Program Studi Manajemen • FEB UNDIP
Statistika Bisnis II
Pertemuan 9 — Regresi Linear Sederhana Dari dua variabel yang berkorelasi menuju persamaan prediksi: membangun, mengestimasi, dan mengevaluasi model $\hat{Y} = a + bX$.
RPS MINGGU 10 • SUB-CPMK 6 • DURASI 2 × 50 MENIT
Selamat datang di Pertemuan 9 — ini adalah salah satu pertemuan paling aplikatif dalam seluruh rangkaian Statistika Bisnis II. Di pertemuan 7 dan 8, Anda belajar apakah dua variabel berhubungan dan seberapa kuat hubungan itu melalui korelasi Pearson. Hari ini kita naik satu tangga lebih tinggi: tidak sekadar tahu ada hubungan, tetapi menggunakannya untuk memprediksi — jika saya tahu jumlah pengunjung mall bulan ini, berapa perkiraan pendapatan gerai saya? Itulah pertanyaan yang dijawab oleh regresi (regression — metode statistika untuk memodelkan dan memprediksi hubungan antara satu variabel terikat dengan satu atau lebih variabel bebas). Di akhir sesi ini, Anda akan mampu membangun model prediksi dari nol, menghitung parameternya dengan tangan, dan mengevaluasi apakah model itu layak dipercaya. Siapkan kalkulator dan kertas hitung Anda. Tujuan Pembelajaran Hari Ini Setelah pertemuan ini, Anda mampu (Sub-CPMK6):
Capaian 1
Membangun
Menuliskan persamaan $\hat{Y}$ = a + bX dan menjelaskan makna setiap parameternya secara lisan maupun tertulis.
Capaian 2
Menghitung
Mengestimasi b dan a dari data mentah menggunakan rumus OLS (Ordinary Least Squares — metode kuadrat terkecil biasa).
Capaian 3
Mengevaluasi
Menghitung dan menginterpretasikan $R^{2}, Se$, uji F, dan uji t pada taraf signifikansi $\alpha = 5\%$.
Capaian 4
Prediksi &
Menghasilkan prediksi titik dan menginterpretasikan slope secara ekonomis dalam konteks bisnis Indonesia.
Ada empat kemampuan yang ingin kita capai hari ini, dan keempatnya saling berhubungan secara berurutan — membangun, menghitung, mengevaluasi, lalu memprediksi. Pertama, Anda harus paham apa yang kita modelkan: persamaan Ŷ = a + bX dan maknanya. Kedua, Anda belajar cara menghitung a dan b secara matematis dari data, menggunakan metode OLS yang akan kita turunkan bersama. Ketiga, setelah model jadi, kita tidak langsung percaya begitu saja: kita menguji apakah model itu secara statistik bermakna melalui $R^{2}$, uji F, dan uji t. Keempat, barulah kita gunakan model untuk membuat prediksi dan menafsirkan hasilnya dalam bahasa bisnis yang bisa dipahami oleh atasan atau klien Anda. Dari Korelasi ke Prediksi: Pertanyaan Bisnis "Korelasi menjawab Ada hubungan? — Regresi menjawab Berapa prediksinya? "
"Apakah pengeluaran iklan berhubungan dengan penjualan?"
r = 0,87
Hubungan positif kuat — tapi tidak memberi angka prediksi.
"Jika iklan bulan ini Rp 500 juta, berapa prediksi penjualan?"
$$\hat{Y} = a + bX \to angka spesifik$$
Menghasilkan nilai prediksi yang bisa masuk anggaran.
Regresi = korelasi + kemampuan prediksi kuantitatif
Di Pertemuan 7–8, Anda menemukan bahwa korelasi Pearson bisa mengukur kekuatan dan arah hubungan linear antara dua variabel. Namun korelasi berhenti di sana — ia hanya memberi Anda angka tunggal seperti r = 0,87 yang artinya "hubungan positif kuat," tapi tidak memberi tahu berapa tepatnya nilai Y yang diperkirakan jika X tertentu. Regresi linear adalah langkah berikutnya: dari "ada hubungan kuat" ke "hubungannya berbentuk Ŷ = 9,95 + 3,67×X, jadi kalau pengunjung 50.000 orang, pendapatannya kira-kira Rp 193 juta." Dalam dunia bisnis, kemampuan prediksi ini sangat berharga — manajer tidak hanya ingin tahu ada hubungan antara promosi dan penjualan, tetapi ingin angka proyeksi untuk menyusun anggaran dan target. Bagian 1
Apa Itu Regresi
Variabel bebas vs terikat · Scatter diagram · Garis regresi
Kita mulai dari fondasi konseptual: apa sebenarnya yang dilakukan regresi dan komponen apa saja yang terlibat. Di bagian ini kita tidak akan berhitung dulu — kita memastikan Anda benar-benar paham apa yang sedang kita bangun sebelum kita turunkan rumusnya. Bayangkan seperti memahami cetak biru sebuah bangunan sebelum Anda mulai menuang semen. Bagian ini akan singkat, sekitar 15 menit, lalu kita masuk ke inti perhitungan. Hubungan Linear: Variabel Bebas dan Terikat X = Variabel Bebas
X
independent variable / prediktor
Variabel yang kita ketahui atau kita kontrol .
Y = Variabel Terikat
Y
dependent variable / respons
Variabel yang kita prediksi .
Pengunjung (ribu) — X Pendapatan (Rp juta) — Y X→ ↑ Y Aturan: X selalu di sumbu horizontal (mendatar), Y selalu di sumbu vertikal (tegak) — konvensi universal.
Langkah pertama sebelum membangun model regresi adalah menentukan peran setiap variabel — mana yang menjadi prediktor (X) dan mana yang menjadi variabel yang diprediksi (Y). Pemilihan ini tidak sewenang-wenang; ia harus dipandu oleh logika bisnis atau teori. Misalnya, kita menempatkan "jumlah pengunjung" sebagai X dan "pendapatan" sebagai Y karena secara logis jumlah pengunjung memengaruhi pendapatan — bukan sebaliknya. Dalam contoh Pertamina nanti, pengeluaran modal (capex — Capital Expenditure, investasi perusahaan untuk aset jangka panjang) adalah X karena capex adalah keputusan investasi yang dilakukan lebih dulu, dan laba operasional adalah Y yang diharapkan mengikuti. Perhatikan pula bahwa secara konvensi, sumbu mendatar selalu untuk X dan sumbu tegak selalu untuk Y — ini standar universal yang harus Anda patuhi dalam setiap laporan statistika. Model Regresi: $\hat{Y} = a + bX$ Model populasi (tidak teramati):
$$Y = \alpha + \beta X + ε$$
Persamaan estimasi dari data:
$$\hat{Y} = a + bX$$
Simbol Nama Makna $\hat{Y}$ Y-hat Nilai Y yang diprediksi model a Intercept Nilai $\hat{Y}$ saat X = 0 b Slope Perubahan rata-rata $\hat{Y}$ per 1 satuan X e Residu Y aktual $- \hat{Y}$ (kesalahan prediksi)
a (intercept) b = ΔY/ΔX e = Y-Ŷ X Y Penting: $\hat{Y}$ adalah nilai prediksi, bukan nilai aktual Y. Selisihnya, $e = Y - \hat{Y}$, disebut residu .
Model regresi yang kita estimasi, Ŷ = a + bX, adalah versi sampel dari persamaan populasi Y = α + βX + ε. Dalam persamaan populasi, ada komponen ε (epsilon) yang disebut error — ia mewakili semua faktor lain yang memengaruhi Y tetapi tidak masuk dalam model. Yang bisa kita hitung dari data adalah estimasi α dan β, yang kita beri nama a dan b. Ŷ (dibaca "Y-hat") adalah nilai yang diprediksi model — bukan nilai aktual Y; selisihnya e = Y − Ŷ disebut residu dan menjadi ukuran seberapa jauh prediksi meleset dari kenyataan. Parameter yang paling menarik secara bisnis adalah b (slope): ia memberi tahu kita "untuk setiap kenaikan 1 pengunjung (ribuan), pendapatan rata-rata naik Rp b juta" — inilah yang nanti kita interpretasikan secara ekonomis. Prinsip OLS: Garis yang Meminimumkan SSE Dari tak terhingga garis yang bisa digambar, OLS memilih garis yang meminimumkan :
$$SSE = \sum e_{i}^{2} = \sum(Y_{i} - \hat{Y}_{i})^{2} \to minimum $$
SSE (Sum of Squares Error — jumlah kuadrat kesalahan/residu)
Garis Sembarang — SSE besar Residu panjang → SSE besar
Garis OLS — SSE minimum Residu pendek → SSE minimum ✓
Mengapa dikuadratkan? Agar residu positif & negatif tidak saling menghapus, dan residu besar mendapat "hukuman" lebih berat. Hasil: satu garis OLS unik untuk setiap dataset.
Bayangkan Anda punya selembar kertas berisi 12 titik scatter plot. Anda bisa menarik sebuah garis lurus melewati titik-titik itu dengan cara yang berbeda-beda. OLS (Ordinary Least Squares) memberikan jawaban yang objektif: pilih garis yang membuat jumlah kuadrat jarak vertikal dari setiap titik ke garis itu sekecil mungkin. Kuadrat digunakan karena dua alasan — pertama, agar residu positif tidak menghapus residu negatif; kedua, agar kesalahan besar mendapat hukuman lebih berat. Metode ini terbukti secara matematis menghasilkan satu-satunya garis yang paling optimal — sifat ini disebut BLUE (Best Linear Unbiased Estimator: estimasi yang tidak bias dengan variansi terkecil di antara semua estimator linear), sebuah konsep yang akan dibuktikan lebih formal di mata kuliah Ekonometrika. Coba Sendiri: Geser $\alpha$ dan $\beta$, Kalahkan OLS Garis putus-putus = error tiap titik data. Perkecil SSE sekecil mungkin dengan dua slider, lalu klik ⌖ Optimum — bisakah Anda mengalahkannya?
🧪 Buka kalkulator penuh (rumus + contoh + FAQ) · kalkulator R²
Slide ini alat peraga langsung, bukan materi baru. Minta satu mahasiswa maju memegang mouse: geser $\alpha$ dan $\beta$, kelas menyaksikan garis putus-putus (error tiap UMKM) memanjang-memendek dan SSE berubah. Beri satu-dua menit untuk berlomba mencari SSE terkecil, lalu klik tombol Optimum — garis melompat ke posisi OLS dan SSE jatuh ke minimumnya. Tegaskan: tidak ada kombinasi $\alpha$ dan $\beta$ lain yang mengalahkan angka itu, dan itulah persisnya makna "kuadrat terkecil" yang barusan kita bahas. Rumus di slide berikutnya adalah cara menghitung posisi optimum ini langsung dari data, tanpa coba-coba. Coba Sendiri: Geser Titik Scatter, Amati Garis & Residual Mengikuti Lihat OLS dari sudut data: tambah/pindahkan titik dan amati bagaimana garis regresi beserta residual (jangkauan error) menyesuaikan secara otomatis.
Widget ini menampilkan OLS dari perspektif titik data, melengkapi widget sebelumnya yang menampilkan dari perspektif koefisien. Minta mahasiswa menambahkan satu titik ekstrem (outlier) dan mengamati bagaimana garis regresi terseret ke arahnya — itulah mengapa OLS sensitif terhadap outlier. Tekankan bahwa tiap garis vertikal dari titik ke garis regresi adalah residual, dan OLS meminimalkan jumlah kuadrat semua garis vertikal tersebut. Bagian 2
Menghitung Parameter OLS
Rumus b dan a · Hitung dari nol · Verifikasi aritmetika
Inilah bagian inti pertemuan ini — kita akan benar-benar menghitung. Saya ingin Anda mengaktifkan kalkulator dan mengambil kertas karena kita akan bekerja dengan data 12 bulan gerai mall Semarang. Nanti di pertemuan ujian, Anda bisa saja diberi data serupa dan diminta menghitung b, a, dan $R^{2}$ dari nol — jadi pastikan Anda mengikuti setiap langkah, bukan hanya mencatat hasil akhirnya. Kita akan mulai dengan dua rumus kunci yang bisa diingat dengan cara: b adalah "kovarians sampel dibagi variansi X sampel," dan a adalah "Ȳ dikurangi b kali X̄." Rumus OLS: b dan a dari Data Mentah Dua rumus OLS yang wajib dikuasai:
$$b = \frac{\sum (X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y})}{\sum (X_{i}-\bar{X})^{2}}$$
Intuisi: b = "kovarians X-Y" ÷ "sebaran X" — seberapa banyak Y bergerak per unit X
$a = \bar{Y} - b \cdot \bar{X}$
Intuisi: garis regresi selalu melewati titik $(\bar{X}, \bar{Y}) - a$ menyesuaikan posisi vertikal garis
Urutan hitung: $\bar{X}$ & $\bar{Y} \to$ deviasi $(X_{i}-\bar{X})$ & $(Y_{i}-\bar{Y}) \to \sum(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y})$ & $\sum(X_{i}-\bar{X})^{2} \to b \to a$$\bar{X} (X-$bar) = rata-rata variabel bebas | $\bar{Y} (Y-$bar) = rata-rata variabel terikat | $\sum =$ notasi penjumlahan seluruh i
Ingat rumus ini baik-baik — terutama rumus b. Pembilangnya, Σ(Xi−X̄)(Yi−Ȳ), adalah jumlah perkalian deviasi X dan deviasi Y dari masing-masing rata-ratanya: ini pada dasarnya adalah versi "kovarians" antara X dan Y. Penyebutnya, $\sum (Xi-\bar{X})^{2}$, adalah jumlah kuadrat deviasi X dari rata-ratanya. Jadi b = kovarians(X,Y) / variansi(X) — secara intuitif, b mengukur seberapa banyak Y berubah per unit perubahan X, setelah disesuaikan dengan sebaran X. Setelah b ditemukan, a sangat mudah dihitung: ia adalah nilai rata-rata Y dikurangi b dikalikan rata-rata X — secara geometris ini menjamin garis regresi selalu melewati titik (X̄, Ȳ). HDN-1: Gerai Mall Semarang — Hitung b & a Konteks: Data 12 bulan gerai fashion di Trans Studio Mall Semarang. X = pengunjung (ribu orang), Y = pendapatan gerai (Rp juta). Data ilustrasi.
Bulan X Y $X_{i}-\bar{X}$ $Y_{i}-\bar{Y}$ $(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y})$ $(X_{i}-\bar{X})^{2}$ Jan 30 120 −10 −36,67 366,67 100 Feb 35 138 −5 −18,67 93,33 25 Mar 28 112 −12 −44,67 536,00 144 Apr 42 165 +2 +8,33 16,67 4 Mei 38 150 −2 −6,67 13,33 4 Jun 45 175 +5 +18,33 91,67 25 Jul 50 195 +10 +38,33 383,33 100 Agt 33 130 −7 −26,67 186,67 49 Sep 40 158 0 +1,33 0,00 0 Okt 36 142 −4 −14,67 58,67 16 Nov 48 185 +8 +28,33 226,67 64 Des 55 210 +15 +53,33 800,00 225 $\sum$ 480 1.880 0 0 2.773 756
$\bar{X} = 480/12 =$ 40 | $\bar{Y} = 1.880/12 =$ 156,67 | Deviasi $(X_{i}-\bar{X})$: selisih nilai observasi dari rata-ratanya.
Mari kita kerjakan langkah pertama: isi tabel deviasi. Pertama, hitung X̄ = 480/12 = 40 ribu pengunjung, dan Ȳ = 1.880/12 = 156,67 juta rupiah. Lalu untuk setiap bulan, hitung deviasi Xi − X̄ dan Yi − Ȳ — misalnya Januari: 30 − 40 = −10 dan 120 − 156,67 = −36,67; perkaliannya adalah (−10)×(−36,67) = 366,67. Perhatikan bahwa ketika deviasi X dan Y keduanya negatif, hasilnya positif — artinya bulan dengan pengunjung di bawah rata-rata juga memiliki pendapatan di bawah rata-rata, yang konsisten dengan hubungan positif. Jumlahkan semua kolom: Σ(Xi−X̄)(Yi−Ȳ) = 2.773 dan $\sum (Xi-\bar{X})^{2} = 756$. HDN-1: Gerai Mall Semarang — Prediksi & $R^{2}$ Lanjutan dari tabel Slide $10 (\sum(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y}) = 2.773$ $\sum(X_{i}-\bar{X})^{2} = 756)$
Langkah Perhitungan Nilai 3. Hitung b 2.773 ÷ 756 3,668 4. Hitung a 156,67 − 3,668 × 40 = 156,67 − 146,72 9,947 5. Model $\hat{Y} = 9,947 + 3,668\cdot X$ 6. Prediksi X=50 9,947 + 3,668 × 50 = 9,947 + 183,40 Rp 193,35 juta 7. SSE $\sum(Y_{i}-\hat{Y}_{i})^{2} (12$ residu kuadrat) 11,330 SST (SSyy) $\sum(Y_{i}-\bar{Y})^{2}$ 10.182,667 $R^{2}$ 1 − 11,330 / 10.182,667 0,9989 ≈ 99,89% Se $\sqrt(11,330 / (12-2)) = \sqrt1,133$ 1,065 Rp juta
Interpretasi: Setiap tambahan 1.000 pengunjung $\to$ pendapatan rata-rata naik Rp 3,668 juta . Model menjelaskan 99,89\% variasi pendapatan. Rata-rata meleset Rp 1,065 juta (Se).
Setelah tabel deviasi selesai, perhitungan b dan a sangat cepat: b = 2.773/756 = 3,668 — artinya setiap tambahan 1.000 pengunjung rata-rata menaikkan pendapatan Rp 3,668 juta. Konstanta a = 9,947 — secara matematis ini nilai pendapatan saat pengunjung = 0, tetapi dalam konteks bisnis ini tidak bermakna ekonomis; jangan terlalu literal. Model Ŷ = 9,947 + 3,668X digunakan untuk prediksi: saat pengunjung 50.000 orang (X=50), pendapatan diprediksi Rp 193,35 juta. SST (Sum of Squares Total — total variasi Y) = 10.182,667 dan SSE $= 11,330. R^{2} = 99,89\%$ artinya nyaris semua variasi pendapatan bisa dijelaskan oleh variasi jumlah pengunjung. Se (Standard Error of Estimate — simpangan baku residu) = 1,065 juta artinya rata-rata prediksi meleset sekitar Rp 1,065 juta dari pendapatan aktual. Koefisien Determinasi $R^{2}$ — Seberapa Pas Garis? $R^{2}$ mengukur proporsi variasi Y yang dijelaskan oleh X :
$$R^{2} = 1 - \frac{SSE}{SST} = \frac{SSR}{SST}$$
SSR = SST − SSE (Sum of Squares Regression — variasi Y yang berhasil dijelaskan model)SST = SSR + SSE (Sum of Squares Total — total variasi Y)$R^{2} = r^{2}$ (kuadrat koefisien korelasi Pearson)
Interpretasi: $R^{2} = 0,75 \to "75\%$ variasi Y dijelaskan oleh X"
SSR (dijelaskan) 75% SSE 25% R² = SSR/SST = 75% R² ≈ 0,30 R² ≈ 0,95
$R^{2}$ adalah ukuran "kebaikan fit" model — seberapa baik garis regresi kita mewakili data. Cara membacanya mudah: kalau $R^{2} = 0,75$, itu artinya 75\% dari naik-turunnya variabel Y bisa dijelaskan oleh naik-turunnya X dalam model kita; sisanya 25\% adalah pengaruh faktor-faktor lain yang tidak masuk model. Dalam contoh mall Semarang, $R^{2} = 99,89\% -$ sangat tinggi, nyaris sempurna, karena data kita memiliki hubungan yang sangat bersih. Di dunia nyata, data ekonomi dan bisnis sering menghasilkan $R^{2}$ yang lebih rendah, misalnya 40–70\%, dan itu masih bisa dianggap cukup baik tergantung konteksnya. Satu hubungan menarik: untuk regresi linear sederhana (hanya satu variabel $X), R^{2} = r^{2}$ yaitu kuadrat koefisien korelasi Pearson; jadi jika Anda sudah menghitung r = 0,9, maka $R^{2} = 0,81$ atau 81\%. Standard Error of Estimate (Se) — Simpangan Tipikal Se mengukur rata-rata besarnya kesalahan prediksi dalam satuan Y:
$$Se = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}} = \sqrt{\frac{\sum (Y_{i}-\hat{Y}_{i})^{2}}{n-2}}$$
Derajat kebebasan = n − 2 (karena dua parameter a dan b sudah diestimasi dari data)
Contoh: Se = 1,065 Rp juta $\to$ prediksi model rata-rata meleset ±Rp 1,065 juta dari pendapatan aktual.
$$Se vs R^{2}$$: $R^{2}$ mengukur proporsi variasi yang dijelaskan; Se mengukur besaran absolut kesalahan dalam satuan Y.
+Se −Se Garis OLS Koridor ±Se di sekitar garis OLS Interpretasi praktis:
Se adalah "satuan" ukuran akurasi model: ia memberi tahu Anda, dalam satuan yang sama dengan Y, seberapa jauh rata-rata prediksi Anda bisa meleset. Analoginya seperti toleransi mesin di pabrik — mesin yang baik punya toleransi kecil; model regresi yang baik punya Se kecil relatif terhadap skala Y. Perhatikan penyebutnya adalah n−2, bukan n — ini karena kita sudah "menghabiskan" dua derajat kebebasan (degrees of freedom) untuk mengestimasi dua parameter (a dan b); inilah kenapa Anda perlu minimal 3 observasi untuk regresi, dan idealnya jauh lebih banyak. Berbeda dengan $R^{2}$ yang tidak punya satuan, Se punya satuan yang sama dengan Y: kalau Y dalam rupiah juta, maka Se juga dalam rupiah juta, sehingga lebih mudah diterjemahkan ke makna bisnis. Coba Sendiri: Geser Titik, Lihat r dan R² Bergerak Bersama Ingat kembali korelasi dari Pertemuan 8 — di sini kita lihat bagaimana r berhubungan langsung dengan $R^{2}$ (koefisien determinasi) yang mengukur kualitas garis regresi.
Widget ini menanamkan intuisi hubungan $R^{2} = r^{2}$. Saat titik membentuk garis sempurna, r = ±1 dan $R^{2}$ = 1; saat titik menyebar acak, r mendekati 0 dan $R^{2}$ mendekati 0. Minta mahasiswa menggeser sebaran titik dan mencocokkan nilai r yang muncul dengan $R^{2}$ di output regresi. Pesan kunci: dalam regresi sederhana, korelasi dan $R^{2}$ adalah dua sisi mata uang yang sama — $R^{2}$ menyatakan persen variansi Y yang berhasil dijelaskan oleh X. Bagian 3
Menilai Signifikansi Model
Uji F (model keseluruhan) · Uji t (koefisien slope) · Interpretasi ekonomis
$R^{2}$ yang tinggi memang menggembirakan, tetapi $R^{2}$ bisa tinggi secara kebetulan terutama jika sampel kecil. Kita perlu menguji secara formal: apakah hubungan yang kita temukan cukup kuat untuk digeneralisasi ke populasi, atau hanya kebetulan dari sampel ini? Ada dua pendekatan pengujian: Uji F yang menguji model secara keseluruhan, dan Uji t yang menguji apakah koefisien slope b secara spesifik berbeda dari nol. Untuk regresi linear sederhana (satu prediktor), kedua uji ini memberikan kesimpulan yang sama persis; keduanya mulai lebih berbeda ketika ada lebih dari satu prediktor (regresi berganda — tidak dibahas hari ini). Uji F: Apakah Model Secara Keseluruhan Bermakna? Hipotesis Uji F:
Sumber SS df MS F hitung Regresi (SSR) SST − SSE 1 SSR/1 MSR/MSE Error (SSE) $\sum(Y_{i}-\hat{Y}_{i})^{2}$ n−2 SSE/(n−2) — Total (SST) $\sum(Y_{i}-\bar{Y})^{2}$ n−1 — —
Kriteria tolak $H_{0}$: atau p-value < 0,05
ANOVA (Analysis of Variance — analisis variansi, mempartisi total variasi Y menjadi komponen yang bisa dan tidak bisa dijelaskan model)MS (Mean Square — rata-rata kuadrat, SS dibagi derajat kebebasannya)p-value — nilai probabilitas mendapatkan statistik uji yang setidaknya se-ekstrim yang teramati jika $H_{0}$ benar
Distribusi F — Tolak H₀ jika F > F kritis F kritis Tolak H₀ Uji F mempartisi total variasi Y menjadi dua bagian: variasi yang bisa dijelaskan model (SSR) dan yang tidak bisa (SSE). Mean Square Regression (MSR) adalah rata-rata variasi yang berhasil dijelaskan per derajat kebebasannya, sedangkan Mean Square Error (MSE) adalah rata-rata kesalahan. Statistik F = MSR/MSE mengukur seberapa besar variasi yang "ditangkap" model dibanding yang tersisa sebagai kesalahan — kalau F besar, berarti model menjelaskan jauh lebih banyak dari yang gagal dijelaskan, sehingga kita tolak $H_{0}$. Dalam software seperti SPSS atau Excel (Data Analysis ToolPak), tabel ANOVA ini akan otomatis muncul di output regresi; tugas Anda adalah membacanya — bandingkan F hitung dengan F tabel, atau langsung lihat p-value dan bandingkan dengan 0,05. Uji t: Apakah Slope b Bermakna? Hipotesis:
$$t = \frac{b}{S_{b}} \qquad S_{b} = \frac{Se}{\sqrt{\sum (X_{i}-\bar{X})^{2}}}$$
Sb (standard error of b — simpangan baku estimasi koefisien slope)df (degrees of freedom — derajat kebebasan) = n − 2
Hubungan dengan r: $t = r\sqrt{n-2} / \sqrt{1-r^{2}} -$ sama persis dengan uji t korelasi di P7–8.
Distribusi t — Two-tailed (α = 0,05) −t kritis +t kritis Tolak H₀ Tolak H₀ Gagal Tolak H₀ Semakin jauh b dari nol relatif terhadap Sb, semakin kuat bukti bahwa $\beta \neq 0 di$ populasi. Semakin besar variasi X, semakin kecil Sb, semakin mudah menemukan signifikansi.
Uji t untuk slope b menjawab pertanyaan: "Apakah nilai b yang kita hitung berbeda dari nol secara statistik, atau bisa saja ini hanya kebetulan sampel?" Kalau β = 0 di populasi, maka X dan Y tidak punya hubungan linear yang berarti. Statistik t menghitung rasio antara nilai b yang kita estimasi dan ketidakpastian estimasinya (Sb): semakin jauh b dari nol relatif terhadap Sb-nya, semakin kuat bukti bahwa β memang bukan nol di populasi. Perhatikan rumus Sb: ia bergantung pada Se (kesalahan model) dan jumlah variasi dalam X — semakin besar variasi X, semakin presisi estimasi b kita. Dalam praktik menggunakan SPSS atau Excel, nilai t dan p-value akan langsung tersedia di output; tetapi dalam ujian, Anda mungkin diminta menghitungnya dari tangan seperti yang akan kita lakukan di HDN-2. Coba Sendiri: Bedah Tabel Output Regresi Langkah demi Langkah Output regresi standar punya tiga blok — Model Summary (R/R²/Se), ANOVA (uji F), dan Coefficients (a, b, uji t). Alat ini membongkar setiap blok.
Mahasiswa sering kewalahan melihat tabel output regresi SPSS atau Excel. Widget ini membongkar tiga blok utama: Model Summary berisi R, $R^{2}$, dan Se; tabel ANOVA berisi uji F keseluruhan; dan tabel Coefficients berisi intercept, slope, serta uji t masing-masing. Minta mahasiswa mencocokkan angka output dengan HDN-1 dan HDN-2 yang baru saja dikerjakan. Setelah latihan ini, mereka akan membaca output regresi seperti membaca peta, bukan teka-teki. HDN-2: Capex vs Laba Pertamina — OLS Konteks: Data 10 tahun (ilustrasi) PT Pertamina (Persero). X = capex (Capital Expenditure — pengeluaran modal, Rp triliun); Y = laba operasional (Rp triliun).
Thn X (capex) Y (laba) $X_{i}-\bar{X}$ $Y_{i}-\bar{Y}$ $(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y})$ $(X_{i}-\bar{X})^{2}$ T1 28 18 −8,5 −6,1 51,85 72,25 T2 35 22 −1,5 −2,1 3,15 2,25 T3 42 28 +5,5 +3,9 21,45 30,25 T4 38 25 +1,5 +0,9 1,35 2,25 T5 30 20 −6,5 −4,1 26,65 42,25 T6 25 16 −11,5 −8,1 93,15 132,25 T7 32 21 −4,5 −3,1 13,95 20,25 T8 40 27 +3,5 +2,9 10,15 12,25 T9 45 30 +8,5 +5,9 50,15 72,25 T10 50 34 +13,5 +9,9 133,65 182,25 $\sum$ 365 241 0 0 405,50 568,50
$\bar{X} = 365/10 =$ 36,5
$\bar{Y} = 241/10 =$ 24,1
b = 405,50/568,50 = 0,713 −1,936
$\hat{Y} = -1,936 + 0,713\cdot X$ | Setiap kenaikan capex $Rp 1 T \to$ laba operasional rata-rata naik Rp 0,713 T
Contoh kedua ini menggunakan data PT Pertamina — perusahaan BUMN migas terbesar Indonesia — dengan data capex dan laba operasional. Data ini bersifat ilustrasi yang merujuk pada pola umum laporan tahunan Pertamina; untuk analisis akademik sesungguhnya, Anda perlu mengunduh laporan keuangan resmi dari website Pertamina. X̄ = 36,5 triliun dan Ȳ = 24,1 triliun; dari tabel deviasi, kita dapatkan Σ(Xi−X̄)(Yi−Ȳ) = 405,50 dan $\sum (Xi-\bar{X})^{2} = 568,50$. Hasilnya b = 0,713: artinya setiap kenaikan capex Rp 1 triliun rata-rata berhubungan dengan kenaikan laba operasional (operating income — laba dari kegiatan utama sebelum bunga dan pajak) sebesar Rp 0,713 triliun. Konstanta a = −1,936 secara harfiah berarti "laba = −Rp 1,936 T jika capex = 0" — tidak bermakna dalam praktik, perusahaan tidak beroperasi tanpa investasi sama sekali. HDN-2: Capex vs Laba Pertamina — Uji t & F Lanjutan HDN-2 — Uji signifikansi $(\alpha = 0,05)$. SST $= \sum(Y_{i}-\bar{Y})^{2} =$ 290,90
Langkah Perhitungan Nilai SSE $\sum(Y_{i}-\hat{Y}_{i})^{2} (10$ residu kuadrat) 1,665 Se $\sqrt(1,665 / (10-2)) = \sqrt0,2081$ 0,456 Rp T Sb $0,456 / \sqrt568,50 = 0,456 / 23,843$ 0,01913 t hitung 0,7133 / 0,01913 37,28 t tabel $df=8, \alpha/2=0,025$, two-tailed 2,306 Keputusan t |37,28| > $2,306 \to$ Tolak $H_{0}$ Signifikan SSR 290,90 − 1,665 289,235 F hitung 289,235/1 ÷ (1,665/8) = 289,235/0,2081 1.390,4 F tabel $df_{1}=1, df_{2}=8, \alpha=0,05$ 5,32 Keputusan F 1.390,4 >> $5,32 \to$ Tolak $H_{0}$ Signifikan Cek silang $t^{2} = 37,28^{2} \approx 1.390 \approx F ✓$; Konsisten
Kesimpulan: Pada $\alpha = 0,05$, terdapat bukti kuat bahwa capex berpengaruh positif signifikan terhadap laba operasional Pertamina (t = 37,28; F = 1.390,4; p < 0,001).
Perhatikan betapa besarnya t hitung (37,28) dibanding t tabel (2,306) — ini menunjukkan hubungan yang sangat kuat secara statistik. Secara intuitif, Sb yang sangat kecil (0,01913) mencerminkan bahwa estimasi b = 0,713 sangat presisi — data kita sangat konsisten mendukung hubungan positif ini. F hitung sebesar 1.390 pun jauh melampaui nilai kritis 5,32, memberikan kesimpulan yang sama. Perhatikan cek silang elegan: $t^{2} = 37,28^{2} \approx 1.390 \approx F -$ untuk regresi sederhana, F selalu sama persis dengan $t^{2}$; ini bisa Anda gunakan sebagai verifikasi internal saat menghitung dari tangan. Dalam laporan riset atau presentasi bisnis, Anda tidak perlu menampilkan semua perhitungan tangan ini — cukup cantumkan nilai t, p-value, dan kesimpulan; tetapi kemampuan menghitung dari tangan inilah yang membuktikan Anda benar-benar memahami logika di balik angka-angka yang dihasilkan software. Interpretasi Slope Secara Ekonomis Template interpretasi: "Setiap kenaikan 1 [satuan X], rata-rata [variabel Y] [naik/turun] sebesar [|b|] [satuan Y], jika faktor lain konstan (ceteris paribus )."
Model b Interpretasi ekonomis Mall Semarang 3,668 Setiap tambahan 1.000 pengunjung, pendapatan gerai rata-rata naik Rp 3,668 juta , ceteris paribus. Pertamina 0,713 Setiap kenaikan capex Rp 1 T, laba operasional rata-rata naik Rp 0,713 T , ceteris paribus.
Frasa wajib: rata-rata " — karena b adalah ekspektasi, bukan kepastianceteris paribus " (dengan hal lain sama/konstan) — karena model hanya memasukkan satu X
Regresi ≠ Kausalitas variabel perancu (confounding variable — variabel ketiga yang memengaruhi baik X maupun Y, menghasilkan korelasi semu).
Interpretasi slope adalah kemampuan komunikasi terpenting dari seluruh materi regresi — karena inilah yang disampaikan ke atasan, klien, atau pembaca laporan Anda. Dua kata kunci yang wajib selalu ada dalam interpretasi adalah "rata-rata" dan "jika faktor lain konstan": "rata-rata" karena b adalah nilai ekspektasi, bukan jaminan; "jika faktor lain konstan" karena kita hanya memasukkan satu prediktor dan mengabaikan semua faktor lain. Hati-hati dengan klaim kausalitas: ketika kita katakan "kenaikan capex berhubungan dengan kenaikan laba operasional," itu pernyataan statistik, bukan pernyataan bahwa capex menyebabkan laba naik — mungkin ada faktor ketiga (misalnya harga minyak dunia) yang mendorong keduanya naik sekaligus. Dalam presentasi bisnis dan paper akademik, perbedaan antara "berhubungan dengan" dan "menyebabkan" ini sangat penting. Bagian 4
Prediksi, Residual,
Interval prediksi · Plot residual · Bahaya ekstrapolasi
Kita masuk ke bagian terakhir yang fokus pada penggunaan model untuk prediksi dan pada pemeriksaan apakah asumsi-asumsi model terpenuhi. Prediksi titik (point prediction) seperti yang kita lakukan di HDN-1 hanya memberi satu angka — Rp 193,35 juta — tetapi tidak memberi tahu seberapa tidak pasti prediksi itu. Interval prediksi dan interval estimasi akan menjawab pertanyaan ini. Kita juga akan lihat bagaimana plot residual bisa mengungkap masalah yang tidak terlihat dari angka $R^{2}$ atau F saja. Bagian ini relatif singkat — sekitar 20 menit — tetapi penting karena inilah yang membedakan pengguna regresi yang mahir dari yang hanya "colok angka ke kalkulator." Interval Estimasi vs Interval Prediksi Estimasi rentang rata-rata Y populasi untuk X tertentu.
$$\hat{Y} \pm t \cdot Se \cdot \sqrt{ \frac{1}{n} + \frac{(X_{0}-\bar{X})^{2}}{\sum (X_{i}-\bar{X})^{2}} }$$
"Berapa rata-rata pendapatan gerai yang punya 50.000 pengunjung?"
Estimasi rentang Y untuk satu observasi baru pada X tertentu.
$$\hat{Y} \pm t \cdot Se \cdot \sqrt{ 1 + \frac{1}{n} + \frac{(X_{0}-\bar{X})^{2}}{\sum (X_{i}-\bar{X})^{2}} }$$
"Berapa pendapatan gerai ini bulan depan jika pengunjung 50.000?"
Interval Estimasi Interval Prediksi X₀ Keduanya melebar di ujung (jauh dari $\bar{X}) -$ prediksi ekstrapolasi sangat tidak andal.
Ketika manajer gerai mall bertanya "berapa prediksi pendapatan bulan depan jika pengunjung 50.000?", jawaban yang tepat bukan hanya "Rp 193,35 juta" tetapi "antara Rp X juta hingga Rp Y juta dengan keyakinan 95%." Interval prediksi selalu lebih lebar dari interval estimasi karena ia menanggung dua sumber ketidakpastian: pertama, ketidakpastian tentang letak rata-rata; kedua, variabilitas alami satu observasi individual di sekitar rata-ratanya. Perhatikan dalam rumus: interval prediksi punya angka "1 +" di dalam akar yang tidak ada di interval estimasi — satu angka tambahan itulah yang mewakili variabilitas individual. Keduanya juga lebih lebar di ujung daripada di tengah — ini mengingatkan kita bahwa prediksi jauh di luar rentang data (ekstrapolasi) sangat tidak andal. Residual dan Plot Residual — Memeriksa Asumsi Residu: $e_{i} = Y_{i} - \hat{Y}_{i}$ | Plot residual: $e_{i} vs \hat{Y}_{i}$ (atau $vs X_{i})$
(a) Ideal — acak
(c) Corong → hetero
(d) Tren → var. terlewat
"Pola bermasalah": (b) hubungan nonlinear — model perlu transformasi | (c) heteroskedastisitas (heteroscedasticity — variansi residu tidak konstan, melanggar asumsi OLS) | (d) variabel X lain terlewat
$R^{2}$ tinggi tidak menjamin residu acak. Selalu buat plot residual!
Plot residual adalah "medical check-up" bagi model regresi — ia mengungkap penyakit tersembunyi yang tidak terlihat dari angka $R^{2}$ atau F. Bahkan model dengan $R^{2} = 0,95$ bisa punya plot residual yang bermasalah, misalnya pola U yang menunjukkan bahwa hubungan sesungguhnya adalah kuadratik bukan linear. Di dunia nyata, setelah Anda menjalankan regresi di SPSS atau Excel, langkah wajib berikutnya adalah membuat scatter plot residu vs nilai prediksi dan memeriksa apakah ada pola. Dalam mata kuliah ini, pemahaman konseptual tentang empat pola tersebut sudah cukup; aplikasi formal pengujian asumsi seperti uji Breusch-Pagan atau Durbin-Watson akan dibahas di mata kuliah Ekonometrika. Studi Kasus: Penjualan Ritel vs UMP Jawa Tengah Konteks: Seorang analis di PT Ramayana Lestari Sentosa (kode BEI: RALS) ingin memodelkan penjualan ritel (Rp miliar/tahun) gerai-gerai di Jawa Tengah sebagai fungsi UMP (Upah Minimum Provinsi — batas minimum upah yang ditetapkan pemerintah provinsi setiap tahun), selama 8 tahun terakhir.
Komponen output Nilai Interpretasi Model $\hat{Y} = 120 + 0,015\cdot X$ X = UMP (ribu Rp/bulan), Y = penjualan (Rp miliar/tahun) $R^{2}$ 0,82 82% variasi penjualan dijelaskan UMP Se 18,5 miliar Prediksi rata-rata meleset ±Rp 18,5 miliar p-value uji F 0,003 < $0,05 \to$ model signifikan
1
Interpretasikan slope 0,015
Dalam bahasa bisnis untuk manajer yang tidak paham statistika.
2
Prediksi UMP 2024 Jateng
UMP 2024 Jawa Tengah = Rp 2.036.947/bulan (BPS). Berapa prediksi penjualan$? \hat{Y} = 120 + 0,015 \times 2.037 \approx$ Rp 150,56 miliar
3
Kausalitas?
Apakah kenaikan UMP menyebabkan penjualan naik? Atau keduanya tumbuh karena tren waktu?
4
18% tidak dijelaskan
Sebutkan dua faktor lain yang mungkin memengaruhi penjualan ritel di Jateng.
Studi kasus ini menghubungkan regresi dengan isu kebijakan yang sangat riil di Indonesia: bagaimana daya beli masyarakat (yang tercermin dalam UMP) berhubungan dengan penjualan ritel. Pertanyaan pertama melatih kemampuan translasi statistik ke bahasa bisnis — coba minta mahasiswa menjawab secara lisan. Pertanyaan kedua meminta prediksi menggunakan data UMP 2024 aktual dari BPS (Rp 2.036.947/bulan atau sekitar Rp 2.037 dalam ribuan): Ŷ = 120 + 0,015 × 2.037 ≈ Rp 150,56 miliar. Pertanyaan ketiga dan keempat memancing pemikiran kritis tentang keterbatasan model: ada banyak faktor lain seperti tren belanja online, jumlah gerai, atau kondisi ekonomi makro yang tidak masuk dalam model sederhana ini. Data UMP Jawa Tengah 2024 bersumber dari Keputusan Gubernur Jawa Tengah (BPS, 2024) — verifikasi angka resmi sebelum dipakai untuk riset; angka penjualan Ramayana bersifat ilustrasi. Lima Jebakan Regresi yang Sering Bikin Salah 1
Ekstrapolasi berbahaya
Memprediksi jauh di luar rentang X sampel — model tidak valid di luar data latih. Garis regresi hanya berlaku di dalam rentang data yang digunakan membangunnya.
2
Kausalitas vs korelasi
$R^{2}$ tinggi $\neq$ bukti sebab-akibat. Selalu tanya "ada variabel ketiga?" Mungkin keduanya dipengaruhi faktor lain (variabel perancu / omitted variable).
3
Konstanta a diklaim bermakna selalu
Kalau X = 0 tidak logis dalam konteks bisnis (tidak ada gerai tanpa pengunjung), nilai a hanyalah parameter matematis, bukan prediksi yang bermakna.
4
Mengabaikan plot residual
$R^{2}$ tinggi tidak menjamin asumsi linearitas dan homoskedastisitas (homoscedasticity — variansi residu konstan, asumsi OLS) terpenuhi. Selalu periksa plot residual.
5
Overgeneralisasi dari sampel kecil
Dengan n = 5, hampir semua $R^{2}$ akan tinggi secara kebetulan — terlalu sedikit observasi untuk menggeneralisasi. Minimum praktis sekitar 20 observasi untuk regresi sederhana yang andal.
Jebakan pertama — ekstrapolasi — adalah yang paling sering saya temui dari laporan mahasiswa: mereka membangun model dari data tahun 2015–2024, lalu tanpa ragu memprediksi tahun 2035 menggunakan model yang sama. Garis regresi hanya valid dalam rentang X sampel; di luar itu, hubungan bisa sama sekali berbeda. Jebakan kedua sudah kita bahas berkali-kali: korelasi tidak sama dengan kausalitas. Jebakan ketiga (konstanta tidak selalu bermakna) relevan misalnya dalam model penjualan vs populasi kota — konstanta negatif mungkin muncul karena dalam sampel tidak ada kota dengan populasi nol. Jebakan keempat dan kelima sama-sama berkaitan dengan kepercayaan berlebihan pada angka tunggal: $R^{2}$ adalah ringkasan yang berguna tetapi bukan cerita lengkap — selalu periksa plot residual dan pertimbangkan ukuran sampel Anda sebelum menarik kesimpulan besar. Cheat Sheet Regresi Linear Sederhana Komponen Rumus / Definisi Interpretasi / Catatan Model $\hat{Y} = a + bX$ Persamaan garis prediksi Slope b $\sum(X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y}) / \sum(X_{i}-\bar{X})^{2}$ Perubahan rata-rata Y per 1 unit X Intercept a $\bar{Y} - b\cdot\bar{X}$ Nilai $\hat{Y}$ saat X = 0 (tidak selalu bermakna) SSE $\sum(Y_{i} - \hat{Y}_{i})^{2}$ Variasi Y yang tidak dijelaskan model SST $\sum(Y_{i} - \bar{Y})^{2}$ Total variasi Y (= SSR + SSE) $R^{2}$ 1 − SSE/SST Proporsi variasi Y yang dijelaskan $X (0-1); = r^{2}$ Se $\sqrt$(SSE/(n-2)) Rata-rata besar kesalahan prediksi (satuan Y); df = n−2 t uji b b/Sb; $Sb = Se/\sqrt\sum(X_{i}-\bar{X})^{2}$ Uji $H_{0}: \beta = 0; df = n-2$; two-tailed F uji model (SST−SSE)/1 ÷ SSE/(n−2) Uji model keseluruhan; df = (1, n−2) Residu $e = Y - \hat{Y}$ Selisih aktual vs prediksi; plot untuk cek asumsi Cek silang $F = t^{2}$ (regresi sederhana) Verifikasi internal konsistensi F dan t
Urutan hitung efisien: $\bar{X}$&$\bar{Y} \to$ tabel deviasi $\to b \to a \to$ residu $\to$ SSE $\to R^{2}$ & $Se \to t$ & F | Ingat: df = n-2 , bukan n atau n-1.
Slide ini adalah referensi cepat yang boleh Anda foto dan simpan di ponsel — pastikan Anda tahu fungsi setiap baris dalam tabel ini, karena ujian berformat problem-solving akan menguji kemampuan Anda mengaplikasikan rumus-rumus ini ke data baru. Urutan penghitungan yang paling efisien adalah: (1) hitung X̄ dan Ȳ; (2) buat kolom deviasi; (3) jumlahkan untuk dapat b dan a; (4) hitung Ŷi untuk setiap observasi lalu residu; (5) hitung SSE, $R^{2}, Se; (6)$ hitung t atau F. Hubungan antar komponen: $R^{2} = r^{2}; F = t^{2}$ untuk regresi sederhana — ini bisa dijadikan cek konsistensi internal. Simpan juga df = n−2 dalam kepala: bukan n, bukan n−1, tapi n−2 karena dua parameter (a dan b) diestimasi. Persiapan Pertemuan Berikutnya Membangun model $\hat{Y}$ = a + bX dan memahami peran a dan b Menghitung b dan a via OLS dari data mentah Mengevaluasi model: $R^{2}, Se$, Uji F, Uji $t (\alpha = 5\%)$ Menginterpretasikan slope secara ekonomis (ceteris paribus) Memeriksa residual dan mengenali lima jebakan umum Selamat — Anda sudah menguasai fondasi regresi!
Kerjakan Latihan Bab 13 no. 1–5 dari Lind et al. (2015) Input salah satu dataset HDN ke Excel (Data Analysis $\to$ Regression) dan bandingkan output dengan perhitungan tangan Pertemuan berikutnya: Regresi Linear Berganda (Multiple Regression — model regresi dengan dua atau lebih variabel bebas: $\hat{Y}$ $= a + b_{1}X_{1} + b_{2}X_{2} +$ …) — memperluas model ke lebih dari satu variabel X. Logika dan prinsipnya sama persis dengan yang sudah Anda kuasai hari ini.
Kita telah menempuh perjalanan panjang hari ini — dari intuisi dasar korelasi vs regresi, sampai menghitung OLS dari nol, mengevaluasi model dengan empat alat statistik, dan menginterpretasikan hasilnya dalam bahasa bisnis Indonesia. Ini adalah fondasi yang tidak bisa dilewati: hampir semua teknik statistika lanjutan yang akan Anda temui di karier — analisis keuangan, riset pemasaran, ekonometrika, machine learning — dibangun di atas prinsip OLS yang Anda pelajari hari ini. Tugas yang saya berikan bukan sekadar formalitas: mencoba dataset HDN di Excel dan membandingkan output software dengan perhitungan tangan adalah cara terbaik untuk memverifikasi pemahaman Anda dan membangun kepercayaan diri dalam menggunakan alat statistika. Pertemuan berikutnya kita akan memperluas model ke regresi berganda — ketika satu X tidak cukup menjelaskan Y, kita tambah lebih banyak prediktor — tetapi logika dan prinsipnya sama persis dengan yang sudah Anda kuasai hari ini. 📖 Baca juga: Beta Unlevering Relevering — penjelasan mendalam dan contoh numerik.