Program Studi Manajemen • FEB UNDIP

Statistika Bisnis II

Materi Tambahan — Uji Hipotesis Dua Sampel

Dari satu sampel ke dua populasi: apakah selisih dua rata-rata nyata, atau cuma kebetulan sampling — dengan tiga senjata: uji z, uji t gabungan, dan uji t berpasangan.

MATERI TAMBAHAN • LIND CH.11 TAMBAHAN 3 • 21 SLIDE • 30 MENIT

Tujuan Pembelajaran — LO11-1 s.d. LO11-4

Empat learning objectives Bab 11 buku Lind, diterjemahkan: dari dunia ideal (σ diketahui) sampai trik desain berpasangan.

LO11-1 · Uji z

σ diketahui

Menguji kesamaan dua rata-rata populasi independen ketika simpangan baku populasi diketahui — statistik uji z (contoh: FoodTown).

LO11-2 · Uji t

σ tak diketahui

Kasus dunia nyata: s menggantikan σ. Dua jalur — variansi gabungan (pooled, $\sigma_{1}=\sigma_{2}$) dan Welch ($\sigma_{1}\neq\sigma_{2}$, df disesuaikan).

LO11-3 · Paired t

$\mu_{d}$

Menguji rata-rata selisih pada observasi berpasangan/dependen: $t=\bar{d}/(s_{d}/\sqrt{n})$, df = n−1 (contoh: dua penilai properti).

LO11-4 · Desain

Dependen?

Menjelaskan perbedaan sampel dependen vs independen — dan mengapa salah mengenali membuat kesimpulan bisa berbalik pada data yang sama.

Dua Populasi, Satu Pertanyaan

Tiga pertanyaan bisnis — jawabannya bukan sekadar “yang besar menang”:

Kasus 1

Kasir

Kasir dibantu vs self-checkout di supermarket: mana yang rata-ratanya lebih cepat? Dua populasi orang berbeda → independen.

Kasus 2

Rute

Dua rute ekspedisi Jakarta–Bandung: rata-rata sama-sama 3 jam. Mana yang konsisten (tidak macet-macet tak menentu)? Ini soal variansi.

Kasus 3

Sebelum

Produktivitas karyawan sebelum vs sesudah pelatihan: orang yang sama diukur dua kali → berpasangan (dependen).

Pertanyaan statistiknya selalu satu: selisih rata-rata sampel ≠ 0 — kebetulan sampling, atau bukti populasi memang berbeda? Kasus 2 (variansi) dibahas di tambahan Ch.12; hari ini fokus mean.

Bagian 1 dari 4

Dua Mean Independen
σ Diketahui (Uji z)

Fondasi logika: bagaimana bentuk distribusi selisih dua rata-rata sampel?

Distribusi Selisih Dua Rata-rata Sampel

CLT diperluas: jika kedua populasi normal, selisih $\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}$ juga berdistribusi normal.

$$\sigma^{2}_{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}} = \frac{\sigma^{2}_{1}}{n_{1}} + \frac{\sigma^{2}_{2}}{n_{2}} \quad\text{(JUMLAH, bukan selisih!)}$$

$$z = \frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}{\sqrt{\sigma^{2}_{1}/n_{1} + \sigma^{2}_{2}/n_{2}}}$$

Tiga Asumsi Uji z Dua Sampel

Kedua populasi berdistribusi normal
Dua sampel independen (saling tak berhubungan)
$\sigma_{1}$ dan $\sigma_{2}$ diketahui

Coba Sendiri: Kenapa Rata-rata Sampel Punya Distribusi?

Tarik sampel berulang lewat animasi CLT ini — kurva rata-rata sampel terbentuk dan menyempit saat n membesar; logika yang sama berlaku untuk $\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}$.

HDN-1: FoodTown — Kasir vs Fast Lane (Uji z)

Contoh resmi buku: waktu kasir Standar (n=50, $\bar{x}=5{,}50$ mnt, $\sigma=0{,}40$) vs Fast Lane (n=100, $\bar{x}=5{,}30$ mnt, $\sigma=0{,}30$). $\alpha=0{,}01$. Dugaan: standar lebih lambat.

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. Hipotesis	$H_{0}:\ \mu_{S}\leq\mu_{F}$ ; $H_{1}:\ \mu_{S}>\mu_{F}$ (satu arah kanan)	uji ekor kanan
2. Kaidah keputusan	$\alpha=0{,}01$ satu arah → tabel z (baris ∞ tabel t)	z kritis = 2,326
3. Galat baku	$\sqrt{\frac{0{,}40^{2}}{50}+\frac{0{,}30^{2}}{100}}=\sqrt{0{,}0032+0{,}0009}$	$\sqrt{0{,}0041}=0{,}064031$
4. z hitung	$\frac{5{,}50-5{,}30}{0{,}064031}=\frac{0{,}20}{0{,}064031}$	z = 3,123
5. Keputusan	3,123 ≫ 2,326 → jatuh di daerah penolakan	TOLAK $H_{0}$
6. p-value	$P(z>3{,}123)$; tabel berhenti di 3,09 (&area; .4990)	p < 0,0010

Interpretasi: selisih 0,2 menit terlalu besar untuk disebut kebetulan — Fast Lane memang lebih cepat. 12 detik per pelanggan terakumulasi jadi hemat antrean nyata di jam sibuk.

Bagian 2 dari 4

σ Tidak Diketahui:
Pooled t & Welch

Dunia nyata: s menggantikan σ — dan konsekuensinya bukan sekadar ganti huruf.

Pooled t: Menggabungkan Dua Variansi

Tiga perbedaan vs uji z: (1) asumsi $\sigma_{1}=\sigma_{2}$ (tak diketahui), (2) dua s digabung, (3) statistik uji = t.

$$s^{2}_{p} = \frac{(n_{1}-1)s^{2}_{1} + (n_{2}-1)s^{2}_{2}}{n_{1}+n_{2}-2} \quad\text{(rata-rata tertimbang df)}$$

$$t = \frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}{\sqrt{s^{2}_{p}\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}\right)}} \qquad df = n_{1}+n_{2}-2$$

Kenapa digabung? Kalau kedua populasi memang bersigma sama, semua informasi tentang σ dari kedua sampel adalah estimasi terbaik yang ada — membuang salah satunya sia-sia. Pola “sinyal ÷ derau” di penyebut akan muncul lagi di ANOVA (Ch.12).

HDN-2: Owens Lawn Care — Dua Metode Pemasangan (Pooled t)

Contoh resmi buku: waktu pasang mesin (menit) — Welles n=5: {2, 4, 9, 3, 2} · Atkins n=6: {3, 7, 5, 8, 4, 3}. $\alpha=0{,}10$ dua arah.

Metode	$\bar{x}$	$\sum(x-\bar{x})^{2}$	$s$
Welles (n=5)	20/5 = 4	34	$\sqrt{34/4}$ = 2,9155
Atkins (n=6)	30/6 = 5	22	$\sqrt{22/5}$ = 2,0976

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. df & kritis	df = 5+6−2 = 9; dua arah 0,10	±1,833
2. $s^{2}_{p}$	$\frac{4(2{,}9155)^{2}+5(2{,}0976)^{2}}{9}=\frac{34+22}{9}$	6,2222
3. Penyebut	$\sqrt{6{,}2222(\frac{1}{5}+\frac{1}{6})}$	1,5105
4. t hitung	$(4-5)/1{,}5105$	t = −0,662
5. Keputusan	−1,833 < −0,662 < 1,833	GAGAL TOLAK $H_{0}$
6. p-value	df 9, dua arah (Excel buku)	p = 0,525

“Gagal tolak” adalah jawaban yang benar. n kecil (5 & 6) + sebaran besar (s≈2–3) → selisih 1 menit belum terdeteksi. Bandingkan HDN-1: selisih 0,2 menit signifikan karena n besar & sebaran kecil.

Ini slide paling penting untuk kuis. Dua hal yang sering salah. Pertama, s dari data mentah harus lewat tabel deviasi: kuadratkan selisih tiap nilai dari mean kelompoknya, jumlahkan, bagi n min satu — kolom tiga di tabel kiri itu hasilnya, tiga puluh empat dan dua puluh dua. Kedua — dan ini pelajaran hatinya: t hitung kita minus nol koma enam dua, TIDAK signifikan, dan itu jawaban yang benar! Mahasiswa sering merasa gagal tolak itu kegagalan — tidak; gagal tolak adalah kesimpulan sah: sampel kecil dengan sebaran besar memang belum cukup untuk menghukum metode mana pun. Excel buku mengonfirmasi p nol koma lima dua lima — jauh di atas nol koma satu nol. Bandingkan dengan HDN satu: di sana selisih hanya nol koma dua menit tapi signifikan karena n besar dan sebaran kecil; di sini selisih satu menit tidak signifikan. Signifikansi adalah selisih RELATIF terhadap derau, bukan selisih mentah.

Coba Sendiri: Geser Dua Kelompok, Lihat t Bergerak

Jauhkan rata-rata kedua kelompok atau kecilkan sebarannya — perhatikan pembilang dan penyebut t bekerja berlawanan arah.

Welch: Bila Variansi Tak Bisa Diasumsikan Sama

Aturan praktis: bila satu $s$ ≈ 2× yang lain (cek boxplot/rentang) — jangan dipaksa pooled.

$$t = \frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}{\sqrt{\frac{s^{2}_{1}}{n_{1}}+\frac{s^{2}_{2}}{n_{2}}}} \qquad df = \frac{\left[\frac{s^{2}_{1}}{n_{1}}+\frac{s^{2}_{2}}{n_{2}}\right]^{2}}{\frac{(s^{2}_{1}/n_{1})^{2}}{n_{1}-1}+\frac{(s^{2}_{2}/n_{2})^{2}}{n_{2}-1}} \;\text{(pangkas ke bawah)}$$

Contoh buku: daya serap handuk kertas (ml)	n	$\bar{x}$	$s$	Rentang
Merek toko	9	6,444	3,321	1–12 (bervariasi)
Merek nasional	12	9,417	1,621	6–12 (konsisten)
df Welch	$\frac{(1{,}4434)^{2}}{0{,}1877+0{,}0044}=10{,}86 \to$ 10 ; t = $\frac{6{,}444-9{,}417}{1{,}2014}$ = −2,474 < kritis −1,812 → TOLAK $H_{0}$: daya serap beda

Efek rumus df: derajat kebebasan dipangkas (19 → 10) — hukuman karena menolak asumsi σ sama → dibutuhkan t lebih besar untuk menolak $H_{0}$. Minitab membulatkan 10, Excel 11 — kesimpulan sama.

Kapan pooled, kapan Welch? Aturan praktisnya: lihat boxplot atau bandingkan s — kalau satu s kira-kira dua kali atau lebih dari yang lain, syarat sigma sama layak dicurigai. Contoh handuk kertas buku: rentang merek toko satu sampai dua belas mililiter versus merek nasional enam sampai dua belas — jelas sebarannya jauh berbeda, jadi Welch yang dipakai. Rumus df-nya memang kelihatannya jahat — tidak perlu dihafal mati; pahami efeknya saja: derajat kebebasan dipangkas dari sembilan belas menjadi sekitar sepuluh, jadi ambang t naik — kita membayar harga konservatif karena menolak satu asumsi gratis. Buku mencatat jujur bahwa software berbeda membulatkan df berbeda — Minitab sepuluh, Excel sebelas — tapi kesimpulannya sama. Di skripsi: tampilkan uji pra-cek seperti Levene, baru pilih jalur.

Bagian 3 dari 4

Sampel Berpasangan
(Paired t)

Trik paling ampuh Bab 11: kunci objeknya, hapus variasi antar-objek dari perhitungan.

Dependen vs Independen (LO11-4)

Uji sederhana: “apakah tiap angka di kelompok 1 punya pasangan sah di kelompok 2, pada objek yang sama?” Ya → dependen.

Dua Wajah Sampel Dependen

Sekuens waktu (before–after): ukur → perlakuan → ukur lagi. Contoh buku: produktivitas sebelum/sesudah musik diputar di area kantor; skor SAT sebelum/sesudah bimbingan.
Pasangan alami: objek sama diukur dua instrumen — properti dinilai 2 firma; IQ pasangan suami–istri.

Hipotesis berubah bentuk: $H_{0}:\ \mu_{d}=0$ vs $H_{1}:\ \mu_{d}\neq 0$ — kita menguji rata-rata selisih, bukan dua mean. Data berpasangan = satu sampel baru berisi n selisih.

HDN-3: Nickel Savings — Dua Penilai Properti (Paired t)

Contoh resmi buku: 10 rumah dinilai dua firma (ribu $) — Schadek: 235, 210, 231, 242, 205, 230, 231, 210, 225, 249 · Bowyer: 228, 205, 219, 240, 198, 223, 227, 215, 222, 245. $\alpha=0{,}05$ dua arah.

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. Hipotesis & kritis	$H_{0}:\ \mu_{d}=0$; $H_{1}:\ \mu_{d}\neq 0$; df = 10−1 = 9	t kritis = ±2,262
2. Kolom selisih d	7; 5; 12; 2; 7; 7; 4; −5; 3; 4 (Schadek − Bowyer per rumah)	$\sum d = 46$
3. Rata-rata selisih	$\bar{d} = 46/10$	4,60
4. Simpangan selisih	$s_{d}=\sqrt{174{,}4/9}$ (tabel deviasi, Lampiran A)	4,402
5. t hitung	$t=\frac{4{,}6}{4{,}402/\sqrt{10}}=\frac{4{,}6}{1{,}392}$	t = 3,305
6. Keputusan & p	3,305 ≫ 2,262; p (Excel buku)	TOLAK $H_{0}$; p = 0,009

Interpretasi: Schadek menilai rata-rata 4,6 ribu dolar lebih tinggi secara sistematis. Untuk bank, pilihan penilai menggeser plafon kredit — dan rumah C (selisih 12) layak direview.

Ikuti tabel ini pelan-pelan; angkanya persis buku. Kolom d selalu firma pertama dikurangi firma kedua, konsisten — rumah H sampai minus lima karena Bowyer justru lebih tinggi; itu normal dan sehat, menandakan tidak ada kekacauan arah. Angka seratus tujuh puluh empat koma empat adalah jumlah kuadrat deviasi d terhadap d bar — verifikasi baris per baris ada di Lampiran A materi master. Hasil t tiga koma tiga nol lima melampaui dua koma dua enam dua, p sekitar nol koma nol nol sembilan: firma Schadek menilai rata-rata empat koma enam ribu dolar lebih tinggi secara sistematis, bukan kadang-kadang. Implikasi praktisnya besar untuk perbankan: kalau limit kredit dihitung dari penilaian, maka pilihan penilai menggeser plafon. Di konteks Indonesia, peran ini dipegang KJPP — Kantor Jasa Penilai Publik; itulah padanan kontekstualnya. Rumah C dengan selisih dua belas adalah titik review pertama yang disarankan buku sendiri.

Coba Sendiri: Analisis Sama, Desain Beda

Data Schadek–Bowyer yang sama dianalisis dua cara: berpasangan t = 3,305 (TOLAK) vs independen t = 0,716 (GAGAL). Geser ρ untuk melihat kenapa.

Ini slide pembuka mata. Buku menghitung ulang data Schadek dan Bowyer seolah dua sampel independen: variansi gabungan dua ratus enam koma lima, penyebut membengkak menjadi enam koma empat dua, t tinggal nol koma tujuh satu enam, p nol koma empat delapan tiga — gagal tolak; kesimpulan BERBALIK pada data yang sama persis! Kenapa? Karena nilai properti bervariasi dari seratus sembilan puluh sampai dua ratus lima puluh ribu; variasi antar-rumah itu membanjiri selisih empat koma enam milik penilai. Uji berpasangan membuang variasi antar-rumah — tiap rumah dibandingkan dengan dirinya sendiri — sehingga penyebut susut dari enam koma empat ke satu koma empat. Slider rho di widget adalah derajat kemiripan kedua penilaian: di nol koma sembilan lima tiga, angka buku, elips kurus dan t berpasangan melonjak; turunkan ke nol, kedua analisis bertemu. Harga yang dibayar hanya setengah derajat kebebasan, delapan belas menjadi sembilan — hampir selalu sepadan.

Peta Keputusan: Memilih Uji yang Tepat

Tiga pertanyaan berurutan — ditanya sebelum melihat hasil, bukan setelah t pertama gagal signifikan.

Padanan Contoh Buku

Paired → HDN-3: dua penilai properti (df 9)
z → HDN-1: FoodTown kasir vs Fast Lane
Pooled → HDN-2: dua metode pemasangan (df 9)
Welch → handuk kertas (df 19→10)

Etika analisis: memilih jenis uji setelah melihat hasil demi mencari yang signifikan = p-hacking. Tentukan jalur di proposal, sebelum data turun. Ragu soal σ? Welch adalah pilihan aman.

Peta ini adalah bahan ujian favorit. Latih sebagai tiga pertanyaan berurutan. Pertanyaan satu menentukan dunia: berpasangan atau tidak — dan jawabannya datang dari DESAIN pengumpulan data, bukan dari hasil hitung. Pertanyaan dua hampir selalu menjawab tidak di riset nyata — sigma populasi jarang diketahui. Pertanyaan tiga: bandingkan s satu dan s dua atau lihat boxplot; kalau ragu, Welch adalah pilihan aman karena konservatif — derajat kebebasannya dipangkas sedikit sebagai harga kehati-hatian. Kartu kanan mengaitkan tiap jalur ke contoh buku yang sudah kita hitung hari ini, jadi Anda punya angka jangkar untuk tiap cabang. Dan satu etika penting: memilih jenis uji setelah melihat hasil demi mencari yang signifikan adalah p-hacking — reviewer jurnal dan penguji skripsi mengenali pola ini; tetapkan jalur analisis di proposal, sebelum data turun.

Jembatan: Uji Hipotesis & Selang Kepercayaan

Uji dua arah α=0,05 ≡ cek apakah selang kepercayaan 95% untuk $\mu_{1}-\mu_{2}$ memuat nol — dua bahasa, satu kebenaran.

Empat Jebakan Umum (Miskonsepsi)

Yang sering dikatakan vs yang benar — keempatnya muncul berulang di revisi skripsi.

“Yang sering dikatakan”	Yang benar
“p = 0,40 berarti $H_{0}$ terbukti benar”	Gagal tolak ≠ bukti sama. p besar bisa karena n kecil (daya uji rendah) — HDN-2: selisih 1 menit tak terdeteksi pada n=5 & 6.
“Data before–after diuji dua sampel independen saja”	Variasi antar-subjek membanjiri penyebut: buku t = 0,716 (gagal) vs 3,305 (tolak) — kesimpulan berlawanan pada data sama.
“t negatif berarti kelompok 1 lebih buruk dan signifikan”	Tanda hanya arah pengurangan; keputusan pakai $\|t\|$ vs kritis — HDN-2: −0,662 tetap gagal tolak.
“Signifikan = penting bagi bisnis”	Signifikansi statistik ≠ materialitas: selisih 0,2 menit signifikan karena n besar; selalu tanya seberapa besar dan apakah berarti.

Kunci membaca p-value: p = $P$(data seekstrem ini $|$ $H_{0}$ benar) — bukan $P$($H_{0}$ benar $|$ data). p kecil → data aneh bila $H_{0}$ benar; itulah kenapa $H_{0}$ ditolak.

Empat jebakan ini saya sebut satu-satu karena semuanya muncul di revisi skripsi setiap tahun. Yang pertama paling berbahaya: p besar bukan sertifikat kesamaan — Anda hanya belum menang, bukan musuh kalah; dengan sampel kecil, perbedaan nyata pun bisa tak terdeteksi, seperti HDN dua. Yang kedua sudah kita buktikan dengan angka hari ini: nol koma tujuh satu enam berbanding tiga koma tiga nol lima pada data yang identik. Yang ketiga kelihatannya sepele, tapi banyak yang menulis t negatif berarti metode A buruk — padahal gagal tolak. Yang keempat filosofis dan paling relevan untuk calon manajer: statistika memberi tahu ADA bukti beda; Anda yang menilai APAKAH bedanya berarti bagi bisnis — dua pertanyaan berbeda, keduanya wajib dijawab di laporan. Kalimat di kotak bawah adalah definisi p-value yang benar — arah kondisionalnya sering terbalik di kepala orang.

Checkpoint 90 Detik

Empat soal cepat — jawab dulu sendiri, baru cek catatan pengajar (tombol S).

Soal 1

z / t?

Kasir vs self-checkout, dua populasi orang berbeda, $\sigma_{1},\sigma_{2}$ diketahui — uji apa yang dipakai?

Soal 2

df?

Dua metode kerja independen, $s_{1}\approx s_{2}$, n = 5 dan 6, pooled t — berapa derajat kebebasannya?

Soal 3

df?

15 karyawan diukur sebelum & sesudah pelatihan (paired t) — berapa derajat kebebasannya?

Soal 4

Simpulkan

t hitung = 0,716 vs kritis ±2,101 (df 18) — apa kesimpulan yang boleh ditulis di laporan?

Rangkuman Satu Layar + Penutup

Senjata	Kondisi	Rumus inti	Angka jangkar (buku)
Uji z	$\sigma_{1},\sigma_{2}$ diketahui	$z=\frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}{\sqrt{\sigma^{2}_{1}/n_{1}+\sigma^{2}_{2}/n_{2}}}$	FoodTown: z = 3,123 ≫ 2,326
Pooled t	$\sigma$ tak diketahui, $\sigma_{1}=\sigma_{2}$	$s^{2}_{p}$ → $t$, df = $n_{1}+n_{2}-2$	Owens: t = −0,662, df 9 (gagal tolak)
Welch t	$\sigma_{1}\neq\sigma_{2}$	$t$ tanpa pool, df dipangkas (11-6)	Handuk: t = −2,474, df 10 (tolak)
Paired t	objek sama / before–after	$t=\bar{d}/(s_{d}/\sqrt{n})$, df = $n-1$	Schadek: t = 3,305, df 9 (tolak)

Latihan Mandiri

Bank Soal tambahan Ch.11 (Lampiran B materi) — 5 soal: z, pooled, Welch, paired, diskusi desain
Reproduksi 4 angka jangkar dari data mentah — tes pemahaman sesungguhnya
Baca ulang Lind ed.18 §11.1–11.3 (hlm.347–369)

Tambahan Berikutnya

Ch.12: uji F dua variansi + ANOVA satu arah versi buku
Melengkapi lingkaran: mean (hari ini) → variansi & ≥3 kelompok

MATERI TAMBAHAN • LIND CH.12 (T4)