Program Studi Manajemen · FEB UNDIP · Statistika Bisnis I

Estimasi & Interval Kepercayaan

Pertemuan 11 · Dari Sampel ke Populasi

Dari satu sampel ke seluruh populasi: bagaimana menebak rata-rata atau proporsi populasi — dan, yang lebih penting, seberapa yakin kita boleh atas tebakan itu.

RPS Minggu 11 · Sub-CPMK 4 · 2 × 50 menit

Selamat datang di Pertemuan 11, pertemuan yang menjembatani statistika deskriptif yang sudah Anda kuasai dengan statistika inferensi yang akan menemani sisa mata kuliah ini. Sampai sekarang, kalau Anda mengambil satu sampel dan menghitung rata-ratanya, Anda mendapat satu angka — tetapi satu angka itu hampir pasti meleset dari rata-rata populasi yang sebenarnya, karena sampel hanyalah sebagian kecil dari keseluruhan. Hari ini kita belajar cara yang jauh lebih jujur: alih-alih menyebut satu angka, kita menyebut sebuah rentang, lalu menempelkan tingkat keyakinan pada rentang itu — itulah interval kepercayaan. Bayangkan BPS mengumumkan tingkat pengangguran "sekitar 5,3%"; angka itu berasal dari sampel, bukan sensus seluruh penduduk, sehingga selalu ada ketidakpastian yang harus dinyatakan secara terbuka. Setelah pertemuan ini, Anda tidak hanya bisa menghitung rentang itu, tetapi juga menafsirkannya dengan benar — sesuatu yang ternyata sering disalahpahami bahkan oleh orang yang sudah lama bekerja dengan data.

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu menghitung dan menginterpretasikan interval kepercayaan untuk rata-rata atau proporsi populasi (Sub-CPMK 4). Secara rinci:

Capaian 1 — Titik vs Interval

Membedakan estimasi titik dan estimasi interval, serta memahami mengapa interval lebih informatif dari satu angka tunggal.

Capaian 2 — Rata-rata

Menghitung CI rata-rata pada 90/95/99% — memilih z (σ diketahui) atau t (σ tidak diketahui, df = n−1).

Capaian 3 — Proporsi & Margin

Menghitung CI proporsi dan margin of error untuk kasus survei nyata Indonesia.

Capaian 4 — Ukuran Sampel

Menentukan n minimum agar margin dan kepercayaan tertentu terpenuhi — untuk rata-rata maupun proporsi.

Empat capaian ini adalah penjabaran Sub-CPMK minggu kesebelas: mahasiswa mampu menghitung dan menginterpretasikan interval kepercayaan untuk rata-rata atau proporsi populasi. Capaian pertama adalah landasan berpikirnya — Anda harus paham bedanya menebak dengan satu angka versus menebak dengan satu rentang, dan mengapa rentang itu lebih dewasa secara ilmiah. Capaian kedua dan ketiga adalah inti hitungan hari ini: membangun interval untuk rata-rata, lalu untuk proporsi, lengkap dengan pemilihan alat yang tepat — kapan memakai distribusi z dan kapan memakai distribusi t. Capaian keempat membalik pertanyaannya: alih-alih bertanya "seberapa presisi sampel saya?", kita bertanya "berapa besar sampel yang saya butuhkan agar mencapai presisi yang saya inginkan?" — pertanyaan yang sangat praktis bagi siapa pun yang akan merancang survei atau audit. Jadikan empat poin ini daftar periksa Anda di akhir kelas; kalau bisa menjelaskan dan menghitung keempatnya, Anda sudah menguasai pertemuan ini.

BPS Bilang Pengangguran 5,3% — Seberapa Yakin Mereka?

BPS tidak menyensus seluruh ~280 juta penduduk tiap kali. Mereka mengambil sampel, lalu mengumumkan satu angka. Tapi angka itu pasti punya ketidakpastian. Pertanyaannya: berapa?

Estimasi Titik — Kesan Pasti

5,3%

Terdengar tepat, tetapi menyembunyikan fakta bahwa ini hanya tebakan dari sampel. Tidak ada informasi seberapa jauh ia bisa meleset.

Estimasi Interval — Jujur

5,1%–5,5%

keyakinan 95% (ilustratif)

Menyatakan ketidakpastiannya secara terbuka. Memberikan rentang tempat parameter populasi sebenarnya kemungkinan besar berada.

Hampir setiap angka "dari survei" — pengangguran, inflasi, kepuasan nasabah, hasil quick count — sebenarnya adalah interval, walau medianya hanya menyebut satu angka. Hari ini kita belajar membangun rentang itu sendiri.

Saya suka membuka topik ini dengan angka yang Anda dengar hampir tiap bulan di berita, supaya terasa nyata. Ketika BPS mengumumkan tingkat pengangguran terbuka, mereka tidak mendatangi seluruh penduduk Indonesia satu per satu — itu mustahil dilakukan tiap triwulan — melainkan mengambil sampel rumah tangga lewat Survei Angkatan Kerja Nasional. Karena hanya sampel, angka yang diumumkan pasti tidak persis sama dengan keadaan populasi sebenarnya; selalu ada selisih yang disebut galat sampling. Saya tegaskan, angka batas 5,1%–5,5% yang saya pakai di slide ini hanya ilustrasi untuk membangun intuisi, bukan rilis resmi BPS; yang penting Anda tangkap idenya: di balik setiap angka survei selalu bersembunyi sebuah interval, dan hari ini Anda akan belajar membuat interval itu dengan tangan Anda sendiri.

Blok 1 dari 4

Dari Titik ke Interval

Mengapa satu angka tidak cukup — dan bagaimana sebuah interval kepercayaan dibangun dari estimasi titik, ditambah dan dikurangi sebuah margin.

Estimasi Titik vs Estimasi Interval

Estimasi Titik

x̄ atau p̂

Satu nilai tunggal sebagai tebakan parameter. Rata-rata sampel x̄ menebak μ; proporsi sampel p̂ menebak π.

Kelemahan: tidak ada informasi seberapa jauh ia bisa meleset — peluang tepat persis ≈ 0.

Estimasi Interval

[BB, BA]

Sebuah rentang yang diperkirakan memuat parameter, disertai tingkat kepercayaan.

Kelebihan: menyatakan ketidakpastian secara eksplisit — jujur secara ilmiah.

Estimasi interval = estimasi titik ± margin of error. Titiknya sama; yang ditambahkan adalah pernyataan jujur tentang ketidakpastian.

Mari kita perjelas dua jenis estimasi ini, karena seluruh pertemuan bersandar pada bedanya. Estimasi titik adalah ketika kita menyebut satu angka tunggal sebagai tebakan terbaik untuk parameter populasi; misalnya, dari sampel 40 transaksi kita hitung rata-ratanya Rp 250.000, lalu memakai angka itu untuk menebak rata-rata seluruh transaksi. Masalahnya, peluang angka Rp 250.000 tepat sama persis dengan rata-rata populasi sebenarnya hampir nol, dan estimasi titik sama sekali tidak memberi tahu seberapa jauh ia mungkin meleset. Estimasi interval memperbaiki kekurangan itu dengan menyebut sebuah rentang, misalnya "rata-rata populasi antara Rp 231.000 dan Rp 269.000", lalu menempelkan tingkat keyakinan pada rentang tersebut. Inti yang saya minta Anda ingat seumur hidup sangat sederhana: interval kepercayaan tidak lain adalah estimasi titik Anda, ditambah dan dikurangi sebuah margin — titiknya tetap di tengah, hanya saja kini kita berani menyatakan seberapa lebar ketidakpastiannya.

Anatomi Sebuah Interval Kepercayaan

Setiap interval kepercayaan punya struktur yang sama persis, apa pun parameternya:

Estimasi Interval = Estimasi Titik ± (Nilai Kritis × Standar Error)

Tiga bahan sebuah interval: 1 estimasi titik (di mana pusatnya) · 2 nilai kritis z atau t (seberapa yakin kita ingin) · 3 standar error (seberapa berisik sampelnya). Kalikan dua yang terakhir → margin of error (E).

Saya ingin Anda menyimpan satu gambar ini di kepala, karena ia berlaku untuk semua interval kepercayaan yang akan kita buat hari ini, tanpa kecuali. Di tengah ada estimasi titik kita — entah rata-rata sampel atau proporsi sampel — dan dari titik itu kita melangkah ke kiri dan ke kanan sejauh yang sama, membentuk pita simetris. Jarak dari titik tengah ke ujung itulah yang disebut margin of error, dan ia adalah hasil perkalian dua hal: nilai kritis yang mencerminkan seberapa yakin kita ingin, dikalikan standar error yang mencerminkan seberapa berisik data sampel kita. Jadi setiap kali Anda membangun interval, Anda sebenarnya hanya menjawab tiga pertanyaan: di mana pusatnya, seberapa yakin saya ingin, dan seberapa bervariasi sampel saya. Kalau Anda memegang kerangka tiga bahan ini, empat rumus yang muncul nanti hanyalah variasi dari satu pola yang sama, dan Anda tidak akan pernah tersesat memilih rumus.

Coba Sendiri: Tarik 100 Sampel, Amati Cakupan 95%

Tarik banyak sampel berulang dan lihat berapa persen interval kepercayaan yang benar-benar memuat parameter populasi.

Tingkat Kepercayaan & Nilai Kritis z

Tingkat kepercayaan = seberapa sering prosedur ini benar dalam jangka panjang. Makin tinggi kepercayaan → nilai kritis makin besar → interval makin lebar.

Tingkat Kepercayaan	α (taraf salah)	Luas tiap ekor (α/2)	Nilai Kritis z
90%	0,10	0,05	1,645
95%	0,05	0,025	1,960
99%	0,01	0,005	2,576

Tiga nilai z ini wajib Anda hafal — paling sering muncul: 1,645 · 1,960 · 2,576. Perhatikan: naik dari 95% ke 99% membuat z melonjak dari 1,96 ke 2,58 — interval melebar ~31%.

Sekarang kita kenalkan tombol pertama yang menentukan lebar interval, yaitu tingkat kepercayaan, dan nilai kritis z yang menyertainya. Tingkat kepercayaan 95% berarti: jika kita mengulang prosedur pengambilan sampel dan pembuatan interval ini berkali-kali, sekitar 95 dari 100 interval yang dihasilkan akan benar-benar memuat rata-rata populasi yang sebenarnya. Untuk mendapatkan 95% di tengah kurva normal baku, kita menyisakan 2,5% di setiap ekor, dan titik yang memisahkannya ada di z sama dengan 1,96 — angka legendaris yang akan Anda jumpai ribuan kali. Saya minta Anda menghafal tiga pasangan ini: 90% memakai 1,645, 95% memakai 1,96, dan 99% memakai 2,576. Perhatikan satu pelajaran penting dari tabel ini: menaikkan kepercayaan tidak gratis — dari 95% ke 99%, nilai kritisnya melonjak, sehingga intervalnya melebar dan kita kehilangan presisi; jadi keyakinan dan presisi itu saling tukar, dan memilih 99% bukan selalu lebih baik daripada 95%.

Blok 2 dari 4

Interval Rata-rata: z atau t?

Dua kasus yang harus Anda bedakan tajam — saat standar deviasi populasi diketahui (pakai z) dan saat tidak diketahui (pakai t-Student).

x̄ ± (nilai kritis) × (σ / √n)

Interval Rata-rata saat σ DIKETAHUI — Pakai z

Kasus paling sederhana: standar deviasi populasi σ sudah diketahui (mis. dari data historis sangat panjang). Distribusi rata-rata sampel mengikuti normal, jadi pakai z.

x̄ ± z · (σ / √n)

x̄ = rata-rata sampel · z = nilai kritis (1,645 / 1,96 / 2,576) · σ = standar deviasi populasi · n = ukuran sampel · σ/√n = standar error rata-rata

Mini-Contoh (σ Diketahui)

x̄ = Rp 250.000 · σ = Rp 60.000 (diketahui) · n = 40 · kepercayaan 95%
SE = 60.000 / √40 = Rp 9.487 · Margin = 1,96 × 9.487 ≈ Rp 18.594
CI ≈ Rp 231.406 — Rp 268.594

Standar error mengecil saat n membesar (akar n di penyebut). Sampel besar → interval rapat → estimasi presisi. Untuk memotong SE jadi separuh, n harus empat kali lipat.

Kita mulai dari kasus paling bersih, yaitu ketika standar deviasi populasi sigma sudah kita ketahui — misalnya sebuah bank yang punya catatan puluhan tahun sehingga sebaran nilai transaksinya sudah sangat mapan. Dalam situasi ini, berkat Teorema Limit Pusat, rata-rata sampel berdistribusi normal, sehingga kita memakai nilai kritis z. Rumusnya: rata-rata sampel ditambah-kurangi z dikali sigma dibagi akar n, di mana sigma dibagi akar n itu kita sebut standar error rata-rata. Perhatikan baik-baik peran akar n di penyebut: kalau Anda menggandakan ukuran sampel, standar error tidak ikut separuh, melainkan mengecil sebanding akar dua — inilah hukum yang menjelaskan mengapa untuk menggandakan presisi Anda perlu sampel empat kali lipat, bukan dua kali. Saya tegaskan, kasus sigma diketahui ini sebenarnya langka di praktik; ia kita pelajari terutama sebagai jembatan menuju kasus yang lebih realistis berikutnya, yaitu ketika sigma tidak diketahui.

Saat σ TIDAK Diketahui: Distribusi t-Student

Di dunia nyata kita hampir tak pernah tahu σ. Kita ganti σ dengan s (standar deviasi sampel). Tetapi mengganti σ dengan tebakan menambah ketidakpastian — jadi kurva normal diganti kurva t yang sedikit lebih lebar.

Kurva Normal (z)

Dipakai bila σ diketahui. Ekornya lebih tipis. Tidak bergantung ukuran sampel. Nilai kritis tetap (1,96 untuk 95%).

Kurva t-Student (t)

Dipakai bila σ tidak diketahui (kita pakai s). Ekornya lebih tebal → interval sedikit lebih lebar → mengakui ketidakpastian ekstra. Bentuknya bergantung derajat bebas.

Makin besar n, kurva t makin mirip kurva normal. Pada n besar (≈ 30+), z dan t hampir sama. Penemunya: W.S. Gosset, yang menerbitkan dengan nama pena "Student" atas permintaan majikannya di pabrik bir Guinness.

Sekarang kita masuk kasus yang sesungguhnya Anda hadapi sembilan dari sepuluh kali di dunia nyata: kita tidak tahu standar deviasi populasi sigma. Solusinya tampak gampang — ganti saja sigma dengan s, yaitu standar deviasi yang kita hitung dari sampel itu sendiri. Tetapi ada harga yang harus dibayar: dengan mengganti angka yang sebenarnya tidak kita ketahui dengan tebakan dari sampel, kita menambahkan satu lapisan ketidakpastian baru, dan kurva normal tidak lagi sepenuhnya tepat. Seorang ahli statistik bernama William Sealy Gosset menemukan kurva yang tepat untuk situasi ini, yaitu distribusi t — bentuknya mirip kurva normal tetapi berekor lebih tebal, sehingga intervalnya sedikit lebih lebar untuk mengakui ketidakpastian ekstra tadi. Kabar baiknya, makin besar ukuran sampel Anda, kurva t makin menyerupai kurva normal, sehingga pada sampel besar selisih keduanya nyaris tak terasa.

Derajat Bebas (df) & Cara Membaca Tabel t

Bentuk kurva t ditentukan oleh derajat bebas: df = n − 1. Untuk membaca tabel t, Anda butuh dua hal: df dan tingkat kepercayaan.

df = n − 1

df	90% (t)	95% (t)	99% (t)
10	1,812	2,228	3,169
20	1,725	2,086	2,845
39	1,685	2,023	2,708
∞ (≈ z)	1,645	1,960	2,576

Untuk HDN-1 nanti: n = 40 → df = 39 → t(95%) ≈ 2,023. Perhatikan: nilai t (2,023) sedikit lebih besar dari z (1,96) — itulah "biaya" tidak tahu σ. Pada df = ∞, t persis = z.

Untuk memakai distribusi t, Anda perlu satu bilangan tambahan yang tidak ada di z, yaitu derajat bebas, yang dihitung sederhana sebagai n dikurangi satu. Kenapa dikurangi satu? Intuisinya begini: begitu Anda sudah menghitung rata-rata sampel dan ingin menghitung standar deviasinya, satu nilai datanya sebenarnya sudah "terkunci" oleh rata-rata itu, sehingga hanya n dikurangi satu nilai yang benar-benar bebas bervariasi. Untuk membaca tabel t, Anda butuh dua koordinat: baris derajat bebas dan kolom tingkat kepercayaan; misalnya untuk n sama dengan 40, derajat bebasnya 39, dan pada kepercayaan 95% nilai t-nya sekitar 2,023. Perhatikan dua hal penting dari tabel ini: pertama, nilai t selalu sedikit lebih besar daripada z yang sepadan — 2,023 versus 1,96 — dan selisih itulah ongkos yang kita bayar karena tidak mengetahui sigma; kedua, pada derajat bebas tak terhingga, nilai t persis sama dengan z, yang menegaskan bahwa pada sampel sangat besar kedua distribusi menyatu.

Coba Sendiri: Geser Derajat Bebas, Amati Kurva t Mendekati z

Ubah derajat bebas dan lihat bagaimana ekor kurva t menipis, semakin mendekati kurva normal z.

Interval Rata-rata saat σ TIDAK Diketahui — Pakai t

Kasus paling umum di praktik. Strukturnya sama persis dengan rumus z; hanya z diganti t dan σ diganti s.

x̄ ± t · (s / √n) · (df = n − 1)

x̄ = rata-rata sampel · t = nilai kritis tabel t pada df = n−1 · s = standar deviasi sampel · s/√n = standar error rata-rata (versi sampel)

Pakai	Nilai Kritis	Margin (× Rp 9.487)	Interval 95% (n=40, x̄=Rp 250rb, s=Rp 60rb)
t (benar, σ tak tahu)	2,023	≈ Rp 19.192	Rp 230.808 — Rp 269.192
z (keliru di sini)	1,960	≈ Rp 18.594	Rp 231.406 — Rp 268.594

Karena σ tidak diketahui, t adalah pilihan yang benar; memakai z di sini akan membuat interval terlalu sempit — Anda terlalu percaya diri dan berisiko menyesatkan keputusan.

Inilah rumus yang akan paling sering Anda pakai sepanjang karier mengolah data, jadi kuasai betul. Kabar baiknya, Anda sebenarnya tidak perlu menghafal rumus baru: ambil saja rumus z dari slide tadi, lalu ganti z dengan t dan ganti sigma dengan s — struktur "rata-rata plus-minus nilai kritis kali standar error" tetap sama persis. Yang berubah hanya dua hal: nilai kritis kini diambil dari tabel t pada derajat bebas n dikurangi satu, dan standar deviasi yang kita pakai adalah s dari sampel, bukan sigma populasi. Lihat tabel pembanding: untuk kasus yang sama, memakai t menghasilkan margin sekitar Rp 19.192 sedangkan z menghasilkan Rp 18.594, jadi interval t memang sedikit lebih lebar. Saya tegaskan, ketika sigma tidak diketahui — yang adalah keadaan normal di dunia nyata — memakai t bukan pilihan tetapi keharusan; memakai z dalam situasi ini akan membuat interval Anda terlalu sempit, yang berarti Anda terlalu percaya diri dan berisiko menyesatkan keputusan.

Hitung dari Nol — HDN-1: Rata-rata Nilai Transaksi

Sebuah bank mengambil sampel n = 40 transaksi. Rata-rata sampel Rp 250.000, standar deviasi sampel s = Rp 60.000. σ populasi tidak diketahui → pakai t (df = 39, t₉₅% ≈ 2,023). Bangun CI 95%.

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. Identifikasi & tentukan t	x̄ = 250.000; s = 60.000; n = 40; df = 39	t₉₅% = 2,023
2. Standar error	s / √n = 60.000 / √40 = 60.000 / 6,3246	Rp 9.486,83
3. Margin of error	E = t × SE = 2,023 × 9.486,83	Rp 19.191,86
4. Batas bawah	250.000 − 19.191,86	Rp 230.808
5. Batas atas	250.000 + 19.191,86	Rp 269.192

CI 95% ≈ Rp 230.808 — Rp 269.192. Lebar interval ~Rp 38.384 mencerminkan ketidakpastian dari n = 40. Prosedur ini, jika diulang banyak kali, akan menghasilkan interval yang memuat rata-rata populasi pada ~95% kesempatan.

Sekarang kita kerjakan satu kasus dari nol sampai jadi, supaya Anda tidak hanya melihat rumus tetapi merasakan cara memakainya. Sebuah bank mengambil sampel empat puluh transaksi dan mendapati rata-ratanya dua ratus lima puluh ribu rupiah dengan standar deviasi sampel enam puluh ribu rupiah; karena sigma populasi tidak diketahui, refleks Anda harus langsung berkata "pakai t". Langkah pertama selalu sama: tuliskan yang diketahui dan tentukan derajat bebasnya, yaitu empat puluh dikurangi satu sama dengan tiga puluh sembilan, lalu cari nilai t pada kepercayaan 95%, yang kira-kira 2,023. Langkah kedua, hitung standar error, yaitu enam puluh ribu dibagi akar empat puluh; akar empat puluh sekitar 6,3246, sehingga standar errornya sekitar Rp 9.486,83. Langkah ketiga, kalikan t dengan standar error untuk mendapat margin of error sekitar Rp 19.192, lalu tambah-kurangkan ke rata-rata, sehingga interval 95% kita kira-kira dari Rp 230.808 sampai Rp 269.192. Tafsirannya harus tepat: bukan berarti ada peluang 95% rata-rata populasi ada di rentang ini, melainkan bahwa prosedur ini benar pada sekitar 95% pengulangan — perbedaan halus ini akan kita bahas tuntas di Slide 24.

Pohon Keputusan: z atau t?

Satu pertanyaan menentukan segalanya untuk interval rata-rata: apakah σ populasi diketahui?

Situasi	Distribusi	Standar Error
σ diketahui	z	σ/√n
σ tak diketahui	t (df = n−1)	s/√n
Proporsi (n besar)	z	√(p̂(1−p̂)/n)

Aturan paling aman: σ tidak diketahui → selalu pakai t apa pun ukuran sampelnya. Pada n besar, t ≈ z — Anda tidak rugi apa-apa.

Slide ini adalah peta navigasi Anda, dan saya minta Anda menjadikannya refleks otomatis di ujian maupun di dunia kerja. Untuk interval rata-rata, hanya ada satu pertanyaan yang menentukan jalan: apakah standar deviasi populasi sigma diketahui atau tidak? Kalau diketahui — yang jarang terjadi — Anda berbelok ke jalur z; kalau tidak diketahui — yang hampir selalu terjadi — Anda berbelok ke jalur t dengan derajat bebas n dikurangi satu. Ada satu penyederhanaan yang sering Anda temui di buku: bila ukuran sampel besar, katakanlah tiga puluh ke atas, distribusi t sudah sangat mirip z, sehingga sebagian buku praktis membolehkan memakai z sebagai aproksimasi meski sigma tak diketahui. Saran saya yang paling aman dan konsisten: jika sigma tidak diketahui, pakailah t apa pun ukuran sampelnya — toh pada n besar t dan z hampir sama, jadi Anda tidak rugi apa-apa, tetapi pada n kecil Anda terhindar dari kesalahan fatal memakai z padahal seharusnya t.

Blok 3 dari 4

Proporsi, Margin, & Ukuran Sampel

Dari rata-rata ke proporsi (persentase "ya/tidak"), lalu pertanyaan paling praktis dalam riset: berapa besar sampel yang saya butuhkan?

Sampai sini kita sudah mahir membuat interval untuk rata-rata; sekarang kita beralih ke parameter yang sama pentingnya dalam bisnis, yaitu proporsi. Proporsi muncul setiap kali jawaban responden bersifat ya atau tidak: puas atau tidak puas, memilih atau tidak memilih, lancar atau macet. Survei kepuasan nasabah, exit poll pemilu, dan tingkat kelolosan audit semuanya adalah soal proporsi, sehingga menguasai intervalnya sangat berguna secara praktis. Setelah itu, kita akan membahas pertanyaan yang paling sering ditanyakan klien kepada konsultan riset: berapa besar sampel yang saya perlukan agar hasilnya cukup presisi? Pertanyaan ini membalik logika kita hari ini — alih-alih menghitung presisi dari sampel yang sudah ada, kita merancang ukuran sampel sebelum data dikumpulkan, demi mencapai presisi yang kita targetkan.

Interval Kepercayaan untuk Proporsi Populasi

Untuk proporsi, estimasi titiknya adalah p̂ (proporsi sampel = x/n). Strukturnya tetap "titik ± nilai kritis × standar error", dan kita pakai z.

p̂ ± z · √( p̂(1 − p̂) / n )

p̂ = x/n (proporsi "sukses" di sampel) · z = 1,645 / 1,96 / 2,576 · √(p̂(1−p̂)/n) = standar error proporsi

Mengapa z, bukan t? Karena standar error proporsi tidak melibatkan σ yang harus ditebak — ia langsung dihitung dari p̂.

Syarat aproksimasi normal: n · p̂ ≥ 5 dan n · (1 − p̂) ≥ 5 (sampel cukup besar agar distribusi binomial mendekati normal).

Sekarang kita pindah ke proporsi, dan kabar baiknya adalah strukturnya sama persis dengan yang sudah Anda kuasai: estimasi titik ditambah-kurangi nilai kritis dikali standar error. Untuk proporsi, estimasi titiknya adalah p-hat, yaitu banyaknya responden yang menjawab "ya" dibagi total responden — misalnya 320 dari 500 nasabah menyatakan puas, maka p-hat sama dengan 0,64. Standar errornya dihitung sebagai akar dari p-hat dikali satu dikurangi p-hat, dibagi n, dan inilah yang menggantikan peran sigma per akar n pada kasus rata-rata. Perhatikan satu hal penting: kenapa proporsi pakai z, bukan t? Karena di sini kita tidak perlu menebak sigma populasi yang tak diketahui — standar errornya langsung terhitung dari p-hat sampel itu sendiri, sehingga distribusi normal langsung berlaku. Satu syarat yang harus Anda cek: aproksimasi normal ini baru sah jika sampel cukup besar, praktisnya bila n dikali p-hat dan n dikali satu dikurangi p-hat keduanya minimal lima.

Hitung dari Nol — HDN-2: Kepuasan Nasabah

Survei OJK terhadap n = 500 nasabah: 320 menyatakan puas. Bangun CI 95% untuk proporsi kepuasan seluruh populasi nasabah.

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. Estimasi titik p̂	320 / 500	0,64 (64%)
2. p̂(1 − p̂)	0,64 × 0,36	0,2304
3. Standar error	√(0,2304 / 500) = √0,0004608	0,021466
4. Margin of error	E = 1,96 × 0,021466	0,042074 (≈ 4,21%)
5. Batas bawah	0,64 − 0,042074	0,5979 (59,8%)
6. Batas atas	0,64 + 0,042074	0,6821 (68,2%)

CI 95% ≈ 59,8% — 68,2%. Kita yakin (pada tingkat 95%) bahwa proporsi nasabah puas di seluruh populasi berada di rentang itu. Margin of error survei ini ~±4,2 poin persen. Cek syarat: n·p̂ = 320 ≥ 5 ✓ dan n·(1−p̂) = 180 ≥ 5 ✓.

Mari kita kerjakan kasus proporsi dari nol, memakai konteks yang sangat relevan dengan industri keuangan kita, yaitu survei kepuasan nasabah. Misalkan OJK atau sebuah bank menyurvei lima ratus nasabah dan tiga ratus dua puluh di antaranya menyatakan puas; langkah pertama, hitung estimasi titiknya, p-hat sama dengan tiga ratus dua puluh dibagi lima ratus, yaitu 0,64 atau enam puluh empat persen. Langkah kedua, hitung standar error: kalikan 0,64 dengan 0,36 untuk mendapat 0,2304, bagi dengan lima ratus, lalu akarkan, hasilnya sekitar 0,021466. Langkah ketiga, kalikan dengan z 95% yaitu 1,96 untuk mendapat margin of error sekitar 0,0421 atau 4,2 poin persen, lalu tambah-kurangkan ke 0,64, sehingga intervalnya kira-kira dari 0,598 sampai 0,682, atau dari sekitar 59,8 persen sampai 68,2 persen. Perhatikan bahwa walaupun proporsi sampel kita persisnya 64 persen, kita tidak berani mengklaim populasi tepat 64 persen; yang jujur kita katakan adalah bahwa proporsi populasi sebenarnya kemungkinan besar berada di pita 60-an persen itu, dengan margin sekitar empat poin.

Margin of Error — Inti Presisi

Margin of error (E) = setengah lebar interval = nilai kritis × standar error. Ia menjawab: "seberapa jauh tebakan saya bisa meleset?"

E = z · √(p̂(1−p̂)/n) (proporsi) · E = t · (s/√n) (rata-rata)

↑ Kepercayaan

↕ E

95%→99% menaikkan z (1,96→2,58) → E membesar. Interval melebar; presisi berkurang.

↑ Ukuran Sampel n

↓ E

n di penyebut (akar n) → E mengecil. Ini satu-satunya tombol yang sepenuhnya di tangan Anda.

↑ Keragaman Data

↑ E

Data makin bervariasi → E membesar. Proporsi paling "berisik" di p̂ = 0,5 (maks. variasi).

Hubungan akar: untuk memotong E jadi setengah, n harus empat kali lipat. Contoh: n=400 → E≈4,90%; n=1.200 → E≈2,83%. Presisi itu mahal.

Margin of error adalah konsep paling praktis dari seluruh pertemuan ini, karena ia adalah angka yang Anda dengar di berita setiap musim pemilu — "margin of error survei ini plus-minus tiga persen". Secara teknis, margin of error tidak lain adalah setengah lebar interval kepercayaan, yaitu nilai kritis dikali standar error, dan ia menjawab pertanyaan paling jujur: seberapa jauh tebakan saya bisa meleset dari kenyataan? Tiga hal menggerakkan besar-kecilnya margin: pertama, tingkat kepercayaan — makin yakin Anda ingin, makin lebar marginnya; kedua, ukuran sampel — makin besar n, makin kecil marginnya, dan inilah satu-satunya tombol yang sepenuhnya di tangan Anda; ketiga, keragaman data — makin bervariasi data, makin lebar marginnya, dan untuk proporsi keragaman paling besar terjadi tepat di lima puluh persen. Yang harus Anda hayati adalah hukum akar n: karena n berada di bawah tanda akar, untuk memotong margin menjadi separuh Anda harus melipatempatkan sampel, bukan melipatduakan — itulah sebabnya presisi tinggi selalu mahal, dan mengapa survei nasional yang akurat membutuhkan ribuan responden.

Menentukan Ukuran Sampel untuk Proporsi

Balik logikanya: tetapkan margin (E) dan kepercayaan (z) yang Anda inginkan, lalu cari n yang dibutuhkan. Tinggal selesaikan rumus E untuk n.

n = z² · p̂(1 − p̂) / E²

E = margin yang ditargetkan (mis. 0,03 = 3%) · z = nilai kritis · p̂ = perkiraan proporsi

Ada data awal p̂?

Pakai p̂

Jika ada survei pendahuluan atau data historis, masukkan nilai p̂ yang diketahui → n lebih kecil (lebih efisien).

Tidak ada data awal?

p̂ = 0,5

Asumsi konservatif: p̂(1−p̂) maksimum di 0,5 (= 0,25) → menghasilkan n terbesar → paling aman, tidak akan kekurangan sampel.

Selalu bulatkan n ke ATAS. Hasil n hampir selalu pecahan. Membulatkan ke bawah berarti sampel kurang dari yang dibutuhkan → target presisi tidak tercapai.

Sekarang kita membalik seluruh logika hari ini, dan inilah keterampilan yang akan paling sering Anda jual sebagai analis atau konsultan riset. Selama ini kita punya sampel lalu menghitung marginnya; tetapi di dunia nyata, sering kali klien lebih dulu menetapkan margin yang mereka inginkan — misalnya "saya mau hasil survei dengan margin of error maksimal tiga persen pada keyakinan 95 persen" — lalu bertanya berapa orang yang harus disurvei. Untuk menjawabnya, kita tinggal menyelesaikan rumus margin tadi untuk n, sehingga n sama dengan z kuadrat dikali p-hat dikali satu dikurangi p-hat, dibagi E kuadrat. Pertanyaannya, dari mana kita tahu p-hat sebelum survei dilakukan? Kalau ada data awal atau survei pendahuluan, pakai itu; kalau benar-benar buta, pakai 0,5, karena perkalian p-hat dikali satu dikurangi p-hat mencapai nilai terbesar tepat di 0,5, sehingga menghasilkan kebutuhan sampel paling besar dan menjamin Anda tidak akan pernah kekurangan sampel — inilah yang disebut asumsi konservatif. Satu aturan teknis yang tidak boleh dilanggar: hasil n hampir selalu pecahan, dan Anda harus selalu membulatkannya ke atas.

Hitung dari Nol — HDN-3: Berapa Nasabah Harus Disurvei?

Lanjutan HDN-2. Kita ingin survei kepuasan dengan margin of error ≤ 3% (E = 0,03) pada kepercayaan 95% (z = 1,96). Berapa ukuran sampel minimum?

Langkah	Perhitungan	Nilai
Skenario A — Pakai p̂ = 0,64 (dari HDN-2)	1,96² × 0,2304 / 0,03² = 3,8416 × 0,2304 / 0,0009	983,45
→ Bulatkan ke atas		n = 984
Skenario B — Konservatif p̂ = 0,5	1,96² × 0,25 / 0,03² = 3,8416 × 0,25 / 0,0009	1.067,11
→ Bulatkan ke atas		n = 1.068

Skenario A (p̂ = 0,64)

984

responden minimum

Skenario B (p̂ = 0,5, konservatif)

1.068

responden minimum

Selisih 84 responden = "harga" ketidaktahuan awal tentang p̂. Bila sudah tahu p̂ ≈ 0,64, cukup 984; bila ingin aman tanpa asumsi → 1.068.

Mari kita lanjutkan kasus kepuasan nasabah tadi, tetapi kali ini dari sisi perancangan: misalkan manajemen menetapkan ingin margin of error tidak lebih dari tiga persen pada keyakinan 95 persen, lalu bertanya berapa banyak nasabah yang harus disurvei. Skenario pertama, karena dari survei sebelumnya kita sudah tahu p-hat sekitar 0,64, kita masukkan langsung: z kuadrat yaitu 1,96 kuadrat dikali 0,64 dikali 0,36, dibagi 0,03 kuadrat, hasilnya sekitar 983,45 yang dibulatkan ke atas menjadi 984 responden. Skenario kedua, seandainya kita belum punya gambaran p-hat sama sekali, kita pakai 0,5 yang konservatif, dan hasilnya naik menjadi sekitar 1.067 yang dibulatkan menjadi 1.068 responden. Ingat selalu membulatkan ke atas, karena 983,45 responden tidak mungkin diwujudkan dan membulatkan ke 983 akan membuat margin Anda sedikit melewati target tiga persen. Inilah perhitungan nyata yang dilakukan lembaga survei sebelum mereka turun ke lapangan, dan sekarang Anda bisa melakukannya sendiri.

Menentukan Ukuran Sampel untuk Rata-rata

Logika sama, hanya "isi" standar error-nya yang ganti. Tetapkan E dan z, cari n.

n = ( z · σ / E )²

E = margin dalam satuan asli (mis. rupiah) · σ = standar deviasi (dari studi awal/historis; bila hanya ada s, pakai s sebagai taksiran)

Mini-Contoh — Nilai Transaksi Bank

Target Margin	Perhitungan n = (z·σ/E)²	n Minimum
E ≤ Rp 10.000 (95%)	(1,96 × 60.000 / 10.000)² = (11,76)² = 138,30	139
E ≤ Rp 5.000 (95%)	(1,96 × 60.000 / 5.000)² = (23,52)² = 553,19	554

Pola identik dengan proporsi: memperketat margin dari Rp 10.000 ke Rp 5.000 → n empat kali lipat (139 → 554). Presisi itu mahal — sifat kuadratik dari hukum akar.

Setelah menguasai ukuran sampel untuk proporsi, versi untuk rata-rata akan terasa mudah karena logikanya identik; yang berbeda hanya isi standar errornya. Untuk rata-rata, rumusnya menjadi n sama dengan z dikali sigma dibagi E, lalu seluruhnya dikuadratkan, di mana E kini berada dalam satuan asli data — misalnya rupiah, bukan persen. Mari pakai contoh: misalkan bank ingin menaksir rata-rata nilai transaksi dengan margin tidak lebih dari sepuluh ribu rupiah pada keyakinan 95 persen, dan dari data historis sigma diperkirakan sekitar enam puluh ribu rupiah; masukkan ke rumus, 1,96 dikali enam puluh ribu dibagi sepuluh ribu sama dengan 11,76, dikuadratkan menjadi sekitar 138,3, dibulatkan ke atas menjadi 139 transaksi. Perhatikan lagi sifat kuadratik yang sama: kalau bank ingin margin lebih ketat, katakanlah lima ribu rupiah, kebutuhan sampelnya tidak dua kali tetapi empat kali lipat menjadi 554 — penegasan kembali bahwa presisi tinggi selalu menuntut sampel jauh lebih besar. Kalau Anda hanya punya s dari studi awal dan bukan sigma sebenarnya, gunakan s sebagai taksiran terbaik; ini lazim dan dapat diterima dalam praktik perencanaan survei.

Interval Kepercayaan di Sekitar Anda (Indonesia)

Konsep hari ini bukan teori menara gading — ia melandasi angka-angka yang Anda baca tiap bulan.

Rilis BPS — Rata-rata & Proporsi

Sakernas

Tingkat pengangguran terbuka & inflasi diestimasi dari sampel survei. Tiap angka punya interval & margin, walau headline hanya menyebut satu angka.

Survei OJK — Kepuasan Nasabah

OJK

Indeks kepuasan & literasi keuangan adalah proporsi dari sampel nasabah → CI proporsi + margin of error (persis HDN-2).

Rata-rata NPL Perbankan

NPL

Menaksir rata-rata rasio kredit bermasalah lintas bank dari sampel → CI rata-rata pakai t bila σ tak diketahui.

Margin Survei Lembaga Riset

±2,83%

n ≈ 1.200, p̂ ≈ 0,5 (ilustratif)

"Margin of error ±2,83%" pada survei opini publik = persis konsep Slide 18. Dihitung dari n dan p̂.

Audit: Auditor menentukan ukuran sampel transaksi yang diperiksa berdasarkan margin error & tingkat keyakinan yang ditargetkan — penerapan langsung rumus n hari ini.

Saya ingin Anda menyadari bahwa apa yang kita pelajari hari ini ada di mana-mana di sekeliling Anda, bukan sekadar latihan di buku. Setiap kali BPS merilis tingkat pengangguran atau inflasi, angka itu berasal dari survei sampel seperti Sakernas, sehingga di baliknya selalu ada interval dan margin error, meskipun judul berita hanya memuat satu angka tunggal demi keringkasan. Ketika OJK mengumumkan indeks kepuasan atau tingkat literasi keuangan, itu adalah proporsi dari sampel nasabah, dihitung persis seperti HDN-2 tadi, lengkap dengan margin of error-nya. Di dunia perbankan, menaksir rata-rata rasio kredit bermasalah atau NPL lintas bank dari sampel adalah penerapan langsung interval rata-rata dengan distribusi t, dan setiap kali Anda mendengar lembaga survei menyebut "margin of error plus-minus sekian persen" menjelang pemilu, itu adalah konsep margin yang kita bahas di Slide 18. Bahkan profesi yang mungkin akan Anda tekuni — auditor — menggunakan rumus ukuran sampel hari ini untuk memutuskan berapa banyak transaksi yang harus diperiksa demi mencapai tingkat keyakinan tertentu; jadi kuasai topik ini baik-baik, karena ia akan menyertai karier Anda di banyak bidang.

Blok 4 dari 4

Tafsir yang Benar & Rangkuman

Bagian tersulit bukan menghitung interval, melainkan menafsirkannya tanpa terjebak miskonsepsi yang sangat umum — bahkan di kalangan profesional.

Interpretasi BENAR vs Miskonsepsi

Miskonsepsi (Keliru)

SALAH

"Ada peluang 95% bahwa rata-rata populasi berada di dalam interval [Rp 231rb — Rp 269rb] ini."

Mengapa salah? Parameter populasi adalah nilai tetap; ia entah di dalam atau di luar interval ini — tidak ada "peluang" baginya.

Interpretasi Benar

BENAR

"Jika prosedur ini diulang pada banyak sampel berbeda, ~95% dari interval-interval yang dihasilkan akan memuat rata-rata populasi sebenarnya."

Yang acak adalah intervalnya, bukan parameternya.

Miskonsepsi lain: (a) "95% data ada di dalam interval" — keliru, interval soal rata-rata, bukan sebaran individu; (b) "interval 99% lebih baik" — tidak selalu, 99% lebih yakin tetapi kurang presisi.

Kalimat aman: "Kita 95% yakin bahwa rata-rata populasi berada antara A dan B" — diterima sebagai bahasa praktis, ASAL Anda paham 95% itu sifat prosedur, bukan peluang atas parameter.

Inilah slide terpenting hari ini, dan saya minta perhatian penuh, karena kesalahan tafsir di sini sangat umum bahkan di kalangan terdidik. Godaan terbesarnya adalah mengatakan "ada peluang 95 persen rata-rata populasi ada di dalam interval ini" — kalimat yang terdengar wajar tetapi secara teknis keliru. Mengapa keliru? Karena rata-rata populasi itu sebuah angka tetap yang sudah pasti, walau kita tidak tahu berapa nilainya; begitu interval kita hitung, rata-rata sebenarnya entah masuk ke dalamnya atau tidak — tidak ada konsep "peluang" bagi sesuatu yang sudah pasti. Yang sebenarnya acak adalah intervalnya, karena setiap sampel berbeda menghasilkan interval berbeda; jadi tafsir yang benar adalah: kalau kita mengulang prosedur ini pada banyak sampel, sekitar 95 persen dari interval-interval yang terbentuk akan memuat rata-rata populasi, dan itu persis yang terjadi bila Anda membayangkan dua puluh interval dari sampel berbeda di mana satu di antaranya meleset. Untuk praktik sehari-hari, mengatakan "kita 95 persen yakin rata-rata ada di antara A dan B" masih bisa diterima sebagai bahasa singkat, asalkan di kepala Anda jelas bahwa angka 95 persen itu menggambarkan keandalan prosedurnya, bukan peluang yang melekat pada parameter.

Cheat Sheet — Empat Rumus Inti Estimasi

Tujuan	Rumus	Kapan Dipakai
CI rata-rata, σ diketahui	x̄ ± z · (σ/√n)	σ populasi diketahui (jarang)
CI rata-rata, σ tak diketahui	x̄ ± t · (s/√n), df = n−1	σ tak diketahui (umum — default)
CI proporsi	p̂ ± z · √(p̂(1−p̂)/n)	data "ya/tidak", n besar
Ukuran sampel proporsi	n = z² · p̂(1−p̂) / E²	rancang survei (p̂ tak tahu → 0,5)
Ukuran sampel rata-rata	n = (z · σ / E)²	rancang pengambilan data kontinu

Tiga z legendaris wajib hafal: 90% → 1,645 · 95% → 1,960 · 99% → 2,576
Pola tunggal semua rumus: Estimasi Titik ± (Nilai Kritis × Standar Error)
Aturan emas: Selalu bulatkan n ke ATAS · σ tak diketahui → pakai t

Ini slide yang saya sarankan Anda foto dan tempel di meja belajar, karena seluruh estimasi interval hari ini sebenarnya hanya berputar di sekitar empat rumus inti plus satu pelengkap. Dua rumus pertama untuk rata-rata, dan satu-satunya yang membedakannya adalah pertanyaan "apakah sigma diketahui?" — jika ya pakai z, jika tidak pakai t dengan derajat bebas n dikurangi satu. Rumus ketiga untuk proporsi, yang selalu memakai z dan standar error berbentuk akar p-hat dikali satu dikurangi p-hat dibagi n. Rumus keempat dan kelima membalik logika untuk merancang ukuran sampel. Yang ingin saya tekankan, jangan menghafal kelima rumus ini sebagai hal terpisah; semuanya lahir dari satu pola tunggal — estimasi titik ditambah-kurangi nilai kritis dikali standar error — sehingga kalau Anda paham pola induknya, Anda hanya perlu mengingat tiga nilai z legendaris dan satu aturan "selalu bulatkan n ke atas". Satu gambar kunci yang simpan di kepala Anda: titik di tengah, pita simetris ke kiri dan ke kanan — itulah interval kepercayaan, dalam bentuknya yang paling telanjang.

Latihan & Diskusi Kelas

Latihan 1 — CI Rata-rata (t)

CI t

Sampel n = 25 waktu layanan teller: rata-rata 8 menit, s = 2 menit. σ tak diketahui. Bangun CI 95% (df = 24, t ≈ 2,064).

Petunjuk: x̄ ± t · s/√n

Latihan 2 — CI Proporsi & n

CI p̂

Survei n = 400 pelanggan, 260 puas.
(a) Bangun CI 95% proporsi puas.
(b) Berapa n agar margin ≤ 2,5% pada 95%?

Petunjuk (a): p̂ = 260/400 = 0,65

Kerjakan 7 menit. Langkah disiplin: (1) tentukan parameter (rata-rata/proporsi), (2) pilih z atau t, (3) hitung SE, (4) hitung margin. Kunci ada di Lampiran B materi kuliah.

Sekarang giliran Anda berhitung, karena estimasi interval hanya benar-benar dikuasai dengan latihan, bukan dengan menonton saya. Latihan pertama menguji interval rata-rata dengan distribusi t: sebuah sampel dua puluh lima waktu layanan teller punya rata-rata delapan menit dan standar deviasi dua menit, dan karena sigma tak diketahui Anda harus memakai t dengan derajat bebas dua puluh empat — SE = 2/5 = 0,4; E = 2,064 × 0,4 = 0,8256 menit; CI 95% = 7,17 — 8,83 menit. Latihan kedua punya dua bagian: pertama membangun interval proporsi dari empat ratus pelanggan dengan dua ratus enam puluh menyatakan puas (p̂ = 0,65; CI 95% ≈ 60,3% — 69,7%), lalu kedua menghitung ukuran sampel yang dibutuhkan agar marginnya turun ke dua koma lima persen (n = 1.399). Sebelum menghitung, biasakan tiga langkah disiplin yang sama: tentukan dulu parameternya rata-rata atau proporsi, pilih z atau t dengan benar, lalu hitung standar error sebelum mengalikannya dengan nilai kritis. Saya beri waktu tujuh menit; kerjakan dengan tenang, dan setelah itu kita bahas jawaban serta tafsirannya bersama.

Persiapan Pertemuan Berikutnya

Hari ini Anda belajar menebak parameter populasi dengan jujur (rentang + keyakinan). Pertemuan depan kita menguji klaim tentang parameter itu — uji hipotesis.

Pertemuan Berikutnya — Uji Hipotesis

Dari "berapa nilainya?" (estimasi) ke "apakah benar nilainya = X?" (pengujian)
Konsep z, t, dan α hari ini menjadi fondasi langsung uji hipotesis
Bawa tabel z & t ke kelas berikutnya
Refleks "σ tahu/tak tahu → z/t" harus sudah otomatis

Tugas Mandiri — Latih

HDN 1–3

Ulangi HDN-1, HDN-2, dan HDN-3 dengan angka Anda sendiri sampai refleks "σ tahu/tak tahu → z/t" terasa otomatis. Pastikan selalu bulatkan n ke atas.

Kuasai empat rumus inti & tafsir yang benar malam ini. Sampai jumpa di pertemuan berikutnya — Pengujian Hipotesis!

Kita sampai di penghujung pertemuan yang padat ini, dan saya harap Anda kini tidak hanya bisa menghitung interval kepercayaan, tetapi juga menafsirkannya dengan benar tanpa terjebak miskonsepsi. Hari ini fokus kita adalah estimasi — menebak parameter populasi yang tak kita ketahui, secara jujur dengan menyatakan rentang dan tingkat keyakinannya. Pertemuan berikutnya kita melangkah ke saudara kandung estimasi, yaitu pengujian hipotesis, di mana pertanyaannya berubah dari "berapa nilai parameternya?" menjadi "apakah benar nilai parameternya sama dengan suatu angka tertentu?" — dan menariknya, semua perkakas hari ini, yaitu distribusi z, distribusi t, dan taraf salah alfa, akan menjadi fondasi langsung di sana. Tugas mandiri Anda sederhana tapi penting: ulangi ketiga Hitung dari Nol hari ini dengan angka Anda sendiri sampai refleks memilih z atau t terasa otomatis, dan biasakan membawa tabel z serta t ke setiap kelas statistik. Kuasai empat rumus inti dan tafsir yang benar malam ini, dan sampai jumpa minggu depan di pertemuan Pengujian Hipotesis.