FEB UNDIP · Statistika Bisnis I

Statistika Bisnis I

Pertemuan 14 · Regresi Linear Sederhana & Tutorial Perangkat Lunak Statistik

Garis regresi sudah Anda buat di Pertemuan 13. Sekarang: seberapa bagus garis itu, apakah hubungannya nyata, dan bagaimana menjalankannya di R/Stata.

RPS Minggu 14 · Sub-CPMK 6 · 2 × 50 menit

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda mampu membangun model regresi sederhana, menjalankannya di software, dan menafsirkan hasilnya (Sub-CPMK 6). Rincinya:

Capaian 1 — Kebaikan-Suai

SST

= SSR + SSE

Melengkapi tabel ANOVA (SST, SSR, SSE), menghitung $R^{2}$ dan se estimasi.

Capaian 2 — Signifikansi

t & F

uji slope

Menguji slope dengan uji-t $(H_{0}: \beta _{1} = 0)$ dan uji-F, lalu memutuskan tolak/terima.

Capaian 3 — Baca Output

p < α

keputusan

Membaca tabel komputer: koefisien, std error, t, p-value, $R^{2}$ dari output nyata R/Stata.

Capaian 4 — Software & Kesimpulan

lm()

R / Stata

Menjalankan R/Stata + scatter & garis, lalu menulis kesimpulan manajerial.

Coba Sendiri: SE, t-test & CI untuk Slope

t = b-satu / SE(b-satu). CI 95 persen yang tidak memuat nol berarti slope signifikan. SE kecil (data banyak, r-kuadrat tinggi) membuat CI sempit dan lebih mudah signifikan.

Garisnya Sudah Ada — Tapi Sebagus Apa?

Pertemuan lalu Anda menarik garis ŷ = 20 + 5X melalui awan titik. Pertanyaan hari ini: apakah garis itu layak dipercaya?

Yang Sudah Anda Bisa (P13)

$ŷ = b_{0} + b_{1}X$

metode OLS

Membuat persamaan garis dengan kuadrat terkecil. Titik potong $b_{0} = 20$, kemiringan $b_{1} = 5 \to$ tiap +Rp 1 jt iklan dikaitkan +Rp 5 jt penjualan.

Yang Belum Terjawab

$R^{2}$ & t?

belum dihitung

Seberapa rapat titik mengikuti garis? Apakah $b_{1} = 5$ ini nyata, atau bisa saja sebenarnya nol di populasi (iklan tak berpengaruh)?

Membuat garis itu mudah — software bisa menarik garis melalui data acak sekalipun. Tugas hari ini: menilai apakah garis itu pantas dipercaya.

Saya selalu membuka pertemuan ini dengan satu peringatan penting: membuat garis regresi itu gampang, tetapi membuat garis yang layak dipercaya itu butuh pembuktian. Di Pertemuan 13 Anda menarik garis ŷ = 20 + 5X melalui data penjualan ritel — artinya setiap tambahan satu juta rupiah belanja iklan diiringi kenaikan penjualan lima juta rupiah, menurut garis itu. Tetapi perhatikan: software bisa menarik garis melalui kumpulan data apa pun, bahkan data yang benar-benar acak tanpa hubungan apa-apa, dan tetap memberi Anda angka $b_{0}$ dan $b_{1}$. Maka pertanyaan kritisnya bukan "berapa kemiringannya", melainkan "seberapa rapat titik-titik mengikuti garis, dan apakah kemiringan itu cukup jauh dari nol untuk kita percaya" — itulah dua pekerjaan kita hari ini: mengukur kecocokan garis lewat $R^{2}$, dan menguji keberartian kemiringan lewat uji-t dan uji-F.

Coba Sendiri: Geser Garis, Kalahkan Kuadrat Terkecil

Geser titik potong dan kemiringan garis Anda sendiri, lalu tekan tombol Optimum untuk membandingkan dengan solusi OLS.

Bagian 1 dari 4

Seberapa Bagus Garisnya?

Memecah variasi data menjadi yang terjelaskan dan tak terjelaskan — lalu meringkasnya dalam satu angka: $R^{2}$.

SST SSR SSE

Tiga Jenis "Jarak" yang Membentuk Variasi

Untuk setiap titik data, ada tiga jarak vertikal yang penting. Semuanya diukur dari nilai-nilai Y.

SST — Total

$\sum (Y_{i}-ȳ)^{2}$

variasi total

Jarak tiap $Y_{i} ke$ rata-rata ȳ. Total variasi data sebelum regresi. Baseline tebakan tanpa garis.

SSR — Terjelaskan

$\sum (ŷ_{i}-ȳ)^{2}$

oleh model

Jarak garis $ŷ_{i}$ ke rata-rata ȳ. Bagian variasi yang dijelaskan oleh X (iklan).

SSE — Sisa/Galat

$\sum (Y_{i}-ŷ_{i})^{2}$

tak terjelaskan

Jarak tiap $Y_{i} ke$ garis $$ŷ_{i}$$. Bagian yang tak terjelaskan model — sisa/residual.

Bayangkan: kalau Anda tak punya garis, tebakan terbaik untuk Y adalah rata-ratanya (ȳ). Garis regresi memperbaiki tebakan itu — sejauh mana perbaikannya, itulah SSR.

Inilah jantung konsep kebaikan-suai, jadi ikuti pelan-pelan dengan satu titik data sebagai contoh. Bayangkan Anda belum punya garis sama sekali; tebakan paling masuk akal untuk penjualan sebuah toko adalah rata-rata penjualan semua toko, yaitu ȳ. Jarak antara penjualan toko itu yang sebenarnya dan rata-rata itu — kalau dikuadratkan dan dijumlahkan untuk semua toko — adalah SST, total variasi yang ingin kita jelaskan. Sekarang masukkan garis regresi: garis itu memberi tebakan baru ŷ yang biasanya lebih dekat ke nilai sebenarnya; seberapa jauh tebakan garis bergerak dari rata-rata, itulah SSR, bagian variasi yang berhasil dijelaskan oleh iklan. Sisanya — jarak yang masih tersisa antara nilai sebenarnya dan garis — adalah SSE, kesalahan yang tak bisa dijelaskan; ketiga jarak ini diukur secara vertikal, dan dari sinilah seluruh aritmetika regresi mengalir.

Identitas Pamungkas: SST = SSR + SSE

Total variasi selalu pecah persis menjadi bagian terjelaskan + bagian sisa. Ini bukan kebetulan — sifat matematis OLS.

SST = SSR + SSE

SST — Total

$\sum (Y_{i} - ȳ)^{2}$

SSR — Terjelaskan

$\sum (ŷ_{i} - ȳ)^{2}$

SSE — Galat

$\sum (Y_{i} - ŷ_{i})^{2}$

SSR = 4.200 (96,3%)

3,7%

SST = 4.360 = SSR 4.200 + SSE 160 (kasus penjualan ritel — lihat HDN-1)

Konsekuensi logis: makin besar porsi SSR dari SST, makin baik garisnya. Inilah yang akan kita ubah jadi $R^{2}$ di slide berikutnya.

Slide ini berisi satu persamaan yang harus Anda hafal sampai mati: SST sama dengan SSR ditambah SSE. Artinya, total variasi data selalu pecah dengan rapi menjadi dua potongan — bagian yang berhasil dijelaskan garis, dan bagian yang tidak. Ini bukan kebetulan numerik, melainkan sifat matematis bawaan metode kuadrat terkecil yang Anda pelajari di Pertemuan 13; karena garis OLS dipilih untuk meminimalkan SSE, suku silangnya tepat hilang sehingga total terbagi bersih menjadi dua. Konsekuensi praktisnya luar biasa berguna: kalau Anda tahu dua dari tiga angka ini, yang ketiga otomatis ketemu dengan pengurangan sederhana. Dan yang terpenting, semakin besar porsi SSR dibanding SST, semakin banyak variasi yang dijelaskan model, semakin bagus garisnya — gagasan inilah yang sebentar lagi kita ubah menjadi satu angka bernama $R^{2}$.

Hitung dari Nol — HDN-1: Lengkapi Tabel ANOVA

Data: iklan (X) vs penjualan (Y) 8 toko ritel (Rp juta). Garis ŷ = 20 + 5X. Hitung SST, SSR, SSE, lalu $R^{2}$.

X: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 | Y: 36, 34, 48, 62, 72, 78, 84, 106 | ȳ = 65

Langkah	Perhitungan	Nilai
Rata-rata Y	ȳ = 520 ÷ 8	65
SST $= \sum (Y_{i} - ȳ)^{2}$	$(36-65)^{2} + (34-65)^{2} + \dots + (106-65)^{2}$	4.360
ŷ tiap titik	ŷ = 20 + 5X → 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100	—
SSR $= \sum (ŷ_{i} - ȳ)^{2}$	$(30-65)^{2} + (40-65)^{2} + \dots + (100-65)^{2}$	4.200
SSE = SST − SSR	4.360 − 4.200	160
$R^{2} =$ SSR ÷ SST	4.200 ÷ 4.360	0,9633

$R^{2} \approx 0,963$. Artinya 96,3% variasi penjualan antar-toko dijelaskan oleh belanja iklan; sisanya 3,7% faktor lain (lokasi, harga, musim, dll.).

Sekarang kita kerjakan satu kasus dari nol sampai jadi, memakai data penjualan ritel yang sudah kita pakai di Pertemuan 13, supaya kontinuitasnya terjaga. Langkah pertama selalu sama: cari rata-rata Y, yaitu jumlahkan kedelapan nilai penjualan lalu bagi delapan, hasilnya enam puluh lima juta. Langkah kedua, hitung SST dengan menjumlahkan kuadrat selisih tiap penjualan terhadap rata-rata itu; saya sudah hitung dan hasilnya empat ribu tiga ratus enam puluh — ini total variasi yang ingin kita jelaskan. Langkah ketiga, masukkan tiap nilai iklan ke persamaan garis untuk mendapat ŷ, lalu hitung SSR sebagai kuadrat selisih ŷ terhadap rata-rata, hasilnya empat ribu dua ratus; karena SST = SSR + SSE, maka SSE cukup dicari dengan pengurangan, yaitu seratus enam puluh. Langkah terakhir, bagi SSR dengan SST dan Anda dapat $R^{2}$ sekitar nol koma sembilan enam tiga — artinya sembilan puluh enam persen variasi penjualan antar-toko bisa dijelaskan oleh belanja iklan, sebuah hasil yang sangat kuat.

Koefisien Determinasi $R^{2} -$ Satu Angka Kebaikan-Suai

$R^{2}$ meringkas kecocokan garis menjadi satu angka antara 0 dan 1 (sering ditulis \%).

$$R^{2} = SSR \div SST = 1 - (SSE \div SST)$$

$R^{2}$	Tafsir kasar
0	Garis tak menjelaskan apa-apa (sama saja pakai ȳ)
0,50	Setengah variasi terjelaskan
0,963	96,3% terjelaskan (kasus kita)
1	Semua titik tepat di garis (sempurna)

Catatan: di regresi sederhana, $R^{2} = r^{2}$ (kuadrat korelasi P12). Di sini $r = +0,981 \to r^{2} = 0,963$. Cocok.

$R^{2} = 0,9633$

Hati-hati: $R^{2}$ tinggi ≠ hubungan kausal, dan ≠ model benar. $R^{2}$ hanya bilang seberapa rapat titik mengikuti garis — bukan apakah iklan menyebabkan penjualan.

$R^{2}$ adalah angka favorit manajer karena merangkum kualitas model dalam satu bilangan yang mudah dilaporkan. Definisinya: proporsi variasi total yang berhasil dijelaskan oleh garis, yaitu SSR dibagi SST, atau setara dengan satu dikurangi SSE dibagi SST. Nilainya selalu antara nol dan satu; nol berarti garis tak berguna sama sekali dan sama saja Anda menebak pakai rata-rata, sedangkan satu berarti semua titik jatuh tepat di garis. Dalam kasus kita $R^{2}$ sekitar nol koma sembilan enam tiga, yang artinya sembilan puluh enam persen naik-turunnya penjualan antar-toko bisa dijelaskan oleh belanja iklannya, sebuah angka yang sangat tinggi. Tetapi saya ingatkan keras: $R^{2}$ tinggi tidak otomatis berarti iklan menyebabkan penjualan, dan tidak berarti modelnya benar — ini cuma ukuran kerapatan titik ke garis; bukti sebab-akibat butuh desain penelitian yang lebih dari sekadar angka $R^{2}$ yang bagus.

Coba Sendiri: Pecah SST Jadi SSR dan SSE, Lihat $R^{2}$ Berubah

Ubah kerapatan titik ke garis dan amati bagaimana SSR, SSE, serta $R^{2}$ bergerak mengikuti dekomposisi variasi.

Coba Sendiri: Diagnostik Residual - Cek Asumsi Regresi

Plot residual yang sehat acak di sekitar nol. Lihat pola melengkung (non-linear), mengipas (heteroskedastisitas), dan outlier dominan.

Standar Error Estimasi (se) — Rata-rata "Meleset" Garis

$R^{2}$ adalah ukuran tanpa satuan. se memberi ukuran kesalahan dalam satuan Y (Rp juta) — seberapa jauh tipikalnya titik meleset dari garis.

se = √(SSE ÷ (n − 2)) = √MSE

Keterangan komponen

n − 2 = derajat bebas (2 parameter ditaksir: $b_{0}$ dan $b_{1})$
MSE = mean squared error = SSE/(n−2)
Membagi n−2 (bukan n) agar taksiran tidak bias

Kasus Kita (n=8)

±5,16

Rp juta

se = √(160 ÷ 6) = √26,667 = 5,164. Garis rata-rata meleset sekitar Rp 5 juta dari penjualan sebenarnya.

Tafsir: garis kita rata-rata meleset sekitar Rp 5 juta dari penjualan sebenarnya. Makin kecil se, makin presisi prediksi. Kita akan pakai se lagi untuk uji-t dan selang prediksi.

$R^{2}$ memang ringkas, tetapi punya satu kelemahan: ia tanpa satuan, sehingga tak memberi tahu seberapa besar kesalahan kita dalam rupiah. Untuk itu kita pakai standar error estimasi, yang mengukur tipikal jarak meleset garis dalam satuan Y yang sebenarnya. Rumusnya adalah akar dari SSE dibagi n dikurangi dua; kita membagi dengan n dikurangi dua, bukan n, karena dua titik data 'terpakai' untuk menaksir dua parameter garis yaitu titik potong dan kemiringan, sehingga derajat bebas yang tersisa adalah enam. Di kasus kita, se sama dengan akar dari seratus enam puluh dibagi enam, yaitu sekitar lima koma satu enam empat juta rupiah. Tafsirnya praktis: ketika Anda memprediksi penjualan sebuah toko dari iklannya, tebakan garis itu rata-rata meleset sekitar lima juta rupiah dari kenyataan — semakin kecil angka ini, semakin presisi model Anda, dan kita akan memakai se lagi sebentar lagi untuk menguji signifikansi dan membuat selang prediksi.

Bagian 2 dari 4

Apakah Hubungannya Nyata?

Menguji apakah kemiringan sungguh berbeda dari nol — lewat uji-t dan uji-F — lalu membuat selang kepercayaan dan prediksi.

$$t = b_{1} \div se(b_{1})$$

Sampai sini kita tahu garis kita cocok dengan data $(R^{2}$ tinggi), tetapi ada pertanyaan yang lebih mendasar dan sering terlupakan: apakah hubungan ini sungguh ada, atau hanya muncul karena kebetulan dari sampel yang kita ambil? Ingat, kita hanya mengamati delapan toko, bukan seluruh populasi toko; bisa saja di populasi sebenarnya iklan sama sekali tak berpengaruh, tetapi sampel kecil kita kebetulan menunjukkan pola naik. Di bagian kedua ini kita belajar mengujinya secara formal: hipotesis nolnya adalah kemiringan populasi $\beta _{1}$ sama dengan nol, dan kita uji apakah data cukup kuat untuk menolaknya. Ada dua alat untuk ini — uji-t dan uji-F — dan kita juga akan belajar membuat selang kepercayaan untuk kemiringan serta selang prediksi untuk penjualan, supaya kesimpulan Anda jujur soal ketidakpastiannya.

$\beta _{1}$ (Populasi) $vs b_{1}$ (Sampel) — Mengapa Slope Perlu Diuji

$\beta _{1} -$ Yang Sebenarnya

$\beta _{1} = ?$

populasi

Kemiringan populasi — hubungan iklan-penjualan untuk semua toko. Tak pernah kita ketahui secara pasti.

$b_{1} -$ Taksiran Kita

$b_{1} = 5$

dari sampel 8 toko

Kemiringan dari sampel 8 toko. Hanya tebakan atas $\beta _{1}$; berubah kalau sampel berganti.

$$H_{0}: \beta _{1} = 0 vs H_{1}: \beta _{1} \neq 0$$

$b_{1} = 5$ hampir tak pernah persis nol, meski iklan benar-benar tak berpengaruh — sampel selalu berisik. Pertanyaannya: apakah $b_{1} = 5$ cukup jauh dari nol untuk dipercaya? Itu butuh uji statistik.

Ini slide yang menjelaskan mengapa kita repot-repot menguji, dan kuncinya ada pada perbedaan antara $\beta _{1}$ dan $b_{1}. \beta _{1}$ dengan huruf Yunani adalah kemiringan yang sebenarnya berlaku untuk seluruh populasi toko — tetapi kita tak akan pernah tahu nilainya secara pasti karena tak mungkin mengukur semua toko. Yang kita punya hanyalah $b_{1}$, kemiringan dari sampel delapan toko kita, yang nilainya lima; ini cuma tebakan atas $\beta _{1}$, dan kalau besok Anda ambil delapan toko yang berbeda, $b_{1}$ Anda pasti agak bergeser. Inilah masalahnya: karena sampel selalu berisik, $b_{1}$ hampir tak pernah persis nol bahkan seandainya iklan sebenarnya sama sekali tak berpengaruh di populasi. Jadi pertanyaan yang benar bukan "apakah $b_{1}$ nol", melainkan "apakah $b_{1}$ cukup jauh dari nol sehingga sulit dijelaskan sebagai kebetulan sampling" — dan untuk menjawabnya kita butuh uji-t, yang membandingkan $b_{1}$ dengan ketidakpastiannya sendiri.

Uji-t untuk Kemiringan $(H_{0}: \beta _{1} = 0)$

Bandingkan kemiringan dengan ketidakpastiannya. Kalau jauh lebih besar dari std error-nya $\to$ tolak $H_{0}$.

$$t = b_{1} \div se(b_{1}) \cdot se(b_{1}) = se \div \sqrt \sum (X_{i} - \bar{x})^{2}$$

Langkah Keputusan

1 Hitung t-stat dari $b_{1}$ dan $se(b_{1})$
2 Cari t-kritis: tabel-t, df = n−2, dua sisi, α = 5%
3 |t| > t-kritis $\to$ tolak $H_{0}$ (slope signifikan). Atau: p-value < 0,05

Mengapa $se(b_{1})$ penting?

$se(b_{1})$ mengecil bila se kecil (titik rapat ke garis)
$se(b_{1})$ mengecil bila X menyebar lebar $(\sum (X_{i}-\bar{x})^{2}$ besar)
Data baik = residual kecil + X bervariasi → taksiran makin presisi

Inilah alat utama untuk menguji apakah kemiringan nyata, dan rumusnya intuitif begitu Anda pahami logikanya. Statistik-t adalah kemiringan $b_{1}$ dibagi standar error-nya — dengan kata lain, "seberapa banyak std error jarak $b_{1}$ dari nol". Kalau $b_{1}$ hanya satu-dua std error dari nol, itu masih bisa kebetulan; tetapi kalau $b_{1}$ berjarak dua belas std error dari nol, hampir mustahil itu kebetulan, sehingga kita menolak hipotesis nol dan menyimpulkan slope signifikan. Perhatikan rumus $se(b_{1}): ia$ mengecil — artinya taksiran kita makin presisi — ketika residual kecil sehingga se kecil, dan ketika nilai X menyebar lebar sehingga $\sum (X_{i}-\bar{x})^{2}$ besar; inilah sebabnya peneliti suka data dengan variasi X yang lebar. Cara mengambil keputusannya ada dua jalur yang setara: bandingkan |t| dengan t-kritis dari tabel pada derajat bebas n dikurangi dua, atau yang lebih praktis di era software, lihat apakah p-value lebih kecil dari α lima persen.

Hitung dari Nol — HDN-2: Apakah Iklan Berpengaruh?

Uji $H_{0}: \beta _{1} = 0$. Diketahui dari sebelumnya: $$b_{1} = 5; se = 5,164; \sum (X_{i} - \bar{x})^{2} = 168; n = 8$$.

Langkah	Perhitungan	Nilai
$se(b_{1})$	5,1640 ÷ √168 = 5,1640 ÷ 12,9615	0,3984
t-stat	$b_{1} \div se(b_{1}) = 5 \div 0,3984$	12,55
df & t-kritis	df = 8 − 2 = 6 \| $t_{0},_{025},_{6}$ dari tabel-t	2,447
Keputusan	\|12,55\| > $2,447 \to$ tolak $H_{0}$	Signifikan

$t = 12,55 ≫ 2,447 \to$ tolak $H_{0}$
p ≈ 0,0000157 < 0,05. Kemiringan iklan sangat signifikan: iklan benar-benar berpengaruh terhadap penjualan, bukan kebetulan.

Jarak ke Nol

12,55

std error dari nol

$b_{1} = 5$ berjarak lebih dari 12 std error dari nol. Hampir mustahil terjadi jika $\beta _{1} = 0$.

Sekarang kita buktikan dengan angka apakah pengaruh iklan itu nyata, memakai data yang sama dan dikerjakan dari nol. Langkah pertama, hitung standar error kemiringan: se dibagi akar dari jumlah kuadrat penyimpangan X, yaitu lima koma satu enam dibagi akar seratus enam puluh delapan, hasilnya sekitar nol koma tiga sembilan delapan. Langkah kedua, hitung statistik-t dengan membagi $b_{1}$ lima dengan std error itu, dan ketemu sekitar dua belas koma lima lima — ini berarti kemiringan kita berjarak lebih dari dua belas std error dari nol, sangat jauh. Langkah ketiga, bandingkan dengan t-kritis dari tabel pada derajat bebas enam dan α lima persen dua sisi, yaitu sekitar dua koma empat empat tujuh; karena dua belas koma lima lima jauh lebih besar, kita tolak hipotesis nol dengan sangat yakin. Kesimpulannya tegas: iklan benar-benar berpengaruh terhadap penjualan, dan p-value-nya yang sekitar nol koma nol nol nol nol satu enam menegaskan bahwa hasil seekstrem ini hampir mustahil terjadi seandainya iklan sebenarnya tak berpengaruh.

Uji-F (ANOVA Regresi) — dan Mengapa $F = t^{2}$

Cara kedua menguji signifikansi: bandingkan variasi terjelaskan vs sisa. Di regresi sederhana, hasilnya selalu sama dengan uji-t.

F = MSR ÷ MSE = (SSR/1) ÷ (SSE/(n−2))

Sumber	SS	df	MS	F
Regresi	4.200	1	4.200	157,5
Galat	160	6	26,667	—
Total	4.360	7	—	—

F = 157,5 > F-kritis$(0,05; 1, 6) = 5,99 \to$ tolak $$H_{0}$$.
Cek: $t^{2} = 12,55^{2} =$ 157,5 = F. Pada regresi sederhana, uji-t dan uji-F identik — tak mungkin memberi kesimpulan berbeda.

Ada cara kedua untuk menguji signifikansi yang akan selalu Anda lihat di output software, namanya uji-F, dan ia hadir dalam bentuk tabel ANOVA yang rapi. Idenya: bandingkan rata-rata variasi yang berhasil dijelaskan model (MSR) dengan rata-rata variasi sisa (MSE); kalau model menjelaskan jauh lebih banyak daripada sisanya, rasio F-nya besar dan kita tolak hipotesis nol. Perhatikan tabel ANOVA kita: variasi regresi empat ribu dua ratus dengan satu derajat bebas, variasi galat seratus enam puluh dengan enam derajat bebas, sehingga F sama dengan empat ribu dua ratus dibagi dua puluh enam koma enam tujuh, yaitu seratus lima puluh tujuh koma lima. Bandingkan dengan F-kritis sekitar lima koma sembilan sembilan, jelas kita tolak hipotesis nol. Dan inilah fakta yang sering membingungkan mahasiswa: pada regresi sederhana, uji-t dan uji-F itu satu hal yang sama — buktinya F sama dengan t kuadrat, dua belas koma lima lima dikuadratkan tepat seratus lima puluh tujuh koma lima — sehingga keduanya tak mungkin memberi kesimpulan berbeda; perbedaan keduanya baru terasa nanti di regresi berganda dengan banyak X.

Selang Kepercayaan & Selang Prediksi (Pengantar)

Taksiran titik selalu disertai ketidakpastian. Dua jenis selang yang harus Anda bedakan:

SK Slope $(\beta _{1}) - 95\%$

[4,03 ; 5,97]

$b_{1} \pm t\cdot se(b_{1})$

= 5 ± 2,447 × 0,3984. Tak memuat $0 \to$ konsisten dengan kesimpulan signifikan. $\beta _{1}$ populasi kemungkinan 4 sampai 6.

Prediksi Y saat $X_{0} = 10$

ŷ = 70

Rp 70 juta

Selang rata-rata (sempit): [65,4 ; 74,6] ±Rp 4,6 jt.
Selang individu (lebar): [56,6 ; 83,4] ±Rp 13,4 jt.

Selang prediksi individu selalu lebih lebar dari selang rata-rata — memprediksi satu toko lebih berisiko daripada menebak rata-rata banyak toko di iklan yang sama.

Setiap taksiran dalam statistika sebaiknya disertai rentang ketidakpastiannya, dan di regresi ada dua jenis rentang yang wajib Anda bedakan. Pertama, selang kepercayaan untuk kemiringan: rentang nilai $\beta _{1}$ populasi yang masih masuk akal, dihitung sebagai $b_{1}$ plus-minus t-kritis kali std error-nya, yang untuk kasus kita menghasilkan kira-kira empat koma nol tiga sampai lima koma sembilan tujuh; perhatikan rentang ini tidak memuat angka nol, dan itu konsisten dengan kesimpulan tadi bahwa slope signifikan. Kedua, selang untuk memprediksi penjualan pada tingkat iklan tertentu, misalnya sepuluh juta, di mana garis menebak penjualan tujuh puluh juta. Di sini ada perbedaan halus tapi penting: selang untuk rata-rata penjualan semua toko yang beriklan sepuluh juta itu sempit, tetapi selang untuk satu toko tertentu jauh lebih lebar — karena menebak satu individu selalu lebih berisiko daripada menebak rata-rata kelompok. Yang penting Anda ingat hari ini adalah prinsipnya: prediksi individu selalu lebih lebar daripada prediksi rata-rata.

Bagian 3 dari 4

Membaca Output Komputer & Asumsi

Di dunia nyata Anda menekan tombol, bukan menghitung manual. Kunci: membaca tabel output dengan benar — dan tahu kapan regresi boleh dipercaya.

Membaca Tabel Output Regresi (Anatomi)

Apa pun software-nya (R, Stata, Excel, SPSS), tabel koefisien punya kolom yang sama. Inilah cara membacanya:

Variabel	Koefisien	Std. Error	t-stat	p-value
(Intercept) $b_{0}$	20,000	4,024	4,97	0,0025
Iklan $(X) b_{1}$	5,000	0,398	12,55	<0,0001

$R^{2} =$ 0,963 · se estimasi = 5,164 · F = 157,5 (p < 0,0001) · n = 8

Cara baca cepat (3 angka kunci):

$b_{1} = 5$ $\to$ arah & besar efek (tiap +Rp 1 jt iklan $\to +Rp 5 jt$ penjualan)
p-value $b_{1}$ < 0,05 $\to$ iklan signifikan berpengaruh
$R^{2} = 0,963$ $\to$ model menjelaskan 96,3\% variasi penjualan

Slide ini mungkin yang paling sering Anda pakai seumur hidup, jadi kuasai anatominya. Apa pun perangkat lunaknya — R, Stata, Excel, atau SPSS — tabel koefisien selalu punya empat kolom yang sama: nama variabel, koefisien, standar error, statistik-t, dan p-value-nya. Baca dari kiri ke kanan: koefisien lima pada baris iklan berarti tiap tambahan satu juta iklan dikaitkan dengan tambahan lima juta penjualan; std error nol koma tiga sembilan delapan adalah ketidakpastiannya; t-stat dua belas koma lima lima adalah koefisien dibagi std error; dan p-value mendekati nol berarti sangat signifikan. Di bawah tabel biasanya ada ringkasan model: $R^{2}$ nol koma sembilan enam tiga, std error estimasi lima koma satu enam, dan statistik-F dengan p-value-nya. Trik praktis yang saya ajarkan: untuk kesimpulan cepat, cukup lihat tiga angka — tanda dan besar koefisien untuk arah efek, p-value untuk signifikansi, dan $R^{2}$ untuk kecocokan; ketiganya sudah memberi Anda ringkasan yang bisa dipresentasikan kepada atasan.

Empat Asumsi Dasar Regresi Linear

Hasil regresi hanya valid jika asumsi ini terpenuhi. Hafalkan dengan singkatan L-I-N-E.

L — Linearitas

scatter plot

Hubungan X dan Y memang garis lurus (bukan melengkung). Cek: scatter plot sebelum regresi.

I — Independensi

residual bebas

Residual antar-observasi saling bebas (tak berpola/berurutan). Penting di data deret waktu.

N — Normalitas

Q-Q plot / histogram

Residual berdistribusi normal. Cek: histogram atau Q-Q plot residual.

E — Equal Variance

homoskedastisitas

Sebaran residual sama lebar di semua nilai X — tidak menyempit atau melebar (tak ada corong).

Kalau asumsi dilanggar, koefisien masih bisa dihitung tetapi uji-t/p-value bisa menyesatkan. Selalu periksa plot residual dulu (slide berikut).

Banyak mahasiswa langsung percaya pada output regresi tanpa memeriksa apakah model itu boleh dipakai — padahal hasil regresi hanya sah kalau empat asumsi dasar terpenuhi, yang saya rangkum dalam akronim L-I-N-E supaya mudah diingat. L adalah linearitas: hubungan antara X dan Y memang berupa garis lurus, bukan kurva; kalau sebenarnya melengkung, garis lurus akan keliru, dan Anda mengeceknya lewat scatter plot. I adalah independensi: kesalahan satu observasi tak boleh memengaruhi kesalahan observasi lain, asumsi yang sangat krusial di data deret waktu seperti penjualan bulanan. N adalah normalitas residual, yang Anda periksa lewat histogram atau Q-Q plot sisa, dan E adalah equal variance atau homoskedastisitas, yaitu sebaran residual harus sama lebar di semua tingkat iklan, tidak boleh menyempit di iklan rendah lalu melebar di iklan tinggi. Kalau asumsi-asumsi ini dilanggar, komputer tetap memberi Anda koefisien dan p-value, tetapi angka-angka itu bisa menyesatkan; itulah sebabnya periksa plot residual adalah ritual wajib sebelum Anda percaya pada hasil apa pun.

Memeriksa Residual Lewat Plot (Diagnostik Cepat)

Plot residual terhadap ŷ adalah cara tercepat memeriksa asumsi. Yang Anda harapkan: titik tersebar acak di sekitar nol, tanpa pola.

Pola Sehat — Asumsi Terpenuhi

Pola Bermasalah — Waspada!

Untuk data kita, residual = +6, −6, −2, +2, +2, −2, −6, +6 (jumlah = 0). Cukup acak & simetris — asumsi tak terlihat dilanggar berat pada sampel kecil ini.

Asumsi-asumsi tadi terdengar abstrak, tetapi memeriksanya sebenarnya cepat dan visual: gambar saja residual terhadap nilai prediksi ŷ, lalu amati polanya. Yang Anda harapkan adalah pemandangan yang membosankan — titik-titik bertebaran acak di atas dan di bawah garis nol dengan lebar yang kira-kira sama, seperti awan tanpa bentuk; itu tanda asumsi terpenuhi. Yang Anda waspadai adalah pola yang jelas: kalau titik membentuk corong yang melebar, itu gejala heteroskedastisitas; kalau membentuk lengkungan, hubungannya sebenarnya tak linear; dan kalau residual naik-turun berurutan secara teratur, itu autokorelasi yang sering muncul di data deret waktu. Untuk data delapan toko kita, residualnya adalah plus enam, minus enam, minus dua, plus dua, plus dua, minus dua, minus enam, plus enam — jumlahnya nol seperti seharusnya, dan polanya cukup acak serta simetris untuk sampel sekecil ini. Ingat, pada sampel kecil seperti ini diagnosis residual lebih bersifat indikatif daripada definitif, jadi jangan over-interpretasi pola dari delapan titik saja.

Bagian 4 dari 4

Tutorial R / Stata + Penutup

Menjalankan regresi sungguhan: input data, perintah, baca output, dan visualisasi scatter + garis. Lalu kesimpulan manajerial.

Akhirnya kita sampai ke bagian yang paling praktis dan paling sering ditanyakan mahasiswa: bagaimana menjalankan semua ini di komputer. Saya akan tunjukkan dua perangkat lunak yang paling umum di FEB dan di dunia riset — R yang gratis dan open-source, serta Stata yang populer di ekonomi dan bisnis. Kabar baiknya, perintah regresi di keduanya sangat singkat, sering hanya satu baris, dan output yang keluar persis cocok dengan semua yang sudah kita hitung manual hari ini. Tujuan saya bukan menjadikan Anda ahli pemrograman dalam satu pertemuan, melainkan memastikan Anda tidak takut pada layar software dan bisa membaca hasilnya dengan percaya diri. Setelah itu kita tutup dengan menerjemahkan angka-angka menjadi kalimat keputusan bisnis, karena di situlah nilai sebenarnya dari semua perhitungan ini.

Tutorial R — `lm()` untuk Regresi, `plot()` untuk Visual

Empat baris dan Anda punya regresi lengkap. Ketik di konsol R/RStudio:

# Masukkan data
iklan <- c(2,4,6,8,10,12,14,16)
penjualan <- c(36,34,48,62,72,78,84,106)

# Bangun model regresi
model <- lm(penjualan ~ iklan)
summary(model) # output lengkap

# Visualisasi
plot(iklan, penjualan)
abline(model, col="red")

lm() = linear model. Tilde ~ dibaca "dijelaskan oleh". summary() menampilkan koefisien, $t, p, R^{2}, F -$ semua yang kita hitung manual.

Output summary(model) — ringkasan

iklan   Estimate 5.000
        Std.Error 0.398
        t value  12.55
        Pr(>|t|) 1.57e-05

Multiple R-squared: 0.9633
F-statistic: 157.5
p-value: 1.566e-05

Mari kita lihat betapa singkatnya menjalankan regresi di R, perangkat lunak gratis yang bisa Anda unduh sendiri. Dua baris pertama hanya memasukkan data: vektor iklan dan vektor penjualan, persis delapan angka yang sudah kita pakai sepanjang hari ini. Baris ketiga adalah inti segalanya: lm singkatan dari linear model, dan tulisan penjualan ~ iklan dibaca "penjualan dijelaskan oleh iklan" — tanda tilde itu yang menentukan mana variabel terikat dan mana bebas. Baris keempat, summary, menampilkan seluruh output yang sudah kita hitung manual: koefisien lima, std error nol koma tiga sembilan delapan, t dua belas koma lima lima, p-value yang sangat kecil, R-squared nol koma sembilan enam tiga, dan statistik-F seratus lima puluh tujuh koma lima — semua cocok sempurna dengan hitungan tangan kita. Dua baris terakhir, plot dan abline, menggambar diagram pencar lalu menimpakan garis regresi berwarna merah, sehingga Anda bisa melihat secara visual betapa rapat titik mengikuti garis.

Tutorial Stata — `regress` dan `scatter`

Di Stata, perintah inti bahkan lebih singkat. Setelah data masuk (kolom iklan, penjualan):

* Regresi utama
regress penjualan iklan

* Scatter + garis regresi
twoway (scatter penjualan iklan) /// 
       (lfit penjualan iklan)

regress Y X — urutan: Y (terikat) dulu, lalu X (bebas). Stata otomatis tampilkan tabel ANOVA + selang kepercayaan 95%.

Output Stata — ringkasan

Source  | SS        df   MS
Regresi | 4200      1  4200
Galat   | 160       6  26,67
──────────────────────────
iklan
 Coef.   5,000
 Std.Err 0,398
 t       12,55
 P>|t|  0,000
 95% CI [4,025 ; 5,975]

R-squared = 0,9633
F(1, 6) = 157,50

Stata adalah perangkat lunak berbayar yang sangat populer di kalangan ekonom dan peneliti bisnis, dan perintah regresinya bahkan lebih ringkas daripada R. Setelah data masuk ke dua kolom bernama iklan dan penjualan, Anda cukup mengetik regress penjualan iklan — ingat urutannya, variabel terikat ditulis lebih dulu lalu variabel bebas. Begitu Anda tekan enter, Stata langsung menampilkan tabel ANOVA lengkap di bagian atas dengan SST, SSR, SSE-nya, lalu tabel koefisien dengan std error, t-stat, p-value, dan bonus selang kepercayaan sembilan puluh lima persen — yaitu empat koma nol dua lima sampai lima koma sembilan tujuh lima, persis yang kita hitung di slide selang kepercayaan tadi. Perintah twoway dengan opsi lfit, singkatan linear fit, menggambar diagram pencar sekaligus garis regresinya dalam satu grafik. Yang ingin saya tekankan: apakah Anda pakai R atau Stata, angkanya identik, karena keduanya menjalankan metode kuadrat terkecil yang sama persis dengan yang Anda kerjakan dengan tangan hari ini.

Kesimpulan Manajerial: Iklan → Penjualan

Angka sudah lengkap. Sekarang langkah terpenting: ubah jadi kalimat keputusan yang bisa Anda bawa ke rapat anggaran.

Temuan Statistik

ŷ = 20 + 5·X

$R^{2} = 0,963 \cdot t = 12,55 (p$ < 0,001)

Setiap +Rp 1 jt iklan → +Rp 5 jt penjualan. Model sangat cocok (96,3% variasi terjelaskan).

Terjemahan Bisnis

Iklan Berpengaruh

signifikan & kuat

Estimasi: tambah iklan Rp 10 jt → penjualan naik ~Rp 50 jt. Rekomendasikan ke rapat anggaran dengan selang kepercayaan: [Rp 40,3 jt ; Rp 59,7 jt].

Tetap hati-hati (analis jujur):

Ini korelasi kuat, bukan bukti kausal mutlak
Berlaku dalam rentang data iklan Rp 2–16 jt; jangan ekstrapolasi ke Rp 100 jt
Faktor lain (lokasi, harga, musim) belum dikontrol

Inilah langkah yang membedakan analis pemula dari analis yang dipercaya pimpinan: kemampuan menerjemahkan output statistik menjadi kalimat keputusan bisnis. Temuan statistik kita lengkap — persamaan ŷ sama dengan dua puluh ditambah lima kali iklan, R-squared nol koma sembilan enam tiga, t-stat dua belas koma lima lima dengan p-value di bawah satu per seribu — tetapi atasan Anda tak peduli pada t-stat; ia peduli pada keputusan. Maka terjemahkan begini: belanja iklan terbukti berpengaruh signifikan dan kuat terhadap penjualan, modelnya menjelaskan sembilan puluh enam persen variasi penjualan antar-toko, dan setiap tambahan sepuluh juta iklan diestimasi menaikkan penjualan sekitar lima puluh juta. Namun seorang analis yang jujur selalu menambahkan peringatan: ini hubungan korelasional yang kuat tetapi bukan bukti kausal mutlak, kesimpulan hanya sahih dalam rentang iklan yang kita amati, dan masih ada faktor lain yang belum dikontrol; justru peringatan-peringatan inilah yang membuat rekomendasi Anda dipercaya.

Lima Jebakan yang Sering Membuat Salah Tafsir

Jebakan $1 - R^{2}$ Tinggi = Kausal

Keliru. $R^{2}$ hanya kecocokan garis; sebab-akibat butuh desain riset, bukan angka $R^{2}$. Contoh: es krim vs orang tenggelam $- R^{2}$ tinggi, tapi bukan sebab-akibat (keduanya digerakkan cuaca panas).

Jebakan 2 — Slope Besar = Signifikan

Keliru. Yang menentukan rasio $b_{1}/se(b_{1})$, bukan besar $b_{1}$. Koefisien kecil bisa lebih signifikan jika std error-nya sangat kecil.

Jebakan 3 — p-value = Peluang $H_{0}$ Benar

Keliru. p-value = peluang melihat data seekstrem ini jika $H_{0}$ benar. Bukan peluang hipotesis nol itu sendiri benar.

Jebakan 4 — Ekstrapolasi

Memprediksi jauh di luar rentang X yang diamati (iklan Rp 2–16 jt). Garis bisa tak berlaku di luar rentang itu.

Jebakan 5 — Lupa Cek Asumsi L-I-N-E. Koefisien tetap keluar meski asumsi dilanggar; tapi uji-t bisa menyesatkan.
Empat cek wajib: arah & besar koefisien · p-value $\cdot R^{2} \cdot $ plot residual.

Dari pengalaman membimbing skripsi, hampir semua kesalahan interpretasi regresi berasal dari lima jebakan yang sama, jadi saya kumpulkan agar Anda waspada. Jebakan pertama dan paling berbahaya: menyimpulkan hubungan kausal hanya karena $R^{2}$ tinggi — padahal $R^{2}$ cuma mengukur kerapatan titik ke garis, dan klaim sebab-akibat butuh desain penelitian, bukan sekadar angka yang bagus. Jebakan kedua, mengira koefisien yang besar otomatis signifikan; padahal yang menentukan adalah rasio koefisien terhadap std error-nya, sehingga koefisien kecil dengan std error sangat kecil bisa lebih signifikan. Jebakan ketiga, salah membaca p-value sebagai "peluang hipotesis nol benar", padahal artinya adalah peluang melihat data seekstrem ini seandainya hipotesis nol benar — perbedaan yang halus tetapi penting. Jebakan keempat adalah ekstrapolasi, memprediksi jauh di luar rentang data yang diamati, dan jebakan kelima adalah lupa memeriksa asumsi L-I-N-E; biasakan empat pemeriksaan cepat — arah dan besar koefisien, p-value, $R^{2}$, dan plot residual — sebelum menyimpulkan apa pun.

Cheat Sheet — Rumus Inti Regresi Sederhana

Enam besaran yang membentuk seluruh regresi sederhana. Foto slide ini untuk belajar UAS.

Besaran	Rumus	Untuk
Dekomposisi	SST = SSR + SSE	Memecah variasi total
$R^{2}$	SSR/SST = 1 − SSE/SST	Kebaikan-suai (% terjelaskan)
se estimasi	√(SSE/(n−2))	Meleset tipikal (satuan Y)
$se(b_{1})$	$se / \sqrt \sum (X_{i}-\bar{x})^{2}$	Ketidakpastian slope
Uji-t slope	$t = b_{1}/se(b_{1}), df = n-2$	Apakah $\beta _{1} \neq 0?$
Uji-F	F = MSR/MSE = (SSR/1)/(SSE/(n−2))	Idem $- F = t^{2} di$ regresi sederhana

Logika tunggal: pecah variasi $(R^{2}) \to$ bandingkan efek dengan ketidakpastiannya $(t/F) \to$ laporkan dengan rentang (SK). Lalu cek asumsi L-I-N-E sebelum menyimpulkan.

Ini slide yang saya sarankan Anda foto untuk belajar UAS, karena seluruh regresi sederhana sebenarnya hanya berisi enam besaran inti. Dua baris pertama tentang kebaikan-suai: dekomposisi variasi dan $R^{2}$, yang menjawab "seberapa bagus garisnya". Dua baris tengah tentang ukuran ketidakpastian: standar error estimasi dalam satuan Y, dan standar error kemiringan yang menjadi penyebut uji-t. Dua baris terakhir tentang pengujian: uji-t dan uji-F, yang pada regresi sederhana selalu sepakat karena F sama dengan t kuadrat. Yang ingin saya tekankan, jangan menghafal keenamnya sebagai potongan terpisah; semuanya mengalir dari satu logika tunggal — pecah variasi untuk mengukur kecocokan, bandingkan efek dengan ketidakpastiannya untuk menguji keberartian, lalu laporkan dengan rentang yang jujur — dan jangan pernah lupa memeriksa asumsi L-I-N-E sebelum mempercayai hasil.

Latihan & Diskusi Kelas

Latihan $1 - R^{2}$ & ANOVA

SST = 500

SSE = 80 · n = 12

Sebuah regresi permintaan kredit (Y, Rp miliar) terhadap suku bunga (X, %) menghasilkan SST = 500, SSE = 80. Hitung SSR, $R^{2}$, dan se estimasi.
Petunjuk: SSR = SST − SSE; df = n−2.

Latihan 2 — Uji-t & Keputusan

$b_{1} = -12$

$se(b_{1}) = 3 \cdot n = 12$

Output regresi memberi $b_{1} = -12, se(b_{1}) = 3, n = 12$. Uji $H_{0}: \beta _{1} = 0$ pada α = 5\%. Signifikan? Apa artinya bagi keputusan menaikkan suku bunga?
Petunjuk: $$t = b_{1}/se(b_{1}); t-$$kritis df=10 ≈ 2,228.

Kerjakan 7 menit. Tulis hipotesis dulu, hitung, bandingkan dengan t-kritis, lalu tulis satu kalimat kesimpulan manajerial. Kunci ada di Lampiran B materi kuliah.

Sekarang giliran Anda, karena regresi hanya benar-benar dikuasai dengan mengerjakan soal, bukan dengan menonton saya. Latihan pertama menguji kebaikan-suai: dari sebuah model permintaan kredit terhadap suku bunga, Anda diberi total variasi dan variasi galat, lalu diminta mencari SSR, $R^{2}$, dan standar error estimasi — ingat, SSR cukup dicari dengan pengurangan, dan derajat bebas estimasinya n dikurangi dua. Latihan kedua adalah soal pengujian sekaligus pengambilan keputusan: koefisien negatif dua belas berarti tiap kenaikan satu persen suku bunga dikaitkan dengan turunnya permintaan kredit dua belas miliar, dan Anda harus menguji apakah pengaruh negatif ini signifikan secara statistik. Kerjakan dengan disiplin: tulis hipotesis nol dan alternatifnya, hitung statistik-t, bandingkan dengan t-kritis, lalu tutup dengan satu kalimat kesimpulan manajerial yang bisa dipahami pimpinan bank; saya beri waktu tujuh menit, dan setelah itu kita bahas kuncinya bersama.

Penutup Semester & Persiapan UAS

Selamat — Anda telah menyelesaikan perjalanan dari data mentah sampai inferensi dan software. Regresi adalah puncaknya.

Peta Semester — Alur Logis

P1–P4: Statistika deskriptif — meringkas data
P5–P7: Peluang & distribusi — memahami ketidakpastian
P8–P10: Distribusi sampling & estimasi — dari sampel ke populasi
P11–P12: Uji hipotesis & korelasi — memutuskan & mengukur hubungan
P13–P14: Regresi — prediksi & inferensi (puncak)

Persiapan UAS — Latih Ini

3 Kunci

UAS + Skripsi

Ulangi HDN-1 & HDN-2 dengan angka sendiri sampai otomatis
Hafal cheat sheet (slide 25)
Latih baca tabel output → tulis kesimpulan manajerial

Bawa kalkulator ke UAS. Yang diuji bukan hafalan rumus, tapi kemampuan menghitung, menafsirkan, dan menyimpulkan. Sampai jumpa di ujian — dan selamat melanjutkan ke Statistika Bisnis II / Metode Penelitian!

Kita sampai di penghujung mata kuliah Statistika Bisnis I, dan saya ingin Anda menyadari bahwa pertemuan hari ini bukan topik yang berdiri sendiri, melainkan puncak dari seluruh perjalanan kita satu semester. Kita mulai dari statistika deskriptif yang merangkum data, lalu peluang dan distribusi sampling yang menjelaskan ketidakpastian, kemudian estimasi dan uji hipotesis yang mengajari kita menarik kesimpulan dari sampel, korelasi yang mengukur hubungan, dan akhirnya regresi yang menyatukan semuanya menjadi alat prediksi sekaligus inferensi. Untuk persiapan UAS, saran saya konkret: ulangi kedua Hitung dari Nol hari ini dengan angka Anda sendiri sampai langkahnya otomatis, hafalkan cheat sheet di slide dua puluh lima, dan latih kemampuan membaca tabel output lalu menulis kesimpulan manajerial — karena yang saya uji bukan hafalan rumus mati, melainkan kemampuan Anda menghitung, menafsirkan, dan menyimpulkan. Jangan lupa bawa kalkulator, kerjakan dengan tenang, dan saya yakin kalau Anda mengikuti pertemuan demi pertemuan dengan sungguh-sungguh, ujian ini akan terasa wajar; sampai jumpa di UAS, dan selamat melanjutkan ke mata kuliah lanjutan.