Program Studi Bisnis Digital • FEB UNDIP

Statistika Bisnis

Pertemuan 5 — Estimasi Univariat: Prediksi Satu Variabel

Dari satu sampel yang terbatas menuju simpulan tentang seluruh populasi — belajar menduga rata-rata dan proporsi populasi beserta seberapa yakin kita terhadap dugaan itu.

RPS minggu $5 \cdot 2x50$ menit

Selamat datang di pertemuan kelima mata kuliah Statistika Bisnis. Empat pertemuan lalu Anda sudah berkenalan dengan probabilitas, statistik non-parametrik lewat tabulasi silang, distribusi normal dengan nilai-z, dan analisis varians memakai distribusi F untuk membandingkan beberapa populasi sekaligus. Hari ini kita masuk ke topik yang jadi jembatan penting sebelum pengujian hipotesis minggu depan, yaitu estimasi univariat — bagaimana menduga satu parameter populasi, misalnya rata-rata belanja bulanan pengguna Tokopedia atau proporsi UMKM yang sudah memakai QRIS, hanya dari data satu sampel yang jumlahnya terbatas. Anda akan belajar dua cara menduga: dugaan titik tunggal dan dugaan berupa rentang nilai yang disebut interval kepercayaan, lengkap dengan cara menghitungnya dari nol. Siapkan kalkulator Anda, karena sebagian besar slide hari ini akan mengajak Anda menghitung langsung dengan angka nyata.

Bagian 1 dari 3

Dari Sampel ke Populasi: Dasar-dasar Estimasi

Mengapa kita perlu menduga, apa bedanya dugaan titik dan dugaan interval, serta konsep standard error dan tingkat kepercayaan.

Mengapa Perlu Estimasi? Populasi Terlalu Besar untuk Disurvei Semua

Dalam bisnis, kita hampir tidak pernah bisa mengumpulkan data dari seluruh populasi — terlalu mahal, terlalu lama, atau bahkan mustahil. Solusinya: ambil sampel yang mewakili, lalu duga (estimasi) karakteristik populasinya.

Contoh Kasus 1

Marketplace seperti Tokopedia ingin tahu rata-rata belanja bulanan dari jutaan penggunanya. Alih-alih bertanya ke semua pengguna, tim riset mengambil sampel acak 100–500 pengguna.

Contoh Kasus 2

Bank Indonesia ingin tahu proporsi UMKM yang sudah menerima pembayaran digital. Disurvei sampel beberapa ratus UMKM di beberapa kota, bukan seluruh ~65 juta UMKM Indonesia.

Prinsip inti: sampel yang diambil secara acak dan cukup besar akan mencerminkan karakteristik populasi dengan tingkat kesalahan yang bisa diukur — itulah yang dipelajari di estimasi.

Bayangkan Anda bekerja di tim riset pasar sebuah e-commerce besar seperti Tokopedia dan atasan Anda bertanya, "berapa rata-rata belanja bulanan pengguna kita?" Populasi penggunanya bisa puluhan juta orang, jelas mustahil menyurvei semuanya dalam waktu singkat dengan biaya yang wajar. Solusi praktisnya adalah mengambil sampel acak, misalnya lima ratus pengguna, lalu menghitung rata-rata belanja dari sampel itu sebagai dugaan untuk rata-rata seluruh populasi. Contoh kedua yang tidak kalah relevan adalah ketika Bank Indonesia atau OJK ingin mengetahui proporsi UMKM yang sudah mengadopsi QRIS; mereka juga menyurvei sampel, bukan mendata seluruh enam puluh lima juta UMKM di Indonesia. Kuncinya, selama sampel diambil secara acak dan ukurannya memadai, kita bisa menghitung seberapa besar kemungkinan dugaan kita meleset dari nilai populasi sebenarnya — dan itulah inti dari ilmu estimasi yang akan kita pelajari hari ini.

Dua Jenis Dugaan: Estimasi Titik vs Estimasi Interval

Estimasi Titik

Satu Angka Tunggal

Rata-rata sampel $(\bar{x})$ dipakai langsung sebagai dugaan rata-rata populasi $(\mu)$. Contoh: "rata-rata belanja pengguna $\approx Rp 850.000"$.

Estimasi Interval

Rentang Nilai + Keyakinan

Dugaan berupa rentang, mis. "kita 95% yakin rata-rata populasi ada di antara Rp 810.800 dan Rp 889.200".

Kelemahan estimasi titik: tidak memberi info seberapa akurat dugaan itu. Estimasi interval mengatasi ini dengan menambahkan ukuran ketidakpastian — itulah fokus utama pertemuan ini.

Ada dua cara mendasar untuk menduga parameter populasi. Pertama, estimasi titik: kita cukup memakai satu angka dari sampel, misalnya rata-rata sampel x-bar, sebagai dugaan terbaik untuk rata-rata populasi mu. Sederhana, tapi punya kelemahan besar — angka tunggal itu tidak memberi tahu kita seberapa percaya kita terhadapnya, apakah dugaan Rp 850.000 itu sangat presisi atau bisa meleset jauh. Di sinilah estimasi interval berperan: alih-alih satu angka, kita memberi rentang nilai, misalnya antara Rp 810.800 sampai Rp 889.200, disertai tingkat keyakinan seperti 95 persen. Estimasi interval inilah yang jauh lebih sering dipakai dalam laporan riset bisnis maupun jurnal akademik, karena mengomunikasikan ketidakpastian secara eksplisit. Sepanjang pertemuan ini, fokus utama kita adalah bagaimana menghitung estimasi interval tersebut, yang biasa disebut interval kepercayaan atau confidence interval.

Distribusi Sampling Rata-rata & Dalil Limit Pusat

Jika kita ambil banyak sampel berulang kali dari populasi yang sama, rata-rata tiap sampel akan bervariasi. Sebaran rata-rata sampel ini disebut distribusi sampling.

Dalil Limit Pusat (Central Limit Theorem): berapa pun bentuk distribusi populasi asalnya, jika ukuran sampel n cukup besar (umumnya $n \geq 30)$, distribusi sampling rata-rata akan mendekati distribusi normal. Inilah dasar dari semua rumus interval kepercayaan yang akan kita pakai.

Konsep ini sering dianggap sulit, jadi mari kita bangun intuisinya pelan-pelan lewat ilustrasi di layar. Bayangkan populasi pengeluaran seluruh pengguna suatu aplikasi bentuknya bisa tidak beraturan, mungkin miring ke kanan karena ada sebagian kecil pengguna dengan belanja sangat besar. Sekarang, kalau kita ambil ratusan sampel berulang-ulang, masing-masing berisi seratus pengguna, dan hitung rata-rata tiap sampel, rata-rata itu akan bervariasi sedikit dari sampel ke sampel. Nah, dalil limit pusat mengatakan sesuatu yang luar biasa: kalau ukuran sampel cukup besar, umumnya minimal tiga puluh observasi, maka sebaran dari rata-rata-rata-rata sampel tadi akan berbentuk kurva normal yang rapi, walaupun populasi aslinya sama sekali tidak normal. Inilah alasan mengapa kita boleh memakai distribusi normal atau nilai-z untuk menghitung interval kepercayaan rata-rata, bahkan ketika kita tidak tahu persis bentuk distribusi populasinya. Konsep ini akan langsung kita pakai di rumus interval kepercayaan pada bagian berikutnya.

Coba Sendiri: Simulasi Dalil Limit Pusat

Ubah bentuk populasi dan ukuran sampel (n), lalu amati bagaimana distribusi sampling rata-rata mendekati bentuk normal.

Standard Error: Seberapa Jauh Rata-rata Sampel Bisa Meleset

Standard error (SE) mengukur seberapa besar variasi rata-rata sampel di sekitar rata-rata populasi — semacam "standar deviasi dari rata-rata sampel".

$$SE = \sigma \div \sqrt{n} (\text{atau} s \div \sqrt{n} \text{jika} \sigma \text{populasi} tidak \text{diketahui})$$

n LEBIH BESAR

SE Mengecil

Sampel lebih besar $\to$ dugaan rata-rata lebih presisi $\to$ interval kepercayaan lebih sempit.

$\sigma$ (VARIASI DATA) BESAR

SE Membesar

Data yang lebih beragam (mis. belanja sangat bervariasi) $\to$ dugaan rata-rata kurang presisi.

Standard error sering membuat mahasiswa baru bingung karena namanya mirip standar deviasi, padahal fungsinya berbeda. Standar deviasi mengukur variasi data individual, sedangkan standard error mengukur variasi dari rata-rata sampel itu sendiri, seandainya kita mengambil sampel berulang-ulang. Rumusnya adalah sigma dibagi akar dari n, atau memakai s sampel kalau sigma populasi tidak kita ketahui, yang memang lebih sering terjadi dalam praktik bisnis. Perhatikan dua hal penting dari rumus ini: semakin besar ukuran sampel n, semakin kecil standard error, artinya dugaan kita semakin presisi — ini masuk akal karena lebih banyak data biasanya memberi gambaran yang lebih akurat, seperti survei kepuasan pelanggan Bank BCA yang melibatkan seribu responden akan lebih dipercaya daripada hanya sepuluh responden. Sebaliknya, jika data aslinya sangat bervariasi, misalnya belanja online yang rentangnya dari lima puluh ribu sampai lima juta rupiah, standard error akan membesar karena lebih sulit menduga rata-rata populasi dengan presisi tinggi.

Coba Sendiri: Distribusi Sampling Rata-rata Sampel

Amati bagaimana rata-rata sampel dengan berbagai ukuran n terdistribusi di sekitar rata-rata populasi, dan bagaimana standard error menyempit.

Tingkat Kepercayaan (Confidence Level) & Nilai Kritis Z

Tingkat kepercayaan adalah persentase keyakinan bahwa interval yang kita hitung memuat parameter populasi sebenarnya. Makin tinggi tingkat kepercayaan, makin besar nilai kritis z yang dipakai.

Tingkat Kepercayaan	Area di Ekor (2 sisi)	Nilai Kritis z
90%	5% + 5%	1,645
95%	2,5% + 2,5%	1,96
99%	0,5% + 0,5%	2,576

Tingkat kepercayaan yang paling umum dipakai dalam riset bisnis dan akademik adalah 90, 95, dan 99 persen — dengan 95 persen sebagai standar de facto di hampir semua jurnal dan laporan riset pasar. Angka ini bukan berarti "95 persen kemungkinan rata-rata populasi ada di dalam interval saya", melainkan lebih tepat diartikan sebagai: kalau kita mengulang proses pengambilan sampel dan penghitungan interval sebanyak seratus kali, sekitar sembilan puluh lima dari seratus interval itu akan memuat nilai rata-rata populasi yang sebenarnya. Perhatikan tabel di layar, setiap tingkat kepercayaan punya nilai kritis z yang berbeda, yang bisa Anda cari dari tabel distribusi normal standar atau dihitung dengan software statistik. Semakin tinggi tingkat kepercayaan yang kita inginkan, misalnya dari 95 ke 99 persen, semakin besar pula nilai z yang dipakai, dan konsekuensinya interval kepercayaan menjadi lebih lebar — ini adalah trade-off yang akan kita bahas lebih dalam nanti di bagian margin of error.

Memilih Distribusi: Kapan Pakai Z, Kapan Pakai t?

Kondisi	Distribusi yang Dipakai	Alasan
$\sigma$ populasi diketahui	Z (normal standar)	Tidak ada tambahan ketidakpastian dari menaksir $\sigma$
$\sigma$ tidak diketahui, n besar $(n \geq 30)$	Z (didekati)	s sampel jadi penaksir yang cukup stabil untuk $\sigma$
$\sigma$ tidak diketahui, n kecil (n < 30)	t (Student, df = n-1)	Ekor distribusi t lebih tebal — mengompensasi ketidakpastian tambahan

Dalam praktik bisnis, $\sigma$ populasi hampir selalu tidak diketahui — itulah sebabnya distribusi t (dengan derajat bebas / degrees of freedom, df = n-1) jauh lebih sering dipakai daripada Z pada riset dengan sampel kecil, misalnya survei ke belasan UMKM.

Salah satu keputusan penting sebelum menghitung interval kepercayaan adalah memilih distribusi mana yang dipakai untuk mencari nilai kritis: distribusi normal Z atau distribusi t Student. Aturannya sederhana, ada tiga kondisi. Kalau kita kebetulan tahu standar deviasi populasi sigma, misalnya dari data historis yang sangat lengkap, kita pakai Z. Kalau sigma tidak diketahui tapi ukuran sampel kita besar, minimal tiga puluh observasi, kita masih boleh mendekati dengan Z karena standar deviasi sampel s sudah cukup stabil sebagai penaksir sigma. Tapi kalau sigma tidak diketahui dan sampel kita kecil, misalnya kita hanya sempat mewawancarai lima belas UMKM kuliner karena keterbatasan waktu penelitian, kita wajib pakai distribusi t dengan derajat bebas n dikurangi satu, karena distribusi t punya ekor yang lebih tebal untuk mengompensasi ketidakpastian ekstra akibat sampel kecil. Dalam praktik riset bisnis sehari-hari, situasi ketiga inilah yang paling sering terjadi, sehingga Anda akan lebih sering memakai tabel t daripada tabel Z.

Coba Sendiri: Perhitungan Ukuran Sampel Minimum

Tentukan margin of error dan tingkat kepercayaan, lalu dapatkan ukuran sampel minimum yang diperlukan untuk estimasi proporsi.

Bagian 2 dari 3

Interval Kepercayaan untuk Rata-rata Populasi

Menghitung interval kepercayaan langkah demi langkah — dengan distribusi Z maupun distribusi t.

Formula Interval Kepercayaan Rata-rata — $\sigma$ Diketahui (Z)

$$CI = \bar{x} \pm z \times (\sigma \div \sqrt{n})$$

Komponen Rumus

$\bar{x}$ = rata-rata sampel
z = nilai kritis sesuai tingkat kepercayaan
$\sigma \div \sqrt{n}$ = standard error (SE)
$z \times SE$ = margin of error (ME)

BATAS INTERVAL

Bawah $= \bar{x} - ME$

Atas $= \bar{x} + ME$

Interval kepercayaan = "sekitar $\bar{x}$, dengan lebar $\pmME"$

Inilah rumus paling dasar untuk interval kepercayaan rata-rata, dipakai ketika standar deviasi populasi sigma sudah kita ketahui, misalnya dari riset besar sebelumnya. Bacanya begini: interval kepercayaan sama dengan rata-rata sampel x-bar, ditambah dan dikurangi hasil kali nilai kritis z dengan standard error. Standard error sendiri, seperti sudah kita bahas, adalah sigma dibagi akar n. Perkalian antara z dan standard error ini kita beri nama khusus, margin of error, karena secara harfiah itulah "margin kesalahan" yang kita toleransi di sekitar dugaan titik kita. Batas bawah interval didapat dari rata-rata sampel dikurangi margin of error, dan batas atas dari rata-rata sampel ditambah margin of error. Rumus ini terlihat sederhana di atas kertas, tapi mari kita langsung praktikkan dengan kasus nyata di slide berikutnya supaya Anda benar-benar paham cara memakainya.

Hitung dari Nol — HDN-1: CI Rata-rata Belanja Pengguna E-commerce

Sampel 100 pengguna sebuah marketplace menunjukkan rata-rata belanja bulanan Rp 850.000. Dari riset sebelumnya, standar deviasi populasi diketahui $\sigma = Rp 200.000$. Hitung interval kepercayaan 95%.

Langkah Demi Langkah

Langkah	Perhitungan	Nilai
Identifikasi	$\bar{x}=Rp850.000; \sigma=Rp200.000; n=100; 95\% (z=1,96)$	—
Standard Error	$\sigma \div \sqrt{n} = 200.000 \div 10$	Rp 20.000
Margin of Error	$z \times SE = 1,96 \times 20.000$	Rp 39.200
Interval Kepercayaan	$850.000 \pm 39.200$	Rp 810.800 – Rp 889.200

CI 95%

Rp 810.800 – Rp 889.200

Kita 95% yakin rata-rata belanja bulanan seluruh pengguna marketplace ada di rentang ini — bukan hanya sampel yang kita survei.

Mari kita kerjakan kasus ini dari nol, satu langkah demi satu langkah. Diketahui: rata-rata sampel delapan ratus lima puluh ribu rupiah, standar deviasi populasi dua ratus ribu rupiah, ukuran sampel seratus pengguna, dan kita ingin tingkat kepercayaan 95 persen sehingga nilai kritis z-nya 1,96. Langkah kedua, hitung standard error: dua ratus ribu dibagi akar dari seratus, yaitu dua ratus ribu dibagi sepuluh, hasilnya dua puluh ribu rupiah. Langkah ketiga, hitung margin of error dengan mengalikan z dengan standard error: 1,96 dikali dua puluh ribu sama dengan tiga puluh sembilan ribu dua ratus rupiah. Langkah terakhir, susun intervalnya: delapan ratus lima puluh ribu dikurangi dan ditambah tiga puluh sembilan ribu dua ratus, menghasilkan interval dari delapan ratus sepuluh ribu delapan ratus rupiah sampai delapan ratus delapan puluh sembilan ribu dua ratus rupiah. Artinya, tim riset marketplace ini bisa melaporkan ke manajemen dengan keyakinan 95 persen bahwa rata-rata belanja bulanan seluruh basis pengguna berada di rentang tersebut, bukan hanya menduga satu angka tunggal yang bisa saja meleset jauh.

Formula Interval Kepercayaan Rata-rata — $\sigma$ Tidak Diketahui (t)

$$CI = \bar{x} \pm t \times (s \div \sqrt{n}) , df = n - 1$$

Beda dengan Rumus Z

s (standar deviasi sampel) menggantikan $\sigma$
t (bukan z) menggantikan nilai kritis
Nilai t dicari dari tabel t pakai derajat bebas (df = n-1) dan tingkat kepercayaan

CONTOH

$n=16 \to df=15$

95\% & $df=15 \to t = 2,131$ (dari tabel t, lebih besar dari z=1,96)

Rumus ini polanya mirip sekali dengan rumus Z sebelumnya, tapi ada dua perbedaan penting yang harus Anda perhatikan. Pertama, kita memakai s, standar deviasi sampel, sebagai pengganti sigma populasi yang tidak kita ketahui. Kedua, dan ini yang sering terlewat, kita memakai nilai kritis t, bukan z, yang dicari dari tabel distribusi t berdasarkan derajat bebas atau degrees of freedom, disingkat df, yang nilainya n dikurangi satu. Sebagai contoh, kalau kita punya sampel enam belas observasi, derajat bebasnya adalah lima belas, dan untuk tingkat kepercayaan 95 persen dengan df 15, nilai t dari tabel adalah 2,131 — perhatikan ini lebih besar daripada 1,96 yang kita pakai di rumus Z. Itu bukan kebetulan: distribusi t memang punya ekor lebih tebal untuk mengompensasi ketidakpastian ekstra karena kita menaksir sigma dengan s dari sampel kecil. Sekarang mari kita praktikkan rumus ini dengan kasus UMKM di slide berikutnya.

Hitung dari Nol — HDN-2: CI Rata-rata Omzet Harian UMKM Kuliner

Survei terhadap 16 UMKM kuliner di Semarang menunjukkan rata-rata omzet harian Rp 1.200.000 dengan standar deviasi sampel s = Rp 300.000. Hitung interval kepercayaan 95% $(\sigma$ populasi tidak diketahui).

Langkah Demi Langkah

Langkah	Perhitungan	Nilai
Identifikasi	$\bar{x}=Rp1.200.000; s=Rp300.000; n=16 (df=15); 95\% (t=2,131)$	—
Standard Error	$s \div \sqrt{n} = 300.000 \div 4$	Rp 75.000
Margin of Error	$t \times SE = 2,131 \times 75.000$	Rp 159.825
Interval Kepercayaan	$1.200.000 \pm 159.825$	Rp 1.040.175 – Rp 1.359.825

CI 95%

Rp 1.040.175 – Rp 1.359.825

Interval jauh lebih lebar daripada HDN-1 — wajar, karena n hanya 16 (sampel kecil) dan memakai nilai t yang lebih besar dari z.

Sekarang giliran kasus UMKM. Diketahui dari enam belas UMKM kuliner yang disurvei, rata-rata omzet harian satu juta dua ratus ribu rupiah, standar deviasi sampel tiga ratus ribu rupiah, sehingga derajat bebasnya lima belas dan nilai t untuk tingkat kepercayaan 95 persen adalah 2,131. Langkah kedua, hitung standard error: tiga ratus ribu dibagi akar dari enam belas, yaitu tiga ratus ribu dibagi empat, hasilnya tujuh puluh lima ribu rupiah. Langkah ketiga, margin of error: 2,131 dikali tujuh puluh lima ribu sama dengan seratus lima puluh sembilan ribu delapan ratus dua puluh lima rupiah. Langkah terakhir, interval kepercayaannya adalah satu juta dua ratus ribu dikurangi dan ditambah seratus lima puluh sembilan ribu delapan ratus dua puluh lima, menghasilkan rentang dari satu juta empat puluh ribu seratus tujuh puluh lima sampai satu juta tiga ratus lima puluh sembilan ribu delapan ratus dua puluh lima rupiah. Perhatikan, intervalnya jauh lebih lebar dibanding kasus marketplace tadi — ini wajar karena sampel UMKM jauh lebih kecil, hanya enam belas observasi, sehingga ketidakpastian kita terhadap dugaan rata-rata populasi jauh lebih besar.

Interpretasi Interval Kepercayaan: Apa Arti "95% Yakin"?

Ini salah satu konsep yang paling sering disalahpahami. Mari kita luruskan lewat dua pernyataan — mana yang benar?

✗ SALAH

"Ada 95% kemungkinan rata-rata populasi sebenarnya berada di dalam interval Rp 810.800–Rp 889.200 ini."

Rata-rata populasi adalah angka tetap (walau tak kita ketahui) — bukan variabel acak yang punya "kemungkinan".

✓ BENAR

"Jika prosedur pengambilan sampel & penghitungan interval ini diulang berkali-kali, 95% dari interval-interval yang dihasilkan akan memuat rata-rata populasi sebenarnya."

Konsep interpretasi interval kepercayaan ini wajib Anda kuasai dengan tepat, karena bahkan banyak praktisi bisnis dan peneliti pemula sering salah mengartikannya. Pernyataan yang salah, meski terdengar masuk akal, adalah mengatakan ada 95 persen kemungkinan rata-rata populasi ada di dalam interval yang sudah kita hitung. Ini keliru karena rata-rata populasi sebenarnya adalah angka yang tetap dan pasti, walaupun kita tidak mengetahuinya; angka tetap tidak punya "kemungkinan" untuk berada di suatu tempat atau tidak, ia sudah pasti berada di suatu titik tertentu atau tidak sama sekali. Interpretasi yang benar berkaitan dengan prosedur pengambilan sampelnya: kalau kita mengulang proses pengambilan sampel seratus kali dan setiap kali menghitung interval kepercayaan 95 persen, sekitar sembilan puluh lima dari seratus interval yang dihasilkan akan memuat rata-rata populasi yang sebenarnya, sementara sekitar lima interval mungkin meleset. Ini soal keandalan prosedur jangka panjang, bukan probabilitas untuk satu interval spesifik yang sudah kita hitung sekali. Ingat baik-baik pembedaan ini karena sering muncul di soal ujian maupun diskusi kritis di dunia kerja.

Margin of Error: Trade-off Lebar Interval vs Tingkat Kepercayaan

Menaikkan tingkat kepercayaan membuat interval lebih lebar (lebih "aman" tapi kurang presisi). Memperbesar sampel membuat interval lebih sempit tanpa mengorbankan keyakinan.

Ingin interval sempit DAN keyakinan tinggi? Satu-satunya cara: perbesar ukuran sampel (n) — bukan menurunkan tingkat kepercayaan. Ini yang dibahas di slide "ukuran sampel" pada bagian berikutnya.

Sekarang kita rangkai dua konsep yang sudah kita pelajari menjadi satu pemahaman praktis yang sangat berguna dalam desain riset bisnis. Perhatikan ilustrasi batang di layar: dengan ukuran sampel yang sama, seratus responden misalnya, semakin tinggi tingkat kepercayaan yang kita minta, semakin lebar pula interval yang dihasilkan, karena nilai kritisnya membesar dari 1,645 di 90 persen, ke 1,96 di 95 persen, sampai 2,576 di 99 persen. Ini logis: kalau kita ingin lebih yakin bahwa interval kita "menangkap" nilai populasi sebenarnya, kita harus melebarkan jaring kita, seperti halnya jaring ikan yang lebih lebar akan lebih mungkin menangkap ikan tapi juga kurang presisi menunjukkan lokasi ikan itu. Pertanyaan yang sering muncul dari praktisi bisnis adalah, bisakah kita punya interval yang sempit sekaligus tingkat kepercayaan tinggi? Jawabannya bisa, tapi bukan dengan menurunkan tingkat kepercayaan, melainkan dengan memperbesar ukuran sampel n, karena n berada di penyebut rumus standard error. Inilah pertimbangan yang dipakai perusahaan riset pasar saat menentukan berapa responden yang perlu disurvei, yang akan kita bahas lebih lanjut di bagian terakhir pertemuan ini.

Bagian 3 dari 3

Interval Kepercayaan untuk Proporsi & Ukuran Sampel

Menduga persentase populasi (mis. adopsi QRIS), dan menghitung berapa besar sampel yang perlu diambil.

Formula Interval Kepercayaan untuk Proporsi Populasi

$$CI = \hat{p} \pm z \times \sqrt( \hat{p}(1-\hat{p}) \div n )$$

Komponen Rumus

$\hat{p}$ (p-hat) = proporsi sampel $= x \div n$
x = jumlah "sukses" dalam sampel
$\sqrt(\hat{p}(1-\hat{p})\divn)$ = standard error proporsi
z = nilai kritis (sama seperti tabel sebelumnya)

Mirip rumus rata-rata, hanya standard error-nya memakai $\hat{p}(1-\hat{p})$ sebagai pengganti $\sigma^{2}$ — karena data proporsi hanya berisi 0 (gagal/tidak) dan 1 (sukses/ya).

Rumus interval kepercayaan untuk proporsi ini polanya sama dengan rumus rata-rata: dugaan titik, ditambah dan dikurangi margin of error. Bedanya ada pada dugaan titik dan standard error-nya. Dugaan titik di sini adalah p-hat, yaitu proporsi sampel, dihitung dengan membagi x, jumlah observasi yang termasuk kategori "sukses" atau "ya", dengan n, total ukuran sampel. Misalnya, jika dari dua ratus lima puluh UMKM yang disurvei, seratus tujuh puluh lima di antaranya sudah memakai QRIS, maka p-hat sama dengan seratus tujuh puluh lima dibagi dua ratus lima puluh. Standard error-nya memakai rumus akar dari p-hat dikali satu minus p-hat, dibagi n — ini masuk akal karena data proporsi hanya berisi angka nol untuk gagal dan satu untuk sukses, sehingga variansnya secara alami dihitung dari p dikali satu minus p. Nilai kritis z-nya persis sama dengan yang kita pakai di tabel sebelumnya untuk rata-rata. Mari langsung praktikkan dengan kasus adopsi QRIS di slide berikutnya.

Hitung dari Nol — HDN-3: Proporsi UMKM Pengguna QRIS

Dari survei terhadap 250 UMKM di Jawa Tengah, 175 di antaranya sudah menerima pembayaran via QRIS. Hitung interval kepercayaan 95% untuk proporsi populasi UMKM yang sudah memakai QRIS.

Langkah Demi Langkah

Langkah	Perhitungan	Nilai
Proporsi Sampel	$\hat{p} = 175 \div 250$	0,70 (70%)
Standard Error	$\sqrt{0,70\times0,30 \div 250}$	0,029
Margin of Error	$z \times SE = 1,96 \times 0,029$	0,057 (5,7%)
Interval Kepercayaan	$0,70 \pm 0,057$	64,3% – 75,7%

CI 95% PROPORSI

64,3% – 75,7%

Kita 95% yakin proporsi seluruh UMKM Jawa Tengah yang memakai QRIS ada di rentang ini — berguna untuk laporan Bank Indonesia atau OJK.

Mari hitung kasus ini dari nol. Langkah pertama, hitung proporsi sampel p-hat: seratus tujuh puluh lima dibagi dua ratus lima puluh sama dengan 0,70 atau 70 persen. Langkah kedua, hitung standard error: akar dari 0,70 dikali 0,30 dibagi dua ratus lima puluh; 0,70 dikali 0,30 sama dengan 0,21, dibagi dua ratus lima puluh sama dengan 0,00084, akar dari angka itu sekitar 0,029. Langkah ketiga, margin of error: 1,96 dikali 0,029 sama dengan sekitar 0,057, atau 5,7 persen. Langkah terakhir, interval kepercayaannya adalah 70 persen dikurangi dan ditambah 5,7 persen, menghasilkan rentang dari 64,3 persen sampai 75,7 persen. Artinya, kalau hasil survei ini dilaporkan ke Bank Indonesia atau OJK sebagai bagian dari pemantauan adopsi pembayaran digital, kita bisa menyatakan dengan keyakinan 95 persen bahwa proporsi UMKM se-Jawa Tengah yang sudah memakai QRIS berada antara 64,3 dan 75,7 persen — jauh lebih informatif daripada hanya melaporkan angka tunggal 70 persen dari sampel.

Menentukan Ukuran Sampel Minimum

Sebelum riset dimulai, kita bisa membalik rumus margin of error untuk menghitung berapa besar sampel (n) yang dibutuhkan agar hasil sesuai target presisi.

$$n = ( z \times \sigma \div E )^{2} (rata-rata) | n = \hat{p}(1-\hat{p}) \times ( z \div E )^{2} (proporsi)$$

Contoh Cepat

Perusahaan riset ingin margin of error maksimal E = Rp 20.000 untuk rata-rata belanja, tingkat kepercayaan 95% (z=1,96), estimasi $\sigma \approx Rp 200.000$ (dari riset sebelumnya):

$n = (1,96 \times 200.000 \div 20.000)^{2} = (19,6)^{2} \approx$ 384 responden

Selalu bulatkan ke atas (mis. $384,16 \to 385)$ — sampel yang kurang dari kebutuhan minimum tidak akan mencapai presisi target.

Ini adalah pertanyaan yang hampir selalu ditanyakan di awal proyek riset pasar: "berapa banyak responden yang perlu kita survei?" Jawabannya bisa dihitung dengan membalik rumus margin of error yang sudah kita pelajari. Untuk rata-rata, rumusnya n sama dengan kuadrat dari z dikali sigma dibagi E, di mana E adalah margin of error maksimal yang kita targetkan. Untuk proporsi, rumusnya n sama dengan p-hat dikali satu minus p-hat, dikali kuadrat dari z dibagi E. Mari kita coba contoh: sebuah perusahaan riset ingin margin of error maksimal dua puluh ribu rupiah untuk menduga rata-rata belanja, dengan tingkat kepercayaan 95 persen sehingga z-nya 1,96, dan mereka punya estimasi sigma sekitar dua ratus ribu rupiah dari riset tahun lalu. Substitusikan ke rumus: 1,96 dikali dua ratus ribu dibagi dua puluh ribu sama dengan 19,6, dikuadratkan menjadi sekitar tiga ratus delapan puluh empat. Artinya mereka perlu minimal tiga ratus delapan puluh empat responden. Ingat, hasil perhitungan n harus selalu dibulatkan ke atas, bukan ke bawah, karena kalau kita membulatkan ke bawah, sampel kita akan sedikit kurang dari kebutuhan minimum dan presisi target tidak tercapai.

Coba Sendiri: Kalkulator Ukuran Sampel untuk Mean

Untuk estimasi rata-rata, hitung ukuran sampel minimum dari simpangan baku, margin of error, dan tingkat kepercayaan yang diinginkan.

Latihan Mandiri & Ringkasan Pertemuan 5

Latihan (Kerjakan & Kumpulkan)

Sebuah survei terhadap 36 pelanggan BBCA mobile banking menunjukkan rata-rata waktu transaksi 45 detik, standar deviasi sampel 12 detik. Hitung interval kepercayaan 90\% untuk rata-rata waktu transaksi seluruh pengguna (pakai distribusi $t, df=35, t\approx1,690)$.

Tunjukkan seluruh langkah: identifikasi $\to SE \to ME \to$ interval.

Ringkasan Poin Kunci

Estimasi titik vs interval — interval memberi info ketidakpastian
CI rata-rata: pakai $Z (\sigma$ diketahui) atau $t (\sigma$ tak diketahui)
CI proporsi: $\hat{p} \pm z\sqrt(\hat{p}(1-\hat{p})/n)$
n lebih besar $\to$ interval lebih sempit (lebih presisi)

Pertemuan berikutnya (P6): praktikum olah data menghitung interval kepercayaan & statistik lain langsung dengan software statistik — bawa laptop Anda.

Sebagai penutup pertemuan hari ini, saya minta Anda mengerjakan satu latihan mandiri yang meniru persis pola perhitungan yang sudah kita praktikkan berkali-kali: kasus survei waktu transaksi mobile banking BBCA dengan tiga puluh enam pelanggan, di mana Anda perlu menghitung interval kepercayaan 90 persen memakai distribusi t karena sigma populasi tidak diketahui dan sampelnya relatif kecil. Kerjakan dengan menunjukkan seluruh langkah seperti pada HDN-1 dan HDN-2 tadi, lalu kumpulkan sesuai instruksi di platform pembelajaran kita. Sebelum kita tutup, mari rangkas empat poin kunci hari ini: pertama, bedanya estimasi titik dan interval; kedua, cara menghitung interval kepercayaan rata-rata dengan Z maupun t tergantung apakah sigma populasi diketahui; ketiga, rumus serupa untuk proporsi populasi; dan keempat, hubungan antara ukuran sampel dengan lebar interval. Minggu depan kita akan masuk ke sesi praktikum, di mana Anda akan menghitung semua ini langsung memakai software statistik pada data riil, jadi pastikan Anda membawa laptop yang sudah terpasang software yang akan kita gunakan.