Program Studi Manajemen • FEB UNDIP

Statistika Bisnis I

Pertemuan 9 — Distribusi Normal dan Skor-z

Kurva lonceng yang melandasi hampir semua statistik terapan — cara membacanya, mengubah nilai apa pun menjadi skor-z, lalu menghitung probabilitas dari tabel.

RPS Minggu 9 • Sub-CPMK 3 • Durasi 2 × 50 Menit

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu menggunakan distribusi normal dan skor-z untuk menyelesaikan permasalahan probabilitas (Sub-CPMK 3):

Capaian 1 — Ciri

Ciri

Menyebutkan ciri-ciri distribusi normal: simetris, lonceng, mean = median = modus, ditentukan $\mu$ & $\sigma$, luas total = 1.

Capaian 2 — Skor-z

Skor-z

Menghitung $z = (x - \mu)/\sigma$ dan memahami distribusi normal baku Z ~ N(0,1).

Capaian 3 — Probabilitas

P(•)

Membaca tabel Z untuk menghitung P(X<a), P(X>a), dan P(a<X<b) untuk minimal tiga kasus konkret.

Capaian 4 — Invers & Aproksimasi

Invers

Mencari nilai x dari probabilitas (persentil), Aturan Empiris 68–95–99,7%, dan aproksimasi normal-binomial.

Empat capaian ini adalah penjabaran Sub-CPMK minggu kesembilan: mahasiswa mampu menggunakan distribusi normal dan skor-z untuk menyelesaikan permasalahan probabilitas. Capaian pertama adalah pemahaman dasar — Anda harus kenal betul ciri-ciri kurva normal supaya tidak salah membayangkannya. Capaian kedua adalah keterampilan inti yang akan kita pakai terus: mengubah nilai mentah menjadi skor-z, semacam "penerjemah universal" yang membuat semua kurva normal bisa dibaca dari satu tabel saja. Capaian ketiga adalah aplikasi langsungnya, yaitu menghitung tiga jenis probabilitas yang paling sering muncul di ujian dan di dunia nyata. Capaian keempat membawa Anda lebih jauh: membalik arah perhitungan untuk mencari ambang persentil, memakai aturan praktis 68–95–99,7 persen, dan menjembatani distribusi binomial ke distribusi normal. Jadikan empat poin ini daftar periksa Anda di akhir kelas — kalau keempatnya sudah kokoh, Anda siap menghadapi soal ujian bentuk apa pun.

Mengapa Kurva Lonceng Ada di Mana-Mana?

Coba ukur tinggi badan, berat badan, atau IPK ribuan orang, lalu buat histogramnya. Hampir selalu muncul bentuk yang sama: lonceng.

Tinggi & Berat

▲

Tinggi badan mahasiswa, berat bayi lahir — menumpuk di tengah, jarang yang ekstrem kecil atau besar.

Nilai & IPK

🎓

IPK satu angkatan, skor UTBK, hasil ujian — sebagian besar mendekati rata-rata.

Return Investasi

📈

Imbal hasil harian saham/reksa dana di BEI sering didekati kurva normal — dasar pengukuran risiko.

Kurva normal begitu sering muncul sehingga ia jadi bahasa standar statistik — kuasai satu kurva ini, dan Anda punya kunci untuk ribuan masalah nyata.

Saya selalu membuka topik ini dengan satu pengamatan yang sederhana tapi menakjubkan. Kalau Anda mengukur tinggi badan seluruh mahasiswa di satu fakultas, lalu menggambar histogramnya — histogram adalah diagram batang yang menggambarkan sebaran atau frekuensi data — Anda hampir pasti akan melihat bentuk lonceng: sedikit orang yang sangat pendek, sedikit yang sangat tinggi, dan paling banyak menumpuk di tengah-tengah. Anehnya, bentuk yang sama muncul lagi ketika Anda mengukur berat bayi yang lahir, IPK satu angkatan, atau bahkan imbal hasil harian saham di Bursa Efek Indonesia. Karena pola ini terus berulang di alam dan di dunia bisnis, para statistikawan menjadikannya bahasa standar — sehingga begitu Anda menguasai satu kurva normal, Anda sebenarnya sudah memegang kunci untuk menyelesaikan ribuan masalah probabilitas yang tampak berbeda-beda. Hari ini kita akan mengubah kekaguman terhadap kurva lonceng ini menjadi alat hitung yang konkret.

Bagian 1 dari 4

Mengenal Kurva Normal

Apa ciri-ciri distribusi normal, bagaimana $\mu$ dan $\sigma$ membentuknya, dan mengapa luas di bawah kurva sama dengan probabilitas.

Simetris Lonceng Luas = 1

Lima Ciri Distribusi Normal

Simetris terhadap garis tengah — sisi kiri = cermin sisi kanan.
Berbentuk lonceng (bell-shaped) — memuncak di tengah, melandai ke dua ekor.
Mean = median = modus — ketiganya jatuh di titik puncak yang sama.
Ditentukan dua parameter: $\mu$ (pusat) dan $\sigma$ (lebar). Ditulis $X ~ N(\mu, \sigma^{2})$.
Luas total = 1. Ekor tak pernah menyentuh sumbu (asimtotik).

Karena luas total = 1, setiap luas di bawah sepotong kurva adalah sebuah probabilitas antara 0 dan 1.

Sebuah distribusi disebut normal kalau ia memenuhi beberapa ciri khas yang harus Anda hafal. Pertama, ia simetris sempurna terhadap garis tengah, sehingga sisi kiri persis seperti bayangan cermin sisi kanan. Kedua, bentuknya seperti lonceng — memuncak di tengah lalu melandai pelan ke dua ujung yang kita sebut ekor, dan ekor itu tidak pernah benar-benar menyentuh sumbu datar, hanya mendekatinya terus-menerus — sifat ini disebut asimtotik. Ketiga, karena simetris dan memuncak di tengah, nilai rata-rata, nilai tengah (median), dan nilai yang paling sering muncul (modus) semuanya jatuh di titik yang sama. Keempat, satu kurva normal sepenuhnya ditentukan oleh dua parameter saja: mean yang menentukan di mana pusatnya, dan simpangan baku yang menentukan seberapa lebar sebarannya. Kelima, luas seluruh daerah di bawah kurva selalu sama dengan satu atau seratus persen, dan inilah jembatan emas kita: karena total luasnya satu, maka luas di bawah sepotong kurva mana pun otomatis menjadi sebuah probabilitas antara nol dan satu.

$\mu$ Menggeser, $\sigma$ Melebar atau Menyempit

Mengubah $\mu$ memindahkan kurva ke kiri/kanan; mengubah $\sigma$ mengubah lebar kurva — total luas tetap 1.

$\mu$ (Pusat)

$\mu \to$ Lokasi

Menentukan letak puncak. Naikkan $\mu \to$ kurva geser ke kanan. Contoh: rata-rata gaji $Rp 6 jt vs Rp 10 jt \to$ dua kurva berbeda posisi.

$\sigma$ (Sebaran)

$\sigma \to$ Lebar

Menentukan lebar kurva. $\sigma$ besar $\to$ pendek-melebar (data bervariasi)$; \sigma$ kecil $\to$ tinggi-ramping (data seragam).

Ada tak hingga kurva normal — satu untuk tiap pasangan $(\mu, \sigma)$. Inilah masalah yang akan kita pecahkan dengan skor-z di Bagian 2.

Sekarang kita lihat bagaimana dua angka kunci itu, mean dan simpangan baku, benar-benar membentuk kurva. Bayangkan mean sebagai jangkar lokasi: kalau Anda menaikkan mean, seluruh kurva bergeser utuh ke kanan tanpa berubah bentuk — misalnya distribusi gaji di perusahaan dengan rata-rata enam juta akan terletak lebih kiri dibanding perusahaan dengan rata-rata sepuluh juta. Sementara itu, simpangan baku mengatur lebarnya: kalau simpangan bakunya besar, artinya data sangat bervariasi, kurvanya jadi pendek dan melebar; kalau simpangan bakunya kecil, artinya data seragam dan menumpuk dekat rata-rata, kurvanya jadi tinggi dan ramping. Yang penting Anda sadari sekarang, karena setiap pasangan mean dan simpangan baku menghasilkan kurva yang berbeda, sebenarnya ada tak hingga banyaknya kurva normal di dunia ini. Itu terdengar seperti masalah besar — apakah kita harus punya tabel berbeda untuk tiap kurva? — dan justru masalah itulah yang akan kita selesaikan dengan elegan menggunakan skor-z di bagian berikutnya.

Coba Sendiri: Geser μ dan σ, Amati Kurva Berubah

Geser mu untuk memindah posisi kurva dan sigma untuk mengubah lebarnya — amati luas di bawah kurva tetap 1.

Luas di Bawah Kurva = Probabilitas

Pada distribusi kontinu, kita tidak bertanya “peluang nilai persis a”, tetapi “peluang nilai jatuh di sebuah selang”. Jawabannya = luas di bawah kurva pada selang itu.

Pada Selang

P(a<X<b)

Luas di bawah kurva antara a dan b. Selalu bernilai antara 0 dan 1.

Pada Satu Titik

P(X = a) = 0. Sebuah garis tegak tak punya lebar, jadi tak punya luas.

Konsekuensi praktis: P(X<a) = P(X≤a) dan P(X>a) = P(X≥a) — tanda “sama dengan” tidak mengubah hasil pada distribusi kontinu.

Ini ide yang paling sering disalahpahami mahasiswa, jadi tolong perhatikan baik-baik. Pada distribusi diskret seperti lemparan dadu, kita boleh bertanya "berapa peluang muncul angka tepat empat". Tetapi pada distribusi kontinu seperti tinggi badan, bertanya "berapa peluang tinggi seseorang tepat 170 koma 000000 sentimeter" tidak masuk akal — selalu ada angka di belakang koma yang lebih presisi — sehingga peluang sebuah nilai persis adalah nol. Yang bermakna adalah bertanya peluang nilai jatuh di sebuah selang atau interval, misalnya antara 168 dan 172 sentimeter, dan jawabannya adalah luas daerah di bawah kurva pada selang itu. Inilah jembatan terpenting hari ini: setiap perhitungan probabilitas yang kita lakukan sebenarnya adalah menghitung luas. Satu konsekuensi praktis yang menyenangkan: karena peluang di satu titik nol, memakai tanda lebih-besar atau lebih-besar-sama-dengan menghasilkan jawaban yang sama persis — Anda tidak perlu pusing membedakannya.

Coba Sendiri: Aturan Empiris 68-95-99,7

Berat kemasan kopi UMKM: 68 persen di plus minus 1 sigma, 95 persen di plus minus 2 sigma, 99,7 persen di plus minus 3 sigma. Sisanya di luar plus minus 2 sigma = potensi di luar spek mutu.

Bagian 2 dari 4

Distribusi Normal Baku & Skor-z

Satu kurva acuan untuk menggantikan tak hingga kurva — dan rumus penerjemah universal $z = (x - \mu)/\sigma$.

$$z = (x - \mu) / \sigma$$

Masalah: Tak Hingga Kurva, Mustahil Ditabelkan

Tinggi badan $N(165; 7^{2})$, gaji $N(6 jt; 1,2 jt^{2})$, return $N(12\%; 5\%^{2})$ — semuanya kurva normal berbeda. Apakah kita perlu tabel untuk masing-masing?

Tanpa Trik

∞ Tabel

Tiap pasangan $(\mu, \sigma)$ butuh tabel sendiri $\to$ tak terbatas banyaknya. Mustahil dicetak dan dipakai di kelas.

Dengan Skor-z

1 Tabel

Ubah semua nilai ke satu skala baku $(\mu=0, \sigma=1) \to$ cukup satu tabel untuk seluruh dunia.

Ide kunci: jangan ubah tabelnya — ubah angkanya ke skala baku. Itulah pekerjaan skor-z.

Mari kita pertegas masalahnya supaya solusinya terasa indah. Bayangkan tinggi badan terdistribusi normal dengan mean seratus enam puluh lima dan simpangan baku tujuh, gaji karyawan dengan mean enam juta dan simpangan baku satu koma dua juta, dan return reksa dana dengan mean dua belas persen dan simpangan baku lima persen — ketiganya kurva normal, tetapi ketiganya berbeda. Kalau kita harus mencetak tabel probabilitas untuk setiap kemungkinan pasangan mean dan simpangan baku, kita butuh tabel tak terhingga banyaknya, dan itu jelas mustahil. Solusinya tidak dengan mengubah tabelnya, melainkan dengan mengubah angkanya: setiap nilai dari kurva apa pun kita terjemahkan dulu ke satu skala acuan yang seragam, baru kita baca dari satu tabel tunggal. Penerjemah inilah yang kita sebut skor-z, dan dalam dua slide ke depan Anda akan melihat betapa sederhananya ia bekerja.

Distribusi Normal Baku: Z ~ N(0, 1)

Kurva acuan istimewa: mean = 0 dan simpangan baku = 1. Sumbu mendatarnya bukan lagi nilai mentah, melainkan skor-z.

Artinya z

z = ±n

z = +1 $\to$ nilai itu 1 simpangan baku di atas rata-rata. z = −2 $\to$ 2 simpangan baku di bawah rata-rata.

Mengapa Berguna

Satu $\sigma$

Berapa pun $\mu$ dan $\sigma$ aslinya, semua nilai bisa dipetakan ke sumbu z yang sama $\to$ satu tabel cukup untuk seluruh dunia.

z hanyalah jarak dalam satuan $\sigma$ dari rata-rata. z = 0 tepat di puncak (= rata-rata).

Kurva acuan kita ini istimewa karena mean-nya nol dan simpangan bakunya satu, dan kita beri nama variabelnya huruf Z besar. Yang berubah bukan hanya angkanya, tetapi makna sumbunya: sumbu mendatar tidak lagi menyatakan nilai mentah seperti rupiah atau sentimeter, melainkan skor-z, yaitu jarak sebuah nilai dari rata-rata yang diukur dalam satuan simpangan baku. Jadi kalau skor-z sebuah data sama dengan satu, artinya data itu berada tepat satu simpangan baku di atas rata-rata; kalau skor-z-nya minus dua, artinya dua simpangan baku di bawah rata-rata; dan skor-z nol berarti tepat di rata-rata, di puncak kurva. Keindahannya begini: berapa pun mean dan simpangan baku aslinya — gaji, tinggi badan, atau return saham — setelah kita ubah ke skor-z, semuanya jatuh ke sumbu yang sama persis, sehingga kita cukup punya satu tabel untuk seluruh dunia. Inilah mengapa skor-z disebut penerjemah universal.

Rumus Transformasi Skor-z

Untuk mengubah nilai mentah x menjadi skor-z, kita kurangi rata-rata lalu bagi simpangan baku:

$$z = (x - \mu) / \sigma$$

Cara Baca Rumus

$(x - \mu)$ = seberapa jauh nilai dari rata-rata dalam satuan asli (mis. rupiah).

$\div \sigma$ = ubah jarak itu menjadi “berapa kali simpangan baku” $\to$ hasil tanpa satuan.

Mini Contoh — IPK

IPK Anda 3,5 • rata-rata angkatan $\mu = 3,2$ • $\sigma = 0,3$

z = (3,5 − 3,2) / 0,3 = +1,0

Artinya: IPK Anda 1 simpangan baku di atas rata-rata.

Tanda z penting: positif = di atas rata-rata; negatif = di bawah rata-rata; nol = tepat rata-rata.

Inilah rumus paling fundamental hari ini, dan kabar baiknya ia sangat sederhana: skor-z sama dengan nilai mentah dikurangi rata-rata, lalu dibagi simpangan baku. Mari pahami sebagai cerita dua langkah. Langkah pertama, bagian "x dikurangi mu", mengukur seberapa jauh nilai Anda dari rata-rata dalam satuan aslinya — kalau IPK Anda tiga koma lima dan rata-rata angkatan tiga koma dua, Anda unggul nol koma tiga poin. Langkah kedua, membagi dengan simpangan baku, mengubah jarak nol koma tiga poin tadi menjadi ukuran universal "berapa kali simpangan baku" — kalau simpangan bakunya nol koma tiga, maka skor-z Anda tepat satu, artinya Anda satu simpangan baku di atas rata-rata. Perhatikan, hasil skor-z tidak punya satuan lagi, karena poin dibagi poin saling meniadakan, dan justru itulah yang membuat skor-z bisa membandingkan hal-hal yang satuannya berbeda. Ingat selalu maknanya: skor-z positif berarti di atas rata-rata, negatif berarti di bawah, dan nol berarti tepat di rata-rata.

Hitung dari Nol — HDN-1: Skor-z Tiga Karyawan

Gaji karyawan terdistribusi normal $\mu = Rp 6.000.000$, $\sigma = Rp 1.200.000$. Hitung skor-z untuk tiga karyawan ini.

Karyawan	Perhitungan $z = (x - \mu) / \sigma$	z
Gaji Rp 7.200.000	(7.200.000 − 6.000.000) / 1.200.000	+1,00
Gaji Rp 6.000.000	(6.000.000 − 6.000.000) / 1.200.000	0,00
Gaji Rp 4.800.000	(4.800.000 − 6.000.000) / 1.200.000	−1,00

$1\sigma di$ Atas

+1,00

Rp 7.200.000

Tepat Rata-Rata

0,00

Rp 6.000.000

$1\sigma di$ Bawah

−1,00

Rp 4.800.000

Skor-z mengubah rupiah menjadi posisi relatif — tiga angka besar kini langsung memberi tahu kedudukan tiap karyawan dalam kelompok.

Sekarang kita kerjakan satu kasus dari nol supaya rumusnya benar-benar terasa di tangan Anda. Misalkan gaji karyawan di sebuah perusahaan terdistribusi normal dengan rata-rata enam juta rupiah dan simpangan baku satu koma dua juta. Untuk karyawan bergaji tujuh koma dua juta, kita kurangi dulu rata-ratanya: tujuh koma dua dikurangi enam sama dengan satu koma dua juta, lalu kita bagi simpangan bakunya yang juga satu koma dua juta, dan hasilnya tepat plus satu — artinya gaji ini satu simpangan baku di atas rata-rata. Untuk karyawan bergaji pas enam juta, selisihnya nol, sehingga skor-z-nya nol, tepat di rata-rata. Dan untuk karyawan bergaji empat koma delapan juta, selisihnya minus satu koma dua juta, sehingga skor-z-nya minus satu, satu simpangan baku di bawah rata-rata. Perhatikan keindahannya: tiga angka rupiah yang besar dan tidak intuitif kini berubah menjadi tiga angka kecil yang langsung memberi tahu posisi relatif tiap karyawan dalam kelompoknya — itulah kekuatan skor-z.

Bagian 3 dari 4

Membaca Tabel & Menghitung Peluang

Dari skor-z ke probabilitas lewat tabel Z — tiga bentuk soal P(X<a), P(X>a), P(a<X<b), lalu membalik arahnya untuk mencari nilai x.

Setelah Anda mahir mengubah nilai apa pun menjadi skor-z, sekarang tibalah bagian yang paling berguna: mengubah skor-z itu menjadi probabilitas. Alatnya adalah tabel Z, sebuah tabel yang memberi tahu luas di bawah kurva baku untuk setiap skor-z. Di bagian ini saya akan ajarkan cara membaca tabel itu, lalu kita latih tiga bentuk soal yang paling sering muncul di ujian dan di dunia nyata — peluang nilai lebih kecil dari ambang, lebih besar dari ambang, dan jatuh di antara dua ambang. Setelah ketiganya kokoh, kita balik arahnya: kalau biasanya kita berangkat dari nilai untuk mencari peluang, kita akan belajar berangkat dari peluang untuk mencari nilai — inilah yang dipakai untuk menetapkan ambang persentil seperti passing grade atau gaji cutoff. Aturan emas yang harus selalu Anda pegang: gambar kurva dahulu, arsir daerah yang diminta, baru hitung.

Cara Membaca Tabel Z (Luas Kumulatif)

Tabel Z kumulatif memberi luas di sebelah KIRI sebuah skor-z, yaitu P(Z < z). Baris = z sampai satu desimal; kolom = desimal kedua.

Potongan Tabel Z (kumulatif)

z	0,00	0,01	0,02
1,5	0,9332	0,9345	0,9357
1,6	0,9452	0,9463	0,9474
1,7	0,9554	0,9564	0,9573

$z = 1,60 \to$ baris 1,6 × kolom 0,00 $\to$ sel = 0,9452 $\to P(Z$ < 1,60) = 94,52\%

Pastikan jenis tabel Anda: ada tabel kumulatif (luas kiri) dan tabel 0-ke-z (luas dari 0 ke z). Materi ini memakai tabel kumulatif P(Z<z).

Tabel Z adalah jantung dari seluruh perhitungan kita, jadi pastikan Anda nyaman membacanya. Tabel yang kita pakai adalah tabel kumulatif, yang memberi luas di sebelah kiri sebuah skor-z, atau dengan kata lain peluang nilai lebih kecil dari z itu. Cara membacanya: misalkan skor-z Anda satu koma enam nol, maka Anda cari baris satu koma enam, lalu geser ke kolom nol koma nol nol untuk desimal keduanya, dan di perpotongannya Anda menemukan angka nol koma sembilan empat lima dua. Angka itu berarti peluang sebuah nilai jatuh di kiri z sama dengan satu koma enam nol adalah sembilan puluh empat koma lima dua persen. Satu peringatan penting yang sering membuat mahasiswa salah: ada dua jenis tabel Z yang beredar — tabel kumulatif yang memberi luas kiri, dan tabel "nol ke z" yang hanya memberi luas dari pusat sampai z — jadi selalu periksa dulu jenis tabel di tangan Anda, dan di materi ini kita konsisten memakai tabel kumulatif. Kalau tabel Anda hanya memuat z positif, untuk z negatif pakai simetri: P(Z < −z) = 1 − P(Z < z).

Tiga Bentuk Soal Probabilitas Normal

Bentuk 1 — P(X < a)

Luas Kiri

Langsung baca tabel $di z = (a-\mu)/\sigma$. P(X<a) = P(Z<z)

Bentuk 2 — P(X > a)

1 − Kiri

Karena total = 1: P(X>a) = 1 − P(Z<z)

Bentuk 3 — P(a < X < b)

Kiri-b − Kiri-a

= P(Z<$z_{b}) - P(Z$<$z_{a})$ (luas kiri besar dikurangi kecil)

Strategi selalu sama: (1) gambar kurva & arsir daerah yang diminta, (2) ubah ke z, (3) baca tabel, (4) sesuaikan (kurangi dari 1, atau selisihkan).

Hampir semua soal probabilitas normal hanya datang dalam tiga bentuk, jadi kalau Anda kuasai ketiganya, Anda bisa mengerjakan apa pun. Bentuk pertama menanyakan peluang nilai lebih kecil dari sebuah ambang, dan ini paling mudah karena tabel kumulatif kita memang langsung memberi luas kiri — cukup ubah ke skor-z lalu baca tabel. Bentuk kedua menanyakan peluang nilai lebih besar dari ambang, yaitu luas kanan; karena luas total sama dengan satu, kita tinggal mengurangi luas kiri dari satu. Bentuk ketiga menanyakan peluang nilai jatuh di antara dua ambang, dan triknya adalah mengambil luas kiri sampai batas atas lalu menguranginya dengan luas kiri sampai batas bawah. Saya minta Anda menanamkan satu kebiasaan yang akan menyelamatkan banyak nilai ujian: sebelum menghitung apa pun, gambar dulu kurvanya dan arsir daerah yang ditanyakan, karena gambar itu akan langsung memberi tahu apakah Anda perlu mengurangi dari satu atau menyelisihkan dua luas.

Hitung dari Nol — HDN-2: Peluang Return Reksa Dana > 20%

Return tahunan sebuah reksa dana terdistribusi normal $\mu = 12\%$, $\sigma = 5\%$. Berapa peluang return melebihi 20% dalam setahun?

Langkah	Perhitungan	Nilai
Identifikasi	$\mu = 12; \sigma = 5; a = 20$; cari P(X > 20)	—
Ubah ke z	z = (20 − 12) / 5	1,60
Baca tabel (luas kiri)	P(Z < 1,60)	0,9452
Luas kanan	1 − 0,9452	0,0548

P(return > 20%)

5,48%

Hanya ~5 dari 100 tahun reksa dana ini diharapkan menghasilkan return di atas 20%.

$z = 1,60 \to$ return 20\% berada 1,6 simpangan baku di atas rata-rata. Semakin jauh ke kanan, semakin kecil peluangnya.

Sekarang kita kerjakan kasus keuangan nyata dari nol sampai jadi. Misalkan return tahunan sebuah reksa dana terdistribusi normal dengan rata-rata dua belas persen dan simpangan baku lima persen, dan Anda sebagai investor ingin tahu peluang return melebihi dua puluh persen dalam setahun. Langkah pertama selalu sama: tuliskan yang diketahui dan tentukan ini soal luas kiri atau kanan — di sini "lebih dari" berarti luas kanan. Langkah kedua, ubah dua puluh persen menjadi skor-z: dua puluh dikurangi dua belas sama dengan delapan, dibagi lima sama dengan satu koma enam nol. Langkah ketiga, baca tabel di z sama dengan satu koma enam nol, ketemu luas kiri nol koma sembilan empat lima dua; karena yang kita mau luas kanan, kita kurangi dari satu, sehingga hasilnya nol koma nol lima empat delapan. Jadi peluang return melebihi dua puluh persen hanya sekitar lima koma lima persen — kira-kira lima dari setiap seratus tahun — dan inilah cara seorang analis menerjemahkan "seberapa langka" sebuah hasil investasi menjadi angka yang dapat dibandingkan.

Hitung dari Nol — HDN-3: Peluang Reksa Dana Merugi

Reksa dana yang sama $\mu = 12\%$, $\sigma = 5\%$. Berapa peluang setahun merugi, yaitu return di bawah 0%?

Langkah	Perhitungan	Nilai
Identifikasi	$\mu = 12; \sigma = 5; a = 0$; cari P(X < 0)	—
Ubah ke z	z = (0 − 12) / 5	−2,40
Pakai simetri	P(Z < −2,40) = 1 − P(Z < 2,40) = 1 − 0,9918	0,0082

P(return < 0%) — Risiko Rugi

0,82%

Kurang dari 1% — risiko rugi reksa dana ini sangat kecil.

Koneksi: Value-at-Risk (VaR)

Value-at-Risk adalah ukuran kerugian maksimum pada tingkat keyakinan tertentu — alat baku manajemen risiko bank yang diawasi OJK.

Perhitungan luas ekor kiri ini adalah logika dasar VaR. Bank menghitung P(return < cutoff) setiap hari.

Untuk z negatif: pakai simetri $\to P(Z$ < −2,40) = 1 − P(Z < 2,40) = 1 − 0,9918 = 0,0082.

Kasus ini sangat penting karena memperkenalkan cara berpikir manajemen risiko. Dengan reksa dana yang sama tadi, sekarang kita tanya kebalikannya: berapa peluang investor justru merugi dalam setahun, yaitu return turun di bawah nol persen? Langkah pertama, ini jelas soal luas kiri karena "di bawah nol". Langkah kedua, ubah nol persen ke skor-z: nol dikurangi dua belas sama dengan minus dua belas, dibagi lima sama dengan minus dua koma empat nol — jadi titik impas berada dua koma empat simpangan baku di bawah rata-rata, cukup jauh di ekor kiri. Muncul satu kerepotan praktis: banyak tabel Z hanya mencetak skor-z positif, sehingga untuk skor-z negatif kita manfaatkan sifat simetri kurva — peluang di kiri minus dua koma empat sama dengan satu dikurangi peluang di kiri plus dua koma empat, yaitu satu dikurangi nol koma sembilan sembilan satu delapan, hasilnya nol koma nol nol delapan dua. Jadi peluang merugi kurang dari satu persen, dan perhitungan persis seperti inilah yang dilakukan bank dan diawasi OJK ketika mengukur Value-at-Risk portofolio mereka setiap hari.

Hitung dari Nol — HDN-4: Peluang IPK Antara 3,0 dan 3,5

IPK satu angkatan terdistribusi normal $\mu = 3,2$, $\sigma = 0,3$. Berapa peluang seorang mahasiswa ber-IPK antara 3,0 dan 3,5?

Langkah	Perhitungan	Nilai
Identifikasi	$\mu = 3,2; \sigma = 0,3$; cari P(3,0 < X < 3,5)	—
z batas bawah	$z_{a} = (3,0 - 3,2) / 0,3$	−0,67
z batas atas	$z_{b} = (3,5 - 3,2) / 0,3$	+1,00
Luas kiri $z_{b}$	P(Z < 1,00)	0,8413
Luas kiri $z_{a}$	P(Z < −0,67) = 1 − 0,7486	0,2514
Selisihkan	0,8413 − 0,2514	0,5899

Hasil

58,99%

Hampir 59% mahasiswa FEB berada di rentang IPK 3,0–3,5. Dua skor-z dihitung terpisah, lalu luasnya diselisihkan.

Sekarang kita kuasai bentuk ketiga yang sedikit lebih menantang, yaitu peluang nilai jatuh di antara dua batas. Misalkan IPK satu angkatan terdistribusi normal dengan rata-rata tiga koma dua dan simpangan baku nol koma tiga, dan kita ingin tahu berapa peluang seorang mahasiswa ber-IPK antara tiga koma nol dan tiga koma lima. Kuncinya: ubah kedua batas menjadi skor-z secara terpisah — batas bawah tiga koma nol menghasilkan skor-z minus nol koma enam tujuh, dan batas atas tiga koma lima menghasilkan skor-z plus satu koma nol nol. Lalu kita pakai logika "luas tengah sama dengan luas kiri besar dikurangi luas kiri kecil": baca luas kiri di z sama dengan satu, yaitu nol koma delapan empat satu tiga, lalu kurangi luas kiri di z sama dengan minus nol koma enam tujuh, yaitu nol koma dua lima satu empat. Hasilnya nol koma lima delapan sembilan sembilan, jadi hampir lima puluh sembilan persen mahasiswa berada di rentang IPK tersebut — dan perhatikan betapa pentingnya menggambar kurva lebih dulu, karena gambar itulah yang mengingatkan kita untuk menyelisihkan, bukan menjumlahkan, kedua luas.

Membalik Arah: Dari Probabilitas ke Nilai x

Sejauh ini: nilai $\to z \to$ peluang. Sekarang kita balik: peluang $\to z \to$ nilai. Berguna untuk mencari ambang/persentil.

Langkah Invers

Tentukan luas yang diminta (mis. 10% tertinggi = luas kanan 0,10, berarti luas kiri 0,90).
Cari di dalam tabel angka luas terdekat $\to$ baca z-nya di tepi. Luas $0,90 \to z \approx $ 1,28.
Balik rumus z menjadi: $x = \mu + z$ ⋅ $\sigma$.

$$x = \mu + z ⋅ \sigma$$

Rumus invers ini hanya rumus z yang dipindah-ruas: dari $z = (x-\mu)/\sigma$ menjadi $x = \mu + z$⋅$\sigma$. Bukan rumus baru — aljabar biasa.

Sampai sekarang kita selalu berangkat dari sebuah nilai untuk mencari peluang, tetapi banyak masalah nyata justru menuntut arah sebaliknya. Misalnya, panitia seleksi ingin tahu berapa nilai ambang agar hanya sepuluh persen pelamar teratas yang lolos, atau bank ingin tahu skor kredit minimal untuk menyaring nasabah terbaik — di sini kita tahu peluangnya dan mencari nilainya. Caranya membalik tiga langkah: pertama, terjemahkan persentase yang diminta menjadi luas kumulatif, misalnya sepuluh persen tertinggi berarti luas kanan nol koma sepuluh, yang sama dengan luas kiri nol koma sembilan puluh. Kedua, kali ini kita masuk ke dalam tubuh tabel mencari angka luas yang paling dekat dengan nol koma sembilan puluh, lalu membaca skor-z di tepinya, yaitu sekitar satu koma dua delapan. Ketiga, kita pakai rumus invers x sama dengan mean ditambah z dikali simpangan baku — dan tegaskan ke diri Anda bahwa ini bukan rumus baru yang perlu dihafal terpisah, melainkan rumus skor-z yang sama, hanya dipindah ruas secara aljabar biasa.

Coba Sendiri: Invers Normal: Persentil ke Nilai

Cari skor di persentil 90 untuk cutoff kredit A, atau stok yang cukup untuk 95 persen permintaan. z = invers-normal, lalu x = mu + z kali sigma.

Hitung dari Nol — HDN-5: Ambang Gaji 10% Tertinggi

Gaji karyawan $\mu = Rp 6.000.000$, $\sigma = Rp 1.200.000$. Perusahaan ingin memberi bonus pada 10% gaji tertinggi. Berapa gaji ambang (cutoff)?

Langkah	Perhitungan	Nilai
Terjemahkan luas	10\% tertinggi $\to$ luas kanan $0,10 \to$ luas kiri 0,90	—
Cari z dari tabel	luas kiri $\approx 0,90 \to z$	1,28
Rumus invers	x = 6.000.000 + 1,28 × 1.200.000	—
Hitung	6.000.000 + 1.536.000	Rp 7.536.000

Gaji Ambang

Rp 7,54 jt

Karyawan bergaji di atas Rp 7.536.000 termasuk 10% tertinggi dan berhak bonus. Logika yang sama dipakai untuk menetapkan passing grade UTBK atau skor kredit minimal bank.

Inilah penerapan paling praktis dari perhitungan invers, dan polanya akan terus berguna untuk seleksi apa pun. Misalkan gaji karyawan terdistribusi normal dengan rata-rata enam juta dan simpangan baku satu koma dua juta, dan perusahaan ingin memberi bonus kepada sepuluh persen karyawan dengan gaji tertinggi — pertanyaannya, berapa gaji ambangnya? Langkah pertama, terjemahkan: sepuluh persen tertinggi berarti luas kanan nol koma sepuluh, sehingga luas kirinya nol koma sembilan puluh. Langkah kedua, masuk ke tabel mencari angka mendekati nol koma sembilan puluh, dan kita temukan skor-z sekitar satu koma dua delapan — artinya gaji ambang itu terletak satu koma dua delapan simpangan baku di atas rata-rata. Langkah ketiga, pakai rumus invers: enam juta ditambah satu koma dua delapan dikali satu koma dua juta, yaitu enam juta ditambah satu koma lima tiga enam juta, hasilnya tujuh koma lima tiga enam juta rupiah. Jadi setiap karyawan dengan gaji di atas sekitar tujuh koma lima juta termasuk sepuluh persen tertinggi — dan logika yang sama persis dipakai untuk menetapkan passing grade UTBK atau skor kredit minimal di bank.

Bagian 4 dari 4

Aturan Empiris & Aproksimasi Binomial

Satu aturan cepat 68–95–99,7% untuk perkiraan kilat, lalu cara menjembatani distribusi binomial yang diskret ke kurva normal yang mulus.

Aturan Empiris 68–95–99,7%

Untuk semua distribusi normal, luas di sekitar rata-rata mengikuti pola tetap (dalam satuan $\sigma)$:

$\pm 1\sigma$

≈ 68%

Tepatnya 68,27%

$\pm 2\sigma$

≈ 95%

Tepatnya 95,45%

$\pm 3\sigma$

≈ 99,7%

Tepatnya 99,73%

Contoh: IPK $N(3,2; 0,3^{2})$. Sekitar 95\% mahasiswa ber-IPK antara 3,2 - 2(0,3) = 2,6 dan 3,2 + 2(0,3) = 3,8.

Ada satu aturan praktis yang sangat layak Anda hafalkan, karena memungkinkan perkiraan kilat tanpa membuka tabel, dan namanya Aturan Empiris. Aturan ini berlaku untuk semua distribusi normal tanpa kecuali: sekitar enam puluh delapan persen data selalu jatuh dalam satu simpangan baku dari rata-rata, sekitar sembilan puluh lima persen dalam dua simpangan baku, dan sekitar sembilan puluh sembilan koma tujuh persen dalam tiga simpangan baku. Angka-angka ini bukan hafalan kosong; mereka langsung lahir dari tabel Z yang sudah kita pelajari, hanya saja dibulatkan agar mudah diingat. Sebagai contoh, kalau IPK satu angkatan punya rata-rata tiga koma dua dan simpangan baku nol koma tiga, maka kita bisa langsung bilang sekitar sembilan puluh lima persen mahasiswa ber-IPK antara dua koma enam dan tiga koma delapan, tanpa perlu menghitung apa pun. Aturan inilah yang dipakai praktisi untuk menandai data "tidak biasa": nilai yang berada lebih dari tiga simpangan baku dari rata-rata sangat langka, kurang dari satu persen, sehingga sering dianggap pencilan yang patut dicurigai dalam analisis data.

Aproksimasi Normal terhadap Binomial

Distribusi binomial (diskret, hitung keberhasilan dari n percobaan) bisa didekati kurva normal saat n besar — perhitungan jadi jauh lebih ringan.

Parameter Penghubung

$\mu$ & $\sigma$

Dari binomial: $$\mu = n$$ ⋅ p dan $\sigma = \sqrt(n$⋅p⋅(1-p)). Pakai ini sebagai $\mu, \sigma$ kurva normal pengganti.

Syarat Aman

≥ 5

Aproksimasi baik bila n⋅p ≥ 5 DAN n⋅(1−p) ≥ 5 (sampel cukup besar, tidak terlalu condong).

Karena binomial meloncat (diskret) tetapi normal mulus (kontinu), perlu koreksi kontinuitas: geser batas ±0,5 sebelum mengubah ke z.

Istilah Baru

binomial = distribusi jumlah keberhasilan dalam n percobaan independen dengan peluang sukses p tiap percobaan.

koreksi kontinuitas = penyesuaian ±0,5 saat mengganti distribusi diskret dengan kontinu, agar luasnya pas.

Sebelumnya Anda sudah belajar distribusi binomial, yang menghitung peluang sekian keberhasilan dari sejumlah percobaan, misalnya berapa peluang delapan puluh dari dua ratus nasabah menyetujui produk. Masalahnya, ketika n besar, menghitung binomial secara langsung sangat melelahkan karena kita harus menjumlahkan banyak suku. Untungnya, ada keajaiban matematis: ketika n cukup besar, bentuk distribusi binomial menyerupai kurva normal, sehingga kita boleh mendekatinya dengan normal yang jauh lebih mudah dihitung. Caranya, kita pinjam dua parameter dari binomial — rata-ratanya adalah n dikali p, dan simpangan bakunya adalah akar dari n dikali p dikali satu dikurangi p — lalu kita perlakukan sebagai mean dan simpangan baku kurva normal. Aproksimasi ini akurat asalkan n cukup besar: syaratnya n dikali p paling sedikit lima, dan n dikali satu dikurangi p juga paling sedikit lima. Ada satu penyesuaian penting yang sering dilupakan: karena binomial itu meloncat dari bilangan bulat ke bilangan bulat sementara normal mulus, kita harus menggeser batasnya sebesar nol koma lima, dan penyesuaian inilah yang kita sebut koreksi kontinuitas.

Coba Sendiri: Aproksimasi Normal ke Binomial

Saat np dan n(1-p) >= 10, binomial dapat didekati normal. Hemat komputasi di n besar. Pakai koreksi kontinuitas plus minus 0,5.

Hitung dari Nol — HDN-6: Aproksimasi Binomial + Koreksi Kontinuitas

Sebuah bank menelepon n = 200 nasabah; tiap nasabah menyetujui produk dengan peluang p = 0,40. Berapa peluang minimal 90 menyetujui, P(X ≥ 90)?

Langkah	Perhitungan	Nilai
Cek syarat	n⋅p = 80 ≥ 5; n(1−p) = 120 ≥ 5	aman ✓
Hitung $\mu$	n ⋅ p = 200 × 0,40	80
Hitung $\sigma$	$\sqrt{200 \times 0,40 \times 0,60} = \sqrt48$	≈ 6,9282
Koreksi kontinuitas	“$\geq 90$” (diskret) $\to$ “$\geq 89,5$” (kontinu)	gunakan 89,5
Ubah ke z	z = (89,5 − 80) / 6,9282	≈ 1,37
Luas kanan	1 − P(Z < 1,37) = 1 − 0,9147	0,0853

P(X ≥ 90)

8,53%

Nilai binomial eksak ≈ 8,57% — aproksimasi sangat dekat! Ini membuktikan normalitas mendekati binomial dengan sempurna saat n besar.

Mari kita rangkai semua yang dipelajari hari ini ke dalam satu kasus yang menantang. Sebuah bank menelepon dua ratus nasabah, dan tiap nasabah menyetujui produk dengan peluang empat puluh persen; kita ingin tahu peluang minimal sembilan puluh nasabah menyetujui. Langkah pertama, periksa syarat aproksimasi: n dikali p sama dengan delapan puluh dan n dikali satu dikurangi p sama dengan seratus dua puluh, keduanya jauh di atas lima, jadi aman. Langkah kedua, hitung parameter normalnya: meannya delapan puluh, dan simpangan bakunya akar dari empat puluh delapan, sekitar enam koma sembilan. Langkah ketiga, dan ini yang paling sering salah, terapkan koreksi kontinuitas: karena kita mau "minimal sembilan puluh" yang artinya sembilan puluh ke atas, batas kita geser ke delapan puluh sembilan koma lima supaya mencakup seluruh batang sembilan puluh — lalu ubah ke skor-z, ketemu sekitar satu koma tiga tujuh, dan karena ini luas kanan, kita kurangi dari satu sehingga hasilnya nol koma nol delapan lima tiga atau sekitar delapan setengah persen. Kalau kita hitung dengan rumus binomial eksak hasilnya sekitar delapan koma lima tujuh persen — nyaris sama persis — membuktikan betapa baiknya kurva normal mendekati binomial ketika sampelnya besar.

Di Mana Distribusi Normal Dipakai di Indonesia?

Risiko Investasi (VaR)

📈 OJK

Bank & manajer investasi memodelkan return harian saham/reksa dana sebagai normal untuk menghitung Value-at-Risk — kerugian maksimum pada keyakinan 95%/99%. Diawasi OJK.

Skor Kredit

🏢 Bank

Bank menyebar credit score nasabah mendekati normal; ambang persentil (invers) menentukan siapa layak kredit dan berapa limitnya.

Seleksi & Passing Grade

🎓 SNBT

Skor UTBK/SNBT, tes masuk kerja, dan IPK didekati normal; persentil menentukan ambang lolos (mis. 30% teratas).

Pola yang sama — z, tabel, persentil — memutuskan triliunan rupiah risiko bank dan masa depan jutaan pelamar. Itulah mengapa bab ini wajib dikuasai.

Saya ingin Anda melihat bahwa bab ini bukan sekadar latihan akademis, melainkan alat yang setiap hari memutuskan hal-hal besar di Indonesia. Pertama, di dunia perbankan dan pasar modal, return harian saham dan reksa dana sering dimodelkan sebagai distribusi normal untuk menghitung Value-at-Risk, yaitu perkiraan kerugian maksimum pada tingkat keyakinan tertentu — dan inilah persis perhitungan luas ekor kiri yang kita lakukan di HDN-3, hanya dengan taruhan triliunan rupiah dan diawasi ketat oleh OJK. Kedua, ketika bank menilai kelayakan kredit, skor kredit nasabah sering menyebar mendekati normal, dan bank menetapkan ambang persentil — persis perhitungan invers di HDN-5 — untuk memutuskan siapa yang layak dan berapa limitnya. Ketiga, di dunia pendidikan dan rekrutmen, skor UTBK, tes masuk kerja, dan IPK didekati normal, sehingga panitia menentukan passing grade berdasarkan persentil, misalnya hanya menerima tiga puluh persen teratas. Pola yang Anda pelajari hari ini — ubah ke skor-z, baca tabel, cari persentil — adalah pola yang sama yang dipakai para profesional itu, jadi kuasailah dengan sungguh-sungguh.

Peta Konsep & Cheat Sheet Skor-z

Tujuan	Langkah / Rumus
Nilai $\to$ skor-z	$z = (x - \mu)/\sigma$
P(X < a)	baca tabel di z (luas kiri)
P(X > a)	1 − P(Z < z)
P(a < X < b)	P(Z<$z_{b}) - P(Z$<$z_{a})$
Peluang $\to$ nilai	$x = \mu + z$ ⋅ $\sigma$
Cek cepat (empiris)	$\mu$±$1\sigma\approx68\%$ • $\pm2\sigma\approx95\%$ • $\pm3\sigma\approx99,7\%$
Binomial $\to$ normal	$\mu=np, \sigma=\sqrt(np(1-p))$, koreksi ±0,5

Semua bermula dari satu ide: ubah ke skor-z, lalu luas = peluang. Tujuh baris ini menutup hampir seluruh soal bab normal.

Ini slide yang saya sarankan Anda foto dan tempel di meja belajar, karena seluruh bab distribusi normal sebenarnya bisa diringkas dalam satu peta dan satu tabel kecil. Di pusat segalanya ada distribusi normal, dan jembatan ke semua perhitungan adalah skor-z yang mengubah nilai mentah menjadi jarak baku dari rata-rata. Dari skor-z, kita masuk ke tabel Z untuk membaca luas, dan luas itulah probabilitasnya — yang muncul dalam tiga bentuk soal maju serta satu bentuk invers untuk persentil. Di samping itu ada dua alat pelengkap: Aturan Empiris untuk perkiraan kilat, dan aproksimasi binomial untuk menjembatani distribusi diskret. Yang ingin saya tekankan, jangan menghafal ketujuh baris cheat sheet ini sebagai tujuh hal terpisah; semuanya lahir dari satu ide induk, yaitu ubah ke skor-z lalu baca luas sebagai peluang. Kalau Anda paham ide induknya, seluruh tabel ini akan terasa logis, bukan sekadar hafalan yang cepat hilang setelah ujian.

Latihan & Persiapan Pertemuan 10

Hari ini Anda belajar menghitung probabilitas dengan distribusi normal & skor-z. Mari kunci pemahaman lewat latihan, lalu kita siapkan langkah berikutnya.

Latihan Mandiri

3 Soal

Tinggi badan $N(165; 7^{2}) cm$:
(1) Berapa P(tinggi > 175)?
(2) Cari tinggi ambang 5% tertinggi.
(3) Pakai Aturan Empiris: rentang ±$2\sigma$.
Kunci di Lampiran B materi.

Pertemuan 10 — Preview

Dari distribusi populasi ke distribusi rata-rata sampel — pengantar distribusi sampling & Teorema Limit Pusat.

Fondasi seluruh inferensi statistik. Skor-z yang Anda kuasai hari ini akan terus dipakai sampai akhir semester.

Tugas: ulangi HDN-1 s/d HDN-6 dengan angka Anda sendiri; bawa tabel Z & kalkulator ke pertemuan berikutnya. Sampai jumpa di Pertemuan 10!

Kita sampai di penghujung pertemuan yang padat ini, dan saya harap Anda kini tidak hanya mengenal kurva normal, tetapi benar-benar bisa menghitung probabilitas dengannya. Untuk mengunci pemahaman, kerjakan latihan mandiri di slide ini: hitung peluang tinggi badan melebihi sebuah ambang, cari tinggi ambang lima persen tertinggi dengan perhitungan invers, lalu uji Aturan Empiris — kunci jawabannya ada di Lampiran B materi agar Anda bisa memeriksa diri sendiri. Saya juga minta Anda mengulang keenam Hitung dari Nol hari ini menggunakan angka Anda sendiri sampai langkahnya terasa otomatis, dan jangan lupa membawa tabel Z serta kalkulator ke kelas berikutnya. Di Pertemuan 10 kita akan melangkah lebih jauh: kalau hari ini kita menghitung peluang untuk satu individu dalam populasi, minggu depan kita beralih ke peluang untuk rata-rata sampel, lewat konsep distribusi sampling dan Teorema Limit Pusat yang merupakan fondasi seluruh inferensi statistik. Kuasai skor-z malam ini, karena ia akan terus muncul sampai akhir semester — sampai jumpa minggu depan.