Materi Tambahan · Lind Ch.13

Korelasi & Regresi Linear Sederhana

Tambahan 5 — Pertemuan 19 · Analisis Hubungan Dua Variabel

Mengukur kekuatan hubungan dua variabel dengan koefisien korelasi Pearson, membangun persamaan garis kuadrat-terkecil, lalu menilai seberapa pantas persamaan itu dipakai memprediksi.

Sesi Tambahan T5 • 30 Menit • 2026 · Semester 2

Selamat datang di sesi materi tambahan Statistika Bisnis II. Deck ini tidak termasuk silabus RPS minggu-minggu reguler — ia disiapkan atas permintaan untuk memperdalam Bab 13 buku Lind edisi delapan belas tentang korelasi dan regresi linear sederhana, materi yang menjadi jembatan menuju regresi berganda. Sepanjang tiga puluh menit kita akan membedah satu kasus yang sama dari awal sampai akhir: hubungan antara jumlah kunjungan penjualan dan jumlah mesin fotokopi yang terjual oleh lima belas tenaga penjual. Kasus ini akan kita pakai untuk menghitung koefisien korelasi Pearson dari nol, mengujinya, membangun persamaan regresi kuadrat-terkecil, menilai kualitasnya lewat galat taksiran dan koefisien determinasi, sampai membuat interval prediksi. Bawa kalkulator Anda — semua angka bisa diikuti manual.

Tujuan Pembelajaran (Terjemahan LO13-1 … LO13-7)

Setelah sesi ini, Anda mampu:

LO13-1 · LO13-2 — Korelasi

$r$

Pearson product-moment

Menjelaskan tujuan analisis korelasi; menghitung $r$ untuk menguji & menafsirkan hubungan dua variabel berskala interval/rasio.

LO13-3 · LO13-4 — Regresi & Uji Slope

$\hat{y} = a + bx$

Kuadrat-terkecil (least squares)

Menaksir hubungan linear lewat persamaan regresi; menguji signifikansi kemiringan $b$ dengan uji-t.

LO13-5 — Kualitas Prediksi

$s_{y \cdot x}$ & $r^{2}$

Galat taksiran & determinasi

Menilai kemampuan prediksi persamaan lewat galat taksiran standar dan koefisien determinasi.

LO13-6 · LO13-7 — Interval & Transformasi

CI vs PI

Interval kepercayaan & prediksi

Menghitung interval kepercayaan rata-rata dan interval prediksi individu; memakai transformasi log untuk hubungan tak linear.

Tujuh learning objective buku Lind di bab ini saya ringkas menjadi empat kelompok agar mudah diingat urutannya. Dua yang pertama adalah dunia korelasi: Anda harus bisa menjelaskan apa gunanya analisis korelasi dan menghitung koefisien korelasi Pearson sampai menafsirkannya. Kelompok kedua pindah ke dunia regresi: membangun persamaan garis kuadrat-terkecil dan menguji apakah kemiringannya signifikan. Kelompok ketiga soal kualitas: seberapa baik persamaan itu memprediksi, diukur dengan galat taksiran standar dan koefisien determinasi. Kelompok terakhir adalah aplikasi lanjutan: interval kepercayaan untuk rata-rata versus interval prediksi untuk satu individu — beda halus yang sering muncul di soal ujian — plus transformasi log ketika hubungannya melengkung. Perhatikan bahwa seluruh flow ini nanti berlanjut persis di regresi berganda pada deck tambahan berikutnya.

Bisnis Bertanya Tiga Hal pada Dua Variabel

Kasus pembuka buku — Travelair.com menelusuri tarif penerbangan domestik terhadap jarak tempuh:

Pertanyaan 1

Ada?

Hubungan atau kebetulan

Apakah tarif berkorelasi dengan jarak? Kuat atau lemah, searah atau berlawanan?

Pertanyaan 2

Berapa %?

Porsi variasi yang dijelaskan

Berapa persen variasi tarif yang diterangkan oleh jarak? (Ini $r^{2}$.)

Pertanyaan 3

+Rp/km?

Efek per satu satuan

Berapa tambahan tarif tiap mil tambahan? (Ini kemiringan $b$.)

Pertanyaan yang sama muncul di mana-mana: apakah jam belajar memengaruhi nilai ujian? Apakah luas rumah menaikkan biaya pemanas? Apakah potongan harga menaikkan penjualan? Korelasi menjawab "seberapa kuat", regresi menjawab "berapa besar dan mau dipakai prediksi".

Saya ingin Anda melihat bahwa seluruh bab ini hanyalah jawaban teknis atas tiga pertanyaan bisnis yang sangat manusiawi. Travelair dot com, kasus pembuka bab tiga belas, bertanya pertama: adakah hubungan antara tarif tiket dan jarak penerbangan — dan kalau ada, seberapa kuat. Kedua: berapa persen variasi tarif yang benar-benar bisa diterangkan oleh jarak; sisanya apa? Ketiga: setiap mil tambahan menambah berapa dolar ke tarif. Perhatikan bahwa tiga pertanyaan ini persis menjadi tiga alat yang akan kita kuasai hari ini: koefisien korelasi menjawab pertanyaan pertama, koefisien determinasi menjawab yang kedua, dan kemiringan regresi menjawab yang ketiga. Dan tiga pola pertanyaan ini bukan milik maskapai saja — jam belajar terhadap nilai, luas rumah terhadap biaya listrik, diskon terhadap penjualan — semuanya memakai kerangka yang sama.

Bagian 1 dari 3

Analisis Korelasi

Diagram pencar, koefisien korelasi Pearson, menghitung $r$ dari nol, menguji signifikansinya, dan jebakan korelasi-semu.

Diagram Pencar $r$ Pearson Uji-t $r$

Kasus Utama: North American Copier Sales

Manajer penjualan Marcy Bancer mengambil sampel acak 15 tenaga penjual: jumlah panggilan penjualan vs jumlah mesin fotokopi terjual (Tabel 13-1 buku).

Variabel Bebas (X)

$x$

Jumlah panggilan penjualan

Dasar untuk menaksir / memprediksi — sumbu horizontal. Sampel: 36 sampai 180 panggilan.

Variabel Terikat (Y)

$y$

Jumlah mesin fotokopi terjual

Yang diprediksi — sumbu vertikal, 28 sampai 70 unit. Untuk satu nilai $x$, banyak nilai $y$ mungkin (acak).

Total sampel: $\sum x = 1440$ panggilan, $\sum y = 675$ mesin → $\bar{x} = 96$ dan $\bar{y} = 45$. Diagram pencar (Chart 13-1) memperlihatkan pola naik: yang rajin menelepon cenderung menjual lebih banyak — tapi tidak sempurna: Mike Kiel hanya 80 panggilan (di bawah rata-rata) namun menjual 50 mesin (di atas rata-rata) — titik-titik tidak segaris.

Kasus ini akan menemani kita sepanjang deck, jadi mari hafalkan tokohnya. North American Copier Sales adalah perusahaan penjual mesin fotokopi di Amerika dan Kanada; manajernya, Marcy Bancer, ingin membuktikan kepada para tenaga penjualnya bahwa setiap panggilan ekstra itu berharga. Ia mengambil sampel acak lima belas perwakilan dan mencatat dua angka per orang: berapa panggilan penjualan yang dilakukan bulan lalu dan berapa mesin yang terjual. Konvensinya penting: variabel bebas x adalah panggilan — yang jadi dasar prediksi, digambar di sumbu datar — dan variabel terikat y adalah mesin terjual, di sumbu tegak. Kenapa disebut terikat? Karena untuk satu jumlah panggilan tertentu, hasil penjualannya acak: banyak kemungkinan. Dari data ini diperoleh jumlah total seribu empat ratus empat puluh panggilan dan enam ratus tujuh puluh lima mesin, sehingga rata-ratanya sembilan puluh enam panggilan dan empat puluh lima mesin. Diagram pencarnya menunjukkan awan titik yang menaik — hubungan positif — tetapi tidak semua titik segaris; itulah mengapa kita butuh ukuran numerik seberapa kuat.

Coba Sendiri: Geser Kekuatan Hubungan, Lihat Nilai $r$

Diagram pencar 30 UMKM — geser kekuatan dan arah hubungan, amati bagaimana awan titik dan nilai $r$ berubah bersamaan.

Koefisien Korelasi Pearson — Intuisi Empat Kuadran

Tarik garis di $\bar{x} = 96$ dan $\bar{y} = 45$ → diagram terbagi 4 kuadran. Jumlahkan hasil kali simpangan $\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})$:

$$r = \frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{(n-1)\, s_{x}\, s_{y}} \qquad [13\text{--}1]$$

Kuadran II & III

(+)

Kedua simpangan searah tanda → hasil kali positif. Banyak titik di sini = korelasi positif.

Kuadran I & IV

(−)

Tanda berlawanan → hasil kali negatif. Banyak titik di sini = korelasi negatif.

Sebaran Rata

$r \approx 0$

Positif dan negatif saling meniadakan → nyaris tak ada hubungan linear.

Pembagi $(n-1)s_{x}s_{y}$ membuat $r$ bebas dari satuan (panggilan vs mesin tak masalah) dan terkurung $-1$ s.d. $+1$. Ciri: $r = \pm 1$ korelasi sempurna; $r = -0{,}91$ dan $r = +0{,}91$ sama kuatnya.

Inilah intuisi terpenting di balik rumus Pearson, dan saya jamin sekali paham Anda tidak akan pernah lupa. Gambarkan diagram pencar copier sales, lalu tarik satu garis tegak di rata-rata x yaitu sembilan puluh enam, dan satu garis datar di rata-rata y yaitu empat puluh lima — seolah memindahkan titik asal ke pusat data. Setiap titik kini punya dua simpangan: berapa panggilannya menyimpang dari sembilan puluh enam, dan berapa penjualannya menyimpang dari empat puluh lima. Kalau dua simpangan itu cenderung sama-sama positif atau sama-sama negatif — orang yang lebih rajin menelepon sekaligus menjual lebih banyak — hasil kalinya positif, dan jumlahnya besar. Kalau kebalikannya, hasil kali negatif. Rumusnya sesederhana menjumlahkan semua hasil kali itu lalu membagi dengan sesuatu yang membuat angkanya bebas satuan dan terkunci di antara minus satu dan plus satu: n dikurangi satu dikali simpangan baku x dikali simpangan baku y. Karena itu panggilan bisa diukur dalam kali menelepon dan mesin dalam unit — r tidak peduli satuan.

Hitung dari Nol — HDN-1: Korelasi Panggilan vs Penjualan

Data 15 tenaga penjual (Lind, Tabel 13-3): $\bar{x} = 96$; $\bar{y} = 45$; $s_{x} = 42{,}76$; $s_{y} = 12{,}89$ (Excel). Sebagian baris deviasi buku:

Baris buku	$x-\bar{x}$	$y-\bar{y}$	$(x-\bar{x})(y-\bar{y})$
Brian Virost (96; 41)	0	−4	0
Carol Saia (104; 51)	+8	+6	+48
Jeff Hall (164; 61)	+68	+16	+1.088
Ray Snarsky (36; 28)	−60	−17	+1.020
Mike Kiel (80; 50) — satu-satunya negatif	−16	+5	−80
Jumlah 15 baris	0	0	$\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 6.672$

$r = \dfrac{6.672}{(15-1)(42{,}76)(12{,}89)} = \dfrac{6.672}{7.712{,}7} = 0{,}865$ — korelasi positif kuat. Hanya Mike Kiel yang menyumbang hasil kali negatif (kurang menelepon tapi menjual banyak) — itulah sebab hubungan "hampir" tapi tidak sempurna.

Sekarang giliran tangan Anda. Dari tabel deviasi yang persis sama dengan Tabel tiga belas tiga buku, kita hitung r dari nol. Baris pertama, Brian Virost: sembilan puluh enam panggilan berarti simpangan nol, jadi hasil kalinya nol berapa pun penjualannya. Carol Saia: delapan panggilan di atas rata-rata dan enam mesin di atas rata-rata, hasil kali empat puluh delapan — positif. Jeff Hall yang paling ekstrem: enam puluh delapan dan enam belas, hasil kali seribu delapan puluh delapan. Ray Snarsky di pojak lain: minus enam puluh dan minus tujuh belas, kedua-duanya negatif, hasil kali justru positif seribu dua puluh — inilah kekuatan kuadran tiga. Dari lima belas orang, hanya satu yang hasil kalinya negatif: Mike Kiel, yang menelepon enam belas kali di bawah rata-rata tetapi menjual lima mesin di atasnya. Jumlah akhirnya enam ribu enam ratus tujuh puluh dua. Masukkan ke rumus: pembagi empat belas dikali empat puluh dua koma tujuh enam dikali dua belas koma delapan sembilan sekitar tujuh ribu tujuh ratus tiga belas; hasil baginya nol koma delapan enam lima — korelasi positif kuat, persis seperti buku.

Coba Sendiri: Kalkulator $r$ + Uji-t Signifikansi

Masukkan komponen rumus — default sudah terisi angka HDN-1. Ubah $n$, arah uji, atau $\alpha$ dan lihat keputusannya berubah.

Uji Signifikansi $r$ — dan Miskonsepsi #1: Korelasi ≠ Kausalitas

$$t = \frac{r\sqrt{\,n-2\;}}{\sqrt{\,1-r^{2}\;}} \quad (\text{df} = n-2) \qquad [13\text{--}2]$$

Hitung (copier sales)

$t = 6{,}216$

df = 13 · α = 0,05 dua arah

$t = \dfrac{0{,}865\sqrt{13}}{\sqrt{1-0{,}865^{2}}} = 6{,}216 > t_{tabel} = 2{,}160$ → Tolak $H_{0}: \rho = 0$. Korelasi di populasi bukan nol (p ≈ 0,000013).

Tapi Awas — Spurious!

ρ ≠ sebab

Korelasi semu (spurious)

Buku: konsumsi kacang Georgia vs aspirin berkorelasi kuat; pendapatan dosen vs penghuni rumah sakit jiwa naik bersama; populasi keledai turun, gelar doktor naik. Kuat ≠ sebab-akibat.

Kesimpulan sah dari korelasi: "dua variabel berhubungan secara statistik" — bukan "X menyebabkan Y". Kausalitas butuh logika teori, desain eksperimen, atau mekanisme yang bisa dipertanggungjawabkan.

Dua hal saya satukan di satu slide karena keduanya berpasangan. Pertama, formalitas: r nol koma delapan enam lima itu datang dari sampel lima belas orang — bagaimana kalau di populasi korelasinya sebenarnya nol dan angka ini cuma kebetulan sampling? Uji-t formula tiga belas dua menjawab: r akar n dikurangi dua dibagi akar satu dikurangi r kuadrat menghasilkan enam koma dua satu enam, jauh melampaui t tabel dua koma satu enam enol pada derajat bebas tiga belas — jadi korelasi populasi memang bukan nol. Kedua — dan ini peringatan yang harus Anda bawa seumur hidup sebagai analis — menolak hipotesis nol itu bukan sertifikat kausalitas. Buku Lind sendiri memberi contoh legendaris: konsumsi kacang Georgia berkorelasi kuat dengan konsumsi aspirin, pendapatan profesor naik beriringan dengan penghuni rumah sakit jiwa, dan makin sedikit keledai di Amerika makin banyak gelar doktor diberikan. Semua "signifikan", semua omong kosong secara kausal — namanya korelasi semu. Yang boleh Anda simpulkan hanyalah asosiasi; sebab-akibat harus dibela dengan teori atau eksperimen.

Coba Sendiri: Berkorelasi ≠ Menyebabkan

Koleksi korelasi semu terkenal — amati pasangan variabel yang absurd namun berkorelasi tinggi, dan variabel perantara yang sebenarnya bekerja.

Bagian 2 dari 3

Regresi Linear Kuadrat-Terkecil

Dari "seberapa kuat hubungan" ke "berapa besar dan bisa dipakai prediksi": prinsip least squares, koefisien $a$ & $b$, residual, dan kualitas persamaan.

Least Squares $\hat{y} = a + bx$ $s_{y\cdot x}$ · $r^{2}$

Prinsip Kuadrat-Terkecil: Garis Mana yang "Terbaik"?

Buku membandingkan tiga garis pada data yang sama (Chart 13-9/10/11) — kriteria: jumlah kuadrat simpangan vertikal $\sum (y - \hat{y})^{2}$ terkecil.

Garis	Cara diperoleh	$\sum (y-\hat{y})^{2}$ (SSE)	Vonis
Garis kuadrat-terkecil	Rumus $b = r(s_y/s_x)$	24 (3 titik: 4+16+4)	Terbaik — dijamin minimum
Garis penggaris #1	Ditarik tangan	44	Kalah
Garis penggaris #2	Ditarik tangan	132	Jauh lebih kalah

Mengapa dikuadratkan?

$\sum (y-\hat{y})^{2}$

Simpangan positif & negatif tak saling meniadakan

Simpangan vertikal dari titik ke garis = residual. Tanpa kuadrat, garis buruk bisa "menang" karena plus-minus meniadakan.

Bentuk persamaan

$\hat{y} = a + bx$

[13-3]

$a$ = intersep (nilai $\hat{y}$ saat $x=0$) · $b$ = kemiringan (perubahan $\hat{y}$ per satu satuan $x$).

Pertanyaan kunci regresi: dari sekian banyak garis yang bisa ditarik melewati awan titik, mana yang terbaik? Kalau kita tarik dengan penggaris, jawabannya bergantung selera orang — buku memperlihatkan empat garis buatan empat orang dan semuanya masuk akal secara visual, padahal prediksinya berbeda-beda. Metode kuadrat-terkecil menggantikan selera dengan kriteria objektif: pilihlah garis yang meminimumkan jumlah kuadrat simpangan vertikal. Contoh mini buku pada tiga titik: garis kuadrat-terkecil memberi simpangan dua, empat, dan dua — kuadratnya empat, enam belas, empat, jumlah dua puluh empat. Dua garis penggaris pesaing memberi empat puluh empat dan seratus tiga puluh dua — keduanya kalah. Kenapa harus dikuadratkan? Karena simpangan positif dan negatif akan saling meniadakan kalau dijumlahkan polos, sehingga garis yang sangat buruk pun bisa berjumlah nol. Kuadrat membuat semua kontribusi positif. Ingat bentuk persamaannya: y-topi sama dengan a ditambah b x — a intersep, b kemiringan.

Coba Sendiri: Kalahkan Garis Kuadrat-Terkecil

Geser intercept dan slope manual — SSE Anda tampil berdampingan dengan nilai minimum OLS. Coba kalahkan; Anda tidak akan bisa.

Hitung dari Nol — HDN-2: Persamaan Regresi Copier Sales

Dari bahan yang sudah Anda punya (HDN-1): $r = 0{,}865$; $s_y = 12{,}89$; $s_x = 42{,}76$; $\bar{x} = 96$; $\bar{y} = 45$.

Langkah	Rumus buku	Perhitungan	Nilai
Kemiringan	$b = r\,(s_y / s_x)$ [13-4]	$0{,}865 \times \dfrac{12{,}89}{42{,}76}$	0,2608
Intersep	$a = \bar{y} - b\,\bar{x}$ [13-5]	$45 - 0{,}2608(96)$	19,9632
Persamaan	$\hat{y} = a + bx$	—	$\hat{y} = 19{,}9632 + 0{,}2608\,x$
Prediksi 100 panggilan	substitusi $x = 100$	$19{,}9632 + 0{,}2608(100)$	46,04 mesin
Ekstrapolasi 20 panggilan ekstra	$0{,}2608 \times 20$	—	+5,216 mesin

Tafsir $b$: tiap 1 panggilan tambahan → rata-rata +0,2608 mesin. Tafsir $a = 19{,}96$ "mesin terjual tanpa panggilan" tak boleh dipakai — $x=0$ di luar rentang data (36–180). Prediksi sah hanya di dalam rentang X sampel.

Indahnya regresi sederhana: koefisiennya bisa dihitung dari bahan yang sudah kita punya. Kemiringan b sama dengan r dikali rasio simpangan baku s y per s x — nol koma delapan enam lima dikali dua belas koma delapan sembilan dibagi empat puluh dua koma tujuh enam menghasilkan nol koma dua enam nol delapan. Intersep a sama dengan rata-rata y dikurangi b dikali rata-rata x — empat puluh lima dikurangi nol koma dua enam nol delapan kali sembilan puluh enam menghasilkan sembilan belas koma sembilan enam tiga dua. Persamaan lengkapnya: y-topi sama dengan sembilan belas koma sembilan enam tiga dua ditambah nol koma dua enam nol delapan kali x. Untuk seratus panggilan, prediksinya empat puluh enam koma nol empat mesin. Perhatikan dua tafsir penting. Pertama, b berarti setiap panggilan ekstra menambah rata-rata nol koma dua enam mesin — atau dua puluh panggilan ekstra menambah sekitar lima mesin. Kedua, jangan pernah menafsirkan a secara harfiah sebagai "menjual dua puluh mesin tanpa menelepon" — nol panggilan berada di luar rentang data kita yang mulai dari tiga puluh enam; regresi hanya berlaku di dalam rentang x yang diamati.

Menilai Persamaan: Residual, $s_{y\cdot x}$, dan $r^{2}$

Bukti SSE minimum pada data 15 sales — bandingkan tiga persamaan (spreadsheet buku hal. 453):

Persamaan	$\sum (y-\hat{y})^{2}$	Catatan
$\hat{y} = 19{,}9632 + 0{,}2608x$ (OLS)	587,1108	Minimum terjamin — tak ada garis lain yang lebih kecil
$y^{*} = 18 + 0{,}275x$ (mirip OLS)	597,8	Selisih tipis saja sudah kalah
$y^{**} = 20 + 0{,}225x$ (mirip OLS)	793,0	Semakin jauh dari OLS, semakin buruk
Contoh residual: Soni Jones (120; 45)	$45 - 51{,}2592 = -6{,}2592$	Prediksi 6,26 mesin terlalu tinggi

Galat Taksiran Standar [13-7]

$s_{y\cdot x} = 6{,}720$

$= \sqrt{\dfrac{587{,}1108}{13}}$

Sebaran tipikal di sekitar garis: ±6,72 mesin memuat ~68% residual, ±13,44 memuat ~95%.

Koefisien Determinasi

$r^{2} = 0{,}748$

$= 0{,}865^{2}$ = SSR/SST

74,8% variasi mesin terjual dijelaskan panggilan; 25,2% sisanya galat. ANOVA: SSR 1.738,89 + SSE 587,11 = SST 2.326,0.

Buku membuktikan klaim minimumnya dengan cara yang sangat meyakinkan: menghitung SSE untuk dua persamaan pesaing yang sengaja dibuat mirip. Persamaan bintang, delapan belas plus nol koma dua tujuh lima x, hanya bergeser sedikit dari OLS — SSE-nya lima ratus sembilan puluh tujuh koma delapan, sudah kalah. Persamaan bintang ganda dua puluh plus nol koma dua dua lima x memberi tujuh ratus sembilan puluh tiga — jauh lebih buruk. Jadi lima ratus delapan puluh tujuh koma sebelas adalah lantai sesungguhnya. Residual per orang juga informatif: Soni Jones menelepon seratus dua puluh kali, prediksinya lima puluh satu koma dua enam mesin, kenyataannya empat puluh lima — prediksi meleset enam koma dua enam terlalu tinggi. Dari SSE itu lahir dua ukuran kualitas. Galat taksiran standar: akar dari SSE dibagi n dikurangi dua, yaitu enam koma tujuh dua nol mesin — seperti simpangan baku di sekitar garis. Dan koefisien determinasi: r kuadrat, nol koma tujuh empat delapan — tujuh puluh empat koma delapan persen variasi penjualan dijelaskan oleh panggilan, sisanya dua puluh lima koma dua persen adalah derau lain.

Coba Sendiri: Uji Slope, Standar Error & Interval Kepercayaan

Output regresi iklan → penjualan: geser data dan amati $s_b$, statistik $t = b/s_b$, dan CI koefisien bergerak serempak.

Bagian 3 dari 3

Interval Prediksi & Transformasi

Interval kepercayaan untuk rata-rata vs interval prediksi untuk satu individu, kapan model salah bentuk, dan checkpoint penutup.

CI Mean PI Individu Log Transform

Hitung dari Nol — HDN-3: CI vs PI pada 50 Panggilan

Bahan (Tabel 13-4 buku): $\hat{y} = 19{,}9632 + 0{,}2608x$; $s_{y\cdot x} = 6{,}720$; $n = 15$; $\bar{x} = 96$; $\sum (x-\bar{x})^{2} = 25.600$; $t_{(0{,}05;\,13)} = 2{,}160$.

Langkah	Perhitungan	Nilai
Prediksi titik $x = 50$	$19{,}9632 + 0{,}2608(50)$	$\hat{y} = 33{,}0032$
Akar CI	$\sqrt{\dfrac{1}{15} + \dfrac{(50-96)^{2}}{25.600}} = \sqrt{0{,}1494}$	0,3865
CI rata-rata	$33{,}0032 \pm 2{,}160(6{,}720)(0{,}3865)$	± 5,609 → 27,39 … 38,61
PI individu (+1 di akar)	$33{,}0032 \pm 2{,}160(6{,}720)\sqrt{1 + 0{,}1494}$	± 15,561 → 17,44 … 48,56

PI hampir 3× CI. Tafsir: rata-rata penjual yang menelepon 50× akan jual 27,4–38,6 mesin; tapi Sarah — satu penjual tertentu — bisa seserak 17,4–48,6. Individu lebih sulit ditebak daripada rata-rata; itu masuk akal. Kedua pita juga melebar menjauhi $\bar{x} = 96$ (sebab suku $(x-\bar{x})^2$ di pembilang).

Inilah slide yang paling sering muncul di ujian dan paling sering tertukar di skripsi. Pertanyaannya dua: kalau semua penjual melakukan lima puluh panggilan, berapa rata-rata mesin yang terjual — dan berapa mesin yang terjual oleh Sheila Baker, satu orang tertentu, yang melakukan lima puluh panggilan? Prediksi titiknya sama: tiga puluh tiga koma nol nol tiga dua. Bedanya di rentang. Untuk rata-rata, kalikan t tabel dua koma satu enam nol dengan galat taksiran enam koma tujuh dua nol dengan akar satu per lima belas plus lima puluh dikurangi sembilan puluh enam dikuadratkan dibagi dua puluh lima ribu enam ratus — hasilnya plus minus lima koma enam nol sembilan, rentang dua puluh tujuh koma empat sampai tiga puluh delapan koma enam. Untuk satu individu, tambahkan angka satu di dalam akar — plus minus lima belas koma lima enam satu, rentang tujuh belas koma empat sampai empat puluh delapan koma lima enam. Mengapa individu jauh lebih lebar? Karena rata-rata meratakan keacakan antar-orang, sedangkan satu orang menanggung seluruh keacakan itu sendirian. Dan perhatikan: kita memprediksi di lima puluh, jauh dari rata-rata sembilan puluh enam — itulah mengapa rentangnya relatif lebar; dekat rata-rata data, kedua pita menyempit.

Coba Sendiri: Pita CI vs PI yang Melebar Menjauhi Rata-rata

Geser $x$ target dari 50 ke 96 lalu ke 160 — amati kedua pita menyempit di dekat $\bar{x}$ dan melebar di tepi; sentuh modelnya dengan mengubah $s_{y\cdot x}$.

Miskonsepsi #2: Signifikan ≠ Penting — dan Hubungan Melengkung

Applewood Auto Group (buku)

$r = 0{,}262$

n = 180 · uji-t = 3,622 > 1,653 → signifikan!

Usia pembeli vs laba kendaraan: signifikan statistik (p ≈ 0,0002) namun lemah (r² ≈ 6,9%). Keputusan buku: jangan bikin kampanye iklan untuk pembeli tua — hasil paling tidak pasti.

GroceryLand Supermarkets (buku)

$r^{2}: 0{,}889 \to 0{,}989$

Transformasi log(y)

Harga vs penjualan cola melengkung (r = −0,943 linear, kurva). Regresi $\widehat{\log y} = 2{,}685 - 0{,}8738x$ → R² naik ke 98,9%. Prediksi harga $1,25: $10^{1{,}593} \approx 39$ botol.

Dua penyakit berbeda: (1) n besar membuat r kecil tetap "signifikan" — nilai-p bicara peluang, bukan ukuran manfaat; laporkan r/r² + konteks bisnis. (2) r mengukur hubungan linear saja — hubungan kuat namun melengkung bisa tampak "r sedang"; bila residual berpola lengkung, transformasikan (log, akar, kebalikan) sebelum menyimpulkan tak ada hubungan.

Dua pelajaran penutup yang sangat praktis. Pertama, Applewood: korelasi nol koma dua enam dua antara usia pembeli dan laba penjualan kendaraan. Dengan n seratus delapan puluh, uji-t menghasilkan tiga koma enam dua dua — signifikan secara statistik pada taraf lima persen satu arah. Tapi lihat ukurannya: r kuadrat hanya sekitar tujuh persen — usia nyaris tak menjelaskan laba. Buku menarik kesimpulan yang sangat dewasa: secara statistik ada hubungan positif di populasi, tetapi kampanye iklan menargetkan pembeli tua tetap tak layak karena daya jelaskan model terlalu kecil. Signifikansi bicara "apakah efeknya nol atau bukan", bukan "apakah efeknya cukup besar untuk dipakai". Kedua, GroceryLand: harga versus penjualan diet cola tampak ber-r kuat nol koma sembilan empat tiga, tetapi titik-titik melengkung — di harga ekstrem titik di atas garis, di tengah di bawah. Solusinya transformasi: regresikan logaritma penjualan terhadap harga, r kuadrat melonjak ke nol koma sembilan delapan sembilan, dan persamaan jadi layak pakai — ingat hasilnya harus di-antilog kembali ke satuan botol. Pesan pulangnya: periksa pola residual dulu, baru percaya pada r.

Checkpoint & Rangkuman Cepat

Checkpoint — kerjakan 3 menit

CP1. Haverty's Furniture (Self-Review 13-1): iklan (1,2,3,4) vs penjualan (7,3,8,10) $ juta. Hitung $r$ dan $b$ — lalu prediksi penjualan saat iklan $3 juta. (Jawab: r ≈ 0,999; ŷ ≈ 1,5+2,2x → 8,1)
CP2. Pennsylvania Refining (Exercise 9): $n = 20$, $r = 0{,}78$, α = 0,01 satu arah. Signifikan? (t = 5,35 > 2,552 → ya)
CP3. Mengapa PI > CI selalu? Sebutkan suku rumus yang membedakannya.
CP4. Teman Anda berkata "r keledai vs doktor tinggi, berarti keledai penting untuk pendidikan". Bongkar.

Cheat sheet Bab 13

$r = \dfrac{\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})}{(n-1)s_{x}s_{y}}$ — kuat & arah, $-1 \le r \le 1$
Uji $r$: $t = \dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^{2}}}$, df $= n-2$; identik dengan uji slope
$b = r\,(s_y/s_x)$; $a = \bar{y} - b\bar{x}$; garis selalu lewat $(\bar{x}, \bar{y})$
$s_{y\cdot x} = \sqrt{SSE/(n-2)} = 6{,}720$; $r^{2} = 1 - SSE/SST = 0{,}748$
CI mean: akar $\tfrac{1}{n} + \tfrac{(x-\bar{x})^{2}}{\sum(x-\bar{x})^{2}}$; PI: tambah 1
Korelasi ≠ kausalitas; signifikan ≠ penting; linear saja → cek pola residual

Materi tambahan T5 selesai. Deck berikutnya (T6) mengangkat Bab 14: Analisis Regresi Berganda — semua rumus hari ini diperluas dari satu X menjadi banyak X.

Kita tutup dengan checkpoint yang bisa Anda kerjakan dalam tiga menit. Soal pertama diambil dari Self-Review tiga belas satu buku: empat bulan data iklan dan penjualan Haverty's Furniture — hitung r dan b lalu prediksi saat iklan tiga juta dolar; hasilnya r mendekati satu dan persamaan satu koma lima plus dua koma dua x memberi prediksi delapan koma satu juta. Soal kedua dari Exercise sembilan: dua puluh stasiun pom bensin dengan r nol koma tujuh delapan, uji satu arah alfa satu persen — t hitung lima koma tiga lima melampaui dua koma lima lima dua, signifikan. Soal ketiga menguji pemahaman konseptual: PI lebih lebar karena ada tambahan satu di dalam tanda akar. Soal keempat menguji refleks korelasi semu. Cheat sheet di kanan merangkum enam baris kunci bab — hafalkan empat yang pertama, pahami dua yang terakhir. Sesi tambahan T5 resmi selesai; minggu depan deck T6 memperluas seluruh kerangka ini ke regresi berganda Bab empat belas.