Program Studi Manajemen · FEB UNDIP · Statistika Bisnis I

Statistika Bisnis I

Pertemuan 8 — Distribusi Binomial

Saat hanya ada dua kemungkinan — sukses atau gagal, disetujui atau ditolak, cacat atau baik — inilah distribusi untuk menghitung peluangnya secara persis.

RPS Minggu 7 · Sub-CPMK 3 · 2 × 50 menit

Selamat datang di Pertemuan 8, salah satu distribusi probabilitas paling sering dipakai dalam dunia bisnis. Hari ini Anda belajar satu alat untuk menjawab pertanyaan yang muncul terus-menerus di perbankan, manufaktur, dan pemasaran: kalau sebuah kejadian hanya punya dua kemungkinan hasil, berapa peluang "sukses" muncul sekian kali dari sekian percobaan? Misalnya, dari sepuluh pengajuan kredit, berapa peluang tepat delapan disetujui; atau dari seratus produk, berapa peluang paling banyak lima cacat. Perhatikan kata kunci "sukses" di sini adalah istilah teknis, bukan penilaian moral — bagi bagian pengendalian mutu, "sukses" bisa saja berarti produk cacat, asalkan itu kejadian yang sedang dihitung. Siapkan kalkulator Anda, karena seperti biasa di mata kuliah ini, kita tidak hanya memahami konsep tetapi benar-benar berhitung.

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu menerapkan distribusi binomial pada kasus dua-hasil dan menghitung probabilitasnya (Sub-CPMK 3). Secara rinci:

Capaian 1 — Kenali

Ciri Wajib

Mengenali apakah suatu percobaan memenuhi empat ciri eksperimen binomial untuk berbagai kasus bisnis.

Capaian 2 — Hitung

P(x)

Rumus & Tabel

Menghitung P(x) = C(n,x)·p^x·(1−p)^n−x untuk nilai x tertentu, termasuk lewat tabel binomial.

Capaian 3 — Ringkas

μ, σ²

Mean & Variansi

Menghitung mean μ = np, variansi σ² = np(1−p), dan probabilitas kumulatif (paling banyak/paling sedikit).

Capaian 4 — Jembatan

≈N

Aproksimasi Normal

Menerapkan aproksimasi normal saat np ≥ 5 dan n(1−p) ≥ 5; membedakannya dari hipergeometrik.

Dari 10 Pengajuan KUR, Berapa yang Disetujui?

Sebuah bank menyetujui ~70% pengajuan Kredit Usaha Rakyat. Hari ini masuk 10 pengajuan. Berapa peluang tepat 8 disetujui? Atau paling banyak 6?

Pertanyaan Praktis

Pengajuan KUR

Manajer cabang ingin tahu peluang berbagai jumlah persetujuan untuk merencanakan pencairan dana minggu depan.

Jawaban Intuitif Keliru

≠7

Bukan Jawaban Pasti

Banyak orang menjawab "tentu 7, kan 70% dari 10". Itu hanya rata-ratanya — peluang persisnya tepat 7 sebenarnya hanya ~27%.

Pertanyaan seperti ini muncul di mana-mana: persetujuan kredit, adopsi QRIS, cacat produk, gagal bayar pinjaman. Distribusi binomial adalah mesin untuk menjawabnya dengan angka, bukan tebakan.

Blok 1 dari 4

Mengenali Eksperimen Binomial

Sebelum menghitung, pastikan dulu kasusnya memang binomial — lewat satu percobaan dasar (Bernoulli) dan empat ciri wajib.

Percobaan Bernoulli — Atom dari Binomial

Distribusi binomial dibangun dari pengulangan satu percobaan sederhana bernama percobaan Bernoulli.

Definisi

S / G

Sukses atau Gagal

Satu percobaan dengan tepat dua hasil yang saling lepas: sukses (peluang p) atau gagal (peluang 1−p). Contoh: satu pengajuan KUR → disetujui atau ditolak.

Contoh Sehari-hari

Peluang sukses

Satu pelanggan → bayar QRIS atau tidak
Satu produk → cacat atau baik
Nasabah P2P → gagal bayar atau lancar
Satu lemparan koin → angka atau gambar

Binomial = menjalankan percobaan Bernoulli yang sama sebanyak n kali, lalu menghitung berapa kali "sukses" muncul. Itu saja.

Sebelum bicara binomial, kenalan dulu dengan unit terkecilnya, yaitu percobaan Bernoulli, dinamai dari matematikawan Jacob Bernoulli. Percobaan Bernoulli adalah satu percobaan yang hasilnya hanya dua kemungkinan dan keduanya saling lepas: kita sebut salah satunya "sukses" dengan peluang p, dan yang lain "gagal" dengan peluang satu dikurangi p. Contohnya sederhana dan ada di mana-mana — satu pengajuan kredit entah disetujui entah ditolak, satu pelanggan entah membayar dengan QRIS entah tidak, satu produk entah cacat entah baik. Distribusi binomial sebenarnya tidak rumit: ia hanyalah hasil dari menjalankan percobaan Bernoulli yang sama berkali-kali, lalu kita menghitung berapa kali "sukses" muncul. Kalau Anda paham bahwa binomial adalah pengulangan Bernoulli, maka semua rumus yang menyusul akan terasa sebagai konsekuensi logis, bukan hafalan.

Empat Ciri Wajib Eksperimen Binomial

Sebuah percobaan disebut binomial hanya jika keempat ciri ini terpenuhi. Hilang satu, binomial tidak berlaku.

Ciri 1

Jumlah Percobaan Tetap

Banyaknya percobaan ditetapkan di muka, misalnya tepat 10 pengajuan KUR — bukan "sampai ada yang disetujui".

Ciri 2

Dua Hasil Saja

Tiap percobaan hanya menghasilkan "sukses" atau "gagal". Kalau ada tiga kategori atau lebih, binomial tidak berlaku.

Ciri 3 — Sering Rusak

Peluang Konstan

Peluang sukses sama di setiap percobaan, misalnya selalu 70%. Rusak bila menarik tanpa pengembalian dari populasi kecil.

Ciri 4 — Sering Rusak

⊥

Percobaan Independen

Hasil satu percobaan tidak memengaruhi yang lain. Disetujuinya pengajuan pertama tidak boleh mengubah peluang pengajuan kedua.

Catatan kunci: ciri ke-3 (p konstan) dan ke-4 (independen) sering rusak pada penarikan tanpa pengembalian dari populasi kecil — di situ binomial gagal, dan yang tepat adalah hipergeometrik (Slide 23).

Ini slide paling penting di bagian pertama, jadi tolong tandai baik-baik keempat ciri ini karena akan jadi alat saring Anda di setiap soal. Pertama, jumlah percobaannya harus tetap dan ditentukan di muka — kita harus tahu n-nya, misalnya tepat sepuluh pengajuan, bukan "sampai ada yang disetujui". Kedua, setiap percobaan hanya boleh punya dua hasil; kalau ada tiga kategori atau lebih, binomial tidak berlaku. Ketiga, peluang sukses harus konstan di setiap percobaan — kalau tingkat persetujuan berubah-ubah dari pengajuan ke pengajuan, syarat ini rusak. Keempat, percobaan harus independen, artinya disetujuinya pengajuan pertama tidak boleh mengubah peluang pengajuan kedua. Ciri ketiga dan keempat paling rentan dilanggar ketika Anda menarik sampel tanpa pengembalian dari kelompok kecil — begitu satu diambil, komposisinya berubah dan p ikut berubah, sehingga yang tepat justru distribusi hipergeometrik.

Latih Mata: Binomial atau Bukan?

Periksa keempat ciri pada tiap kasus. Mana yang lolos sebagai binomial?

Kasus	Binomial?	Alasan Singkat
Dari 20 produk pabrik, hitung jumlah cacat (p cacat tetap ~5%)	YA	n tetap, 2 hasil, p konstan, independen
Lempar dadu 12 kali, hitung jumlah angka "6"	YA	"6" = sukses, "bukan 6" = gagal, p = 1/6 konstan
Ambil 4 kartu dari 1 dek (tanpa kembalikan), hitung jumlah As	TIDAK	p berubah tiap tarikan → hipergeometrik
Layani pelanggan sampai 1 puas, catat jumlah percobaan	TIDAK	n tidak tetap → distribusi geometrik
Survei 100 nasabah, catat saldo rata-rata rekening	TIDAK	Hasil bukan sukses/gagal — angka kontinu

Triknya selalu sama: cek 4 ciri. Yang paling sering menggagalkan binomial adalah n tak tetap atau p berubah (tanpa pengembalian).

Sekarang kita latih mata Anda agar terbiasa membedakan kasus binomial dari yang bukan, karena di sinilah letak nilai ujian yang sering hilang. Kasus pertama, menghitung jumlah produk cacat dari dua puluh produk dengan peluang cacat tetap — ini binomial sempurna: n tetap, dua hasil, p konstan, independen. Kasus kedua, melempar dadu dan menghitung berapa kali muncul angka enam — ini juga binomial, asalkan kita definisikan "sukses" sebagai munculnya enam dengan peluang seperenam yang konstan. Tetapi kasus ketiga, mengambil empat kartu dari satu dek tanpa mengembalikannya, bukan binomial, karena begitu satu kartu diambil, peluang kartu berikutnya berubah — ini ranah hipergeometrik. Dua kasus terakhir gagal karena alasan berbeda: yang satu jumlah percobaannya tidak tetap sehingga masuk distribusi geometrik, dan yang lain hasilnya bukan sukses-gagal melainkan angka kontinu seperti saldo rekening. Biasakan menjalankan saringan empat ciri ini secara mekanis sebelum menulis rumus apa pun.

Blok 2 dari 4

Menghitung Probabilitas Binomial

Satu rumus untuk semuanya — lalu cara membaca tabel binomial siap-pakai agar tak perlu menghitung dari nol setiap saat.

P(x) = C(n,x) · p^x · (1−p)^n−x

Fungsi Probabilitas Binomial

Peluang mendapatkan tepat x sukses dari n percobaan, dengan peluang sukses p, adalah:

P(x) = C(n,x) · p^x · (1−p)^n−x

Bagian 1

C(n,x)

Kombinasi

Berapa banyak susunan posisi sukses yang mungkin dari n percobaan. = n! ÷ [x!·(n−x)!]

Bagian 2

p^x

Peluang x sukses

Peluang bahwa x percobaan tertentu semuanya sukses. Kalikan p sebanyak x kali.

Bagian 3

(1−p)^n−x

Peluang sisa gagal

Peluang bahwa sisa percobaan (n−x buah) semuanya gagal.

C(n,x) = n! ÷ [x!·(n−x)!] — dibaca "kombinasi n pilih x". Faktorial: 4! = 4×3×2×1 = 24. Ingat: 0! = 1.

Inilah rumus jantung pertemuan hari ini, dan Anda perlu memahaminya sebagai sebuah cerita, bukan deretan simbol. Bayangkan Anda menjalankan n percobaan dan ingin tahu peluang persis terjadinya x sukses. Bagian pertama, p pangkat x, adalah peluang bahwa x percobaan tertentu semuanya sukses, karena untuk kejadian independen kita mengalikan peluangnya. Bagian kedua, satu dikurangi p dipangkatkan n dikurangi x, adalah peluang sisa percobaannya semua gagal. Tetapi sukses itu bisa terjadi di posisi mana saja — sehingga kita harus mengalikannya dengan C(n,x), yaitu banyaknya cara menyusun posisi sukses tersebut. Jadi rumus ini berkata: peluang satu susunan tertentu, dikalikan jumlah susunan yang mungkin. Satu hal teknis yang harus Anda hafal: kombinasi dihitung dengan faktorial, dan nol faktorial sama dengan satu.

Membaca Tiap Bagian Rumus dengan Contoh Mini

Pakai kasus kecil: lempar koin adil 3 kali (p = 0,5), berapa peluang tepat 2 angka?

C(n,x) = C(3,2)

cara susunan posisi

3! ÷ (2!·1!) = 6 ÷ 2 = 3. Yaitu: Angka-Angka-Gambar, Angka-Gambar-Angka, Gambar-Angka-Angka.

p^x = 0,5²

0,25

peluang 2 angka

0,5 × 0,5 = 0,25. Peluang dua angka yang ditentukan muncul.

(1−p)^n−x = 0,5¹

0,5

peluang 1 gambar

0,5¹ = 0,5. Peluang satu lemparan tersisa adalah gambar.

Kalikan ketiganya: 3 × 0,25 × 0,5 = 0,375. Jadi peluang tepat 2 angka dari 3 lemparan = 37,5%. Cek manual: 8 hasil sama-mungkin, 3 di antaranya berisi tepat 2 angka → 3/8 = 0,375. Rumus dan hitungan manual cocok!

Supaya rumus tadi tidak terasa abstrak, kita uji dengan kasus paling kecil yang bisa dicek manual: melempar koin adil tiga kali dan menghitung peluang tepat dua angka. Bagian kombinasi, C tiga pilih dua, memberi tiga, artinya ada tiga cara menempatkan dua angka di antara tiga lemparan. Bagian p pangkat x, yaitu nol koma lima kuadrat, memberi nol koma dua lima, peluang dua angka tertentu muncul. Bagian sisanya, nol koma lima pangkat satu, memberi nol koma lima, peluang satu lemparan tersisa adalah gambar. Kalikan ketiganya, hasilnya nol koma tiga tujuh lima atau tiga puluh tujuh setengah persen. Yang indah, ada delapan kemungkinan hasil tiga lemparan, dan tepat tiga di antaranya berisi dua angka, sehingga tiga per delapan persis sama dengan nol koma tiga tujuh lima — bukti bahwa rumus binomial hanyalah cara cepat menghitung yang bisa Anda lakukan dengan mendaftar satu per satu.

Hitung dari Nol — HDN-1: Adopsi QRIS pada UMKM

~30% pelanggan UMKM membayar lewat QRIS. Dari 6 transaksi acak, berapa peluang tepat 2 memakai QRIS?

Langkah	Perhitungan	Nilai
Identifikasi	n = 6; x = 2; p = 0,3; (1−p) = 0,7	—
Kombinasi C(6,2)	6! ÷ (2!·4!) = 720 ÷ (2 × 24) = 720 ÷ 48	15
p^x = 0,3²	0,3 × 0,3	0,09
(1−p)^n−x = 0,7⁴	0,7² = 0,49; 0,7³ = 0,343; 0,7⁴ = 0,2401	0,2401
Kalikan semua	15 × 0,09 × 0,2401 = 15 × 0,021609	0,3241

P(tepat 2) ≈ 0,3241 atau ~32,41%. Peluang persis 2 dari 6 transaksi pakai QRIS sekitar sepertiga — lebih tinggi dari dugaan banyak orang.

Sekarang kita kerjakan satu kasus dari nol sampai jadi, dengan konteks yang sangat relevan di Indonesia, yaitu adopsi pembayaran QRIS di kalangan UMKM. Sekitar tiga puluh persen pelanggan membayar lewat QRIS, dan dari enam transaksi acak, kita bertanya berapa peluang tepat dua di antaranya memakai QRIS. Langkah pertama selalu sama: tuliskan apa yang diketahui — n enam, x dua, p nol koma tiga. Langkah kedua, hitung kombinasi C enam pilih dua, yaitu enam faktorial dibagi dua faktorial kali empat faktorial, hasilnya lima belas — artinya ada lima belas cara menempatkan dua transaksi QRIS di antara enam transaksi. Hitung nol koma tiga kuadrat sama dengan nol koma nol sembilan, dan nol koma tujuh pangkat empat sama dengan nol koma dua empat nol satu. Kalikan kelimabelas dengan kedua angka itu, dan kita dapat nol koma tiga dua empat satu, atau sekitar tiga puluh dua persen — itulah gunanya menghitung, bukan menebak.

Hitung dari Nol — HDN-1 Lanjutan: P(paling sedikit 1 pakai QRIS)

Dari 6 transaksi yang sama, berapa peluang paling sedikit 1 memakai QRIS? Pakai trik komplemen — jauh lebih cepat.

Langkah	Perhitungan	Nilai
Tulis ulang sebagai komplemen	P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0)	—
Hitung P(X = 0)	C(6,0)·0,3⁰·0,7⁶ = 1 · 1 · 0,7⁶; 0,7⁵ = 0,16807; 0,7⁶ = 0,117649	0,117649
Kurangkan dari 1	1 − 0,117649	0,8824

P(paling sedikit 1) ≈ 0,8824 atau ~88,24%. Hampir pasti minimal satu transaksi pakai QRIS. Tanpa trik komplemen, Anda harus menjumlahkan P(1)+P(2)+...+P(6) — enam perhitungan.

Aturan emas "paling sedikit 1": selalu pakai 1 − P(0). Menjumlahkan dari x=1 sampai x=n boros dan rawan salah.

Kita lanjutkan kasus QRIS tadi dengan pertanyaan yang sedikit berbeda namun sangat sering muncul: berapa peluang paling sedikit satu transaksi memakai QRIS? Secara naluri mungkin Anda tergoda menjumlahkan peluang tepat satu, tepat dua, sampai tepat enam — itu benar tetapi melelahkan dan rawan salah, karena ada enam suku yang harus dihitung. Ada trik yang jauh lebih elegan, yaitu memakai komplemen: "paling sedikit satu" adalah kebalikan dari "tidak ada sama sekali", sehingga peluangnya cukup satu dikurangi peluang nol sukses. Peluang nol sukses gampang dihitung, yaitu nol koma tujuh pangkat enam sama dengan nol koma satu satu tujuh, sehingga jawabannya satu dikurangi angka itu, yaitu nol koma delapan delapan dua atau sekitar delapan puluh delapan persen. Tanamkan aturan emas ini di kepala Anda: setiap kali soal berkata "paling sedikit satu", langsung tulis satu dikurangi peluang nol.

Gambar Utuh: Seluruh Distribusi (n=6, p=0,3)

Hitung P(x) untuk setiap nilai x dari 0 sampai 6 → ini distribusi probabilitas lengkapnya. Total selalu = 1.

x	C(6,x)	P(x)	%
0	1	0,1176	11,76%
1	6	0,3025	30,25%
2	15	0,3241	32,41%
3	20	0,1852	18,52%
4	15	0,0595	5,95%
5	6	0,0102	1,02%
6	1	0,0007	0,07%
Σ	—	1,0000	100%

Distribusi menjulur ke kanan karena p < 0,5. Puncak di x=2, dekat mean np = 1,8.

Sampai sini kita baru menghitung peluang untuk satu atau dua nilai x; sekarang kita zoom out untuk melihat gambar utuhnya. Kalau kita hitung P(x) untuk setiap kemungkinan x dari nol sampai enam, kita memperoleh distribusi probabilitas lengkap, dan ada satu sifat penting yang harus selalu Anda cek: jumlah seluruh peluangnya pasti sama dengan satu, karena salah satu dari nilai-nilai itu pasti terjadi. Perhatikan bentuk distribusinya pada bar chart — ia tidak simetris, melainkan menjulur ke kanan, dan ini bukan kebetulan: setiap kali p lebih kecil dari nol koma lima, distribusi binomial akan miring positif karena sukses lebih jarang sehingga nilai-nilai kecil lebih sering muncul. Puncaknya ada di x sama dengan dua, yang letaknya dekat dengan rata-rata yaitu n kali p sama dengan satu koma delapan, dan ini akan kita formalkan di bagian ketiga nanti.

Coba Sendiri: Geser n dan p, Lihat Bentuk Binomial Berubah

Ubah n dan p untuk melihat distribusi binomial berubah bentuk, dari menjulur tajam sampai mendekati kurva normal.

Tabel Binomial Siap-Pakai — Cara Membacanya

Daripada menghitung pangkat dan kombinasi tiap kali, buku teks menyediakan tabel binomial. Anda tinggal mencari sel di perpotongan n, x, dan p.

Cuplikan tabel (n = 6):

x \ p	0,20	0,30	0,40	0,50
0	0,2621	0,1176	0,0467	0,0156
1	0,3932	0,3025	0,1866	0,0938
2	0,2458	0,3241	0,3110	0,2344
3	0,0819	0,1852	0,2765	0,3125

Cari n = 6 (blok tabel), turun ke x = 2, geser ke kolom p = 0,30 → baca 0,3241. Persis sama dengan hitungan manual HDN-1.

Batasan tabel: hanya memuat p tertentu (0,05; 0,10; ...; 0,50) dan n kecil. Untuk p = 0,37 atau n = 250, tetap pakai rumus atau Excel =BINOM.DIST.

Setelah Anda paham cara menghitung manual, ada jalan pintas yang lazim dipakai di kelas dan ujian, yaitu tabel binomial yang tersedia di lampiran hampir semua buku teks statistika. Cara membacanya sederhana: cari dulu blok tabel untuk n yang sesuai, lalu turun ke baris x yang ditanya, kemudian geser ke kolom p yang sesuai, dan angka di perpotongannya adalah peluangnya. Misalnya untuk kasus QRIS tadi, cari n sama dengan enam, baris x sama dengan dua, kolom p sama dengan nol koma tiga puluh, dan Anda akan menemukan nol koma tiga dua empat satu — persis sama dengan hasil hitungan manual kita di HDN-1, yang membuktikan tabel dan rumus sepenuhnya konsisten. Namun ada satu batasan penting: tabel hanya memuat nilai p tertentu dan n yang kecil, sehingga kalau soal memberi p sama dengan nol koma tiga tujuh atau n sama dengan dua ratus lima puluh, tabel tidak akan menolong dan Anda harus kembali ke rumus atau memakai fungsi BINOM.DIST di Excel. Jadi kuasai rumusnya dulu; tabel adalah kenyamanan, bukan pengganti pemahaman.

Blok 3 dari 4

Ringkasan Distribusi: Mean, Variansi, Kumulatif

Dari peluang per titik ke ukuran ringkas — berapa rata-rata sukses, seberapa menyebar, dan cara menjawab pertanyaan "paling banyak" atau "paling sedikit".

μ = np · σ² = np(1−p)

Mean & Variansi Distribusi Binomial

Untuk binomial kita tidak perlu menghitung mean dan variansi dari seluruh tabel. Ada rumus pintas yang sangat sederhana:

μ = n · p

μ = jumlah sukses yang diharapkan rata-rata (nilai harapan)

σ² = n · p · (1 − p) dan σ = √[n·p·(1−p)]

σ² = ukuran sebaran · σ = simpangan baku (satuan sama dengan x, lebih mudah ditafsirkan)

Logika μ = np itu intuitif: kalau 70% dari 10 pengajuan lolos, rata-ratanya 7. Variansi mengukur seberapa jauh hasil nyata bisa menyimpang dari 7 itu — dan simpangan baku memberi tahu dalam satuan yang sama dengan x (jumlah pengajuan).

Mean — Contoh KUR

μ = np = 10 × 0,7

Dari 10 pengajuan KUR (p=0,7), rata-rata yang disetujui adalah 7 pengajuan.

SD — Contoh KUR

≈1,45

σ = √2,1

Simpangan baku ≈ 1,45 pengajuan — manajer tidak kaget bila yang lolos 6 atau 8.

Salah satu keindahan distribusi binomial adalah kita tidak perlu repot menghitung rata-rata dan variansi dari seluruh tabel peluang — ada rumus pintas yang sangat sederhana. Rata-rata atau mean binomial adalah n dikali p, dan ini sangat intuitif: kalau tujuh puluh persen dari sepuluh pengajuan biasanya lolos, maka secara rata-rata kita harapkan tujuh yang lolos. Variansi, yaitu ukuran sebaran, adalah n dikali p dikali satu dikurangi p, dan akarnya yang kita sebut simpangan baku memberi tahu kita seberapa jauh hasil nyata biasanya menyimpang dari rata-rata. Saya tekankan perbedaan tafsir keduanya: mean menjawab "berapa yang kita harapkan", sedangkan simpangan baku menjawab "seberapa besar kejutannya bisa". Dalam praktik bisnis, dua angka ini sudah cukup untuk membuat keputusan cepat — manajer cabang tahu rata-rata tujuh lolos, tetapi dengan simpangan baku sekitar satu setengah, ia tidak akan kaget kalau yang lolos enam atau delapan.

Hitung dari Nol — HDN-2: Persetujuan KUR (n=10, p=0,7)

Bank menyetujui ~70% pengajuan KUR. Dari 10 pengajuan, hitung: rata-rata, variansi, simpangan baku, dan P(tepat 8 disetujui).

Langkah	Perhitungan	Nilai
Identifikasi	n = 10; p = 0,7; (1−p) = 0,3	—
Mean μ = np	10 × 0,7	7
Variansi σ² = np(1−p)	10 × 0,7 × 0,3	2,1
Simpangan baku σ = √σ²	√2,1	≈ 1,449
C(10,8)	10! ÷ (8!·2!) = 3.628.800 ÷ 80.640	45
p⁸ = 0,7⁸	0,7⁴ = 0,2401; 0,7⁸ = (0,2401)²	0,057648
(1−p)² = 0,3²	0,3 × 0,3	0,09
P(X=8) = 45 · 0,057648 · 0,09	45 × 0,005188	0,2335

Rata-rata 7 disetujui (μ=7), sebaran ±1,45 (σ). P(tepat 8) ≈ 0,2335 atau ~23,35% — cukup besar, meski 8 di atas rata-rata 7.

Sekarang kita gabungkan semua yang dipelajari dalam satu kasus perbankan yang lengkap, dikerjakan dari nol. Bank menyetujui sekitar tujuh puluh persen pengajuan KUR, dan dari sepuluh pengajuan kita ingin tahu empat hal: rata-rata yang disetujui, variansinya, simpangan bakunya, dan peluang persis delapan disetujui. Tiga yang pertama mudah dengan rumus pintas: mean adalah sepuluh kali nol koma tujuh sama dengan tujuh, variansi adalah dua koma satu, dan simpangan bakunya sekitar satu koma empat lima. Untuk peluang tepat delapan, kembali ke rumus binomial: kombinasi sepuluh pilih delapan sama dengan empat puluh lima, dikali nol koma tujuh pangkat delapan, dikali nol koma tiga kuadrat, hasilnya nol koma dua tiga tiga atau sekitar dua puluh tiga persen. Meskipun rata-ratanya tujuh, peluang mendapat persis delapan masih cukup besar karena delapan hanya berjarak satu di atas rata-rata dan masih dalam jangkauan satu simpangan baku.

Probabilitas Kumulatif: "Paling Banyak" & "Paling Sedikit"

Soal bisnis jarang bertanya "tepat x". Lebih sering: "paling banyak", "paling sedikit", atau "antara". Caranya: jumlahkan beberapa P(x).

Paling Banyak k (≤ k)

P(X≤k)

= P(0) + P(1) + ... + P(k)

Contoh "paling banyak 2 cacat" = P(0) + P(1) + P(2). Jumlahkan dari 0 sampai k.

Paling Sedikit k (≥ k)

P(X≥k)

= P(k) + ... + P(n)

Trik: P(X≥1) = 1 − P(0). Umum: P(X≥k) = 1 − P(X≤k−1). Lebih cepat dari menjumlahkan!

Terjemahkan kata ke simbol dulu: "lebih dari 3" = P(X > 3) = P(X ≥ 4); "kurang dari 3" = P(X < 3) = P(X ≤ 2). Salah terjemah = salah jawab.

Contoh KUR (n=10, p=0,7): P(paling sedikit 8) = P(8) + P(9) + P(10) = 0,2335 + 0,1211 + 0,0282 = 0,3828 (~38,28%).

Dalam dunia nyata, pertanyaan bisnis hampir tidak pernah berupa "berapa peluang tepat delapan", melainkan "berapa peluang paling banyak dua cacat" atau "paling sedikit delapan disetujui", dan untuk menjawabnya kita menjumlahkan beberapa peluang sekaligus — inilah probabilitas kumulatif. "Paling banyak k" berarti X bernilai k atau kurang, sehingga kita jumlahkan P nol sampai P k; sedangkan "paling sedikit k" berarti X bernilai k atau lebih. Kunci keberhasilan di sini bukan pada hitungannya, melainkan pada penerjemahan kata ke simbol, dan inilah jebakan terbesar: "lebih dari tiga" berarti empat ke atas, bukan tiga ke atas, dan "kurang dari tiga" berarti dua ke bawah, bukan tiga ke bawah. Biasakan menuliskan dulu pertanyaan dalam bentuk pertidaksamaan sebelum menghitung, karena satu kesalahan terjemah akan menggugurkan seluruh jawaban betapapun rapi aritmetikanya.

Studi Kasus: Pengendalian Mutu (Quality Control)

Sebuah pabrik tahu ~5% produknya cacat. Tim QC mengambil sampel 20 produk. Pakai binomial untuk menilai apakah suatu hasil "normal" atau "mencurigakan".

Pertanyaan 1 — P(paling banyak 1 cacat)

73,58%

P(X ≤ 1) sangat lazim

P(0) + P(1) = 0,3585 + 0,3774 = 0,7358. Menemukan 0 atau 1 cacat adalah hal yang sangat normal.

Pertanyaan 2 — P(paling sedikit 1 cacat)

64,15%

P(X ≥ 1) = 1 − P(0)

1 − 0,3585 = 0,6415. Wajar saja kalau dalam sampel 20 ada cacat — bukan tanda masalah.

Rata-rata cacat μ = np = 20 × 0,05 = 1 produk. Kalau QC menemukan 5 cacat dari 20 (jauh di atas μ=1), peluangnya sangat kecil (~0,22%) → sinyal proses bermasalah, perlu diselidiki segera.

Mari kita pakai binomial untuk kasus yang sangat nyata di industri manufaktur, yaitu pengendalian mutu. Sebuah pabrik tahu dari pengalaman bahwa sekitar lima persen produknya cacat, dan tim QC mengambil sampel dua puluh produk untuk diperiksa. Pertanyaan pertama, berapa peluang paling banyak satu yang cacat — kita jumlahkan peluang nol dan satu cacat, hasilnya sekitar tujuh puluh empat persen, artinya menemukan nol atau satu cacat adalah hal yang sangat lazim. Yang paling penting dari studi kasus ini adalah logika pengambilan keputusannya: rata-rata cacat hanya satu produk, sehingga kalau suatu hari QC tiba-tiba menemukan lima cacat dari dua puluh, itu jauh di atas rata-rata dan peluangnya sangat kecil terjadi secara kebetulan — inilah sinyal bahwa proses produksi mungkin bermasalah dan harus segera diselidiki. Begitulah binomial menjadi dasar dari banyak diagram pengendalian mutu yang akan Anda temui jika bekerja di industri.

Blok 4 dari 4

Jembatan ke Normal & Pembanding Hipergeometrik

Saat n besar, binomial mendekati kurva normal — pintu masuk distribusi kontinu. Lalu satu pembanding penting: hipergeometrik untuk penarikan tanpa pengembalian.

Kita masuk bagian terakhir, yang sekaligus menjadi jembatan ke dua pertemuan ke depan. Pertama, ada fenomena yang indah: ketika jumlah percobaan menjadi besar, bentuk distribusi binomial yang berupa batang-batang diskret perlahan menyerupai kurva lonceng yang mulus, yaitu distribusi normal. Ini sangat berguna secara praktis, karena menghitung binomial untuk n sangat besar bisa melelahkan, dan kita bisa menggantinya dengan pendekatan normal yang jauh lebih cepat. Kedua, kita akan menutup dengan pembanding penting, yaitu distribusi hipergeometrik, yang dipakai justru ketika syarat binomial gagal karena penarikan dilakukan tanpa pengembalian dari populasi kecil. Dua topik ini melengkapi pemahaman Anda: yang satu memperluas binomial ke wilayah n besar, yang lain menandai batas di mana binomial tidak lagi berlaku.

Saat n Besar: Aproksimasi Normal terhadap Binomial

Menghitung binomial untuk n = 100 secara manual sangat melelahkan. Solusinya: dekati dengan kurva normal — asalkan syaratnya terpenuhi.

Syarat aproksimasi: np ≥ 5 DAN n(1−p) ≥ 5. Bila terpenuhi, binomial cukup "gemuk dan seimbang" untuk didekati normal.

Parameter yang Dipakai

μ, σ

Sama persis dengan binomial

Normal dengan μ = np dan σ = √[np(1−p)] — tidak ada parameter baru yang harus dihafal.

Koreksi Kontinuitas

±0,5

Penyesuaian diskret → kontinu

Binomial diskret (0,1,2,...), normal kontinu. Tambah/kurang 0,5 agar pas: P(X ≤ k) ≈ P(normal ≤ k + 0,5).

Ini adalah pintu masuk ke distribusi normal (Pertemuan 9). Untuk sekarang, cukup pahami: binomial besar ≈ kurva normal dengan μ dan σ yang sama.

Sekarang kita sampai pada salah satu jembatan terpenting dalam statistika, yaitu fakta bahwa distribusi binomial dengan n besar bisa didekati oleh distribusi normal. Coba bayangkan harus menghitung peluang binomial untuk n sama dengan seratus secara manual — Anda harus menjumlahkan puluhan suku, masing-masing dengan kombinasi dan pangkat besar, dan itu sangat melelahkan serta rawan salah. Untungnya, asalkan dua syarat terpenuhi yaitu n kali p paling sedikit lima dan n kali satu dikurangi p juga paling sedikit lima, kita boleh menggantinya dengan kurva normal yang memakai rata-rata dan simpangan baku yang sama persis dengan binomial. Ada satu detail teknis bernama koreksi kontinuitas: karena binomial menghitung bilangan bulat sedangkan normal kontinu, kita menambahkan atau mengurangkan setengah agar pendekatannya pas. Yang ingin saya tanamkan adalah intuisinya — binomial yang besar berbentuk lonceng dan bisa diperlakukan sebagai normal — karena ini adalah pintu masuk Anda ke distribusi normal yang akan dibahas tuntas di pertemuan berikutnya.

Hitung dari Nol — HDN-3: Aproksimasi Normal (KUR Skala Besar)

Bank memproses 100 pengajuan KUR (p = 0,7). Berapa peluang paling banyak 65 disetujui? Pakai aproksimasi normal.

Langkah	Perhitungan	Nilai
Cek syarat	np = 100 × 0,7 = 70 ≥ 5; n(1−p) = 30 ≥ 5	✓ boleh
Mean μ = np	100 × 0,7	70
SD σ = √[np(1−p)]	√(100 × 0,7 × 0,3) = √21	≈ 4,583
Koreksi kontinuitas	"paling banyak 65" → batas 65 + 0,5	65,5
Skor z = (65,5 − μ) ÷ σ	(65,5 − 70) ÷ 4,583 = −4,5 ÷ 4,583	≈ −0,98
Cari P(Z ≤ −0,98) di tabel z	Luas kurva normal di kiri z = −0,98	≈ 0,1635

P(paling banyak 65) ≈ 0,16 atau ~16%. Cek silang dengan binomial eksak: ~0,163 — pendekatan normal sangat akurat saat n besar.

Mari kita buktikan kekuatan aproksimasi normal dengan satu kasus dari nol, memakai skala yang realistis di bank besar. Misalkan bank kini memproses seratus pengajuan KUR sekaligus dengan peluang persetujuan tujuh puluh persen, dan kita ingin tahu peluang paling banyak enam puluh lima disetujui. Langkah pertama selalu mengecek syarat: n kali p sama dengan tujuh puluh dan n kali sisanya sama dengan tiga puluh, keduanya jauh di atas lima, sehingga aproksimasi normal sah dipakai. Lalu kita hitung rata-rata tujuh puluh dan simpangan baku akar dua puluh satu yaitu sekitar empat koma lima delapan, terapkan koreksi kontinuitas sehingga batas enam puluh lima menjadi enam puluh lima koma lima, dan ubah menjadi skor z yaitu sekitar negatif nol koma sembilan delapan. Dari tabel z kita baca luasnya sekitar nol koma satu enam, atau sekitar enam belas persen. Kalau kita hitung dengan binomial eksak hasilnya juga sekitar nol koma satu enam tiga — hampir identik — yang membuktikan bahwa untuk n besar, pendekatan normal bukan hanya lebih cepat tetapi juga sangat akurat.

Pembanding: Distribusi Hipergeometrik

Bila menarik tanpa pengembalian dari populasi kecil, p berubah tiap tarikan → binomial gagal. Gunakan hipergeometrik.

P(x) = [ C(K, x) · C(N−K, n−x) ] ÷ C(N, n)

N = ukuran populasi · K = jumlah sukses di populasi · n = ukuran sampel · x = sukses di sampel

Binomial

p tetap

Dengan / populasi besar

Dengan pengembalian atau populasi sangat besar → p konstan. Contoh: sampel dari produksi massal pabrik.

Hipergeometrik

p berubah

Tanpa / populasi kecil

Tanpa pengembalian dari populasi kecil → p berubah. Contoh: audit 4 dari 10 berkas pinjaman.

Aturan praktis: bila sampel ≤ 5% populasi, selisih binomial vs hipergeometrik kecil → binomial boleh dipakai sebagai pendekatan praktis.

Sebagai penutup konsep, kita tandai dengan jelas batas di mana binomial tidak lagi berlaku, supaya Anda tidak salah memakainya. Ingat ciri ketiga dan keempat binomial: peluang p harus konstan dan percobaan harus independen. Kedua syarat itu rusak ketika kita menarik objek tanpa pengembalian dari populasi yang kecil — misalnya auditor mengambil empat berkas dari tumpukan sepuluh berkas pinjaman; begitu satu berkas diambil, komposisi tumpukan berubah dan peluang berkas berikutnya pun berubah. Untuk situasi semacam ini, distribusi yang benar adalah hipergeometrik, yang rumusnya membagi banyaknya cara memilih sukses dan gagal dengan banyaknya cara total memilih sampel. Ada kabar baik berupa aturan praktis: kalau ukuran sampel sangat kecil dibanding populasi, katakanlah kurang dari lima persen, maka perubahan p nyaris tak terasa sehingga binomial boleh tetap dipakai sebagai pendekatan yang cukup akurat. Jadi kuncinya selalu kembali ke empat ciri: kalau p berubah karena tanpa pengembalian dari populasi kecil, beralihlah ke hipergeometrik.

Lima Jebakan yang Sering Membuat Salah Hitung

Jebakan 1

Tak Cek 4 Ciri

Langsung pakai binomial padahal tanpa pengembalian (harusnya hipergeometrik) atau n tak tetap.

Jebakan 2

Tukar n dan x

Di C(n,x): n = total percobaan, x = sukses yang ditanya. Jangan terbalik saat menghitung kombinasi.

Jebakan 3 — Paling Fatal

Salah Terjemah Kata

"Paling banyak 2" = P(X≤2) bukan P(X=2); "lebih dari 3" = P(X≥4), bukan P(X≥3).

Jebakan 4

Lupa Komplemen

"Paling sedikit 1" jauh lebih cepat lewat 1 − P(0). Menjumlahkan dari x=1 sampai n boros dan rawan salah.

5Lupa koreksi kontinuitas — saat aproksimasi normal, tambah/kurang 0,5; kalau lupa, hasil meleset. | Tiga cek wajib sebelum menyerahkan jawaban: cek 4 ciri · cek terjemahan kata→simbol · cek n vs x.

Dari pengalaman memeriksa banyak lembar ujian statistika, hampir semua kesalahan binomial berasal dari lima jebakan yang sama, jadi dikumpulkan di sini agar Anda waspada. Jebakan pertama dan paling mendasar: tidak memeriksa empat ciri lebih dulu, sehingga binomial dipakai pada kasus tanpa pengembalian yang seharusnya hipergeometrik. Jebakan kedua, menukar n dan x dalam kombinasi — ingat, n selalu jumlah total percobaan dan x adalah jumlah sukses yang ditanya, jangan sampai terbalik. Jebakan ketiga dan yang paling sering merusak jawaban esai adalah salah menerjemahkan kata ke simbol: "paling banyak dua" bukan berarti tepat dua, dan "lebih dari tiga" berarti empat ke atas, bukan tiga ke atas. Jebakan keempat, lupa memakai trik komplemen untuk "paling sedikit satu". Jebakan kelima, lupa koreksi kontinuitas saat memakai aproksimasi normal. Biasakan tiga pemeriksaan cepat sebelum menyerahkan jawaban: cek empat ciri, cek terjemahan kata ke simbol, dan cek posisi n versus x.

Cheat Sheet — Distribusi Binomial dalam Satu Layar

Konsep	Rumus	Untuk
Peluang titik	`P(x) = C(n,x) · p^x · (1−p)^n−x`	Peluang tepat x sukses
Kombinasi	`C(n,x) = n! ÷ [x!(n−x)!]`	Banyaknya susunan posisi sukses
Mean	`μ = np`	Jumlah sukses yang diharapkan
Variansi	`σ² = np(1−p)`	Ukuran sebaran
Simpangan baku	`σ = √[np(1−p)]`	Sebaran dalam satuan asli
Kumulatif ≤ k	`P(0) + P(1) + ... + P(k)`	"Paling banyak k"
Komplemen	`P(X≥1) = 1 − P(0)`	"Paling sedikit 1"
Aproksimasi normal	`syarat np≥5 & n(1−p)≥5; pakai μ, σ + koreksi ±0,5`	n besar, hindari hitung pangkat besar

Empat ciri wajib: (1) n tetap · (2) dua hasil · (3) p konstan · (4) independen. Cek dulu, baru hitung.

Ini slide yang disarankan Anda foto dan tempel di meja belajar, karena seluruh distribusi binomial sebenarnya muat dalam satu layar. Di pusatnya ada satu rumus peluang titik yang menjadi induk segalanya, ditopang rumus kombinasi untuk menghitung banyaknya susunan posisi sukses. Lalu ada tiga ukuran ringkas — mean, variansi, dan simpangan baku — yang semuanya turunan langsung dari n dan p tanpa perlu seluruh tabel. Untuk pertanyaan rentang, ingat dua jurus: jumlahkan beberapa P(x) untuk kumulatif, dan pakai komplemen satu dikurangi P nol untuk "paling sedikit satu". Dan untuk n besar, ingat aproksimasi normal dengan syarat np dan n kali sisanya sama-sama minimal lima. Tetapi yang paling penting, dan diletakkan di paling bawah agar Anda tidak pernah lupa, adalah empat ciri wajib yang harus dicek sebelum semua rumus itu boleh dipakai: jumlah percobaan tetap, dua hasil, p konstan, dan independen.

Latihan & Diskusi Kelas

Latihan 1 — P(x) & Kumulatif

20%

Telemarketer, 12 panggilan

Telemarketer berhasil menjual ke 20% calon nasabah. Dari 12 panggilan, hitung:
① P(tepat 3 berhasil)
② P(paling sedikit 1 berhasil)
Petunjuk: rumus + komplemen.

Latihan 2 — Mean, Variansi, SD

Cacat produk, batch 200

Pabrik menghasilkan 4% produk cacat. Dari batch 200 produk, hitung:
① μ (mean cacat)
② σ² (variansi)
③ σ (simpangan baku)
Petunjuk: rumus pintas np dan np(1−p).

Kerjakan 5 menit. Langkah disiplin: (1) cek 4 ciri → (2) terjemahkan kata ke simbol → (3) hitung. Lalu bahas bersama.

Kunci: Latihan 1: P(3) ≈ 0,2362 (~23,62%); P(X≥1) ≈ 0,9313 (~93,13%). | Latihan 2: μ = 8; σ² = 7,68; σ ≈ 2,77.

Sekarang giliran Anda berhitung, karena distribusi binomial hanya benar-benar dikuasai lewat latihan, bukan dengan menonton. Latihan pertama menguji rumus titik sekaligus komplemen: seorang telemarketer berhasil menjual ke dua puluh persen calon, dan dari dua belas panggilan Anda diminta menghitung peluang tepat tiga berhasil serta peluang paling sedikit satu berhasil — ingat pakai trik komplemen untuk yang kedua. Latihan kedua menguji rumus pintas mean dan variansi pada skala besar: sebuah pabrik menghasilkan empat persen produk cacat, dan dari batch dua ratus produk Anda hitung rata-rata, variansi, dan simpangan baku jumlah cacat. Sebelum menghitung, biasakan tiga langkah disiplin yang sudah ditekankan sepanjang kelas: pastikan keempat ciri terpenuhi, terjemahkan kata ke simbol, baru lakukan aritmetika. Kunci jawaban sudah tersedia di bawah — bandingkan hasil Anda setelah mengerjakan secara mandiri.

Persiapan Pertemuan 9

Hari ini Anda menguasai distribusi diskret terpenting: binomial. Pertemuan depan kita masuk ke distribusi normal — variabel kontinu berbentuk lonceng.

Pertemuan 9 — Distribusi Normal

Kurva lonceng dan sifat simetrisnya
Skor z dan cara membaca tabel z
Menghitung luas/peluang di bawah kurva
Kelanjutan aproksimasi normal dari pertemuan hari ini

Tugas Mandiri — Latih

HDN

1, 2, dan 3

Ulangi ketiga Hitung dari Nol dengan angka Anda sendiri. Coba fungsi Excel =BINOM.DIST lalu cocokkan dengan hitungan tangan.

Kuasai satu rumus inti P(x) = C(n,x)·p^x·(1−p)^n−x dan empat ciri malam ini. Sampai jumpa di Pertemuan 9 — Distribusi Normal.

Kita sampai di penghujung pertemuan yang padat ini, dan diharapkan Anda kini tidak hanya mengerti apa itu distribusi binomial, tetapi benar-benar bisa menghitung peluangnya dan memutuskan kapan ia boleh dipakai. Hari ini fondasinya sudah kokoh: satu rumus titik, dua ukuran ringkas berupa mean dan variansi, jurus kumulatif dan komplemen, serta jembatan aproksimasi normal yang akan dilanjutkan minggu depan. Pertemuan sembilan nanti kita masuk ke distribusi normal, yaitu kurva lonceng untuk variabel kontinu yang sudah Anda intip di akhir kelas hari ini lewat aproksimasi — jadi materi hari ini benar-benar menjadi tangga menuju ke sana. Tugas mandiri Anda sederhana tapi penting: ulangi ketiga Hitung dari Nol dengan angka Anda sendiri sampai langkahnya terasa otomatis, lalu coba bandingkan hasil tangan Anda dengan fungsi BINOM.DIST di Excel agar Anda terbiasa dengan alat yang dipakai di dunia kerja. Kuasai satu rumus inti dan empat ciri malam ini, dan sampai jumpa minggu depan di Pertemuan 9.