Program Studi Manajemen • FEB UNDIP

Statistika Bisnis II

Pertemuan 4 — Analisis Varians (ANOVA)

Menguji apakah rata-rata lebih dari dua kelompok berbeda secara statistik — dengan satu uji yang terkontrol.

RPS MINGGU 4 • SUB-CPMK 4 • DURASI 2 × 50 MENIT

Selamat datang di Pertemuan 4. Hari ini kita masuki salah satu teknik pengujian hipotesis yang paling sering dipakai dalam penelitian bisnis dan pemasaran: Analisis Varians atau ANOVA — singkatan dari Analysis of Variance. Di pertemuan sebelumnya Anda sudah mahir menguji dua kelompok dengan uji-t; sekarang bayangkan Anda punya empat, lima, atau sepuluh kelompok yang ingin dibandingkan rata-ratanya — misalnya apakah penjualan cabang Alfamart di Semarang, Surabaya, Bandung, dan Medan benar-benar berbeda, ataukah perbedaan itu sekadar fluktuasi sampel belaka. ANOVA menjawab pertanyaan itu dalam satu uji yang rapi dan terkontrol. Di akhir pertemuan ini Anda akan mampu menghitung F-hitung dari nol, membaca tabel F kritis, melakukan uji lanjut Tukey HSD untuk mengidentifikasi pasangan kelompok yang berbeda, serta memahami logika ANOVA dua arah dengan efek interaksi.

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu menjelaskan distribusi F dan melakukan pengujian kesamaan populasi (Sub-CPMK 4).

Capaian 1

Jelaskan sifat-sifat distribusi F (selalu ≥0, right-skewed, dua derajat kebebasan) dan hubungannya dengan distribusi Chi-Kuadrat (χ²).

Capaian 2

Hitung SSB, SSW, MSB, MSW, dan F-hitung secara manual dari data mentah — langkah per langkah tanpa kesalahan aritmetika.

Capaian 3

HSD

Lakukan uji lanjut post-hoc Tukey HSD setelah H&sub0; ditolak untuk menentukan pasangan kelompok mana yang berbeda signifikan.

Capaian 4

Susun dan interpretasikan ANOVA dua arah — uji efek utama Faktor A, Faktor B, dan efek interaksi A×B dalam satu studi kasus bisnis.

Masalah: Tiga Kota, Satu Pertanyaan

Manajer regional Alfamart ingin tahu: apakah rata-rata penjualan harian cabang berbeda antar kota?

Semarang	Surabaya	Bandung
Rp 12,4 jt	Rp 14,1 jt	Rp 13,0 jt
Rp 11,8 jt	Rp 13,7 jt	Rp 12,5 jt
Rp 12,9 jt	Rp 14,5 jt	Rp 13,3 jt
x̄ = 12,4	x̄ = 14,1	x̄ = 12,9

Kuis cepat: Bolehkah kita lakukan tiga uji-t berpasangan (SMG–SBY, SMG–BDG, SBY–BDG)?

Tidak. 3 uji-t berpasangan → risiko Tipe I = 1−(0,95)³ ≈ 14,3% (bukan 5%!). Ini alpha inflation (inflasi alpha). ANOVA hadir untuk ini.

Coba perhatikan skenario ini: Anda manajer regional dan ada tiga kota yang ingin dibandingkan penjualan cabangnya. Intuisi pertama Anda mungkin: "Mudah saja, lakukan uji-t tiga kali." Tapi di sinilah masalah dimulai — kalau Anda pakai α = 5% untuk masing-masing uji-t, probabilitas Anda tidak melakukan kesalahan di tiap uji adalah 95%. Kalau tiga uji dilakukan independen, probabilitas tidak ada kesalahan sama sekali adalah 0,95³ ≈ 0,857, artinya probabilitas ada setidaknya satu kesalahan sudah 14,3% — hampir tiga kali lipat α yang Anda niatkan. Ini disebut alpha inflation atau familywise error rate — tingkat kesalahan di seluruh keluarga uji. ANOVA mengatasi masalah ini dengan satu uji tunggal yang menjaga α tetap di level yang Anda tentukan, berapa pun banyaknya kelompok yang Anda bandingkan. Catat: Kesalahan Tipe I (α) adalah probabilitas menolak H₀ yang sebenarnya benar — menyatakan ada perbedaan padahal tidak ada.

Bagian 1 dari 4

Distribusi F & Logika ANOVA

Sebelum menghitung, pahami dulu distribusi yang melandasi uji ini.

Distribusi F — Sifat & Bentuk

Distribusi F (George W. Snedecor, 1934) = rasio dua variansi yang masing-masing berdistribusi Chi-Kuadrat (χ²).

F = (χ²₁ / df₁) ÷ (χ²₂ / df₂)

Sifat Utama

Selalu ≥ 0 (tidak ada nilai F negatif)
Tidak simetris — menjulur ke kanan (right-skewed)
Ditentukan oleh dua derajat kebebasan: df₁ (numerator/pembilang) & df₂ (denominator/penyebut)
Bila df₁ = 1, maka F = t² (hubungan dengan distribusi t)
Semakin besar df, kurva mendekati simetris (asimtotik)

Distribusi F pertama kali dikembangkan oleh statistikawan Amerika George W. Snedecor, dan diberi nama "F" untuk menghormati Sir Ronald A. Fisher yang meletakkan landasan ANOVA. Ciri paling penting: distribusi F selalu bernilai positif dan memiliki ekor panjang di kanan — bentuknya mirip kurva Chi-Kuadrat, tapi sudah dinormalisasi dengan derajat kebebasannya. Ini masuk akal karena kita akan membandingkan dua estimasi variansi: kalau dua kelompok punya variansi yang sama, rasio F ≈ 1; kalau kelompok-kelompok sangat berbeda rata-ratanya, variansi antar kelompok akan jauh lebih besar dari variansi dalam kelompok, sehingga F jauh di atas 1. Perhatikan di grafik: dua kurva dengan df berbeda — semakin besar df, semakin kurva bergeser ke kiri dan mendekati bentuk simetris. Satu hal yang perlu Anda catat: distribusi F memiliki dua derajat kebebasan, berbeda dari distribusi t yang hanya satu, dan karena itulah kita perlu mencari nilai F kritis dari dua angka.

Mengapa Tidak Cukup dengan Uji-t Berulang?

Dengan k kelompok, ada k(k−1)/2 pasangan. Setiap uji-t berulang menggembungkan kesalahan Tipe I (familywise error rate = probabilitas setidaknya satu kesalahan dalam keluarga uji).

Jumlah kelompok (k)	Jumlah uji-t	α kumulatif (α=5%)
2	1	5,0%
3	3	14,3%
4	6	26,5%
5	10	40,1%

α_total = 1 − (1 − α)^c (c = jumlah uji)

ANOVA mempertahankan α = 5% berapa pun jumlah kelompok. Inilah keunggulan uji omnibus (omnibus = satu uji untuk semua kelompok sekaligus).

Saya ingin Anda benar-benar memahami mengapa uji-t berulang itu berbahaya, bukan sekadar tidak dianjurkan. Kalau Anda punya empat kelompok dan melakukan enam uji-t berpasangan dengan α=5%, probabilitas bahwa setidaknya satu dari keenam uji itu memberikan kesimpulan "ada perbedaan" padahal sebenarnya tidak ada, adalah 1 − (0,95)&sup6; ≈ 26,5% — lebih dari seperempat! Itu bukan 5% lagi; itu sudah mendekati lotere. Di jurnal akademik manapun, reviewer akan langsung mempermasalahkan hal ini. ANOVA hadir sebagai solusi: ia melakukan satu uji tunggal yang secara struktural menjaga α tetap pada level yang Anda tentukan, berapa pun banyaknya kelompok yang Anda bandingkan. Kata kuncinya adalah omnibus: ANOVA menjawab satu pertanyaan besar — apakah ada perbedaan di antara semua kelompok ini — tanpa menggelembungkan risiko kesalahan.

Logika ANOVA: Memisahkan Dua Sumber Variansi

Variansi total data dapat dipecah menjadi dua komponen:

SST = SSB + SSW

SSB — Sum of Squares Between (Antar Kelompok)

Variasi karena perbedaan antar kelompok
Makin besar → kelompok makin berbeda
Ini sinyal yang kita cari

SSW — Sum of Squares Within (Dalam Kelompok)

Variasi karena keacakan dalam tiap kelompok
Selalu ada meskipun kelompok identik
Ini noise (gangguan acak)

Logika F: F = MSB / MSW = “sinyal kelompok” ÷ “noise acak”. Bila F ≫ 1 → sinyal lebih kuat dari noise → tolak H₀.
MSB = Mean Square Between = SSB/df_B | MSW = Mean Square Within = SSW/df_W

Ini adalah slide paling konseptual hari ini, jadi saya minta perhatian penuh Anda. Bayangkan nilai data dari semua kelompok sebagai sebuah kolam variansi total yang disebut SST — Sum of Squares Total. Pertanyaannya: dari mana asal variansi itu? Ada dua sumber. Pertama, variansi yang muncul karena memang kelompok-kelompoknya berbeda satu sama lain — ini SSB, sinyal yang kita cari. Kedua, variansi yang muncul murni karena keacakan — anggota dalam satu kelompok pun tidak pernah persis sama — ini SSW, noise yang selalu ada. Ketika F = MSB/MSW jauh lebih besar dari 1, artinya sinyal antar kelompok jauh lebih kuat dari noise dalam kelompok — kita bisa percaya bahwa perbedaan antar kelompok itu nyata, bukan kebetulan. Analogi sederhananya: bayangkan Anda mendengarkan radio dengan gangguan; sinyal yang kuat mudah dibedakan dari gangguan — F adalah rasio kekuatan sinyal terhadap gangguan itu.

Coba Sendiri: Geser Data Kelompok, Amati Rasio F

Ubah rata-rata dan sebaran tiap kelompok, lihat bagaimana SSB, SSW, dan rasio F berubah bersamaan.

Bagian 2 dari 4

ANOVA Satu Arah
Hitung dari Nol

Kita hitung langkah demi langkah dengan data penjualan Alfamart 4 kota.

Hipotesis & Struktur ANOVA Satu Arah

ANOVA satu arah menguji satu faktor (satu variabel kategoris) terhadap rata-rata populasi dari k kelompok.

Hipotesis

H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = … = μₖ (semua rata-rata populasi sama)

H₁: Setidaknya satu μᵢ berbeda dari yang lain

Notasi

k = jumlah kelompok | nᵢ = observasi per kelompok

N = total observasi (N = n₁+n₂+…+nₖ)

x̄ᵢ = rata-rata kelompok ke-i | x̄ = grand mean (rata-rata keseluruhan)

	Kelompok 1	Kelompok 2	…	Kelompok k
Obs	x₁₁	x₂₁	…	xₖ₁
⋮	⋮	⋮	…	⋮
Rata-rata	x̄₁	x̄₂	…	x̄ₖ
n	n₁	n₂	…	nₖ

Rumus Lengkap: SS, MS, F-hitung

Langkah 1 — Grand Mean:
x̄ = ΣΣxᵢ῍ / N
Langkah 2 — Sum of Squares:
SSB = Σ nᵢ(x̄ᵢ−x̄)²  [antar]
SSW = ΣΣ(xᵢ῍−x̄ᵢ)²  [dalam]
SST = SSB + SSW
Langkah 3 — df:
df_B = k−1  |  df_W = N−k  |  df_T = N−1
Langkah 4 — MS:
MSB = SSB / df_B  |  MSW = SSW / df_W
Langkah 5 — F-hitung:
F = MSB / MSW

Sumber	SS	df	MS	F
Antar (B)	SSB	k−1	MSB	MSB/MSW
Dalam (W)	SSW	N−k	MSW	—
Total	SST	N−1	—	—

HDN-1: Penjualan Alfamart 4 Kota — Langkah 1–3

Konteks: 10 cabang Alfamart per kota. Penjualan harian (Rp juta). α = 0,05.

Semarang (x̄₁)	Surabaya (x̄₂)	Bandung (x̄₃)	Medan (x̄₄)
11,8; 12,4; 11,5; 12,9; 12,1; 11,7; 12,6; 12,3; 11,9; 12,8	14,1; 13,7; 14,5; 14,0; 13,8; 14,3; 14,6; 13,9; 14,2; 14,4	12,5; 13,0; 12,8; 13,2; 12,7; 13,1; 12,9; 13,3; 12,6; 13,0	10,2; 10,8; 10,5; 11,0; 10,3; 10,7; 10,9; 10,4; 10,6; 10,1
x̄₁ = 12,20	x̄₂ = 14,15	x̄₃ = 12,91	x̄₄ = 10,55

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. Grand Mean (x̄)	(12,20+14,15+12,91+10,55) / 4 = 49,81 / 4	x̄ = 12,4525
2a. Selisih	12,20−12,4525; 14,15−12,4525; 12,91−12,4525; 10,55−12,4525	−0,2525; 1,6975; 0,4575; −1,9025
2b. Selisih²	0,0638; 2,8815; 0,2093; 3,6195	Jumlah = 6,7741
3. SSB	10 × 6,7741	SSB = 67,741

Mari kita hitung bersama. Data ini adalah data ilustrasi yang realistis mengikuti pola penjualan retail di kota-kota besar Indonesia. Langkah pertama selalu Grand Mean: jumlahkan semua rata-rata kelompok dan bagi dengan k — tapi ini hanya valid bila nᵢ sama; bila nᵢ berbeda, harus menjumlahkan semua observasi lalu bagi N. Di sini nᵢ = 10 untuk semua kota, jadi cara cepat bisa dipakai. SSB mengukur seberapa jauh rata-rata tiap kota menyimpang dari Grand Mean — perhatikan bahwa Surabaya (14,15) jauh di atas Grand Mean (12,45), sedangkan Medan (10,55) jauh di bawah; ini sudah memberikan sinyal kuat bahwa perbedaan antar kota mungkin signifikan. Kita kalikan dengan nᵢ = 10 karena semakin banyak sampel, semakin kita yakin dengan rata-rata kelompok itu. Lanjutkan ke slide berikutnya untuk menghitung SSW dan F-hitung.

HDN-1: Penjualan Alfamart 4 Kota — Langkah 4–7

Langkah	Perhitungan	Nilai
4. SSW	9 × (0,2311 + 0,0878 + 0,0689 + 0,0917) = 9 × 0,4795	SSW = 4,316
5. df	df_B = 4−1 = 3 \| df_W = 40−4 = 36 \| df_T = 39	df_B=3; df_W=36
6. MSB; MSW	MSB = 67,741 / 3 = 22,580 \| MSW = 4,316 / 36 = 0,1199	MSB=22,580; MSW=0,1199
7. F-hitung	F = 22,580 / 0,1199	F = 188,37

Sumber	SS	df	MS	F-hitung	F kritis (α=0,05)
Antar (Between)	67,741	3	22,580	188,37	2,866
Dalam (Within)	4,316	36	0,1199	—	—
Total	72,057	39	—	—	—

F-hitung (188,37) ≫ F kritis (2,866) → Tolak H₀. Ada perbedaan signifikan rata-rata penjualan antar kota.

Perhatikan angka F-hitung kita: 188,37. Itu sangat besar. Nilai F kritis untuk df₁=3 dan df₂=36 pada α=5% adalah 2,866 — nilai eksak F(3;36) yang akan kita baca dari tabel F di slide berikutnya. Karena 188,37 jauh melampaui 2,866, kita menolak H₀ dengan sangat kuat — ada bukti statistik yang sangat meyakinkan bahwa rata-rata penjualan harian Alfamart berbeda secara signifikan di antara keempat kota. Dalam dunia nyata, ini berarti manajer regional harus menyelidiki: mengapa Surabaya jauh lebih tinggi dari Medan? Apakah faktor populasi kota, daya beli, atau strategi operasional yang berbeda? ANOVA memberitahu kita bahwa ada perbedaan — bukan mengapa. Untuk mengetahui pasangan kota mana yang berbeda, kita butuh uji Tukey HSD di Bagian 3. SSW dihitung dari variansi dalam tiap kota dikalikan (nᵢ−1) — detail lengkap ada di Lampiran A materi.

Tabel F Kritis & Cara Membacanya

Nilai F kritis dibaca dari tabel F berdasarkan dua derajat kebebasan dan α. Baris = df_W (N−k), Kolom = df_B (k−1).

df_W \ df_B	1	2	3	4	5
30	4,171	3,316	2,922	2,690	2,534
36	—	—	→ interpolasi	—	—
40	4,085	3,232	2,839	2,606	2,449
60	4,001	3,150	2,758	2,525	2,368

Interpolasi df_W=36:
F(3;36) = 2,922 − (6/10)×(2,922−2,839)
= 2,922 − 0,050 = 2,872
≈ 2,866 (nilai eksak dari tabel lengkap)

Untuk contoh kita: df_B=3, df_W=36 → F kritis = 2,866.
Interpolasi (perkiraan nilai antara dua titik tabel) ≈ 2,872 sudah sangat dekat.

Membaca tabel F sedikit berbeda dari tabel t karena ada dua angka derajat kebebasan yang harus Anda tentukan. Cara mudah mengingatnya: df pembilang atau numerator, yaitu jumlah kelompok dikurangi 1, itu yang menentukan kolom; df penyebut atau denominator, yaitu total observasi dikurangi jumlah kelompok, itu yang menentukan baris. Untuk contoh kita, df_B=3 di kolom dan df_W=36 di baris — perhatikan tabel cetak umumnya hanya menyediakan baris df=30 dan df=40, sehingga df=36 harus diinterpolasi. Interpolasi adalah perkiraan nilai antara dua titik yang diketahui: F(3;36) ≈ 2,922 − 0,6×0,083 ≈ 2,872, yang sangat dekat ke nilai eksak 2,866 dari tabel lengkap atau software. Dalam praktik, software seperti SPSS atau Excel memberikan p-value eksak sehingga Anda tidak perlu interpolasi manual — tapi untuk ujian tertulis, biasakan dengan langkah ini.

Interpretasi: Apakah Kota Berbeda?

Konteks: Alfamart, 4 kota, n=10 per kota, α=0,05.

Kriteria	Nilai
F-hitung	188,37
F kritis (df₃,₃₆, α=0,05)	~2,866
F-hitung > F kritis?	YA → Tolak H₀
p-value	< 0,0001

Tolak H₀: Ada perbedaan rata-rata penjualan yang signifikan. Tapi ANOVA belum memberitahu pasangan kota mana yang berbeda → perlu uji post-hoc.

Interpretasi ANOVA harus selalu berdua: pertama, keputusan statistik, tolak atau gagal tolak H₀, dan kedua, implikasi bisnis. Secara statistik kita sudah sangat yakin menolak H₀ karena F-hitung kita sekitar 66 kali lebih besar dari nilai kritis — jauh melampaui ambang signifikansi. Secara bisnis, ini berarti kebijakan harga, promosi, atau alokasi SDM yang seragam untuk semua kota mungkin kurang tepat — ada sesuatu yang berbeda di tiap kota yang mempengaruhi kinerja penjualan. Namun ingat: kita belum tahu kota mana yang berbeda dengan kota mana — apakah Semarang dan Bandung sebetulnya mirip? Apakah hanya Medan yang jauh tertinggal? Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan itu, kita perlu uji post-hoc yang akan kita pelajari di Bagian 3. p-value < 0,0001 artinya bila H₀ benar, kemungkinan mendapat F setinggi ini hampir nol.

Bagian 3 dari 4

Uji Lanjut Post-Hoc
& Asumsi ANOVA

Setelah H₀ ditolak: tentukan pasangan mana yang berbeda. Post-hoc (setelah fakta) = uji yang dilakukan setelah ANOVA untuk identifikasi pasangan spesifik.

Uji Post-Hoc: Tukey HSD & LSD

Tukey HSD — direkomendasikan

HSD = q × √(MSW / n)

q = nilai tabel studentized range (q_α, k, df_W)
Bandingkan |x̄ᵢ − x̄῍| dengan HSD; bila > HSD → berbeda signifikan
Lebih konservatif (ketat); kontrol familywise error rate
Direkomendasikan untuk k ≥ 4

LSD — Fisher's Least Significant Difference

LSD = t_(α/2, df_W) × √(2MSW / n)

Lebih liberal (longgar) — lebih mudah menyatakan berbeda
Hanya valid untuk k = 3 atau setelah omnibus F signifikan
Alternatif lain: Bonferroni, Scheffé, Games-Howell (bila variansi tak homogen)

Cara baca tabel q (studentized range statistic = nilai tabel memperhitungkan jumlah kelompok): cari baris df_W, kolom k. Contoh kita: df≈36, k=4 → q ≈ 3,791.

Tukey HSD adalah standar emas uji post-hoc dalam penelitian bisnis dan sosial. Idenya sederhana: hitung satu nilai ambang batas HSD, lalu bandingkan selisih absolut setiap pasangan rata-rata dengan ambang itu. Kalau selisih melebihi HSD, pasangan itu berbeda signifikan. Kelebihan Tukey adalah ia memperhitungkan kenyataan bahwa kita membuat banyak perbandingan sekaligus — semakin banyak kelompok, HSD-nya semakin besar, semakin sulit menyatakan berbeda. LSD lebih longgar dan cocok hanya untuk k=3 atau situasi tertentu. Dalam skripsi dan jurnal penelitian, Tukey HSD adalah pilihan yang paling aman dan paling sering diterima reviewer. Konservatif artinya lebih ketat, lebih sulit menyatakan perbedaan signifikan, risiko Tipe I lebih rendah. Liberal artinya lebih longgar, lebih mudah menyatakan ada perbedaan, risiko Tipe I lebih tinggi.

HDN-1 Lanjutan: Tukey HSD Alfamart

Diketahui: MSW = 0,1199; n = 10; k = 4; df_W = 36; α = 0,05

df_W \ k	2	3	4	5
30	2,89	3,49	3,845	4,10
40	2,86	3,44	3,791	4,04
60	2,83	3,40	3,737	3,98

q = 3,791 (baris df=40, konservatif)
HSD = 3,791 × √(0,1199 / 10)
= 3,791 × √0,01199
= 3,791 × 0,1095
= 0,415

Pasangan	\|x̄ᵢ − x̄῍\|	> HSD (0,415)?	Kesimpulan
Semarang vs Surabaya	\|12,20−14,15\| = 1,95	Ya	Berbeda signifikan
Semarang vs Bandung	\|12,20−12,91\| = 0,71	Ya	Berbeda signifikan
Semarang vs Medan	\|12,20−10,55\| = 1,65	Ya	Berbeda signifikan
Surabaya vs Bandung	\|14,15−12,91\| = 1,24	Ya	Berbeda signifikan
Surabaya vs Medan	\|14,15−10,55\| = 3,60	Ya	Berbeda signifikan
Bandung vs Medan	\|12,91−10,55\| = 2,36	Ya	Berbeda signifikan

Asumsi ANOVA — Tiga Syarat Wajib

ANOVA valid bila tiga asumsi ini terpenuhi. Periksa sebelum melaporkan hasil.

Asumsi 1

Normal

Observasi dalam setiap kelompok berdistribusi normal. Uji: Shapiro-Wilk / histogram. Robustness: ANOVA cukup robust bila n ≥ 30 per kelompok (Central Limit Theorem / CLT).

Asumsi 2

Homo

Homogenitas variansi: σ²₁ = σ²₂ = … = σ²ₖ. Uji: Levene's Test / Bartlett's Test. Bila dilanggar: gunakan Welch's ANOVA atau Games-Howell post-hoc.

Asumsi 3

Indep

Independensi: setiap observasi bebas dari observasi lainnya. Dipastikan melalui desain sampling yang benar. Bila dilanggar: gunakan ANOVA pengukuran berulang (repeated measures).

Bila asumsi dilanggar berat dan n kecil → alternatif non-parametrik: Kruskal-Wallis (uji berbasis rank, tidak butuh asumsi normalitas).

Tiga asumsi ini harus Anda cek sebelum melaporkan hasil ANOVA — terutama dalam skripsi dan jurnal. Kabar baiknya: ANOVA cukup robust terhadap pelanggaran normalitas bila n cukup besar, yakni 30 per kelompok atau lebih, berkat Central Limit Theorem yang menjamin distribusi rata-rata mendekati normal. Asumsi yang paling kritis adalah homogenitas variansi — kalau variansi satu kelompok sepuluh kali lebih besar dari kelompok lain, hasil ANOVA bisa sangat menyesatkan. Software statistik seperti SPSS secara otomatis menghitung Levene's Test; bila signifikan p < 0,05, gunakan Welch's ANOVA sebagai pengganti. Asumsi independensi paling mudah dipenuhi dengan desain sampling yang baik — pastikan satu observasi tidak mempengaruhi observasi lainnya. Kruskal-Wallis adalah uji non-parametrik setara ANOVA satu arah yang berbasis rank dan tidak membutuhkan asumsi distribusi normal.

Bagian 4 dari 4

ANOVA Dua Arah
Dua Faktor Sekaligus

Bagaimana menguji pengaruh dua variabel dan interaksinya? Desain faktorial (factorial) = lebih dari satu faktor diuji bersamaan.

ANOVA Dua Arah: Efek Utama & Interaksi

ANOVA dua arah menguji pengaruh Faktor A, Faktor B, dan interaksi A×B dalam satu prosedur.

Tiga Hipotesis yang Diuji

H₀A: Tidak ada efek utama Faktor A

H₀B: Tidak ada efek utama Faktor B

H₀AB: Tidak ada efek interaksi antara A dan B

Efek utama (main effect) = pengaruh satu faktor secara rata-rata di semua level faktor lain.
Efek interaksi = pengaruh Faktor A bergantung pada level Faktor B.
Bila A×B signifikan → jangan interpretasikan efek utama secara terisolasi.

	Level B₁	Level B₂	x̄ᵢ.
Level A₁	x̄₁₁	x̄₁₂	x̄₁.
Level A₂	x̄₂₁	x̄₂₂	x̄₂.
Level A₃	x̄₃₁	x̄₃₂	x̄₃.
x̄.῍	x̄.₁	x̄.₂	x̄..

Efek interaksi adalah konsep paling penting dan paling sering disalahpahami dalam ANOVA dua arah. Analoginya: bayangkan obat tertentu bekerja sangat baik untuk pasien muda tapi tidak untuk pasien tua — ada interaksi antara jenis obat dan usia. Dalam konteks bisnis, bayangkan diskon 30% meningkatkan penjualan drastis di mall tapi hampir tidak berpengaruh di gerai standalone — ada interaksi antara level diskon dan tipe gerai. Kalau interaksi signifikan, Anda tidak boleh berkata "diskon berpengaruh positif" secara umum — harus spesifik di level B mana. Secara prosedur: selalu uji interaksi dulu; bila signifikan, fokus pada interpretasi interaksi; baru kemudian efek utama dibahas dalam konteks interaksi tersebut. Pada grafik interaksi, dua garis paralel berarti tidak ada interaksi — efek A sama di semua level B.

Rumus ANOVA Dua Arah

Dekomposisi SS untuk desain balanced (a level Faktor A, b level Faktor B, n replikasi per sel):

SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

SSA = bn × Σ(x̄ᵢ. − x̄..)²  [df_A = a−1]
SSB = an × Σ(x̄.῍ − x̄..)²  [df_B = b−1]
SSAB = n × ΣΣ(x̄ᵢ῍−x̄ᵢ.−x̄.῍+x̄..)²  [df_AB = (a−1)(b−1)]
SSE = ΣΣΣ(xᵢ῍₆−x̄ᵢ῍)²  [df_E = ab(n−1)]

Sumber	SS	df	F
Faktor A	SSA	a−1	MSA/MSE
Faktor B	SSB	b−1	MSB/MSE
Interaksi AB	SSAB	(a−1)(b−1)	MSAB/MSE
Error (dalam sel)	SSE	ab(n−1)	—
Total	SST	abn−1	—

Perhatikan bahwa ANOVA dua arah memiliki empat komponen SS, bukan dua seperti ANOVA satu arah. Kita sekarang memisahkan variansi menjadi: efek Faktor A, efek Faktor B, efek interaksi A×B, dan error yang tersisa. Prinsip F-ratio tetap sama: kita bandingkan sinyal, yaitu MS faktor, dengan noise, yaitu MSE atau Mean Square Error — variansi dalam sel yang tidak bisa dijelaskan model. Yang baru adalah kita punya tiga F yang diuji: untuk Faktor A, untuk Faktor B, dan untuk interaksi A×B, masing-masing dengan tabel F yang dikonsultasikan menggunakan df masing-masing. Satu syarat penting: rumus ini berlaku untuk desain balanced, artinya n sama di setiap sel — untuk desain unbalanced, perhitungannya lebih kompleks dan butuh software. Kata balanced dalam statistik berarti semua sel punya jumlah observasi yang sama.

Coba Sendiri: Ubah Level Faktor, Lihat Garis Interaksi

Ubah rata-rata tiap sel Faktor A x Faktor B dan amati kapan garis interaksi berubah dari paralel menjadi bersilangan.

HDN-2: Harga Promo × Tipe Gerai — Langkah 1–4

Konteks: Faktor A = Diskon (10%, 20%, 30%). Faktor B = Tipe Gerai (Mall, Standalone). n = 5 hari per sel. N = 3×2×5 = 30.

	Mall (B₁)	Standalone (B₂)	x̄ᵢ.
Diskon 10% (A₁)	102	88	95,0
Diskon 20% (A₂)	118	95	106,5
Diskon 30% (A₃)	145	98	121,5
x̄.῍	121,67	93,67	x̄..=107,67

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. Grand Mean	(102+88+118+95+145+98)/6 = 646/6	107,67
2. Selisih A	(−12,67)²+(−1,17)²+(13,83)²	160,5+1,4+191,3=353,2
3. SSA	bn × 353,2 = 2×5 × 353,2	SSA = 3.532
4. Selisih B	(121,67−107,67)²+(93,67−107,67)²	196+196=392

HDN-2: Harga Promo × Tipe Gerai — Langkah 5–7

Langkah	Perhitungan	Nilai
5. SSB	an × 392 = 3×5 × 392 = 15 × 392	SSB = 5.880
6. SSAB deviasi	(102−95−121,67+107,67)²=49; (88−95−93,67+107,67)²=49; ... jumlah 6 sel = 291	291
6. SSAB	n × 291 = 5 × 291	SSAB = 1.455
7. SSE	6 sel × (n−1) × s²_sel; variansi tiap sel mall=2,5, standalone=0,5	SSE = 36

Sumber	SS	df	MS	F-hitung	F kritis (α=0,05)	Keputusan
Diskon (A)	3.531,67	2	1.765,84	1.177,2	3,40	Tolak H₀A
Tipe Gerai (B)	5.880,00	1	5.880,00	3.920,0	4,26	Tolak H₀B
Interaksi (A×B)	1.455,00	2	727,50	485,0	3,40	Tolak H₀AB
Error	36,00	24	1,50	—	—	—
Total	10.902,67	29	—	—	—	—

Perhatikan bahwa ketiga F-hitung sangat signifikan — efek Diskon (F=1.177,2 jauh di atas 3,40), Tipe Gerai (F=3.920,0 jauh di atas 4,26), dan Interaksi (F=485,0 jauh di atas 3,40) semuanya jauh melampaui nilai kritis. Efek interaksi yang sangat signifikan (F=485,0) berarti kita tidak bisa sekadar berkata "diskon meningkatkan penjualan sebesar X unit" — kita harus spesifik: "Diskon meningkatkan penjualan lebih besar di gerai mall daripada di gerai standalone." Ini adalah informasi manajerial yang sangat berharga: kalau budget promosi terbatas, manajer sebaiknya mengkonsentrasikan diskon besar di gerai mall. Dalam penulisan laporan atau skripsi, bila interaksi signifikan, harus didahulukan interpretasinya sebelum efek utama. MSE = SSE/df_E = 36/24 = 1,5 adalah variansi dalam sel yang menjadi noise pembanding.

Interpretasi Interaksi: Grafik Interaksi

Grafik interaksi (interaction plot) memvisualisasikan apakah efek satu faktor bergantung pada level faktor lain. Garis tidak paralel = ada interaksi.

Diskon	Mall	Standalone
10%	102	88
20%	118	95
30%	145	98

Mall naik 102→145 (+43 unit). Standalone naik 88→98 (+10 unit). Dua garis tidak paralel → interaksi signifikan.
Implikasi: Diskon besar sangat efektif di mall, kurang efektif di standalone.

Grafik interaksi adalah cara tercepat untuk melihat apakah interaksi ada. Kalau dua garis itu paralel — naik atau turun dengan kemiringan yang sama — tidak ada interaksi: efek diskon sama saja di kedua tipe gerai. Tapi kalau garisnya saling mendekat, menjauh, atau bahkan bersilang seperti huruf X, ada interaksi — artinya jawaban pertanyaan "apakah diskon efektif?" bergantung pada di mana gerai itu berada. Dalam kasus kita, garis Mall jauh lebih curam daripada garis Standalone — diskon 30% menambah 43 unit di mall tapi hanya 10 unit di standalone. Manajemen Alfamart bisa menggunakan insight ini untuk mengalokasikan anggaran promosi secara lebih efisien: konsentrasikan diskon besar di mal-mal besar kota untuk mendapatkan impact penjualan maksimal. Ini adalah contoh nyata bagaimana statistika menghasilkan rekomendasi bisnis yang bisa ditindaklanjuti.

Peta Konsep ANOVA — Satu Layar

ANOVA dalam satu pandang. Kunci: SST = SSB + SSW; F = MSB/MSW.

Latihan & Persiapan Pertemuan 5

Dikuasai Hari Ini

Distribusi F: selalu positif, right-skewed, dua derajat kebebasan (df₁ & df₂)
ANOVA satu arah: hitung SSB=67,74; SSW=4,32; F=188,37 dari data mentah
Tabel F: baca dengan df_B (kolom) dan df_W (baris); interpolasi bila perlu
Tukey HSD: HSD = q×√(MSW/n) = 0,415; semua 6 pasangan berbeda signifikan
ANOVA dua arah: uji interaksi dulu; SSA=3.531,67; SSB=5.880; SSAB=1.455

Latihan Mandiri (Sebelum Pertemuan 5)

Kerjakan Bank Soal B2 (Lampiran B materi)
Coba data produktivitas karyawan PT Telkom 3 divisi (Lampiran B soal 3)
Baca: Lind, Marchal & Wathen (2015) Bab 12, §12.6–12.7
Verifikasi SSW = 4,316 secara manual dari Lampiran A

Pertemuan 5: Regresi Linear Sederhana

Kita sudah menempuh perjalanan yang cukup panjang hari ini — dari distribusi F, ANOVA satu arah, uji Tukey HSD, hingga ANOVA dua arah dengan efek interaksi. Ini adalah salah satu pertemuan yang paling padat dalam Statistika Bisnis II, jadi kalau ada yang belum sepenuhnya jelas, saya sangat menganjurkan Anda mengulang Lampiran A di materi ini sambil mengerjakan Bank Soal. Angka-angka kunci yang harus Anda hafal: F-hitung = 188,37, F kritis = 2,866, HSD = 0,415, dan untuk ANOVA dua arah: SSA=3.531,67, SSAB=1.455, MSE=1,5. Pertemuan depan kita akan beralih ke Regresi Linear Sederhana — yang secara konsep merupakan kakak ANOVA karena sama-sama menggunakan F-test, tapi untuk menguji hubungan antar variabel, bukan perbedaan rata-rata kelompok. Sampai jumpa di Pertemuan 5, dan jangan lupa kerjakan latihan mandiri sebelum kita bertemu lagi.