Pertemuan 3: Distribusi Normal & Nilai Z

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu menjelaskan dan menggunakan distribusi normal (Sub-CPMK 3 — Sub Capaian Pembelajaran Mata Kuliah). Secara rinci:

Target 1

1

Menjelaskan sifat kurva lonceng & parameter μ (rata-rata) dan σ (simpangan baku)

Target 2

2

Mentransformasi nilai X ke Z = (X − μ)/σ dan membaca tabel Z

Target 3

3

Menghitung P(a < X < b) menggunakan distribusi normal standar

Target 4

4

Menerapkan CLT (Teorema Limit Pusat) & menghitung SE = σ/√n untuk distribusi sampling rata-rata

Mengapa Distribusi Normal Penting?

Contoh di Data Bisnis Indonesia

Distribusi gaji karyawan BCA & Mandiri (BPS 2024)
Nilai IPK (Indeks Prestasi Kumulatif) mahasiswa FEB UNDIP
Laba harian saham LQ45 (indeks 45 saham paling likuid di BEI)
Tinggi badan rekrutan TNI/Polri
Waktu pengiriman paket Tokopedia

Relevansi Profesional

Setiap kali manajer HRD menetapkan rentang gaji "wajar"; setiap kali bank menentukan batas risiko kredit; setiap kali analis OJK (Otoritas Jasa Keuangan) mengevaluasi kinerja portofolio — mereka menggunakan logika distribusi normal.

Aturan 68-95-99,7% — Anda akan segera hafal ini setelah slide berikutnya.

Bagian 1

Distribusi Normal:
Bentuk & Parameter

Sifat-sifat kurva lonceng — μ dan σ sebagai pengontrol

Apa Itu Distribusi Normal?

Distribusi normal adalah distribusi kontinu (nilai dapat berupa sembarang bilangan real) yang berbentuk simetris seperti lonceng dengan satu puncak di tengah.

Formula densitas probabilitas (informatif — tidak perlu dihafal):
f(X) = (1/σ√2π) × e^−(X−μ)²/2σ²
e ≈ 2,718; π ≈ 3,14 (konstanta matematika)

Luas total di bawah kurva = 1 (= 100% probabilitas). Densitas probabilitas = tinggi kurva; luas di bawahnya = probabilitas.

Distribusi normal — sering disebut juga distribusi Gauss — adalah model matematis untuk data yang mengelompok di sekitar rata-rata dengan frekuensi yang menurun secara simetris ke kiri dan ke kanan. Bayangkan Anda mengukur tinggi badan 10.000 mahasiswa FEB UNDIP: hampir pasti sebagian besar akan berada di sekitar 165 cm, dengan semakin sedikit orang yang sangat pendek atau sangat tinggi — itulah bentuk lonceng yang kita bicarakan. Formula densitas yang tertulis di slide tidak perlu Anda hafal — itu hanyalah cara matematis untuk menggambarkan bentuk kurva tersebut; yang terpenting adalah Anda memahami bahwa luas di bawah kurva mewakili probabilitas, dan total luas selalu sama dengan 1 atau 100%. Titik infleksi (titik di mana kurva berubah dari cekung ke cembung) berada tepat di X = μ ± σ — ini penting untuk memahami peran σ sebagai ukuran lebar kurva.

Lima Sifat Distribusi Normal

Distribusi normal memiliki lima sifat definitif yang membedakannya dari distribusi lain:

1

Simetris — kurva berbentuk cermin sempurna di sekitar μ. P(X > μ) = P(X < μ) = 0,5.

2

Mean = Median = Mode — ketiganya bertemu di satu titik (puncak kurva). Mode = nilai yang paling sering muncul.

3

Asimtotik — ekor kurva mendekati sumbu X tetapi tidak pernah menyentuhnya (ekor panjang ke −∞ dan +∞). Asimtotik = kurva yang mendekati garis tanpa pernah menyentuhnya.

4

Ditentukan oleh dua parameter — sepenuhnya terdefinisi hanya dengan μ (lokasi) dan σ (lebar/dispersi).

5

Luas total = 1 — probabilitas semua kejadian berjumlah 100%.

Kelima sifat ini bukan hafalan sembarangan — masing-masing memiliki implikasi praktis yang penting. Sifat simetris, misalnya, berarti tepat setengah populasi berada di atas rata-rata dan setengahnya lagi di bawah — sesuatu yang tidak berlaku untuk distribusi miring seperti distribusi pendapatan rumah tangga Indonesia yang umumnya kanan-miring karena ada segelintir orang sangat kaya. Sifat Mean = Median = Mode penting untuk identifikasi: kalau data Anda memiliki ketiga ukuran ini yang berbeda jauh, itu sinyal bahwa data Anda tidak normal. Sifat asimtotik sering membingungkan mahasiswa: kurva seolah tidak pernah habis ke kiri dan kanan, tetapi secara praktis hampir semua probabilitas terkonsentrasi dalam rentang ±3σ dari rata-rata — hal ini yang kita lihat di aturan empiris berikutnya.

Parameter μ dan σ — Dua Pengontrol Bentuk

Ubah μ → kurva bergeser. Ubah σ → kurva melebar atau menyempit.

Parameter	Simbol	Pengaruh	Contoh
Rata-rata (mean)	μ (mu)	Geser lokasi puncak	Rata-rata gaji BCA = Rp 8 jt
Simpangan baku	σ (sigma)	Lebar kurva	σ = Rp 1,2 jt → variasi gaji

Aturan Empiris 68-95-99,7

Untuk semua distribusi normal, berlaku aturan empiris (68-95-99,7 rule) yang sama:

Rentang	Proporsi Data	Contoh Gaji (μ=8jt, σ=1,2jt)
μ ± 1σ	68,27%	Rp 6,8 jt — Rp 9,2 jt
μ ± 2σ	95,45%	Rp 5,6 jt — Rp 10,4 jt
μ ± 3σ	99,73%	Rp 4,4 jt — Rp 11,6 jt

Hanya ~0,27% data berada di luar ±3σ — ini disebut "outlier statistik".

Bagian 2

Nilai Z & Tabel Distribusi
Normal Standar

Mentransformasi data — dari X ke Z, dari Z ke probabilitas

Z = (X − μ) / σ

Transformasi Z: Rumus & Arti Geometris

Z = (X − μ) / σ

Simbol	Arti	Satuan
X	Nilai data yang ditransformasi	Satuan asli (Rp, menit, dll.)
μ	Rata-rata populasi	Satuan asli
σ	Simpangan baku populasi	Satuan asli
Z	Nilai Z standar (hasil)	Tak bersatuan (dimensionless)

Z = +1 → 1 simpangan baku di atas rata-rata
Z = −2 → 2 simpangan baku di bawah rata-rata

Rumus Z adalah alat transformasi yang paling sering Anda pakai di seluruh mata kuliah statistik. Bayangkan kita ingin membandingkan dua hal yang berbeda satuan: apakah seorang karyawan BCA bergaji Rp 9,2 juta "lebih tinggi di atas rata-rata" dibandingkan nasabah Mandiri yang menunggu 5 menit saat rata-rata antrean 4 menit? Tidak bisa dibandingkan langsung karena satuannya berbeda (rupiah vs menit) — tetapi Z-score keduanya bisa langsung dibandingkan. Karyawan BCA: Z = (9,2 − 8) / 1,2 = +1,0; nasabah Mandiri: Z = (5 − 4) / 0,8 = +1,25 — artinya waktu tunggu nasabah lebih "ekstrem" daripada gaji karyawan tersebut. Ini kekuatan sejati Z-score: ia membuat segalanya berbicara dalam bahasa yang sama. Distribusi normal standar N(0,1) diberi simbol Z; μ = 0 dan σ = 1 adalah sifatnya yang membuat satu tabel cukup untuk semua.

Membaca Tabel Z — Langkah demi Langkah

Tabel Z memberikan P(Z ≤ z) — luas kumulatif dari −∞ sampai z. Contoh: Z = 1,67.

1

Hitung Z = (X − μ)/σ. Contoh: Z = 1,67.

2

Ambil 1 desimal pertama → cari di baris tabel: Z=1,67 → baris 1,6.

3

Ambil desimal kedua → cari di kolom header: Z=1,67 → kolom 0,07.

4

Perpotongan baris 1,6 × kolom 0,07 = 0,9525. Inilah P(Z ≤ 1,67).

Z negatif: P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ +a)
Simetri kurva → P(Z ≤ −1,67) = 1 − 0,9525 = 0,0475

Z	0,00	0,03	0,04	0,07
0,8	0,7881	0,7967	0,7995	0,8078
1,2	0,8849	0,8907	0,8925	0,8980
1,5	0,9332	0,9357	0,9370	0,9418
1,6	0,9452	0,9484	0,9495	0,9525
1,8	0,9641	0,9664	0,9671	0,9706

Sel sorotan: baris 1,6 × kolom 0,07 = 0,9525

Hitung dari Nol — HDN-1

Gaji Karyawan BCA — Probabilitas Rentang

Diketahui: Gaji karyawan BCA berdistribusi normal, μ = Rp 8 juta/bulan, σ = Rp 1,2 juta.
Ditanya: P(7 jt ≤ X ≤ 10 jt) = ?

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. Z₁ untuk X₁ = Rp 7 jt	Z₁ = (7 − 8) / 1,2	Z₁ = −0,83
2. Z₂ untuk X₂ = Rp 10 jt	Z₂ = (10 − 8) / 1,2	Z₂ = +1,67
3. P(Z ≤ −0,83)	Simetri: 1 − P(Z ≤ 0,83) = 1 − 0,7967	0,2033
4. P(Z ≤ +1,67)	Dari tabel Z: baris 1,6 × kolom 0,07	0,9525
5. Selisih (Pola C)	P = 0,9525 − 0,2033	0,7492

Kesimpulan: P(7jt ≤ X ≤ 10jt) ≈ 74,92% — sekitar 3 dari 4 karyawan BCA bergaji dalam rentang ini.

Distribusi t-Student — Kapan Dipakai?

Gunakan distribusi Z hanya bila σ (simpangan baku populasi) diketahui. Bila σ tidak diketahui dan sampel kecil (n < 30): pakai distribusi t-Student.

Aspek	Distribusi Z	Distribusi t
σ populasi	Diketahui	Tidak diketahui → pakai s (sampel)
Ukuran sampel	Besar (n ≥ 30) atau populasi	Kecil (n < 30)
Bentuk kurva	Lonceng simetris	Lebih lebar di ekor daripada Z
Parameter	μ, σ	df = n − 1 (derajat bebas)
Batas	—	Bila n → ∞, distribusi t → Z

Untuk Pertemuan 3, kita fokus ke distribusi Z. Distribusi t dibahas mendalam di Pertemuan 7 (uji-t).

Bagian 3

Probabilitas di Antara
Dua Nilai

Tiga pola soal + studi kasus Indonesia

Tiga Pola Soal Probabilitas Normal

Semua soal probabilitas distribusi normal masuk ke salah satu dari tiga pola ini:

Pola A — Ekor Kiri

P(X ≤ a)

Langsung baca tabel: P(Z ≤ z_a)

Pola B — Ekor Kanan

P(X ≥ a)

Komplemen: 1 − P(Z ≤ z_a)

Pola C — Rentang Tengah

P(a ≤ X ≤ b)

Selisih: P(Z ≤ z_b) − P(Z ≤ z_a)

Selalu gambar sketsa kurva sebelum berhitung — hindari salah tanda (ekor kiri vs kanan).

Hitung dari Nol — HDN-2

Waktu Layanan Teller Mandiri + CLT

Jembatan ke Bagian 4: Contoh ini memperkenalkan dua konsep yang dibahas tuntas di Slide 19–22: (1) distribusi sampling rata-rata — distribusi semua kemungkinan nilai X̄ dari sampel berukuran n; dan (2) kesalahan standar SE = σ/√n. Intinya: rata-rata sampel lebih stabil dari satu pengamatan tunggal, sehingga variabilitasnya dibagi √n.

Diketahui: Waktu layanan teller Bank Mandiri: μ = 4 menit, σ = 0,8 menit. Sampel n = 36 nasabah.
Ditanya: P(X̄ ≤ 3,8 menit) = ?

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. Hitung SE (Kesalahan Standar)	SE = σ/√n = 0,8/√36 = 0,8/6	SE = 0,1333 menit
2. Hitung Z untuk X̄ = 3,8	Z = (3,8 − 4) / 0,1333	Z = −1,50
3. Baca tabel Z	Simetri: 1 − P(Z ≤ 1,50) = 1 − 0,9332	0,0668

Kesimpulan: P(X̄ ≤ 3,8) ≈ 6,68% — hanya sekitar 7% sampel 36 nasabah memiliki rata-rata waktu layanan di bawah 3,8 menit.

Studi Kasus Indonesia — Penjualan Harian Minimarket

Skenario (ilustrasi): Penjualan harian satu gerai (toko/outlet ritel) Indomaret tipikal di Semarang berdistribusi normal: μ = Rp 35 juta/hari, σ = Rp 6 juta/hari.

Pertanyaan manajerial:

B

P(X > Rp 45jt)? (Pola B: ekor kanan)
Z = (45−35)/6 = 1,67
P = 1 − 0,9525 = 4,75%

C

P(Rp 28jt ≤ X ≤ Rp 41jt)? (Pola C: rentang)
Z₁=(28−35)/6=−1,17 → P=0,1210
Z₂=(41−35)/6=1,00 → P=0,8413
Selisih = 72,03%

Catatan: angka μ dan σ adalah ilustrasi pedagogis — bukan data resmi perusahaan.

Studi kasus ini sengaja dipilih dari industri ritel yang dekat dengan keseharian mahasiswa. Minimarket seperti Indomaret dan Alfamart adalah salah satu bisnis dengan data operasional yang sangat teratur dan melimpah — setiap transaksi tercatat, setiap hari penjualan dirangkum, sehingga sangat mudah dimodelkan dengan distribusi normal. Pertanyaan pertama — apakah kemungkinan penjualan > Rp 45 juta? — adalah pertanyaan ekor kanan: hanya sekitar 4,75% hari dalam setahun yang menghasilkan penjualan setinggi itu; ini adalah hari "luar biasa" (mungkin libur nasional, akhir bulan, atau promosi besar). Pertanyaan kedua menunjukkan bahwa sekitar 72% hari kerja jatuh dalam rentang Rp 28–41 juta — ini rentang "normal" harian yang digunakan manajer gerai untuk merencanakan stok dan tenaga kerja.

Konteks Indonesia: Distribusi Gaji Karyawan Bank

Data referensi BPS 2024 (Statistik Upah Buruh) — sektor perbankan: rata-rata gaji karyawan bank nasional ~Rp 8–10 juta/bulan. Distribusi gaji berbeda per level:

Level Karyawan	Bentuk Distribusi	Catatan
Staf/Pelaksana (teller, analis junior)	Mendekati normal	Rentang gaji terstandarisasi skala korporat
Manajer menengah	Sedikit miring kanan	Variasi kompensasi mulai lebar
Eksekutif/Direksi	Sangat miring kanan (right-skewed)	Outlier besar — jangan diasumsikan normal

OJK mewajibkan bank melaporkan kebijakan remunerasi (kompensasi total) direksi — sumber data publik untuk analisis distribusi gaji.

Bagian 4

Teorema Limit Pusat &
Distribusi Sampling

Mengapa rata-rata sampel berdistribusi normal — fondasi inferensi statistik

SE = σ / √n

Teorema Limit Pusat (CLT) — Fondasi Statistika Inferensial

Jika sampel acak berukuran n diambil dari populasi mana pun dengan rata-rata μ dan σ yang terhingga, maka distribusi rata-rata sampel (X̄) mendekati distribusi normal dengan:

Rata-rata distribusi sampling

μX̄ = μ

Sama dengan rata-rata populasi

Simpangan baku distribusi sampling

σX̄ = σ/√n

= SE (Kesalahan Standar)

Syarat praktis: n ≥ 30 (aturan umum untuk distribusi tidak terlalu ekstrem). Makin besar n → distribusi X̄ makin sempit → estimasi makin presisi.

Pernyataan CLT terdengar teknis, tetapi intuisinya sederhana: ketika Anda mengambil banyak sampel dan menghitung rata-rata masing-masing sampel, kumpulan rata-rata tersebut membentuk distribusi yang semakin mirip distribusi normal seiring sampel membesar — terlepas dari bentuk distribusi populasi aslinya. Bayangkan Anda melempar dadu biasa sebanyak satu kali — hasilnya seragam (angka 1 sampai 6 masing-masing punya peluang 1/6 yang sama; bukan distribusi normal). Tapi jika Anda melempar 30 dadu sekaligus dan ambil rata-ratanya, lakukan ini ribuan kali, rata-rata tersebut akan membentuk kurva lonceng yang sangat cantik. Inilah CLT bekerja. Implikasinya untuk bisnis: ketika Anda mensurvei 100 pelanggan untuk mengestimasi rata-rata kepuasan seluruh pelanggan, Anda bisa menggunakan distribusi normal untuk membangun interval kepercayaan.

Distribusi Sampling Rata-Rata & Kesalahan Standar

SE = σ / √n

Z = (X̄ − μ) / SE = (X̄ − μ) / (σ/√n)

Simbol	Arti
SE	Standard Error / Kesalahan Standar — simpangan baku distribusi sampling rata-rata
σ	Simpangan baku populasi
n	Ukuran sampel
X̄	Rata-rata sampel (X-bar)

Contoh: σ = 0,8 menit, n = 36 → SE = 0,8/6 = 0,1333 menit

SE berbanding terbalik dengan √n — untuk mengurangi SE menjadi setengah, ukuran sampel harus dilipatempat-kan.

Kapan CLT "Aktif"? Aturan n ≥ 30

CLT bekerja untuk n berapa pun, tetapi kecepatan mendekati normalitas bergantung pada bentuk distribusi populasi:

Distribusi Populasi	n yang Diperlukan
Sudah normal	n berapa pun (bahkan n = 1)
Agak simetris (mild skew)	n ≥ 15 biasanya cukup
Sangat miring / non-normal	n ≥ 30 sebagai aturan umum
Sangat ekstrem (heavy-tailed)	Mungkin butuh n > 100

Aturan n ≥ 30 adalah konvensi (kesepakatan praktis) — BUKAN batas absolut. Selalu pertimbangkan bentuk distribusi populasi. Heavy-tailed = distribusi dengan ekor sangat tebal (mis. distribusi Pareto untuk kekayaan).

Panduan praktis: buat histogram sampel Anda. Jika mendekati simetris → CLT sudah aktif lebih awal. Jika sangat miring → butuh n lebih besar atau pertimbangkan transformasi data (log-transform).

Jebakan Umum Saat Menggunakan Distribusi Normal

Lima kesalahan yang paling sering membuat jawaban salah — jadikan ini checklist ujian:

!

Lupa simetri Z negatif — P(Z ≤ −1,5) ≠ 0,9332 (itu nilai Z = +1,5). Gunakan komplemen: P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ +a).

!

Tidak menggambar sketsa — tanpa sketsa, mudah salah menentukan apakah area di kiri atau kanan nilai tertentu.

!

Pakai σ untuk distribusi sampling — untuk soal X̄, gunakan SE = σ/√n, bukan σ langsung. σ untuk data individual; SE untuk rata-rata sampel.

!

Mengasumsikan semua data normal — periksa histogram/skewness (ukuran asimetri distribusi) sebelum menggunakan distribusi normal. Data pendapatan sering right-skewed.

!

Menjumlahkan Z alih-alih mencari selisih — P(a < X < b) = P(Z ≤ z_b) − P(Z ≤ z_a). Bukan penjumlahan.

Cheat Sheet — Distribusi Normal & Nilai Z

Enam kunci hari ini — kuasai artinya, bukan sekadar hafalkan:

Rumus Kunci

1

Transformasi Z (individual)Z = (X − μ) / σ

2

Probabilitas kumulatifP(Z ≤ z) = tabel Z

3

Ekor kananP(X ≥ a) = 1 − P(Z ≤ z_a)

4

Rentang tengah (Pola C)P(Z ≤ z_b) − P(Z ≤ z_a)

5

Kesalahan StandarSE = σ / √n

6

Z distribusi samplingZ = (X̄ − μ) / SE

Aturan Empiris Kilat

68% (±1σ) · 95% (±2σ) · 99,7% (±3σ) — berlaku universal untuk semua distribusi normal.

Perhatikan: Rumus 1 vs 6 — keduanya adalah Z, tetapi pembilang berbeda: σ untuk data individual X; SE=σ/√n untuk rata-rata sampel X̄.

Diskusi & Latihan Kelas

Kerjakan berpasangan — 10 menit. Presenter acak.

Soal 1 — Individual (Pola C)

Nilai IPK (Indeks Prestasi Kumulatif) mahasiswa S1 Manajemen FEB UNDIP berdistribusi normal dengan μ = 3,20 dan σ = 0,35. Berapa probabilitas seorang mahasiswa terpilih memiliki IPK antara 3,00 dan 3,60?

Petunjuk: Hitung Z₁ dan Z₂, gunakan Pola C.

Soal 2 — Distribusi Sampling

Dari populasi yang sama (μ = 3,20, σ = 0,35), diambil sampel 49 mahasiswa. Berapa probabilitas rata-rata IPK sampel berada di atas 3,30?

Petunjuk: Hitung SE terlebih dahulu, lalu Z, lalu komplemen.

Diskusi Kelas

Pertanyaan diskusi: Mengapa distribusi nilai IPK mahasiswa S1 cenderung mendekati normal, sedangkan distribusi gaji mahasiswa setelah lulus umumnya miring kanan (right-skewed)? Faktor apa yang membedakannya?

Pikirkan: ceiling & floor IPK (0–4), standarisasi penilaian akademis, vs asimetri pasar tenaga kerja dan distribusi kekayaan yang tidak merata.

Ini adalah jembatan ke topik uji normalitas yang akan kita pelajari di pertemuan-pertemuan berikutnya.

Pertemuan 3 Selesai — Terima Kasih

Recap 3 Poin Utama Hari Ini:

1

Distribusi normal didefinisikan oleh μ dan σ; aturan empiris 68-95-99,7% berlaku universal.

2

Z = (X − μ)/σ mentransformasi data ke skala standar; tabel Z memberikan probabilitas kumulatif P(Z ≤ z).

3

CLT menjamin X̄ berdistribusi normal (untuk n ≥ 30 aturan umum); SE = σ/√n.

"All models are wrong, but some are useful."
— George E.P. Box & Draper (1987). Empirical Model-Building and Response Surfaces. Wiley.

Persiapan Pertemuan 4 — Sampling & Estimasi

Baca: Lind, Marchal & Wathen (2015), Bab 9 — Estimation and Confidence Intervals
Siapkan: kalkulator dan tabel Z (akan dipakai lagi)
Kerjakan soal Lampiran B sebelum pertemuan berikutnya (latihan mandiri wajib)

Referensi utama RPS: Lind, Marchal & Wathen (2015). Statistical Techniques in Business & Economics (16th ed.), Bab 7–8. McGraw-Hill. Sumber tambahan: Berenson et al. (2012), Bab 6–7; BPS (2024); OJK (2024).

Kita sudah menempuh perjalanan panjang hari ini: dari memahami mengapa distribusi normal penting, ke cara mengukur posisi data dengan Z-score, ke menghitung probabilitas dengan tabel Z, hingga memahami CLT sebagai fondasi seluruh statistika inferensial. Kutipan dari George Box — ahli statistik terkemuka abad 20 — mengingatkan kita bahwa distribusi normal adalah model, bukan kenyataan mutlak: data nyata jarang sekali persis normal, tetapi model ini cukup berguna untuk memandu keputusan bisnis. Untuk Pertemuan 4, kita akan membangun di atas fondasi CLT ini untuk masuk ke interval kepercayaan — cara yang lebih canggih untuk mengekspresikan ketidakpastian estimasi kita. Sebelum pertemuan berikutnya, pastikan Anda mengerjakan soal-soal di Lampiran B — itu persiapan wajib agar Pertemuan 4 bisa Anda ikuti dengan lancar. Sampai jumpa minggu depan.

Statistika Bisnis II