Program Studi Manajemen • FEB UNDIP

Statistika Bisnis II

Pertemuan 5 — Estimasi & Interval Kepercayaan (Univariat)

Dari sampel ke kesimpulan populasi — cara ilmiah membungkus ketidakpastian dalam sebuah interval dan menguji apakah dua kelompok sungguh berbeda.

RPS MINGGU 5 • SUB-CPMK 5 • DURASI 2 × 50 MENIT

Selamat datang di Pertemuan 5, titik penting dalam perjalanan statistika bisnis kita. Selama beberapa pertemuan sebelumnya Anda belajar tentang distribusi, probabilitas, dan distribusi sampling — semua itu adalah persiapan untuk topik hari ini: bagaimana kita menarik kesimpulan tentang seluruh populasi hanya dari data sebagian kecilnya yang kita sebut sampel. Hari ini kita belajar dua keterampilan praktis yang akan sering Anda pakai sebagai manajer atau analis: pertama, mengonstruksi interval kepercayaan (confidence interval, CI — rentang nilai yang dengan tingkat kepercayaan tertentu diperkirakan memuat parameter populasi) untuk merangkum ketidakpastian estimasi kita; dan kedua, menguji apakah dua kelompok berbeda secara statistik. Setelah kelas ini, kalau seseorang berkata "rata-rata omzet UMKM Semarang sekitar Rp 150 juta per bulan", Anda akan tahu cara mengungkapkan ketidakpastian klaim itu dengan angka yang presisi dan dapat dipertanggungjawabkan.

Tujuan Pembelajaran Pertemuan 5

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu melakukan estimasi dan uji beda (Sub-CPMK 5). Secara rinci:

Capaian 1 — Estimasi

Membedakan estimasi titik vs interval dan memilih distribusi yang tepat — distribusi Z (bila $\sigma$ diketahui) atau distribusi t (bila $\sigma$ tidak diketahui).

Capaian 2 — CI Rata-Rata

Mengonstruksi CI untuk $$\mu$$ menggunakan Z atau t, menghitung margin of error (E), dan menentukan n minimum menggunakan rumus $n = (Z\cdot\sigma/E)^{2}$.

Capaian 3 — CI Proporsi

Mengonstruksi CI untuk p (proporsi populasi) dan melakukan uji beda dua proporsi lengkap dengan pooled proportion $(\bar{p})$.

Capaian 4 — Uji Beda

Melakukan independent samples t-test (pooled & Welch), menghitung statistik t dan p-value, menarik keputusan pada $\alpha = 0,05$.

Mengapa Satu Angka Tidak Cukup?

Bank ingin tahu rata-rata NPL (Non-Performing Loan — rasio kredit bermasalah; dipantau OJK) semua cabangnya. Mereka ambil sampel 30 cabang dan menemukan rata-rata 3,5%. Apakah itu "rata-rata sesungguhnya"?

Masalah — Estimasi Titik

Angka 3,5% hanya berlaku untuk sampel itu. Kalau diambil sampel berbeda, hasilnya mungkin 3,2% atau 3,8%. Kita tidak tahu seberapa dekat ke nilai populasi.

Solusi — Interval

Alih-alih satu angka, katakan: "Kami 95% yakin rata-rata NPL seluruh cabang berada antara 3,19% dan 3,81%." Ini jujur — dan dapat diuji.

Interval kepercayaan bukan tanda keraguan — ini transparansi ilmiah. Dunia bisnis dan kebijakan publik menggunakannya setiap hari.

Bayangkan Anda kepala divisi riset di sebuah bank besar, dan direktur utama meminta Anda melaporkan rata-rata NPL seluruh cabang yang jumlahnya ratusan. Tentu tidak praktis mengaudit semua cabang, jadi Anda mengambil sampel tiga puluh cabang dan menemukan rata-rata tiga koma lima persen. Pertanyaannya: apakah angka itu bisa langsung dilaporkan ke direksi sebagai "rata-rata NPL semua cabang"? Jawabannya tidak, karena angka itu hanya berlaku untuk tiga puluh cabang yang kebetulan Anda pilih — kalau besok diambil tiga puluh cabang yang berbeda, angkanya mungkin bergeser. Inilah mengapa kita memerlukan interval kepercayaan: alih-alih mengklaim "rata-ratanya 3,5%", kita katakan "dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata sesungguhnya berada di antara 3,19% dan 3,81%" — sebuah klaim yang jauh lebih jujur dan secara statistik dapat dipertanggungjawabkan.

Bagian 1 dari 4

Estimasi: Titik vs Interval

Dua cara menduga parameter populasi dari sampel — dan mengapa interval jauh lebih informatif.

Titik Interval

Estimasi Titik (Point Estimate)

Satu nilai tunggal dari sampel dipakai sebagai dugaan terbaik (best guess) parameter populasi yang tidak diketahui.

Parameter & Estimatornya

Parameter Populasi	Estimator (dari sampel)
$\mu$ (rata-rata)	$\bar{x} -$ rata-rata sampel
$\sigma^{2}$ (varians)	$s^{2} -$ varians sampel
p (proporsi)	$\hat{p} -$ proporsi sampel

Contoh Nyata — UMKM Semarang

Survei 40 UMKM Kota Semarang $\to \bar{x}$ omzet = Rp 150 juta/bulan. Ini adalah estimasi titik untuk $\mu$ omzet seluruh UMKM Semarang.

Kelemahan estimasi titik: tidak menginformasikan seberapa presisi estimasi itu. Tanpa interval, kita tak tahu seberapa jauh $\bar{x}$ mungkin menyimpang dari $\mu$.

Coba Sendiri: Pilih Metode Sampling yang Tepat

Sebelum menghitung CI, kita harus punya sampel yang valid. Jawab beberapa pertanyaan konteks bisnis dan biarkan alat memandu Anda ke metode sampling yang sesuai.

Estimasi Interval & Tingkat Kepercayaan

Alih-alih satu angka, kita nyatakan: "Parameter populasi berada dalam rentang [bawah, atas] dengan tingkat kepercayaan $(1-\alpha)\times100\%."$

$$(\bar{x} - E) \leq \mu \leq (\bar{x} + E) \qquad \text{di mana } E = \text{margin of error}$$

Tingkat Kepercayaan	$\alpha$	$Z_{\alpha/2}$ (distribusi normal standar)
90%	0,10	1,645
95%	0,05	1,960
99%	0,01	2,576

Makin tinggi tingkat kepercayaan $\to Z_{\alpha/2}$ makin besar $\to$ interval makin lebar (lebih aman, kurang presisi). Ada trade-off yang tidak bisa dihindari.

Estimasi interval menambahkan informasi yang sangat penting: bukan hanya nilai dugaan, tetapi juga seberapa jauh dugaan itu mungkin meleset. Caranya adalah dengan menambah dan mengurangi nilai E (margin of error — setengah lebar interval) dari estimasi titik x-bar, sehingga kita mendapatkan batas bawah dan batas atas interval. Tingkat kepercayaan — biasanya dinyatakan sebagai satu minus alpha dikali seratus persen — menentukan seberapa "lebar" kita membuka jaring kita: semakin tinggi kepercayaan yang kita inginkan, semakin lebar intervalnya karena kita harus mengambil nilai kritis Z (Z-sub-alpha-per-dua: nilai kritis distribusi normal standar yang memotong area $\alpha/2 di$ setiap ekor) yang lebih besar. Ada pertukaran yang tidak bisa dihindari di sini: kalau Anda menginginkan kepercayaan 99\%, interval Anda akan lebih lebar dan kurang informatif dibanding kepercayaan 95\%; sebaliknya, kepercayaan 90\% menghasilkan interval yang lebih sempit tetapi risikonya meleset lebih besar. Dalam praktik bisnis dan akademik, tingkat kepercayaan 95\% adalah standar de facto.

Anatomi CI — Bongkar Isi Intervalnya

❌ MISKONSEPSI: "Ada 95\% peluang $\mu$ berada dalam interval INI.$" \to$ SALAH. $\mu$ adalah konstanta; ia tidak "berpeluang" berada di mana-mana.
✓ BENAR: "95\% dari semua interval yang dikonstruksi dengan metode ini AKAN memuat $\mu."$ (Pernyataan tentang prosedur, bukan tentang $\mu.)$

Analogi: Anda melempar jaring ikan. Anda 95% yakin jaring jenis ini akan menangkap ikan — bukan bahwa ikan ada di jaring ini.

Sebelum masuk ke rumus, saya ingin meluruskan miskonsepsi yang nyaris universal di kalangan mahasiswa, bahkan di kalangan praktisi. Ketika kita katakan "CI 95\%", banyak orang langsung mengartikan: ada 95\% peluang rata-rata populasi berada di dalam interval ini. Itu keliru, dan kelirunya penting: rata-rata populasi $\mu$ adalah konstanta — ia memiliki satu nilai tetap yang tidak berubah, hanya saja kita tidak tahu nilainya. Yang berubah adalah interval yang kita konstruksi setiap kali mengambil sampel baru. Interpretasi yang benar adalah: metode ini, jika diterapkan berulang kali pada banyak sampel berbeda, akan menghasilkan interval yang sekitar 95\% di antaranya memuat $\mu -$ jadi kepercayaan 95\% adalah sifat dari prosedur, bukan sifat dari interval tunggal yang kita pegang sekarang. Bayangkan itu seperti melempar jaring: kita tahu jaring jenis ini punya 95\% peluang menangkap ikan, tetapi kita tidak tahu apakah lemparan jaring kali ini berhasil atau tidak.

Coba Sendiri: Tarik Banyak Sampel, Hitung Cakupan CI

Tarik berulang sampel acak dan lihat berapa persen interval kepercayaan yang benar-benar memuat rata-rata populasi.

Bagian 2 dari 4

CI untuk Rata-Rata Populasi $(\mu)$

Dua skenario: $\sigma$ diketahui (pakai $Z) vs \sigma$ tidak diketahui (pakai t). Cara memilih, cara menghitung, cara menginterpretasi.

$$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad (\text{jika } \sigma \text{ diketahui})$$

$\sigma$ Diketahui $\sigma$ Tidak Diketahui

CI untuk $\mu$ bila $\sigma$ Diketahui — Distribusi Z

Kondisi: $\sigma$ populasi diketahui ATAU $n \geq 30$ dengan CLT (Central Limit Theorem — distribusi $\bar{x}$ mendekati normal bila n cukup besar) berlaku.

$$\text{CI: } \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

$\bar{x} =$ rata-rata sampel • $\sigma =$ simpangan baku populasi • n = ukuran sampel • $SE = \sigma/\sqrt{n}$ (standard error)

Kepercayaan	$\alpha$	$\alpha/2$	$Z_{\alpha/2}$
90%	0,10	0,05	1,645
95%	0,05	0,025	1,960
99%	0,01	0,005	2,576

Lebar CI $= 2E = 2 \cdot Z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}$. Makin besar $n \to SE$ makin kecil $\to CI$ makin sempit (lebih presisi).

Rumus ini adalah inti dari bagian kedua. Perhatikan strukturnya: kita ambil estimasi titik x-bar, lalu tambahkan dan kurangkan margin of error E, yang merupakan nilai kritis Z dikalikan standard error $\sigma$ dibagi akar n. Nilai kritis Z yang paling sering dipakai adalah 1,96 untuk kepercayaan 95\% — angka ini mungkin sudah Anda kenal dari pertemuan tentang distribusi normal, dan sekarang Anda tahu dari mana asalnya: ia adalah titik pada distribusi normal standar yang memotong tepat 2,5\% area di setiap ekor sehingga area tengahnya 95\%. Perhatikan rumus lebar interval: 2E sama dengan 2 dikali Z dikali sigma dibagi akar n — ini berarti makin besar n (ukuran sampel), makin kecil SE, makin sempit interval kita, makin presisi estimasi kita. Itulah mengapa riset dengan sampel besar menghasilkan kesimpulan yang lebih akurat.

CI untuk $\mu$ bila $\sigma$ Tidak Diketahui — Distribusi t

Di dunia nyata: $\sigma$ hampir selalu tidak diketahui. Ganti $\sigma$ dengan s (simpangan baku sampel) dan Z dengan $t_{\alpha/2, df=n-1}$.

$$\text{CI: } \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

df = n−1 (degrees of freedom — derajat kebebasan)

Distribusi	Nilai kritis (df=39, 95%)	Interval lebih...
Z	1,960	Sempit (meremehkan ketidakpastian $\sigma)$
t (df=39)	2,023	Sedikit lebih lebar (jujur thd ketidakpastian)

Semakin besar $n (df \to$ ∞), distribusi t-Student mendekati Z. Untuk $n \geq 120$, perbedaannya praktis diabaikan. Baca tabel t: baris = df, kolom $= \alpha/2 \to$ perpotongan = nilai kritis.

Sekarang kita sampai di rumus yang lebih realistis. Dalam hampir semua situasi nyata, Anda tidak tahu $\sigma$ populasi; yang Anda punya hanyalah s dari sampel. Bila kita mengganti $\sigma$ dengan s, ketidakpastian bertambah, dan distribusi yang tepat untuk mencerminkan tambahan ketidakpastian ini adalah distribusi t-Student (distribusi simetris berbentuk lonceng dengan ekor lebih tebal dari normal), yang dikembangkan oleh W.S. Gosset dari pabrik Guinness di Irlandia — ia tidak boleh mempublikasikan di bawah namanya karena kontrak kerja, jadi ia memakai nama samaran "Student". Perbandingan di tabel menunjukkan bahwa nilai kritis t untuk df = 39 adalah 2,023 — sedikit lebih besar dari Z 1,96 — sehingga interval t sedikit lebih lebar, mencerminkan tambahan ketidakpastian karena kita harus mengestimasi $\sigma$ juga. Seiring bertambahnya n dan df, ekor distribusi t makin tipis dan nilainya mendekati Z, sehingga untuk n besar seperti 120 atau lebih, perbedaannya praktis tidak berarti.

Z vs t — Diagram Keputusan

Langkah 1 — Apakah $\sigma$ Diketahui?

YA $\to$ Gunakan distribusi Z.

TIDAK $\to$ Lanjut ke Langkah 2.

Langkah 2 — Apakah n ≥ 30?

YA $\to$ Gunakan distribusi t (lebih ketat). Beberapa buku izinkan Z sebagai aproksimasi.

TIDAK $\to$ Wajib t dan pastikan populasi mendekati normal.

Jika $\sigma$ tidak diketahui, selalu utamakan t — lebih konservatif dan lebih tepat. Gunakan Z hanya bila $\sigma$ benar-benar diketahui (jarang di riset nyata).

Aturan praktis buku pengantar (termasuk Lind): $n \geq 30 \to Z$ boleh sebagai aproksimasi (dengan s menggantikan $\sigma). Di$ riset akademik: selalu t, karena software melakukannya otomatis.

Pertanyaan kapan memakai Z dan kapan memakai t sering membingungkan, jadi saya sederhanakan dengan diagram keputusan dua langkah. Kunci pertamanya: apakah $\sigma$ populasi diketahui? Kalau iya, pakai Z. Dalam kenyataan, hampir selalu tidak diketahui, jadi kita turun ke cabang kedua: apakah n cukup besar, biasanya minimal 30? Jika ya, banyak buku teks pengantar termasuk Lind memperbolehkan penggunaan Z dengan s sebagai aproksimasi, tetapi di riset akademik yang lebih ketat, distribusi t selalu lebih tepat dan sebaiknya dipakai karena sudah otomatis dipakai oleh semua software statistik. Jika n kecil dan $\sigma$ tidak diketahui, tidak ada pilihan selain t, dan kita juga perlu memastikan populasinya mendekati distribusi normal. Dalam pertemuan ini kita akan fokus menggunakan t untuk kasus yang paling sering ditemui: $\sigma$ tidak diketahui, ganti dengan s, distribusi t dengan df = n minus satu.

Coba Sendiri: Geser df, Amati Kurva t Mendekati Z

Geser derajat bebas (df) dan lihat bagaimana ekor kurva t menipis dan mendekati bentuk kurva Z standar.

🧪 Buka kalkulator penuh (rumus + contoh + FAQ) · kalkulator ukuran sampel

Bacaan pendalaman: confidence interval mendalam · uji hipotesis · asumsi klasik OLS.

Hitung dari Nol — HDN-1: CI Omzet UMKM Semarang

Survei 40 UMKM Kota Semarang $\to \bar{x} =$ Rp 150 juta/bulan, s = Rp 25 juta. Konstruksi CI 95\% untuk $\mu$ omzet populasi. $(\sigma$ tidak diketahui $\to$ distribusi t, df = 39.)

Langkah	Perhitungan	Nilai
Identifikasi	$n = 40; \bar{x} = 150; s = 25$ (juta Rp); kepercayaan 95\%; df = n-1 = 39	—
t kritis	$t_{0,025 ; df=39}$ dari tabel t	2,023
Standard Error	$SE = s/\sqrt{n} = 25/\sqrt40 = 25/6,3246$	3,953 juta
Margin of Error	E = t × SE = 2,023 × 3,953	7,996 juta ≈ Rp 8,0 juta
Batas Bawah	$\bar{x} - E = 150 - 8,0$	Rp 142,0 juta
Batas Atas	$\bar{x} + E = 150 + 8,0$	Rp 158,0 juta

Kesimpulan: Dengan kepercayaan 95%, rata-rata omzet UMKM Semarang diperkirakan antara Rp 142,0 juta hingga Rp 158,0 juta per bulan. (Sumber angka: ilustrasi berbasis konteks Dinas Koperasi & UKM Kota Semarang.)

Sekarang kita kerjakan dari nol, langkah demi langkah, supaya Anda merasakan setiap tahapan perhitungan. Data kita: empat puluh UMKM Kota Semarang dengan rata-rata omzet seratus lima puluh juta per bulan dan simpangan baku dua puluh lima juta — ini data sampel, bukan populasi, sehingga $\sigma$ tidak diketahui dan kita pakai distribusi t. Langkah pertama, tentukan t kritis: derajat kebebasan adalah n minus satu sama dengan tiga puluh sembilan, dan untuk kepercayaan 95\% (atau $\alpha/2 = 0,025)$, nilai dari tabel t adalah 2,023. Langkah kedua, hitung SE (standard error of the mean — simpangan baku distribusi sampling $\bar{x})$: dua puluh lima dibagi akar empat puluh, hasilnya sekitar 3,953 juta rupiah. Langkah ketiga, hitung margin of error: 2,023 dikali 3,953, hasilnya sekitar 7,996 juta atau kira-kira Rp 8,0 juta. Langkah keempat dan kelima, tambah-kurangkan dari x-bar: batas bawah Rp 142,0 juta dan batas atas Rp 158,0 juta. Kesimpulannya: dengan kepercayaan 95\%, rata-rata omzet bulanan seluruh populasi UMKM Semarang diperkirakan jatuh antara Rp 142,0 juta dan Rp 158,0 juta.

Margin of Error (E) & Ukuran Sampel Minimum

Sebelum survei, peneliti harus menjawab: berapa besar sampel yang saya butuhkan agar margin of error tidak melebihi E yang saya tetapkan?

$$n = \left( \frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^{2} \qquad [\text{bulatkan ke atas}]$$

Panduan 4 Langkah

Tentukan tingkat kepercayaan $\to$ pilih $Z_{\alpha/2} (90\%: 1,645$ • 95\%: 1,960 • 99\%: 2,576).
Estimasi $\sigma$ (pakai s dari pilot survey — survei kecil pendahuluan, atau literatur).
Tentukan E maksimum yang dapat diterima (presisi yang diinginkan).
Hitung n, selalu bulatkan ke atas (⌈n⌉ = ceiling).

Rumus ini menggunakan Z (bukan t) karena pada tahap perencanaan n belum diketahui; pendekatan ini konservatif dan diterima secara umum.

Dalam praktik penelitian, pertanyaan "berapa besar sampel yang saya perlukan?" hampir selalu datang sebelum data dikumpulkan, bukan sesudahnya. Rumus ini membalik logika CI: alih-alih dari n menghitung E, kita dari E yang kita inginkan untuk menghitung n minimum. Perhatikan bahwa formula ini memakai Z, bukan t — karena pada tahap perencanaan kita belum tahu n-nya, sehingga kita tidak bisa menghitung df untuk distribusi t; penggunaan Z di sini diterima secara umum sebagai pendekatan konservatif. Ada tiga hal yang harus ditetapkan lebih dulu: tingkat kepercayaan yang menentukan Z, estimasi $\sigma$ yang bisa diambil dari pilot survey atau literatur terkait, dan batas maksimal E yang masih dapat diterima oleh peneliti atau pengambil keputusan. Satu aturan wajib: setelah menghitung n, selalu bulatkan ke atas menggunakan fungsi ceiling, bukan ke bawah — kalau hasilnya 96,04 maka n minimum adalah 97, karena 96 tidak mencukupi untuk menjamin E yang diinginkan.

Hitung dari Nol — HDN-1b: n Minimum Survei UMKM

Lanjutan HDN-1: berapa sampel minimum agar $E \leq$ Rp 5 juta pada kepercayaan 95\%? (Gunakan s = Rp 25 juta sebagai estimasi $\sigma; Z_{0,025} = 1,96.)$

Langkah	Perhitungan	Nilai
Identifikasi	$E = 5; \sigma \approx 25$ (juta $Rp); Z_{0,025} = 1,96$	—
Substitusi	$n = (1,96 \times 25 / 5)^{2}$	—
Hitung dalam kurung	$1,96 \times 25 = 49,0 \to 49,0 / 5 = 9,80$	9,80
Pangkatkan	$n = 9,80^{2}$	96,04
Bulatkan ke atas	⌈96,04⌉	n minimum = 97

Hasil: minimal 97 UMKM harus disurvei agar margin of error $\leq Rp 5$ juta pada kepercayaan 95\%. Sampel 40 (HDN-1) menghasilkan E sekitar Rp 8,0 juta — lebih longgar. Verifikasi crosscheck: $n=97 \to SE=25/\sqrt97=2,539; E=1,96\times2,539=4,976$ juta $\leq 5$ juta. ✓

Ini adalah lanjutan langsung dari HDN-1, dan sangat praktis: sebelumnya kita punya sampel 40 UMKM dan mendapat E sekitar 8 juta rupiah, tetapi misalkan dinas kota Semarang ingin akurasi yang lebih ketat — mereka minta E tidak boleh melebihi 5 juta rupiah. Berapa sampel yang diperlukan? Langkah pertama, masukkan nilai ke rumus: n sama dengan satu koma sembilan enam dikali dua puluh lima, dibagi lima, semuanya dikuadratkan. Dalam kurung: 1,96 dikali 25 adalah 49, lalu dibagi 5 menjadi 9,8. Dikuadratkan menjadi 96,04. Karena harus bulat ke atas, jawabannya adalah 97. Perhatikan perbandingannya: dengan 40 UMKM kita mendapat E sekitar 8 juta (kurang presisi), sementara dengan 97 UMKM kita menjamin E tidak lebih dari 5 juta (lebih presisi). Investasi menambah 57 responden menghasilkan presisi yang nyata meningkat — dan keputusan tentang trade-off antara biaya survei dan presisi inilah yang harus dihadapi setiap peneliti.

Coba Sendiri: Amati Distribusi Sampling Rata-Rata Sampel

Interval kepercayaan berdiri di atas distribusi sampling — tarik banyak sampel berulang dan lihat rata-rata sampel terdistribusi normal dengan standar error $\sigma/\sqrt{n}$.

Bagian 3 dari 4

CI untuk Proporsi Populasi

Ketika yang kita ukur bukan rata-rata angka, melainkan persentase — berapa persen? — dan uji apakah dua proporsi berbeda.

$$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\hat{p}\hat{q}/n}$$

Proporsi Uji Beda

CI untuk Proporsi Populasi (p)

Gunakan distribusi Z (bukan t) karena distribusi sampling $\hat{p}$ mendekati normal bila $n\cdot\hat{p} \geq 5$ dan $n\cdot\hat{q} \geq 5$.

$$CI: \hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\hat{p} \cdot \hat{q} / n} \text{di mana} \hat{q} = 1 - \hat{p}$$

$\sqrt{\hat{p}\hat{q}/n} = SE$ proporsi = simpangan baku distribusi sampling $\hat{p}$

Syarat CLT untuk Proporsi (wajib dipenuhi)

$n \cdot \hat{p} \geq 5$ (jumlah "sukses" minimal 5 dalam sampel)
$n \cdot \hat{q} \geq 5$ (jumlah "gagal" minimal 5 dalam sampel)

Pada CI proporsi kita selalu pakai Z karena proporsi tidak punya derajat kebebasan seperti rata-rata. Asalkan syarat CLT terpenuhi, distribusi normal adalah aproksimasi yang cukup baik.

Rumus CI untuk proporsi punya logika yang sama dengan CI rata-rata: ambil estimasi titik, lalu tambah-kurangkan nilai kritis dikali standard error. Yang berbeda adalah standard error-nya — untuk proporsi, SE sama dengan akar p-hat dikali q-hat (q-hat = 1 minus p-hat — proporsi sampel "tidak sukses") dibagi n. Berbeda dari CI rata-rata, di sini kita selalu menggunakan distribusi Z, bukan t, karena proporsi tidak memiliki konsep derajat kebebasan yang sama. Namun ada syarat yang harus dipenuhi: jumlah sukses dalam sampel (n kali p-hat) dan jumlah gagal (n kali q-hat) masing-masing harus minimal 5, agar distribusi sampling p-hat cukup mendekati distribusi normal. Jika syarat ini tidak terpenuhi — misalnya proporsinya sangat kecil atau sangat besar dengan n yang kecil — kita perlu metode lain, tetapi untuk kursus ini kita asumsikan syarat CLT selalu terpenuhi pada contoh yang diberikan.

Studi Kasus: CI 95% Proporsi UMKM Berizin NIB (OSS)

Survei 200 UMKM Kota Semarang $\to$ 140 di antaranya sudah memiliki NIB (Nomor Induk Berusaha — identitas tunggal pelaku usaha via OSS/Online Single Submission, PP 5/2021). Konstruksi CI 95\%.

Langkah	Perhitungan	Nilai
Identifikasi	n = 200; sukses $= 140 \to \hat{p} = 140/200$	0,70 (70\%); $\hat{q} = 0,30$
Cek syarat CLT	$n\cdot\hat{p} = 200\times0,70 = 140 \geq 5 ✓$; $n\cdot\hat{q} = 200\times0,30 = 60 \geq 5 ✓$;	Terpenuhi
SE proporsi	$\sqrt{0,70 \times 0,30 / 200} = \sqrt0,00105$	0,0324
$Z_{0,025}$	Tabel Z, kepercayaan 95%	1,96
Margin of Error	E = 1,96 × 0,0324	0,0635 (6,35 poin %)
Batas Bawah	0,70 − 0,0635	63,65%
Batas Atas	0,70 + 0,0635	76,35%

Kesimpulan: Dengan kepercayaan 95%, antara 63,65% hingga 76,35% UMKM Kota Semarang diperkirakan telah memiliki NIB (OSS).

Contoh ini membawa kita ke kebijakan nyata: pemerintah ingin tahu berapa persen UMKM yang sudah mematuhi kewajiban mendaftar NIB melalui OSS, sebuah kebijakan penting dalam ekosistem bisnis Indonesia sejak berlakunya PP 5/2021. Dari survei dua ratus UMKM, seratus empat puluh sudah berizin, sehingga p-hat sama dengan 70%. Kita cek syarat CLT dulu: n dikali p-hat adalah 140 dan n dikali q-hat adalah 60, keduanya jauh lebih besar dari 5, jadi syarat terpenuhi. SE-nya adalah akar dari 0,70 dikali 0,30 dibagi 200, hasilnya sekitar 0,0324; dikali 1,96, margin of error adalah sekitar 6,35 poin persen. Jadi interval kepercayaan 95%-nya adalah dari sekitar 63,65% hingga 76,35%. Artinya: kalau Dinas Koperasi Kota Semarang ingin mengklaim bahwa lebih dari separuh UMKM sudah berizin NIB, data ini mendukung klaim tersebut dengan keyakinan tinggi; tetapi jika target pemerintah adalah 80% kepatuhan, interval ini menunjukkan kemungkinan masih belum tercapai.

Apa itu Uji Beda? — Fondasi Sebelum Kita Menghitung

Kita sudah tahu cara membangun CI. Sekarang kita jawab pertanyaan berbeda: apakah dua kelompok sungguh berbeda, atau perbedaan yang terlihat hanya kebetulan sampling?

Logika Dasar — 4 Langkah

Rumuskan $H_{0}$ (tidak ada perbedaan) dan $H_{1}$ (ada perbedaan).
Hitung statistik uji (z atau t) = selisih diamati / SE.
Bandingkan dengan nilai kritis, ATAU hitung p-value.
Ambil keputusan: tolak $H_{0}$ jika statistik > nilai kritis (atau p < $\alpha)$.

Sinyal vs Noise

Statistik uji = (sinyal) / (noise)

Sinyal = perbedaan yang kita amati (mis. $\hat{p}_{1} - \hat{p}_{2})$

Noise = SE — variasi acak yang diharapkan dari sampling

Makin besar rasio ini $\to$ makin yakin perbedaannya nyata.

Aturan keputusan: Jika |statistik uji| > nilai kritis $\to$ tolak $H_{0}$. Jika p-value < $\alpha \to$ tolak $H_{0}$. Kedua cara setara.

Sebelum kita terjun ke rumus uji beda dua proporsi, saya ingin memastikan Anda punya gambaran besar tentang apa yang akan kita lakukan. Setiap uji hipotesis (hypothesis test — prosedur statistik untuk memutuskan apakah data sampel cukup mendukung klaim tertentu tentang populasi) mengikuti empat langkah yang sama: rumuskan hipotesis, hitung statistik uji, bandingkan dengan nilai kritis (critical value — titik ambang pada distribusi referensi) atau p-value, lalu ambil keputusan. Kunci filosofinya ada di rasio sinyal-per-noise: perbedaan yang kita amati antar kelompok adalah "sinyal", sedangkan standard error mencerminkan "noise" atau variasi acak yang wajar akibat sampling; bila sinyal jauh lebih besar dari noise, kita punya alasan kuat untuk menolak $H_{0}$. Dua slide berikutnya menerapkan kerangka ini untuk proporsi, dan bagian keempat nanti menerapkannya untuk rata-rata — jadi kalau Anda paham kerangka di slide ini, semua yang berikut tinggal mengisi detailnya.

Uji Beda Dua Proporsi (Z-Test)

Apakah proporsi kepatuhan NIB berbeda antara UMKM Kota Semarang vs Kabupaten Semarang?

$H_{0}: p_{1} = p_{2}$ (tidak ada perbedaan) • $H_{1}: p_{1} \neq p_{2}$ (dua arah)

$$z = (\hat{p}_{1} - \hat{p}_{2}) / \sqrt[ \bar{p}(1-\bar{p})(1/n_{1} + 1/n_{2}) ] \bar{p} = (x_{1} + x_{2}) / (n_{1} + n_{2})$$

$\bar{p} =$ pooled proportion — proporsi gabungan kedua sampel sebagai estimasi p bersama di bawah $H_{0}$

Hasil Ringkas: Kota $(\hat{p}_{1}=70\%, n_{1}=200) vs$ Kabupaten $(\hat{p}_{2}=58\%, n_{2}=150)$

$\bar{p} = (140 + 87) / 350 = 227/350 \approx$ 0,6486 • $SE = \sqrt[0,6486 \times 0,3514 \times (1/200 + 1/150)] \approx$ 0,0516

z = (0,70 − 0,58) / 0,0516 ≈ 2,33 • p-value ≈ 0,020 < $0,05 \to$ Tolak $$H_{0}$$

Proporsi kepatuhan NIB berbeda signifikan antara Kota dan Kabupaten Semarang.

Langkah aritmetika penuh tersedia di Lampiran A materi. Signifikansi statistik ≠ signifikansi praktis — selisih 12 poin persen cukup substansial untuk kebijakan.

Perpanjangan logis dari CI proporsi adalah uji beda: apakah dua kelompok memiliki proporsi yang berbeda secara statistik, bukan hanya berbeda secara sampel? Rumusnya mirip dengan CI, hanya standard error-nya menggunakan pooled proportion $(\bar{p})$, yaitu estimasi proporsi bersama yang berlaku di bawah hipotesis nol bahwa kedua kelompok memiliki proporsi yang sama. Dalam contoh ilustrasi ini, proporsi gabungan p-bar adalah sekitar 0,6486; standard error-nya 0,0516; dan statistik z adalah sekitar 2,33. Karena nilai z ini lebih besar dari nilai kritis 1,96 untuk uji dua arah $(\alpha = 5\%)$, kita tolak $H_{0}$ dan simpulkan bahwa proporsi kepatuhan NIB antara UMKM Kota Semarang dan Kabupaten Semarang berbeda secara statistik signifikan. Ingat: statistik yang signifikan tidak selalu berarti perbedaannya besar secara praktis — kita juga harus lihat besarnya selisih, dalam kasus ini sekitar 12 poin persen, yang cukup substansial untuk implikasi kebijakan.

Bagian 4 dari 4

Uji Beda Dua Rata-Rata (Independent Samples)

Pertanyaan yang paling sering ditanyakan manajer: "Apakah kinerja dua cabang/divisi/produk benar-benar berbeda?" — jawaban statistiknya ada di sini.

$$t = (\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2}) / SE$$

Pooled Welch

Logika Uji Beda Dua Rata-Rata (Independent Samples)

Kita ingin tahu apakah selisih $(\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2})$ cukup besar untuk tidak bisa dijelaskan oleh variasi acak sampling semata.

$H_{0}: \mu_{1} = \mu_{2}$ (tidak ada perbedaan rata-rata populasi) • $H_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2}$ (uji dua arah)

Statistik $t = (\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2}) / SE_{$selisih}. Jika |t| > $t_{$kritis} atau p-value < $\alpha \to$ tolak $H_{0}$.

Batas pertemuan ini: Fokus pada independent samples (dua kelompok tidak berpasangan). Untuk paired t-test (subjek sama diukur dua kali: $t = \bar{d} / (s_{d}/\sqrt{n}), df = n-1) \to$ Pertemuan 6.

Sebelum masuk ke rumus, mari pahami ide di baliknya. Ketika kita punya dua sampel dari dua kelompok berbeda, kita hampir pasti akan mendapat x-bar yang berbeda walau kedua populasinya identik — itulah variasi sampling. Pertanyaan kuncinya adalah: seberapa besar selisih x-bar yang kita perlukan agar bisa menyimpulkan bahwa perbedaan itu bukan sekadar kebetulan sampling, melainkan mencerminkan perbedaan nyata antar-populasi? Statistik t menjawab pertanyaan itu dengan membandingkan selisih yang kita observasi dengan standard error dari selisih tersebut — kalau rasionya besar (statistik t jauh dari nol), berarti selisihnya lebih besar dari yang bisa dijelaskan oleh variasi acak, sehingga kita tolak $H_{0}$. Diagram di slide ini menunjukkan intuisinya: jika dua distribusi sampling sangat tumpang tindih, sulit menyimpulkan keduanya berbeda; jika tidak tumpang tindih, selisihnya sudah jelas lebih dari sekadar variasi acak.

Dua Versi Independent t-Test

Pooled t-Test (asumsi $\sigma_{1} = \sigma_{2})$

$s^{2}_{p} = [(n_{1}-1)s_{1}^{2} + (n_{2}-1)s_{2}^{2}] / (n_{1}+n_{2}-2)$
$SE_{$pool$} = s_{p} \cdot \sqrt{1/n_{1} + 1/n_{2}}$
$t = (\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2}) / SE_{$pool}
$df = n_{1} + n_{2} - 2$

Welch t-Test $(\sigma_{1} \neq \sigma_{2})$

$SE_{W} = \sqrt{s_{1}^{2}/n_{1} + s_{2}^{2}/n_{2}}$
$t = (\bar{x}_{1} - \bar{x}_{2}) / SE_{W}$
$df_{W} =$ Welch–Satterthwaite (software)
Intuisi: Welch "menghukum" df ketika varians/ukuran timpang.

Kapan pakai mana? Bila $s_{1}$ dan $s_{2}$ mirip (rasio < 2): boleh pooled. Bila jelas berbeda: Welch lebih aman. Software (SPSS/R) otomatis menyediakan keduanya via Levene's Test (uji kesamaan varians).

Ada dua versi uji-t untuk dua sampel independen, dan perbedaannya terletak pada asumsi tentang varians populasi. Pooled t-test mengasumsikan kedua kelompok punya varians populasi yang sama (homogeneous variances), sehingga bisa menggabungkan kedua s menjadi satu estimasi varians bersama yang disebut $s^{2}-p$ (pooled variance); derajat kebebasannya sederhana: $n_{1}$ plus $n_{2}$ minus dua. Welch t-test tidak membuat asumsi itu — ia membiarkan kedua varians berbeda, dan derajat kebebasannya dihitung dengan formula aproksimasi Welch-Satterthwaite; intuitif, Welch "menghukum" df ketika varians atau ukuran sampel dua kelompok sangat berbeda. Dalam praktik dengan software statistik, rekomendasi modern adalah selalu gunakan Welch karena ia valid baik ketika varians sama maupun berbeda; dalam ujian kelas ini, Anda perlu memahami keduanya dan dapat memilih berdasarkan konteks soal.

Hitung dari Nol — HDN-2: Uji Beda NPL Dua Cabang

Cabang A $(n=30, \bar{x}=3,2\%, s=0,8\%) vs$ Cabang B $(n=35, \bar{x}=3,8\%, s=0,9\%)$. NPL = Non-Performing Loan; OJK menetapkan batas 5\%. Apakah berbeda signifikan pada $\alpha=0,05?$ (Welch t-test.)

$H_{0}: \mu_{A} = \mu_{B}$ • $H_{1}: \mu_{A} \neq \mu_{B}$ (dua arah)

Langkah	Perhitungan	Nilai
Identifikasi	$n_{A}=30, \bar{x}_{A}=3,2\%, s_{A}=0,8\%; n_{B}=35, \bar{x}_{B}=3,8\%, s_{B}=0,9\%$	—
SE Welch	$\sqrt{0,8^{2}/30 + 0,9^{2}/35} = \sqrt{0,64/30 + 0,81/35} = \sqrt{0,02133 + 0,02314} = \sqrt0,04448$	0,2109%
Statistik t	t = (3,2 − 3,8) / 0,2109 = −0,60 / 0,2109	t = −2,845
df Welch	Satterthwaite — lihat Lampiran A materi	df ≈ 63
t kritis	$t_{0,025 ; df=63}$ dari tabel	≈ 2,000
Keputusan	\|t\| = 2,845 > 2,000 • p-value ≈ 0,006 < 0,05	Tolak $H_{0}$

Kesimpulan: Terdapat perbedaan signifikan rata-rata NPL antara Cabang A (3,2\%) dan Cabang B (3,8\%) pada $\alpha=0,05$. Manajemen perlu menyelidiki penyebab NPL Cabang B yang lebih tinggi.

Sekarang kita terapkan semua konsep ke kasus perbankan yang realistis. Misalkan Anda analis risiko di Bank BRI dan ingin menguji apakah rata-rata NPL Cabang A memang lebih rendah dari Cabang B, atau sekadar kebetulan sampel. Karena $s_{A}$ dan $s_{B}$ sedikit berbeda, kita pilih Welch untuk keamanan. Langkah kunci: SE Welch adalah akar dari 0,64 dibagi 30 ditambah 0,81 dibagi 35, hasilnya sekitar 0,2109 poin persen. Statistik t adalah selisih rata-rata dibagi SE, yaitu minus 0,60 dibagi 0,2109, hasilnya sekitar minus 2,845. Nilai mutlaknya adalah 2,845, lebih besar dari nilai kritis t sekitar 2,000 pada df 63 dan $\alpha = 5\%$, sehingga kita tolak $H_{0}$. Kesimpulan bisnis: perbedaan 0,6 poin persen antara kedua cabang bukan kebetulan statistik — manajemen perlu menyelidiki mengapa Cabang B memiliki NPL yang lebih tinggi, apakah karena profil debitur, praktik underwriting, atau kondisi ekonomi setempat.

Interpretasi p-value — Jangan Salah Kaprah

p-value adalah konsep paling sering disalahartikan dalam statistika bisnis. Berikut klarifikasinya:

Dari mana p-value berasal? Untuk uji dua arah: p = 2 × (area di luar |statistik uji|). HDN$-2: t = -2,845, df = 63 \to$ area di luar $2,845 \approx 0,003 \to$ p = 2 × 0,003 = 0,006.

❌ SALAH	✓ BENAR
"p = 0,006 berarti ada 0,6\% peluang $H_{0}$ benar."	"Jika $H_{0}$ benar, peluang mendapat hasil seekstrem ini atau lebih ekstrem adalah 0,6\%."
"p-value kecil = perbedaannya besar secara praktis."	"p-value kecil hanya berarti sinyal statistik kuat; perbedaan bisa kecil tapi n sangat besar."
"p > 0,05 berarti $H_{0}$ terbukti benar."	"p > 0,05 hanya berarti kita GAGAL tolak $H_{0} -$ tidak cukup bukti, bukan bukti ketidakberadaan."

Signifikansi statistik ≠ signifikansi praktis. Selalu laporkan effect size (ukuran besar-kecilnya perbedaan secara praktis, mis. Cohen's d) bersama p-value.

Ini adalah salah satu slide terpenting dalam seluruh kursus statistika, dan saya minta Anda benar-benar menyimak. p-value adalah konsep yang paling sering disalahartikan bahkan oleh peneliti berpengalaman, sehingga American Statistical Association mengeluarkan pernyataan resmi pada 2016 untuk meluruskan penggunaannya. Kesalahan pertama yang paling umum adalah mengartikan p-value sebagai peluang $H_{0}$ benar — padahal p-value adalah peluang mendapat data seekstrem atau lebih dari yang kita observasi, JIKA $H_{0}$ benar; itu asumsi kondisional yang berbeda secara fundamental. Kesalahan kedua adalah menyamakan signifikansi statistik dengan signifikansi praktis: dengan sampel yang sangat besar, perbedaan sangat kecil pun bisa menghasilkan p-value yang sangat kecil, padahal perbedaan itu tidak berarti apa-apa secara bisnis. Kesalahan ketiga adalah menyimpulkan $H_{0} "$terbukti benar" ketika p > 0,05 — yang benar adalah kita tidak cukup punya bukti untuk menolak $H_{0}$ (gagal tolak $H_{0})$, bukan bukti bahwa $H_{0}$ benar. Selalu sertakan ukuran efek dan konteks bisnis bersama p-value.

90%, 95%, atau 99%? — Panduan Memilih Tingkat Kepercayaan

Dampak konkret pada kasus HDN-1 (n=40, s=25 juta Rp, t dengan df=39):

Kepercayaan	t kritis	E (juta Rp)	CI (juta Rp)	Karakteristik
90%	1,685	6,66	[143,3 ; 156,7]	Sempit, lebih presisi, risiko lebih tinggi
95%	2,023	7,99 ≈ 8,0	[142,0 ; 158,0]	Standar de facto
99%	2,708	10,70	[139,3 ; 160,7]	Lebar, sangat konservatif

Panduan Kontekstual

90%: Eksplorasi awal, biaya survei terbatas.
95%: Standar akademik dan bisnis umum.
99%: Keputusan medis/keamanan/regulasi berrisiko tinggi.

Default Anda: 95%, kecuali konteks atau klien mensyaratkan lain. Selisih lebar CI antara 90% dan 99% adalah ≈ 8 juta Rp — besar secara praktis.

Pertemuan ini menggunakan 90%, 95%, dan 99% sebagai tiga pilihan tingkat kepercayaan standar — tetapi kapan tepatnya kita pilih masing-masing? Tabel di slide ini menunjukkan dampak konkret menggunakan data UMKM kita: kepercayaan 90% menghasilkan interval sekitar 13,3 juta rupiah lebar, sementara 99% menghasilkan interval hampir 21,4 juta rupiah lebar — perbedaannya signifikan. Pilihan 90% cocok untuk analisis eksploratori atau ketika biaya pengumpulan sampel sangat terbatas. Pilihan 95% adalah standar yang dipakai oleh hampir semua jurnal ilmiah, laporan kebijakan, dan analisis bisnis — jika tidak ada instruksi khusus, ini pilihan defaultnya. Pilihan 99% dipakai ketika konsekuensi kesalahan sangat besar, seperti di industri farmasi, penerbangan, atau regulasi perbankan OJK. Sebagai manajer atau analis, kemampuan menjelaskan mengapa Anda memilih tingkat kepercayaan tertentu adalah bagian dari kredibilitas analitik Anda.

Cheat Sheet — Rumus Inti Estimasi & CI

Konteks	Rumus	Kritis
$CI \mu (\sigma$ diketahui)	$\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}$	Z dari tabel
$CI \mu (\sigma$ tidak diketahui)	$\bar{x} \pm t_{\alpha/2,n-1} \cdot s/\sqrt{n}$	t dari tabel, df=n−1
n minimum	⌈$(Z_{\alpha/2} \cdot \sigma/E)^{2}$⌉	Bulatkan ke atas
CI proporsi p	$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\hat{p}\hat{q}/n}$	Cek: $n\hat{p}\geq5, n\hat{q}\geq5$
t-test dua rata-rata (Welch)	$(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}) / \sqrt{s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2}}$	df Satterthwaite
z-test dua proporsi	$(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}) / \sqrt[\bar{p}(1-\bar{p})(1/n_{1}+1/n_{2})]$	$\bar{p} =$ pooled

Satu ide menghubungkan semua: estimasi titik ± nilai_kritis × SE. Semua rumus di atas adalah variasi dari formula induk ini.

Latihan Kelas & Persiapan Pertemuan 6

Latihan 1 — CI Rata-Rata

Survei IKK (Indeks Keyakinan Konsumen — indeks BI yang mengukur optimisme konsumen): 500 responden, rata-rata skor IKK = 112,4 poin, s = 8,2 poin. Hitung CI 95% untuk rata-rata IKK populasi konsumen Semarang.
Petunjuk: $\sigma$ tidak diketahui $\to$ distribusi t.

Latihan 2 — Uji Beda

Kelompok pria $(n=50, \bar{x}=115,1, s=7,8) vs$ wanita $(n=60, \bar{x}=110,3, s=8,6)$ dalam survei IKK yang sama. Apakah rata-rata IKK berbeda signifikan pada $\alpha=0,05?$
Gunakan Welch t-test. Tuliskan $$H_{0}, H_{1}$$, statistik t, dan kesimpulan.

Pertemuan 6: Uji hipotesis satu sampel (Z-test dan t-test satu kelompok) + uji chi-square goodness-of-fit. Baca Lind Bab 10 (uji hipotesis) sebelum hadir.

Sebelum menutup kelas, saya berikan dua latihan yang mengintegrasikan materi hari ini dalam konteks Indonesia yang berbeda. Latihan pertama meminta Anda mengonstruksi CI 95% untuk rata-rata IKK berdasarkan survei Bank Indonesia — ini langsung menerapkan rumus CI rata-rata dengan distribusi t; karena n = 500 cukup besar, nilai t akan sangat mendekati Z. Latihan kedua satu langkah lebih jauh: membandingkan rata-rata IKK antara kelompok pria dan wanita menggunakan Welch t-test, persis seperti yang sudah kita latih di HDN-2. Kerjakan lima menit, gambar garis hipotesis, tentukan distribusi yang tepat, hitung t dan bandingkan dengan t kritis, lalu kita diskusikan bersama. Untuk pertemuan berikutnya, kita akan naik satu level ke uji hipotesis satu sampel penuh dan perkenalan chi-square; pastikan Anda sudah membaca Bab 10 Lind sebelum hadir.