Program Studi Manajemen · FEB UNDIP

Statistika Bisnis I

Pertemuan 13 · Pengantar Regresi Linear dan Korelasi

Bagaimana dua angka bisnis bergerak bersama — mengukur keeratannya (korelasi r) dan menarik satu garis untuk memprediksi (regresi).

RPS Minggu 13 · Sub-CPMK 6 · 2 × 50 menit

Selamat datang di Pertemuan 13, salah satu pertemuan yang paling sering Anda pakai kelak di dunia kerja maupun skripsi. Sampai sekarang kita selalu menganalisis satu variabel — rata-rata penjualan, sebaran nilai ujian, dan sebagainya — tetapi mulai hari ini kita melompat ke pertanyaan yang jauh lebih kaya: bagaimana dua variabel bergerak bersama. Misalnya, kalau perusahaan menambah belanja iklan, apakah penjualan benar-benar ikut naik, dan seberapa erat hubungannya? Hari ini kita belajar dua alat untuk menjawabnya: korelasi, yang mengukur seberapa erat dan ke arah mana dua angka bergerak bersama, dan regresi, yang menarik satu garis lurus untuk meringkas hubungan itu sekaligus memprediksi. Siapkan kalkulator Anda, karena seperti biasa kita tidak hanya memahami konsep, tetapi benar-benar berhitung dari nol.

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan memahami hubungan linier dua variabel dan prinsip dasar regresi (Sub-CPMK 6). Secara rinci:

Capaian 1 — Melihat

Membuat & membaca diagram pencar dan menyimpulkan pola hubungan dua variabel.

Capaian 2 — Mengukur

Menghitung korelasi Pearson (r) dari nol dan menafsirkan kekuatan serta arahnya.

Capaian 3 — Menguji

Menguji signifikansi r dengan uji-t pada taraf nyata 5%.

Capaian 4 — Memodelkan

Menghitung kemiringan (b) & intersep (a) regresi dan menafsirkannya dalam konteks bisnis.

Iklan Naik, Penjualan Ikut Naik — Tapi Seberapa Erat?

Seorang pemilik UMKM mencatat belanja iklan dan penjualan tiap bulan. Lihat datanya — apa yang Anda simpulkan?

Bulan	Iklan (Rp jt)	Penjualan (Rp jt)
1	2	18
2	3	23
3	4	25
4	5	30
5	6	34
6	7	38

X = Iklan · Y = Penjualan

Mata Anda sudah menangkap pola: makin besar iklan, makin besar penjualan. Hari ini kita ubah "kira-kira" itu menjadi angka pasti — dan menarik garis untuk memprediksi.

Saya selalu membuka topik ini dengan data nyata yang dekat dengan hidup Anda, karena angka kering jadi hidup begitu ada ceritanya. Bayangkan Anda pemilik warung kopi kecil yang mulai pasang iklan di media sosial; tiap bulan Anda catat berapa rupiah yang dikeluarkan untuk iklan dan berapa penjualan bulan itu. Hanya dengan melihat tabel ini, mata Anda sudah menangkap sesuatu: bulan dengan iklan lebih besar cenderung punya penjualan lebih besar — ada pola naik. Masalahnya, "cenderung" dan "kira-kira" tidak cukup untuk mengambil keputusan bisnis; Anda butuh angka. Hari ini kita akan mengubah firasat visual itu menjadi dua hal yang pasti: sebuah bilangan korelasi yang menyatakan seberapa erat hubungannya, dan sebuah garis regresi yang bisa Anda pakai untuk menebak penjualan bulan depan jika iklan dinaikkan. Pegang enam pasang angka ini, karena kita akan mengupasnya habis-habisan sepanjang pertemuan.

Bagian 1 dari 4

Melihat Hubungan Dua Variabel

Sebelum menghitung apa pun, kenali dulu siapa X dan siapa Y, lalu gambar diagram pencar untuk membaca polanya.

Dua Peran: Variabel Independen (X) vs Dependen (Y)

Saat menghubungkan dua variabel, kita memberi mereka peran berbeda.

Independen (X) — Penjelas

Sumbu Horizontal

Variabel yang kita anggap menjelaskan / memengaruhi.

Contoh: belanja iklan, jam belajar, BI-Rate.

Dependen (Y) — Terikat

Sumbu Vertikal

Variabel yang dijelaskan / terpengaruh, yang ingin kita prediksi.

Contoh: penjualan, nilai ujian, IHSG.

Cara cepat ingat: Y bergantung pada X (Y = dependent). Kita memprediksi Y dari X, bukan sebaliknya. Salah menempatkan peran → garis & ramalan ikut salah.

Sebelum menggambar atau menghitung, Anda harus memutuskan satu hal: mana dari dua variabel yang berperan sebagai penjelas, dan mana yang dijelaskan. Variabel penjelas kita sebut variabel independen, lambangnya X, dan kita letakkan di sumbu mendatar; ia adalah faktor yang kita anggap memengaruhi atau bisa kita kendalikan, seperti belanja iklan. Variabel yang dijelaskan kita sebut variabel dependen, lambangnya Y, kita letakkan di sumbu tegak; inilah yang ingin kita ramalkan, seperti penjualan. Trik mengingatnya sederhana: Y "tergantung" pada X — penjualan tergantung pada iklan, bukan iklan tergantung penjualan. Penempatan peran ini bukan sekadar formalitas; kalau Anda tertukar menaruh penjualan sebagai X dan iklan sebagai Y, seluruh garis regresi dan ramalan yang Anda hasilkan akan menjawab pertanyaan yang salah.

Diagram Pencar (Scatter Plot) — Membaca Pola

Tiap titik = satu pasang (X, Y). Bentuk awan titik memberi tahu arah dan kekuatan hubungan.

Korelasi & regresi linier hanya cocok untuk pola garis lurus (pola 1 & 2). Untuk pola melengkung, r bisa menyesatkan — itu sebabnya kita selalu gambar dulu.

Diagram pencar adalah alat paling murah dan paling jujur dalam analisis dua variabel, jadi biasakan menggambarnya lebih dulu. Caranya sangat sederhana: tiap pengamatan jadi satu titik, dengan nilai X menentukan posisi mendatar dan nilai Y posisi tegak; kumpulan titik membentuk "awan" yang bentuknya bercerita. Kalau awannya naik dari kiri-bawah ke kanan-atas, hubungannya positif — naiknya X diiringi naiknya Y, seperti iklan dan penjualan tadi. Kalau awannya turun, hubungannya negatif. Yang paling penting Anda waspadai adalah pola keempat: kalau titik-titiknya membentuk lengkungan, hubungannya non-linier, dan di situ korelasi serta regresi linier yang kita pelajari hari ini bisa menyesatkan. Itulah alasan saya berulang kali menekankan: pandang dulu sebaran titiknya, jangan langsung tancap rumus.

Coba Sendiri: Bentuk Awan Titik, Tebak Nilai r

Atur titik-titik pada scatter plot dan lihat bagaimana koefisien korelasi r berubah mengikuti bentuk awannya.

Coba Sendiri: Korelasi Pearson r - Kekuatan & Arah

Atur r dan noise, lihat awan titik berubah. r-kuadrat = persen variasi y yang dijelaskan x. Tapi korelasi bukan sebab-akibat.

Bagian 2 dari 4

Mengukur Keeratan Hubungan

Dari mata ke angka — kovariansi menunjukkan arah, korelasi r menstandarkan jadi −1..+1, lalu uji-t menguji apakah nyata.

r = kovariansi distandarkan, antara −1 dan +1

Setelah mata kita menangkap pola, langkah berikutnya adalah mengubah kesan visual itu menjadi angka yang pasti dan bisa dibandingkan. Kita mulai dari kovariansi, ukuran paling dasar yang memberi tahu arah hubungan — positif atau negatif — tetapi punya kelemahan besar: nilainya tergantung satuan, jadi sulit dimaknai. Untuk mengatasinya, kita standarkan kovariansi menjadi koefisien korelasi r, satu bilangan tanpa satuan yang selalu berada antara minus satu dan plus satu, sehingga mudah ditafsirkan apa pun datanya. Tetapi ada satu pertanyaan lagi yang wajib dijawab seorang analis sebelum percaya pada r: apakah hubungan ini nyata di populasi, ataukah cuma kebetulan karena sampel kita kecil? Untuk menjawabnya kita pakai uji-t, dan ketiga alat inilah yang akan kita kupas di bagian kedua ini.

Kovariansi — Arah Gerak Bersama

Untuk tiap titik, ukur simpangannya dari rata-rata: (X − X̄) dan (Y − Ȳ). Kalikan, lalu rata-ratakan.

Cov(X,Y) = Σ(X − X̄)(Y − Ȳ) ÷ (n − 1)

Cov > 0 → Positif

Saat X di atas rata-ratanya, Y juga cenderung di atas → hubungan searah.

Cov < 0 → Negatif

−

Saat X di atas rata-ratanya, Y cenderung di bawah → hubungan berlawanan.

Kelemahan kovariansi: bergantung satuan (Rp vs unit vs %), jadi besarnya sulit dibandingkan antar-kasus. Solusinya → standarkan jadi korelasi r (slide berikut).

Sebelum loncat ke korelasi, saya ingin Anda paham dari mana korelasi itu lahir, dan akarnya adalah kovariansi. Ide kovariansi sederhana: untuk setiap titik, lihat apakah X-nya di atas atau di bawah rata-rata X, dan apakah Y-nya di atas atau di bawah rata-rata Y. Kalau keduanya kompak — sama-sama di atas atau sama-sama di bawah — perkalian simpangannya positif, dan ini pertanda hubungan searah; kalau berlawanan, perkaliannya negatif. Saat semua perkalian itu dijumlah lalu dibagi (n minus satu), kita dapat kovariansi: positif berarti dua variabel cenderung bergerak searah, negatif berarti berlawanan. Sayangnya kovariansi punya cacat praktis: nilainya ikut satuan datanya, sehingga kovariansi penjualan dalam rupiah dan dalam jutaan rupiah bisa terlihat sangat berbeda padahal hubungannya sama. Karena itu kita perlu menstandarkannya, dan hasil standarisasi itulah koefisien korelasi yang kita bahas sekarang.

Koefisien Korelasi Pearson (r)

Kovariansi distandarkan oleh simpangan baku X dan Y → bilangan tanpa satuan, selalu antara −1 dan +1. Bentuk hitung paling praktis (langsung dari Σ):

$$r = [ n\sum XY - \sum X\cdot \sum Y ] \div \sqrt ( [ n\sum X^{2} - (\sum X)^{2} ] \cdot [ n\sum Y^{2} - (\sum Y)^{2} ] )$$

n = jumlah pasangan · ΣXY = jumlah hasil-kali tiap pasang · $\sum X^{2}, \sum Y^{2}$ = jumlah kuadrat · $(\sum X)^{2}$ = kuadrat dari jumlah $(\neq \sum X^{2}!)$

Rumus ini setara dengan Cov$(X,Y) \div (s_{X} \cdot s_{Y})$, tapi versi-Σ ini lebih cepat di kalkulator. Cukup siapkan lima kolom:

X Y XY $X^{2}$ $Y^{2}$

Inilah bintang utama pertemuan hari ini: koefisien korelasi Pearson, yang biasa kita lambangkan dengan huruf r kecil. Secara konsep, r tidak lain adalah kovariansi yang sudah dibersihkan dari masalah satuan, dengan cara membaginya dengan simpangan baku X dan simpangan baku Y. Hasil pembersihan itu sangat indah: berapa pun datanya dan apa pun satuannya, r selalu jatuh di antara minus satu dan plus satu, sehingga kita bisa menafsirkannya dengan tolok ukur yang sama untuk kasus apa pun. Di kelas, kita jarang menghitung r lewat simpangan baku karena bertele-tele; kita pakai bentuk yang Anda lihat di slide, yang hanya butuh lima jumlahan: jumlah X, jumlah Y, jumlah XY, jumlah X kuadrat, dan jumlah Y kuadrat. Satu peringatan keras yang sering menjatuhkan nilai ujian: jumlah-dari-kuadrat $(\sum X^{2})$ sangat berbeda dengan kuadrat-dari-jumlah $((\sum X)^{2}) -$ yang pertama kuadratkan dulu tiap nilai baru jumlahkan, yang kedua jumlahkan dulu baru kuadratkan.

Membaca r: Arah & Kekuatan

Dua hal yang dibaca dari r: tanda (arah) dan besarnya (kekuatan).

\|r\|	Kekuatan (pedoman)
0,00 – 0,20	sangat lemah / diabaikan
0,20 – 0,40	lemah
0,40 – 0,60	sedang
0,60 – 0,80	kuat
0,80 – 1,00	sangat kuat

Pedoman |r| ini kasar & kontekstual — di fisika r = 0,7 dianggap lemah, di ilmu sosial dianggap kuat.

Tanda → arah · |r| → keeratan, bukan kemiringan garis.

Begitu Anda dapat angka r, ada dua hal yang harus Anda baca, dan keduanya beda. Pertama, tandanya: r positif berarti dua variabel searah, r negatif berarti berlawanan — ini soal arah. Kedua, besarnya tanpa memandang tanda, yaitu nilai mutlak r, yang menyatakan seberapa erat titik-titik menempel pada sebuah garis lurus; makin dekat ke satu, makin rapat, makin dekat ke nol, makin berserak. Saya berikan pedoman kasar di tabel untuk menyebut lemah, sedang, atau kuat, tetapi tolong perlakukan sebagai rambu, bukan hukum, karena ambang "kuat" sangat tergantung bidangnya. Satu salah kaprah yang ingin saya bongkar sekarang juga: r besar tidak berarti garisnya curam. Korelasi mengukur keeratan titik ke garis, bukan kemiringan garisnya — garis yang landai pun bisa punya r mendekati satu kalau titik-titiknya rapat menempel.

Hitung dari Nol — HDN-1: Korelasi Iklan vs Penjualan

Data 6 bulan (X = iklan Rp jt, Y = penjualan Rp jt). Susun 5 kolom, jumlahkan, lalu masukkan ke rumus.

X	Y	XY	$X^{2}$	$Y^{2}$
2	18	36	4	324
3	23	69	9	529
4	25	100	16	625
5	30	150	25	900
6	34	204	36	1156
7	38	266	49	1444
Σ 27	168	825	139	4978

Langkah	Perhitungan	Nilai
Pembilang	6·825 − 27·168 = 4950 − 4536	414
Penyebut-kiri	$6\cdot 139 - 27^{2} = 834 - 729$	105
Penyebut-kanan	$6\cdot 4978 - 168^{2} = 29868 - 28224$	1644
Akar	√(105 × 1644) = √172620	415,4756
Bagi	414 ÷ 415,4756	r ≈ 0,9964

r ≈ 0,9964 — korelasi positif sangat kuat. Belanja iklan dan penjualan bergerak hampir sempurna searah pada data ini.

Sekarang kita kerjakan satu kasus dari nol sampai jadi, persis seperti yang akan Anda lakukan di ujian dengan kalkulator biasa. Kuncinya bukan rumusnya — rumus sudah ada di slide — melainkan kedisiplinan menyiapkan lima kolom terlebih dahulu: X, Y, lalu XY, lalu X kuadrat, lalu Y kuadrat. Begitu kelima kolom selesai, jumlahkan tiap kolom ke bawah; di sinilah letak 90 persen pekerjaan, dan kalau penjumlahan ini benar, sisanya cuma memasukkan angka. Perhatikan langkahnya: pembilang adalah enam kali jumlah XY dikurangi jumlah X kali jumlah Y, hasilnya 414; lalu dua bagian penyebut, 105 dan 1644, kita kalikan jadi 172620, akarnya sekitar 415,48. Bagi 414 dengan 415,48, dan ketemu r sekitar 0,9964 — sebuah korelasi positif yang sangat kuat. Sekali lagi saya ingatkan jebakan klasik: pastikan Anda memakai jumlah-dari-kuadrat (139 dan 4978), bukan kuadrat-dari-jumlah (729 dan 28224).

Korelasi BUKAN Kausalitas

r yang besar tidak membuktikan X menyebabkan Y. Tiga kemungkinan lain selalu mengintai.

Kemungkinan 1

Hubungan Terbalik

Bisa jadi Y yang menyebabkan X, bukan sebaliknya.
Contoh: penjualan naik → perusahaan punya uang lebih untuk iklan.

Kemungkinan 2

Variabel Perancu (Z)

Faktor ketiga menggerakkan keduanya.
Contoh: penjualan es krim & kasus tenggelam berkorelasi tinggi — sebabnya cuaca panas.

Kemungkinan 3

Kebetulan (Spurious)

Korelasi muncul tanpa hubungan nyata, apalagi pada sampel kecil.
Bertambahnya n menurunkan risiko ini.

Korelasi hanya bukti hubungan, bukan sebab-akibat. Untuk klaim kausalitas perlu desain khusus (eksperimen/kuasi-eksperimen) — di luar lingkup pertemuan ini.

Ini slide yang paling sering disalahpahami, dan saya ingin Anda mengingatnya seumur hidup karena ia menyelamatkan Anda dari kesimpulan konyol. Korelasi yang tinggi hanya membuktikan dua variabel bergerak bersama; ia sama sekali tidak membuktikan bahwa yang satu menyebabkan yang lain. Contoh klasik yang saya suka: penjualan es krim dan jumlah kasus orang tenggelam punya korelasi positif yang kuat sepanjang tahun, tetapi tentu saja es krim tidak menenggelamkan orang — yang sebenarnya terjadi adalah cuaca panas menaikkan keduanya, dan cuaca itulah variabel perancu yang tersembunyi. Selain perancu, ada dua jebakan lain: bisa jadi arah sebabnya terbalik, atau korelasinya cuma kebetulan, terutama kalau sampelnya kecil. Pesan praktisnya: kalau atasan Anda melihat korelasi tinggi lalu menyimpulkan "berarti kalau kita lakukan X, pasti Y naik", tugas Anda sebagai analis adalah mengingatkan bahwa untuk klaim sebab-akibat dibutuhkan desain penelitian khusus seperti eksperimen, bukan sekadar angka korelasi.

Coba Sendiri: Korelasi vs Kausalitas

Es krim vs tenggelam, bangau vs kelahiran - korelasi tinggi tapi tidak sebab-akibat. Variabel pengganggu (confounder) yang mengatur keduanya.

Apakah r Nyata? Menguji Korelasi Populasi (ρ)

r kita dari sampel. Pertanyaannya: apakah di populasi memang ada korelasi (ρ ≠ 0), atau r sekadar kebetulan sampel?

$H_{0} -$ Hipotesis Nol

ρ = 0

Tidak ada korelasi di populasi.
(yang kita coba tolak)

$H_{1} -$ Hipotesis Alternatif

ρ ≠ 0

Ada korelasi di populasi.
(dua arah — bisa positif atau negatif)

Logikanya: andai sebenarnya ρ = 0, seberapa mengejutkan kita mendapat r sebesar ini dari sampel? Kalau sangat mengejutkan (jarang terjadi karena kebetulan) $\to$ tolak $H_{0} \to$ korelasi signifikan.

Kita baru saja menghitung r sekitar 0,9964 dari enam bulan data, dan angka itu memang besar — tetapi seorang analis yang teliti akan langsung bertanya: apakah ini nyata, atau cuma keberuntungan dari sampel yang kebetulan rapi? Ingat, enam bulan itu hanyalah sampel; yang sebenarnya ingin kita ketahui adalah korelasi di populasi seluruhnya, yang kita lambangkan dengan huruf Yunani rho. Untuk mengujinya, kita pasang dua hipotesis yang saling beradu: hipotesis nol mengatakan rho sama dengan nol, artinya sebenarnya tidak ada korelasi dan r kita cuma kebetulan; hipotesis alternatif mengatakan rho tidak nol, artinya korelasi itu nyata. Logika ujinya begini: kita berpura-pura dulu bahwa hipotesis nol benar, lalu bertanya seberapa mengejutkan kita bisa mendapat r sebesar ini hanya karena kebetulan; kalau ternyata sangat mengejutkan, maka kita berani menolak hipotesis nol. Alat untuk mengukur "seberapa mengejutkan" itu adalah statistik uji-t.

Statistik Uji-t untuk Korelasi

Ubah r menjadi nilai t, lalu bandingkan dengan nilai kritis tabel-t pada derajat bebas (n − 2).

$$t = r \cdot \sqrt (n - 2) \div \sqrt (1 - r^{2})$$

df = derajat bebas = n − 2 · bandingkan |t| dengan t-tabel (dua-arah, α = 5%)

Aturan Keputusan

|t| > t-tabel

Tolak $$H_{0}$$ $\to$ korelasi signifikan.
Jika $|t| \leq t-$tabel $\to$ gagal tolak $H_{0}$.

Sampel besar membuat |t| mudah membesar — korelasi kecil pun bisa "signifikan". Signifikan secara statistik ≠ penting secara praktis. Selalu lihat besarnya r, bukan cuma lolos-uji.

Untuk mengukur seberapa mengejutkan r kita di bawah anggapan tidak ada korelasi, kita ubah r menjadi sebuah angka bernama statistik-t dengan rumus di slide ini. Bentuknya masuk akal kalau Anda renungkan: makin besar r dan makin banyak data (n), pembilangnya makin besar, sehingga t makin jauh dari nol — artinya makin sulit menjelaskan r sebesar itu sebagai kebetulan. Setelah dapat nilai t hitung, kita bandingkan dengan nilai kritis dari tabel-t, yang dibaca pada derajat bebas n dikurangi dua; kalau t hitung lebih ekstrem dari nilai kritis, kita berani menolak hipotesis nol. Tetapi izinkan saya memberi peringatan yang sering dilupakan, bahkan oleh peneliti senior: dengan sampel yang sangat besar, hampir semua korelasi akan lolos uji ini, bahkan yang kecil dan tak berarti secara bisnis. Karena itu jangan pernah berhenti pada "signifikan atau tidak"; selalu lihat juga besarnya r itu sendiri.

Hitung dari Nol — HDN-2: Uji-t untuk r ≈ 0,9964

Lanjutan HDN-1: r ≈ 0,9964, n = 6. Apakah korelasi ini signifikan pada α = 5% (dua arah)?

Langkah	Perhitungan	Nilai
Hipotesis	$H_{0}: \rho = 0$ · $H_{1}: \rho \neq 0$	—
$r^{2}$	$0,9964^{2}$	0,992909
$1 - r^{2}$	1 − 0,992909	0,007091
√(n−2)	√4	2
$\sqrt (1-r^{2})$	√0,007091	0,084206
Statistik t	0,9964 × 2 ÷ 0,084206	t ≈ 23,67
t-tabel (df=4, 5% dua-arah)	dari tabel-t	2,776

Keputusan

23,67 > 2,776

Tolak $H_{0}$ — Korelasi iklan–penjualan signifikan pada α = 5%.

|t| = 23,67 > $2,776 \to$ tolak $H_{0}$. Hubungannya bukan kebetulan sampel — nyata secara statistik.

Sekarang kita uji apakah korelasi 0,9964 tadi nyata, dan kita kerjakan dari nol mengikuti rumus uji-t. Langkah pertama selalu menuliskan hipotesis: nol mengatakan tidak ada korelasi, alternatif mengatakan ada. Langkah berikutnya mekanis: kuadratkan r jadi sekitar 0,9929, kurangkan dari satu jadi 0,0071, akarnya 0,0842; lalu akar dari n minus dua, yaitu akar empat sama dengan dua. Masukkan ke rumus: 0,9964 dikali dua dibagi 0,0842, hasilnya sekitar 23,67 — sebuah nilai t yang sangat besar. Terakhir kita bandingkan dengan nilai kritis dari tabel-t pada derajat bebas empat untuk taraf nyata lima persen dua arah, yaitu 2,776; karena 23,67 jauh melampaui 2,776, kita menolak hipotesis nol dengan yakin. Korelasi antara iklan dan penjualan ini signifikan secara statistik — bukan sekadar kebetulan dari enam bulan yang kebetulan rapi.

Bagian 3 dari 4

Menarik Garis: Regresi Linear

Korelasi memberi satu angka keeratan; regresi memberi satu garis yang bisa Anda pakai untuk memprediksi — dipilih lewat prinsip kuadrat terkecil.

Ŷ = a + bX

Coba Sendiri: Kuadrat Terkecil (OLS) & Residual

Geser intercept dan slope manual, lihat SSE. Bandingkan dengan garis OLS terbaik. OLS meminimumkan jumlah kuadrat residual.

Dari Awan Titik ke Satu Garis Terbaik

Lewat sekumpulan titik bisa ditarik tak terhingga garis. Mana yang "terbaik"? Kita butuh aturan yang objektif.

Residual (e)

e = Y − Ŷ

Selisih vertikal antara titik sebenarnya (Y) dan ramalan garis (Ŷ). Inilah "kesalahan" garis di tiap titik.

Ide Inti

min $\sum e^{2}$

Garis terbaik = yang membuat total kesalahan sekecil mungkin untuk semua titik sekaligus.

Kenapa tidak jumlahkan saja kesalahan? Karena yang positif & negatif saling meniadakan. Solusi: kuadratkan dulu tiap kesalahan, baru jumlahkan.

Sekarang kita masuk ke jantung regresi, dan saya ingin Anda membayangkan masalahnya dulu sebelum melihat solusinya. Lewat sekumpulan titik yang berserak, Anda bisa menarik tak terhingga banyak garis lurus — yang landai, yang curam, yang tinggi, yang rendah — jadi pertanyaannya: garis mana yang pantas disebut "terbaik"? Untuk menjawabnya kita perlu mengukur seberapa buruk sebuah garis, dan ukurannya adalah residual, yaitu selisih tegak antara titik data sebenarnya dengan titik ramalan di garis. Garis yang baik tentu yang residual-residualnya kecil, tetapi ada satu masalah teknis: kalau kita jumlahkan residual apa adanya, yang di atas garis (positif) dan di bawah garis (negatif) akan saling meniadakan. Solusinya elegan: kuadratkan dulu setiap residual supaya semuanya positif, baru jumlahkan — dan garis yang membuat jumlah kuadrat residual ini paling kecil itulah yang kita pilih.

Prinsip Kuadrat Terkecil (Least Squares)

Garis regresi adalah garis yang meminimumkan jumlah kuadrat residual $(\sum e^{2})$. Satu garis, dan hanya satu, memenuhi syarat ini.

$$Minimumkan: \sum e^{2} = \sum (Y - Ŷ)^{2} = \sum (Y - a - bX)^{2}$$

Kenapa Dikuadratkan

$e^{2}$

Menghilangkan tanda (+ dan − tak saling meniadakan) dan menghukum kesalahan besar lebih berat.

Hasilnya

b & a

Rumus pasti untuk kemiringan (b) dan intersep (a) — tak perlu coba-coba garis.

Kabar baiknya: kita tidak perlu mencoba banyak garis. Kalkulus menghasilkan dua rumus langsung untuk b dan a (slide berikut) yang otomatis memberi garis kuadrat-terkecil.

Prinsip kuadrat terkecil adalah aturan main yang menentukan garis regresi kita, dan ide intinya sudah kita bangun di slide sebelumnya: pilih garis yang membuat jumlah kuadrat residual sekecil mungkin. Mengapa kuadrat, bukan sekadar nilai mutlak? Ada dua alasan: pertama, mengkuadratkan menghilangkan tanda sehingga residual positif dan negatif tidak saling membatalkan; kedua, mengkuadratkan menghukum kesalahan besar jauh lebih berat daripada kesalahan kecil. Anda mungkin membayangkan kita harus mencoba ribuan garis untuk menemukan yang terbaik, tetapi tidak — di sinilah keindahan matematika: dengan kalkulus, syarat "jumlah kuadrat residual minimum" bisa diselesaikan secara pasti dan menghasilkan dua rumus tertutup, satu untuk kemiringan dan satu untuk intersep. Jadi yang perlu Anda lakukan di kelas hanyalah memasukkan jumlahan yang sudah Anda siapkan ke dalam dua rumus itu, dan garis kuadrat-terkecil langsung di tangan.

Persamaan Regresi: Populasi vs Sampel

Seperti rata-rata (μ vs x̄), regresi punya versi "kebenaran populasi" dan versi "taksiran sampel".

Populasi (tak teramati)

$$Y = \beta _{0} + \beta _{1}X + \varepsilon $$

Sampel (kita hitung)

Ŷ = a + bX

Populasi	Sampel	Makna
$\beta _{0}$	a	intersep (titik potong sumbu Y)
$\beta _{1}$	b	kemiringan (perubahan Ŷ per satuan X)
ε (error)	e (residual)	simpangan acak yang tidak dapat dijelaskan

a dan b adalah penaksir dari $\beta _{0}$ dan $\beta _{1}$ yang sebenarnya. Kita tak pernah tahu β yang asli; kita hanya menaksirnya dari sampel — itu sebabnya ada uji signifikansi & selang kepercayaan (lanjutan).

Slide ini menjelaskan satu pembedaan halus tapi penting yang sering dilewati di pengajaran cepat: regresi punya dua versi, versi populasi dan versi sampel. Analoginya persis dengan rata-rata yang sudah Anda kenal: ada rata-rata populasi mu yang sebenarnya tapi tak pernah kita lihat seluruhnya, dan ada rata-rata sampel x-bar yang kita hitung dari data dan pakai untuk menaksir mu. Begitu pula regresi: di populasi ada garis sebenarnya dengan kemiringan beta-satu dan intersep beta-nol, ditambah error acak epsilon, tetapi kita tak pernah mengamati seluruh populasi. Yang bisa kita lakukan adalah mengambil sampel dan menghitung garis taksiran, di mana a dan b adalah tebakan terbaik kita untuk beta-nol dan beta-satu. Memahami bahwa a dan b cuma taksiran adalah alasan mengapa di statistik lanjutan kita masih menguji apakah b berbeda nyata dari nol dan membangun selang kepercayaan untuknya.

Rumus Kuadrat-Terkecil: Kemiringan (b) & Intersep (a)

Dua rumus, dari jumlahan yang sama seperti korelasi. Hitung b dulu, baru a.

Kemiringan b (slope)

$$b = [ n\sum XY - \sum X\cdot \sum Y ] \div [ n\sum X^{2} - (\sum X)^{2} ]$$

Intersep a (intercept)

a = Ȳ − b · X̄

Hemat tenaga: $\sum XY, \sum X, \sum Y, \sum X^{2}, n$ yang sudah Anda hitung untuk r dipakai ulang di sini.
Pembilang b = pembilang r yang sama (nΣXY − ΣXΣY). Korelasi dan regresi berbagi "bahan baku" yang sama.

Inilah dua rumus yang menghasilkan garis kuadrat-terkecil tanpa coba-coba, dan kabar baiknya Anda sudah punya semua bahannya dari HDN-1. Perhatikan rumus kemiringan b: pembilangnya adalah n kali jumlah XY dikurangi jumlah X kali jumlah Y — persis pembilang korelasi tadi — sedangkan penyebutnya adalah n kali jumlah X kuadrat dikurangi kuadrat jumlah X, yang juga sudah Anda hitung sebagai bagian penyebut korelasi. Jadi korelasi dan regresi sebenarnya memasak dari bahan dapur yang sama; sekali Anda menyiapkan lima jumlahan itu, keduanya tinggal merangkai. Urutannya: hitung b dulu, karena rumus intersep a membutuhkan b — a sama dengan rata-rata Y dikurangi b dikali rata-rata X. Secara geometris, b adalah kemiringan garis, yaitu seberapa banyak ramalan Y naik setiap kali X bertambah satu satuan, sedangkan a adalah titik tempat garis memotong sumbu Y.

Hitung dari Nol — HDN-3: Garis Regresi Iklan → Penjualan

Pakai jumlahan yang sama dari HDN$-1 (n=6, \sum X=27, \sum Y=168, \sum XY=825, \sum X^{2}=139)$. Cari b lalu a.

Langkah	Perhitungan	Nilai
Pembilang b	6·825 − 27·168 = 4950 − 4536	414
Penyebut b	$6\cdot 139 - 27^{2} = 834 - 729$	105
Kemiringan b	414 ÷ 105	3,9429
Rata-rata	X̄ = 27/6 = 4,5 · Ȳ = 168/6 = 28	—
Intersep a	28 − 3,9429 × 4,5 = 28 − 17,7429	10,2571
Persamaan	Ŷ = 10,2571 + 3,9429 X

Garis Regresi

Ŷ = 10,26 + 3,94X

dalam Rp juta

Ramalan: Jika iklan = Rp 8 jt
Ŷ = 10,2571 + 3,9429 × 8
= 10,2571 + 31,5429
≈ Rp 41,8 jt penjualan.

Sekarang kita rampungkan analisis ini dengan menarik garisnya, dan perhatikan betapa hematnya: kita tidak menghitung satu jumlahan baru pun, semua diambil dari HDN-1. Langkah pertama, kemiringan b: pembilangnya 414 — angka yang sama persis dengan pembilang korelasi — dibagi penyebutnya 105, hasilnya sekitar 3,9429. Langkah kedua, intersep a: kita butuh rata-rata X dan Y dulu, yaitu 4,5 dan 28; lalu a sama dengan 28 dikurangi 3,9429 dikali 4,5, hasilnya sekitar 10,2571. Maka persamaan regresinya adalah Y-topi sama dengan 10,2571 ditambah 3,9429 dikali X, dan inilah garis terbaik menembus enam titik data kita. Sekarang garis ini bisa langsung bekerja: kalau pemilik UMKM ingin tahu perkiraan penjualan saat iklan dinaikkan menjadi delapan juta, tinggal masukkan delapan ke rumus, dan keluar ramalan sekitar 41,8 juta — sebuah angka konkret yang bisa dipakai untuk merencanakan anggaran.

Menafsirkan b & a — Bahasa Angka jadi Bahasa Bisnis

Angka tak berarti tanpa tafsir. Untuk Ŷ = 10,2571 + 3,9429 X (iklan→penjualan, dalam Rp jt):

Kemiringan b = 3,9429

+3,94

per Rp 1 juta iklan

Setiap Rp 1 juta tambahan belanja iklan dikaitkan dengan kenaikan penjualan ~Rp 3,94 juta (rata-rata). Tanda positif → searah.

Intersep a = 10,2571

10,26

saat X = 0

Saat iklan = 0, ramalan penjualan ~Rp 10,26 juta (penjualan dasar tanpa iklan).

Hati-hati menafsir a: X = 0 sering di luar rentang data (di sini X mulai dari 2 jt). Menafsir a sebagai "penjualan tanpa iklan" adalah ekstrapolasi — bisa keliru. Sebaliknya, b hampir selalu bermakna bisnis langsung.

Menghitung b dan a baru setengah pekerjaan; nilai sejati seorang analis terletak pada kemampuan menerjemahkan angka itu menjadi kalimat bisnis yang berguna. Mari kita baca garis kita: kemiringan 3,9429 berarti setiap tambahan satu juta rupiah belanja iklan dikaitkan dengan kenaikan penjualan rata-rata sekitar 3,94 juta rupiah — dan karena tandanya positif, arahnya searah. Inilah angka yang akan paling sering ditanyakan manajemen, karena ia langsung menjawab "kalau saya tambah anggaran iklan, kira-kira penjualan naik berapa". Intersep 10,2571 secara harfiah berarti ramalan penjualan ketika iklan nol, sekitar 10,26 juta, tetapi di sinilah saya minta Anda sangat berhati-hati: data kita hanya mengamati iklan dari dua juta ke atas, jadi menyimpulkan penjualan tanpa iklan sama dengan menebak di wilayah yang tak pernah kita amati — itu ekstrapolasi. Aturan praktis: tafsirkan b dengan percaya diri karena hampir selalu bermakna, tetapi tafsirkan a dengan hati-hati.

Korelasi & Regresi di Sekitar Anda: Empat Kasus Indonesia

Konsep hari ini ada di mana-mana dalam ekonomi Indonesia. Empat contoh yang sering dianalisis:

Kasus 1 — UMKM

Iklan vs Penjualan
▲ Positif — tambahan promosi dikaitkan kenaikan omzet. (kasus yang kita kerjakan)

Kasus 2 — Pasar Modal

BI-Rate vs IHSG (BEI)
▼ Kerap Negatif — saat BI naikkan suku bunga acuan, IHSG cenderung tertekan (biaya dana naik, dana pindah ke deposito/obligasi). (kecenderungan; verifikasi data BI/BEI)

Kasus 3 — Makro BPS

Inflasi vs Konsumsi Rumah Tangga
▼ Kerap Negatif — inflasi tinggi menggerus daya beli → tekanan negatif pada konsumsi riil. (data BPS; di-hedge)

Kasus 4 — Ekspor Komoditas

Kurs USD/IDR vs Harga Komoditas Ekspor
▲ Sering Positif (dlm Rp) — rupiah melemah → nilai rupiah ekspor batubara/sawit/nikel naik. (kecenderungan; tergantung periode)

Semua arah di atas adalah kecenderungan umum — besar & arah riil wajib dihitung dari data aktual (BPS, BI, BEI) dan tetap ingat: korelasi ≠ kausalitas.

Supaya Anda tidak menganggap korelasi dan regresi cuma latihan kelas, mari kita lihat empat hubungan nyata yang sering dianalisis dalam ekonomi Indonesia. Pertama, yang sudah kita kerjakan: belanja iklan UMKM dengan penjualan, yang umumnya berkorelasi positif. Kedua, hubungan BI-Rate dengan Indeks Harga Saham Gabungan, yang sering negatif — ketika Bank Indonesia menaikkan suku bunga acuan, biaya dana naik dan sebagian dana investor berpindah ke deposito atau obligasi, sehingga harga saham cenderung tertekan. Ketiga, inflasi dengan konsumsi rumah tangga: ketika harga-harga naik cepat, daya beli masyarakat tergerus, sehingga konsumsi riil cenderung melemah. Keempat, kurs dolar terhadap rupiah dengan nilai rupiah dari komoditas ekspor seperti batubara dan sawit, yang sering bergerak searah. Tetapi saya tegaskan dua hal: arah-arah yang saya sebut itu kecenderungan umum yang tetap harus Anda buktikan dengan menghitung dari data aktual, dan sebesar apa pun korelasinya, jangan pernah lupa bahwa korelasi bukan bukti sebab-akibat.

Lima Jebakan yang Sering Membuat Salah

1 Korelasi Disangka Kausalitas

r tinggi ≠ sebab-akibat. Selalu curigai variabel perancu — faktor ketiga yang menggerakkan keduanya.

2 $\sum X^{2} vs (\sum X)^{2}$ Tertukar

Jumlah-dari-kuadrat ≠ kuadrat-dari-jumlah. Penyebab #1 salah hitung r & b. Sangat sering di ujian!

3 Memaksakan Garis pada Pola Melengkung

r linier menyesatkan untuk hubungan non-linier. Gambar dulu! Scatter plot adalah langkah pertama.

4 Tertukar Peran X & Y

Garis "Y atas X" beda dari "X atas Y". Pastikan variabel dependen selalu di posisi Y (sumbu vertikal).

5 Ekstrapolasi Liar

Meramal jauh di luar rentang data (termasuk menafsir a saat X = 0 di luar data). Pola bisa berbeda di luar rentang pengamatan.

Tiga cek wajib sebelum serahkan jawaban: (1) gambar scatter dulu · (2) cek $\sum X^{2} \neq (\sum X)^{2}$ · (3) pastikan peran X/Y benar.

Dari pengalaman memeriksa banyak lembar jawaban dan laporan analis pemula, hampir semua kesalahan dalam topik ini berasal dari lima jebakan yang sama, jadi saya kumpulkan agar Anda waspada. Jebakan pertama dan paling berbahaya secara intelektual: menyimpulkan sebab-akibat dari korelasi belaka — ini kesalahan berpikir, bukan sekadar salah hitung, dan bisa menyesatkan keputusan besar. Jebakan kedua paling sering secara aritmetika: tertukar antara jumlah-dari-kuadrat dan kuadrat-dari-jumlah, dua hal yang sama-sama muncul di rumus r dan b, dan tertukar sedikit saja seluruh jawaban meleset. Jebakan ketiga adalah memaksakan garis lurus pada data yang sebenarnya melengkung, yang hanya bisa Anda hindari kalau menggambar diagram pencar lebih dulu. Dua jebakan terakhir, tertukar peran X dan Y serta meramal terlalu jauh di luar rentang data, sama-sama membuat jawaban tampak rapi tapi sebenarnya menjawab pertanyaan yang salah. Biasakan tiga pemeriksaan cepat sebelum menyerahkan pekerjaan: gambar scatter dulu, pastikan $\sum X^{2}$ bukan $(\sum X)^{2}$, dan periksa peran X dan Y.

Bagian 4 dari 4

Rangkuman & Latihan

Cheat sheet rumus inti — siapkan sekali, pakai untuk semuanya — lalu latihan mandiri untuk mengunci pemahaman.

Cheat Sheet — Rumus Inti & Skala r

Konsep	Rumus	Untuk
Korelasi r	$[ n\sum XY - \sum X\sum Y ] \div \sqrt ([ n\sum X^{2}-(\sum X)^{2} ]\cdot [ n\sum Y^{2}-(\sum Y)^{2} ])$	keeratan & arah (−1..+1)
Uji-t untuk r	$t = r\cdot \sqrt (n-2) \div \sqrt (1-r^{2}), df = n-2$	apakah r signifikan
Kemiringan b	$[ n\sum XY - \sum X\sum Y ] \div [ n\sum X^{2} - (\sum X)^{2} ]$	perubahan Ŷ per satuan X
Intersep a	`a = Ȳ − b·X̄`	Ŷ saat X = 0
Persamaan	`Ŷ = a + bX`	memprediksi Y dari X

Semua dari lima jumlahan yang sama: $n, \sum X, \sum Y, \sum XY, \sum X^{2}, \sum Y^{2}$. Korelasi & regresi berbagi bahan baku — siapkan sekali, pakai untuk semua.

Ini slide yang saya sarankan Anda foto dan tempel di meja belajar, karena seluruh pertemuan hari ini sebenarnya hanya lima rumus yang saling terkait. Yang ingin saya tekankan, jangan menghafal kelimanya sebagai lima hal terpisah; perhatikan bahwa korelasi r dan kemiringan b berbagi pembilang yang sama persis, dan keduanya lahir dari satu set bahan baku yang sama. Begitu Anda menyiapkan lima jumlahan itu satu kali dengan teliti, semua rumus tinggal merangkai, dan inilah strategi paling efisien di ujian. Urutan kerja yang saya sarankan: siapkan tabel lima kolom, jumlahkan, hitung r, uji signifikansinya, lalu hitung b dan a untuk garisnya. Kalau Anda menguasai alur ini, Anda tidak hanya bisa mengerjakan soal, tetapi benar-benar memahami bahwa korelasi dan regresi adalah dua wajah dari satu analisis hubungan yang sama.

Latihan & Diskusi Kelas

Latihan 1 — Korelasi

r = ?

Lima karyawan — jam lembur (X) dan output (Y):
(1,3), (2,7), (3,5), (4,11), (5,9)

Hitung r.
Petunjuk: susun 5 kolom; jawabannya bulat.

Latihan 2 — Regresi

Ŷ = ?

Jam belajar (X) vs nilai (Y):
(2,50), (4,60), (5,68), (6,72), (8,90)

Cari b, a, dan persamaannya.
Ramalkan nilai untuk 7 jam belajar.
Kunci: Lampiran B.

Kerjakan ~7 menit. Gambar scatter dulu, siapkan tabel 5 kolom, lalu masukkan ke rumus. Cek $\sum X^{2} \neq (\sum X)^{2}$. Kita bahas bersama setelah selesai.

Sekarang giliran Anda berhitung, karena korelasi dan regresi hanya benar-benar dikuasai dengan tangan sendiri di atas kertas, bukan dengan menonton saya. Latihan pertama menguji korelasi: lima karyawan dengan data jam lembur dan output, dan saya minta Anda menghitung r — saya sengaja pilih angka yang menghasilkan jawaban bulat dan rapi supaya Anda bisa fokus pada prosesnya, bukan pada aritmetika yang berantakan. Latihan kedua menguji regresi penuh: data jam belajar dan nilai ujian, dan Anda harus mencari kemiringan, intersep, menuliskan persamaannya, lalu meramalkan nilai untuk mahasiswa yang belajar tujuh jam. Sebelum menghitung, biasakan tiga langkah disiplin yang sudah kita latih: gambar diagram pencar dulu, siapkan tabel lima kolom dengan teliti, dan periksa jangan sampai jumlah-dari-kuadrat tertukar dengan kuadrat-dari-jumlah. Saya beri waktu sekitar tujuh menit, kerjakan dengan tenang, dan setelah itu kita cocokkan jawabannya bersama-sama.

Rangkuman & Persiapan Berikutnya

Hari ini Anda belajar mengukur hubungan (korelasi r), mengujinya (uji-t), dan memodelkannya (regresi Ŷ = a + bX). Pertemuan depan kita perdalam kualitas & penggunaan model regresi.

Arah Berikutnya — Regresi Lanjut

Koefisien Determinasi $(R^{2})$ — berapa \% variasi Y terjelaskan oleh X?
Ketepatan Ramalan — standard error estimasi.
Asumsi & Evaluasi Model — kapan regresi linear sahih?

Tugas Mandiri — Latih

HDN 1–3

Ulangi ketiga Hitung dari Nol dengan data Anda sendiri (mis. uang saku vs pengeluaran). Verifikasi di Excel: =CORREL(), =SLOPE(), =INTERCEPT()

Kuasai lima rumus inti & alur "lima kolom → r → uji-t → garis". Korelasi & regresi adalah fondasi analisis data bisnis yang akan Anda pakai terus, termasuk di skripsi.

Kita sampai di penghujung pertemuan yang padat ini, dan saya harap Anda kini punya tiga keterampilan baru yang nyata: mengukur keeratan hubungan dengan korelasi, menguji apakah hubungan itu nyata dengan uji-t, dan menarik garis untuk memprediksi dengan regresi. Hari ini fokus kita adalah dasar-dasarnya — menghitung r, b, dan a dari nol — dan pertemuan berikutnya kita akan memperdalam kualitas model lewat koefisien determinasi R-kuadrat serta standar error estimasi. Tugas mandiri Anda sederhana tapi penting: ulangi ketiga Hitung dari Nol hari ini memakai data Anda sendiri, misalnya uang saku bulanan dan pengeluaran, sampai alur lima kolomnya terasa otomatis. Saya juga minta Anda mencoba memverifikasinya di spreadsheet dengan fungsi CORREL, SLOPE, dan INTERCEPT di Excel, karena di dunia kerja kecepatan dan ketepatan menganalisis hubungan dua variabel adalah keterampilan dasar yang diharapkan dari lulusan manajemen. Kuasai lima rumus inti dan alur kerjanya malam ini, karena korelasi dan regresi adalah fondasi yang akan terus Anda pakai, termasuk nanti saat menyusun skripsi.