materi sebelumnya: median (sebagai P50) dari Tendensi Sentral dan IQR sebagai ukuran sebaran dari Variabilitas. Dengan median + IQR, Anda sudah punya pasangan ringkasan yang tahan pencilan — pelengkap dari pasangan rata-rata + standar deviasi.

• Balik ke Variabilitas kalau ingin menyegarkan IQR sebagai ukuran sebaran.
• Lanjut ke Distribusi Normal — di sana persentil punya wujud khusus: pada kurva normal, posisi persentil terhubung langsung ke standar deviasi lewat z-score.

Kebiasaan yang berharga: setiap kali Anda melihat sebuah rata-rata dilaporkan, tanyakan satu hal — “bagaimana median dan IQR-nya?” Sering kali jawabannya mengubah keputusan.