Program Studi Manajemen · FEB UNDIP

Statistika Bisnis I

Pertemuan 5 · Pengantar Probabilitas

Bahasa untuk mengukur ketidakpastian: ruang sampel, kejadian, dan hukum-hukum yang membuat "mungkin" bisa dihitung dengan angka.

RPS Minggu 4 · Sub-CPMK 2 · 2 × 50 menit

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan memahami ruang sampel, peluang suatu kejadian, dan hukum probabilitas (Sub-CPMK 2). Secara rinci:

Capaian 1 — Bahasa

Ruang Sampel

Mengenali eksperimen, ruang sampel, dan kejadian dari situasi bisnis nyata.

Capaian 2 — Ukur

Probabilitas

Menghitung peluang dengan pendekatan klasik, frekuensi relatif, dan subjektif; paham aksioma.

Capaian 3 — Hukum

Tiga Aturan

Menerapkan aturan penjumlahan, komplemen, dan perkalian.

Capaian 4 — Cacah & Tabel

Kombinasi

Memakai permutasi/kombinasi dan membaca tabel kontingensi (joint & marginal).

Empat capaian ini adalah penjabaran Sub-CPMK minggu keempat: memahami ruang sampel, peluang kejadian, dan hukum probabilitas. Capaian pertama adalah penguasaan kosakata — sebelum berhitung, Anda harus bisa membedakan mana yang disebut eksperimen, mana ruang sampel, dan mana kejadian, sama seperti Anda harus tahu subjek dan predikat sebelum menyusun kalimat. Capaian kedua membawa Anda ke jantungnya: tiga cara berbeda menempelkan angka pada kata "mungkin", lengkap dengan tiga aturan main yang tidak boleh dilanggar. Capaian ketiga adalah perkakas hitung sehari-hari — bagaimana menggabungkan peluang beberapa kejadian dengan aturan penjumlahan, komplemen, dan perkalian. Capaian keempat memberi Anda dua alat praktis: mencacah banyaknya kemungkinan dengan permutasi-kombinasi, dan membaca tabel silang yang Anda temui di laporan nasabah atau survei pasar.

Bank Harus Memutuskan: Berapa Peluang Debitur Gagal Bayar?

Setiap hari, lembaga keuangan menaruh angka pada ketidakpastian. Tanpa probabilitas, keputusan bisnis hanya tebakan.

Masalah Nyata

SLIK

Sistem Layanan Informasi Keuangan OJK

OJK lewat SLIK merekam riwayat kredit jutaan debitur. Dari data itu, bank menaksir probabilitas gagal bayar tiap calon nasabah.

Mengapa Penting

peluang gagal bayar (ilustratif)

Angka ini menentukan suku bunga, cadangan kerugian, atau penolakan kredit — jutaan rupiah keputusan dari satu angka peluang.

Hari ini Anda belajar dari mana angka peluang itu datang dan aturan main untuk mengolahnya — fondasi semua analisis risiko.

Saya selalu membuka topik probabilitas dengan contoh yang langsung menyentuh dunia kerja yang menanti Anda, yaitu perbankan. Setiap kali seseorang mengajukan kredit, ada satu pertanyaan kunci yang tidak punya jawaban pasti: akankah orang ini membayar? Bank tidak boleh menjawab "mungkin iya, mungkin tidak" lalu berhenti; ia harus menaruh angka, misalnya "peluang gagal bayar nasabah ini sekitar lima persen", dan angka itulah yang menentukan apakah pinjaman disetujui, berapa bunganya, dan berapa cadangan kerugian yang disisihkan. Dari mana angka lima persen itu datang? Dari data historis jutaan debitur yang direkam OJK melalui sistem SLIK, lalu diolah dengan aturan-aturan yang akan kita pelajari hari ini. Jadi probabilitas bukan ilmu menebak; ia adalah cara disiplin untuk mengubah pengalaman masa lalu menjadi angka keputusan masa depan.

Bagian 1 dari 4

Bahasa Dasar Probabilitas

Tiga kata yang harus Anda bedakan sebelum berhitung: eksperimen, ruang sampel, dan kejadian.

Eksperimen Ruang Sampel Kejadian

Eksperimen, Hasil, dan Ruang Sampel

Eksperimen

proses tak pasti

Suatu proses yang hasilnya belum pasti sampai dilakukan. Contoh: melempar dadu, mengamati apakah nasabah lancar/macet, melihat hasil lelang SBN.

Hasil (Outcome)

satu kemungkinan

Satu kemungkinan yang muncul dari eksperimen. Contoh: dadu menunjukkan angka 4.

Ruang Sampel (S)

himpunan semua hasil

Himpunan semua hasil yang mungkin. Dadu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Banyak anggota ditulis n(S).

Aturan: ruang sampel harus lengkap (semua hasil tercakup) dan tidak tumpang tindih (tiap hasil hanya sekali).

Mari kita kunci tiga istilah ini dengan contoh paling sederhana, yaitu melempar dadu. Eksperimen adalah aktivitas melempar dadu itu sendiri — disebut eksperimen karena sebelum dadu jatuh, Anda tidak tahu pasti angka berapa yang muncul. Hasil adalah angka yang akhirnya muncul, misalnya empat; itu satu hasil tunggal. Ruang sampel adalah daftar lengkap semua hasil yang mungkin, yaitu satu sampai enam, yang kita tulis sebagai himpunan dan kita beri lambang S. Dua syarat penting: ruang sampel harus lengkap, tidak boleh ada hasil yang terlewat, dan tidak boleh tumpang tindih, artinya tiap hasil hanya disebut satu kali. Dalam bisnis, eksperimennya bisa berupa "mengamati status kredit seorang nasabah" dengan ruang sampel {lancar, macet} — prinsipnya sama persis, hanya konteksnya yang berganti dari dadu ke keputusan keuangan.

Kejadian (Event) — Sekumpulan Hasil yang Kita Perhatikan

Kejadian = himpunan bagian dari ruang sampel. Ia bisa berisi satu hasil, beberapa hasil, atau bahkan tidak ada (∅).

Contoh Sederhana — Dadu

= muncul angka genap

A = {2, 4, 6} ⊂ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Lempar dadu dapat 4 → kejadian A terjadi karena 4 ∈ {2,4,6}.

Contoh Bisnis — Kredit

= nasabah macet

Eksperimen "pilih 1 nasabah". Kejadian M = semua nasabah berstatus macet dalam ruang sampel.

Kejadian terjadi jika hasil eksperimen termasuk anggota kejadian itu.

Setelah punya ruang sampel, kita jarang tertarik pada satu hasil tunggal; biasanya kita tertarik pada sekelompok hasil, dan itulah yang disebut kejadian. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel — dengan kata lain, ia memetik beberapa hasil dari daftar lengkap S sesuai dengan apa yang ingin kita perhatikan. Misalnya pada dadu, kita mungkin tidak peduli angka tepatnya, tetapi peduli apakah angkanya genap; maka kejadian "genap" adalah himpunan dua, empat, dan enam, yang merupakan bagian dari ruang sampel satu sampai enam. Dalam bisnis, kejadian yang kita perhatikan bisa berupa "nasabah macet" atau "klaim asuransi diajukan", dan sebuah kejadian dikatakan terjadi jika hasil yang muncul memang termasuk anggotanya. Jadi ingat hierarkinya: ruang sampel adalah keseluruhan, kejadian adalah bagian yang kita soroti, dan satu hasil adalah satu titik di dalamnya.

Bagian 2 dari 4

Mengukur Peluang

Tiga cara menempelkan angka pada kata "mungkin" — klasik, frekuensi relatif, subjektif — lalu tiga aksioma yang menjaga angka itu tetap masuk akal.

P(A) = n(A) ÷ n(S)

Klasik Empiris Subjektif

Tiga Pendekatan Menghitung Probabilitas

1 · Klasik

n(A)/n(S)

hasil sama mungkin

Semua hasil sama mungkin
P(dadu genap) = 3/6 = 0,5
Cocok: dadu, koin, kartu, undian

2 · Frekuensi Relatif

f/n

dari data historis

Dari pengamatan banyak
P(A) = frekuensi A ÷ total
1.000 kredit, 50 macet → P = 0,05

3 · Subjektif

~70%

penilaian ahli

Saat tak ada data/simetri
Ekonom taksir "P(BI tahan suku bunga) ≈ 70%"
Berbasis analisis & pengalaman

Ketiganya menghasilkan angka antara 0 dan 1, dan tunduk pada aksioma yang sama. Yang berbeda hanya dari mana angkanya datang.

Ada tiga cara mendefinisikan probabilitas, dan saya minta Anda mengingat ketiganya beserta kapan masing-masing dipakai. Cara klasik berlaku ketika semua hasil sama mungkin, sehingga peluang sebuah kejadian cukup dihitung dari jumlah hasil yang menguntungkan dibagi jumlah seluruh hasil — inilah yang Anda pakai untuk dadu, koin, dan kartu. Cara frekuensi relatif berlaku ketika Anda punya catatan data; misalnya dari seribu kredit yang dicatat bank, lima puluh ternyata macet, maka Anda menaksir peluang macet sebesar lima persen — dan inilah cara yang paling sering dipakai dalam bisnis karena bersandar pada pengalaman nyata. Cara subjektif dipakai ketika tidak ada data historis maupun simetri, sehingga kita bersandar pada penilaian ahli; contohnya seorang ekonom memperkirakan peluang Bank Indonesia menahan suku bunga bulan depan sekitar tujuh puluh persen berdasarkan analisisnya. Meskipun ketiganya memperoleh angka dengan cara berbeda, ketiganya patuh pada aturan main yang persis sama, yaitu tiga aksioma yang akan kita bahas berikutnya.

Hitung dari Nol — HDN-1: Probabilitas Klasik (Lempar Dua Dadu)

Ingin tahu peluang jumlah mata dadu = 7 saat melempar dua dadu sekaligus.

Langkah	Perhitungan	Nilai
Ruang sampel	Dadu-1 (6 hasil) × Dadu-2 (6 hasil) — prinsip perkalian	n(S) = 36
Hasil yang dicari	Jumlah = 7: (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)	n(A) = 6
Rumus klasik	P(A) = n(A) ÷ n(S) = 6 ÷ 36	P = 1/6
Ubah ke persen	1/6 × 100%	≈ 16,67%

Peluang jumlah 7 ≈ 16,67% — angka tertinggi di antara semua jumlah (2 sampai 12). Jumlah "7" punya paling banyak cara terbentuk dalam ruang sampel 36 pasangan.

Sebelum melompat ke kasus bisnis, saya ingin Anda mengerjakan satu contoh klasik dari nol agar logikanya benar-benar tertanam. Misalkan kita melempar dua dadu sekaligus dan bertanya: berapa peluang jumlah kedua mata dadu sama dengan tujuh? Langkah pertama selalu menentukan ruang sampel: karena dadu pertama punya enam kemungkinan dan dadu kedua juga enam, total pasangan adalah enam kali enam sama dengan tiga puluh enam — perhatikan kita memakai prinsip perkalian di sini. Langkah kedua, hitung berapa pasangan yang jumlahnya tepat tujuh; jika Anda daftar satu per satu, ada enam pasangan, yaitu satu-enam, dua-lima, tiga-empat, empat-tiga, lima-dua, dan enam-satu. Langkah ketiga tinggal membagi: enam dibagi tiga puluh enam sama dengan seperenam, atau sekitar enam belas koma enam tujuh persen. Yang menarik, tujuh ternyata jumlah yang paling mungkin di antara semua angka dua sampai dua belas, dan sekarang Anda tahu cara membuktikannya dengan angka, bukan firasat.

Tiga Aksioma — Aturan Main yang Tak Boleh Dilanggar

Aksioma 1 — Rentang

[0,1]

batas bawah & atas

0 ≤ P(A) ≤ 1. P = 0 berarti mustahil; P = 1 berarti pasti terjadi. Tidak ada peluang negatif atau lebih dari 100%.

Aksioma 2 — Total

P(S)=1

ruang sampel pasti

Probabilitas seluruh ruang sampel = 1. Pasti ada salah satu hasil yang muncul — tidak ada eksperimen yang tidak menghasilkan apa pun.

Aksioma 3 — Penjumlahan

untuk kejadian saling lepas

Untuk kejadian saling lepas, peluang gabungannya = jumlah peluang masing-masing.

Jika hasil hitung Anda negatif atau lebih dari 1, pasti ada yang salah — aksioma 1 dilanggar. Jadikan ini rem darurat saat mengerjakan soal.

Apa pun cara Anda memperoleh angka peluang, angka itu harus tunduk pada tiga aturan dasar yang disebut aksioma, dan ketiganya sebenarnya sangat masuk akal. Aksioma pertama mengatakan probabilitas selalu berada di antara nol dan satu: nol berarti mustahil terjadi, satu berarti pasti terjadi, dan tidak ada peluang negatif atau lebih dari seratus persen — ini akan jadi rem darurat Anda, karena begitu hasil hitungan keluar dari rentang ini, Anda tahu pasti ada kesalahan. Aksioma kedua mengatakan jika Anda jumlahkan peluang semua hasil yang mungkin, hasilnya harus tepat satu, karena sudah pasti salah satu hasil akan muncul. Aksioma ketiga mengatakan, untuk kejadian-kejadian yang tidak mungkin terjadi bersamaan, peluang salah satunya terjadi cukup dijumlahkan. Tiga aksioma ini terlihat sederhana, tetapi seluruh bangunan teori probabilitas dibangun hanya dari tiga fondasi ini.

Saling Lepas, Tidak Saling Lepas, & Kolektif Ekshaustif

Saling Lepas (Mutually Exclusive)

A∩B=∅

irisan kosong

Tidak bisa terjadi bersamaan. Contoh: satu nasabah tak bisa "lancar" DAN "macet" sekaligus. P(A dan B) = 0.

Tidak Saling Lepas

A∩B>0

irisan ada

Bisa terjadi bersamaan. Contoh: nasabah bisa "macet" DAN "punya agunan" sekaligus. P(A dan B) > 0.

Kolektif ekshaustif: sekumpulan kejadian yang menutupi seluruh ruang sampel. Contoh: {lancar, macet} — pasti salah satu terjadi, jumlah peluangnya = 1.

Ada dua sifat hubungan antar-kejadian yang wajib Anda kuasai, karena salah membedakannya adalah sumber kesalahan ujian nomor satu. Pertama, dua kejadian disebut saling lepas jika keduanya tidak mungkin terjadi bersamaan — misalnya seorang nasabah tidak mungkin berstatus lancar sekaligus macet pada saat yang sama, jadi irisan keduanya kosong dan peluang keduanya terjadi bersama adalah nol. Sebaliknya, dua kejadian disebut tidak saling lepas jika keduanya bisa terjadi bersamaan — misalnya seorang nasabah bisa saja macet sekaligus punya agunan, sehingga ada irisan yang nilainya lebih dari nol; perbedaan ini akan sangat menentukan rumus penjumlahan yang Anda pakai nanti. Kedua, sekumpulan kejadian disebut kolektif ekshaustif jika bersama-sama mereka menutupi seluruh ruang sampel tanpa ada hasil yang tertinggal — contohnya status {lancar, macet} mencakup semua kemungkinan. Catat: saling lepas berbicara soal apakah dua kejadian bisa bertabrakan, sedangkan kolektif ekshaustif berbicara soal apakah sekumpulan kejadian sudah mencakup segalanya.

Bagian 3 dari 4

Hukum Probabilitas

Tiga perkakas hitung untuk menggabungkan peluang: aturan penjumlahan (A atau B), aturan komplemen (bukan A), dan aturan perkalian (A dan B).

P(A atau B) = P(A) + P(B) − P(A dan B)

Penjumlahan Komplemen Perkalian

Aturan Penjumlahan: P(A atau B)

Berapa peluang setidaknya salah satu dari A atau B terjadi? Jumlahkan keduanya, lalu kurangi irisannya agar tidak dihitung dua kali.

P(A atau B) = P(A) + P(B) − P(A dan B)

"A atau B" = gabungan (A ∪ B) · "A dan B" = irisan (A ∩ B) · kurangi irisan agar area tumpang tindih tidak dihitung dobel.

Kasus khusus — saling lepas: karena P(A dan B) = 0, rumus menyusut jadi P(A atau B) = P(A) + P(B). Jangan pakai versi pendek ini kalau kejadiannya bisa tumpang tindih!

Contoh — Kartu remi: P(As atau Hati) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52 ≈ 30,77%. Kurangi 1/52 karena As-Hati dihitung dua kali.

Inilah hukum pertama, dan saya minta Anda memahami bukan hanya menghafalnya, karena di sinilah letak jebakan terbesar. Pertanyaannya: berapa peluang setidaknya salah satu dari dua kejadian terjadi? Naluri pertama orang adalah menjumlahkan peluang A dengan peluang B, dan itu hampir benar — kecuali ada satu masalah: kalau A dan B bisa terjadi bersamaan, maka area tumpang tindihnya terhitung dua kali, sekali di A dan sekali di B. Karena itu kita harus mengurangi peluang irisannya satu kali, sehingga rumus lengkapnya adalah peluang A ditambah peluang B dikurangi peluang A dan B. Lihat contoh kartu remi: peluang menarik kartu As atau kartu Hati harus dikurangi satu per lima puluh dua, karena kartu As-Hati adalah satu kartu yang masuk ke kedua kelompok sekaligus. Hanya jika dua kejadian saling lepas — irisannya kosong — Anda boleh memakai versi pendek tanpa pengurangan.

Aturan Komplemen: P(bukan A)

Kadang lebih mudah menghitung peluang sesuatu tidak terjadi. Komplemen A (ditulis A') = semua hasil yang bukan A.

P(A') = 1 − P(A) ⟺ P(A) = 1 − P(A')

Karena A dan A' bersama-sama menutupi seluruh ruang sampel (kolektif ekshaustif & saling lepas), peluangnya pasti berjumlah 1.

Trik andalan: untuk soal "minimal satu", sering jauh lebih cepat menghitung komplemennya "tidak satu pun", lalu kurangi dari 1. Contoh: P(minimal 1 klaim) = 1 − P(0 klaim).

Contoh: Peluang debitur lancar = 1 − P(macet) = 1 − 0,15 = 0,85 atau 85%.

Hukum kedua ini sederhana tetapi sering jadi penyelamat waktu Anda di ujian. Komplemen dari kejadian A adalah kejadian "A tidak terjadi", yang kita tulis dengan A aksen, dan ia mencakup semua hasil di ruang sampel yang bukan anggota A. Karena A dan komplemennya bersama-sama mencakup seluruh kemungkinan dan tidak mungkin terjadi bersamaan, peluang keduanya pasti berjumlah satu — sehingga peluang bukan A cukup dihitung sebagai satu dikurangi peluang A. Manfaat praktisnya luar biasa: ketika Anda menghadapi soal yang berbunyi "berapa peluang minimal satu kejadian terjadi", menghitungnya secara langsung bisa sangat panjang, tetapi menghitung kebalikannya, yaitu "peluang tidak ada satu pun yang terjadi", sering jauh lebih singkat, lalu Anda tinggal mengurangkannya dari satu. Sebagai contoh sederhana, jika peluang sebuah kredit macet adalah lima belas persen, maka peluang ia lancar cukup dihitung satu dikurangi nol koma satu lima, yaitu delapan puluh lima persen.

Aturan Perkalian: P(A dan B) untuk Kejadian Independen

Berapa peluang dua kejadian terjadi bersamaan? Jika keduanya independen (saling bebas), cukup kalikan peluangnya.

P(A dan B) = P(A) × P(B) (syarat: A dan B independen)

Independen = terjadinya A tidak mengubah peluang B. Contoh: lemparan koin pertama tak memengaruhi koin kedua.

Jangan keliru: independen ≠ saling lepas. Saling lepas justru sangat bergantung (jika A terjadi, B mustahil). Untuk kejadian tak independen, dipakai probabilitas bersyarat — dibahas Pertemuan berikutnya.

Contoh: Dua nasabah independen, masing-masing P(macet) = 0,05. Peluang keduanya macet = 0,05 × 0,05 = 0,0025 (0,25%).

Hukum ketiga menjawab pertanyaan "dan", yaitu berapa peluang dua kejadian terjadi bersamaan, dan di sini ada satu syarat penting: apakah kedua kejadian itu independen. Dua kejadian disebut independen jika terjadinya yang satu sama sekali tidak mengubah peluang yang lain — contoh paling jelas adalah dua lemparan koin, di mana hasil koin pertama tidak memengaruhi koin kedua sedikit pun. Untuk kejadian yang independen, aturannya sangat sederhana: peluang keduanya terjadi cukup dikalikan; misalnya jika dua nasabah berdiri sendiri masing-masing punya peluang macet lima persen, maka peluang keduanya macet adalah lima persen dikali lima persen, yaitu nol koma dua lima persen saja. Tetapi hati-hati pada satu jebakan konseptual yang sangat sering menjerat: independen bukanlah saling lepas — justru kebalikannya, kejadian yang saling lepas sangat bergantung satu sama lain, karena begitu yang satu terjadi, yang lain menjadi mustahil. Kalau kedua kejadian tidak independen, maka kita butuh alat yang lebih canggih bernama probabilitas bersyarat, yang akan kita pelajari di pertemuan berikutnya.

Bagian 4 dari 4

Mencacah & Tabel Kontingensi

Saat hasil terlalu banyak untuk didaftar satu per satu — pakai prinsip perkalian, permutasi, kombinasi. Lalu baca peluang dari tabel silang.

Perkalian Permutasi Kombinasi Tabel Silang

Kaidah Pencacahan — Prinsip Perkalian

Jika sebuah pilihan terdiri dari beberapa tahap, banyaknya total cara = hasil kali banyaknya pilihan tiap tahap.

Total cara = n₁ × n₂ × ... × n_k

Contoh — PIN ATM

10.000

kombinasi PIN 4 digit

4 digit, tiap digit 0–9 (10 pilihan). Total = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000 kombinasi. Itulah mengapa PIN 4 digit cukup aman.

Contoh — Menu Paket

paket berbeda

3 jenis nasi × 4 lauk × 2 minuman = 24 paket berbeda yang bisa dipesan.

Prinsip perkalian adalah induk dari permutasi & kombinasi. Pertanyaan inti: "berapa banyak cara?" — jawabannya hampir selalu sebuah perkalian.

Kaidah pencacahan dimulai dari satu prinsip yang sangat intuitif, yaitu prinsip perkalian. Bunyinya begini: jika sebuah proses pemilihan terdiri dari beberapa tahap, maka banyaknya cara keseluruhan adalah hasil perkalian banyaknya pilihan di setiap tahap. Bayangkan PIN ATM Anda yang terdiri dari empat digit, dan tiap digit bisa diisi angka nol sampai sembilan, berarti sepuluh pilihan per digit; maka total kombinasi PIN adalah sepuluh dikali sepuluh dikali sepuluh dikali sepuluh, yaitu sepuluh ribu kemungkinan — itulah sebabnya PIN empat digit dianggap cukup aman dari tebakan acak. Contoh lain yang lebih ramah: jika sebuah paket makan siang menawarkan tiga jenis nasi, empat lauk, dan dua minuman, maka ada tiga dikali empat dikali dua, yaitu dua puluh empat paket berbeda yang bisa Anda pesan. Kuasai prinsip ini baik-baik, karena permutasi dan kombinasi yang akan kita pelajari berikutnya sebenarnya hanyalah penerapan khusus dari prinsip perkalian ini.

Permutasi vs Kombinasi — Apakah Urutan Penting?

Satu pertanyaan kunci menentukan rumus mana yang Anda pakai: apakah urutan penting?

Permutasi — Urutan Penting

P(n,r)

= n! ÷ (n−r)!

Menyusun r dari n objek, urutan berbeda dihitung beda.

Contoh: pilih Ketua, Wakil, Sekretaris dari 5 calon → P(5,3) = 5×4×3 = 60.

Kombinasi — Urutan Tak Penting

C(n,r)

= n! ÷ [r!(n−r)!]

Memilih r dari n objek, urutan diabaikan.

Contoh: pilih 3 anggota tim (tanpa jabatan) dari 5 → C(5,3) = 60 ÷ 6 = 10.

Tes cepat: "jabatan / peringkat / urutan" → permutasi. · "anggota / kelompok / dipilih" → kombinasi. · Relasi: C(n,r) = P(n,r) ÷ r! (bagi karena urutan diabaikan). · Catatan: n! = n×(n−1)×...×1; 0! = 1.

Sekarang kita ke dua alat pencacahan yang paling sering tertukar, yaitu permutasi dan kombinasi, dan kabar baiknya, membedakannya cukup dengan satu pertanyaan: apakah urutan penting? Permutasi dipakai ketika urutan penting, artinya susunan yang berbeda dihitung sebagai cara yang berbeda; contohnya memilih ketua, wakil, dan sekretaris dari lima calon, karena di sini "Budi jadi ketua, Ani jadi wakil" berbeda dengan "Ani jadi ketua, Budi jadi wakil". Kombinasi dipakai ketika urutan tidak penting; contohnya memilih tiga anggota tim tanpa jabatan dari lima calon, karena memilih Budi-Ani-Citra sama saja dengan Ani-Citra-Budi. Perhatikan rumusnya: keduanya memakai faktorial, dan kombinasi sebenarnya hanyalah permutasi yang dibagi r faktorial. Tes cepat yang saya anjurkan: begitu soal menyebut jabatan, peringkat, atau urutan, pakai permutasi; begitu soal hanya bicara "memilih anggota" atau "membentuk kelompok", pakai kombinasi — dan dalam keuangan, memilih saham untuk portofolio hampir selalu kombinasi.

Hitung dari Nol — HDN-2: Memilih Saham untuk Portofolio

Komite investasi memilih 3 emiten dari 10 kandidat di BEI. Urutan tak penting (sekadar "masuk portofolio"). Berapa banyak cara?

Langkah	Perhitungan	Nilai
Pilih rumus	Urutan tak penting → gunakan kombinasi C(10,3)	—
Tulis rumus	C(10,3) = 10! ÷ [3! × (10−3)!] = 10! ÷ (3! × 7!)	—
Sederhanakan	(10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1) = 720 ÷ 6	C(10,3) = 120
Peluang (BBCA & BMRI wajib masuk)	Cara menguntungkan = C(2,2) × C(8,1) = 1 × 8 = 8 P = 8 ÷ 120	1/15 ≈ 6,67%

Ada 120 cara membentuk portofolio. P(BBCA & BMRI keduanya terpilih) = 8 ÷ 120 = 1/15 ≈ 6,67% (asumsi semua kombinasi sama mungkin).

Sekarang kita kerjakan satu kasus pencacahan dari nol yang sangat dekat dengan dunia investasi, yaitu memilih saham untuk portofolio. Misalkan sebuah komite akan memilih tiga emiten dari sepuluh kandidat di Bursa Efek Indonesia, dan yang penting hanyalah saham apa yang masuk portofolio, bukan urutan memilihnya — karena itu kita pakai kombinasi. Langkah menghitungnya: C dari sepuluh ambil tiga sama dengan sepuluh faktorial dibagi tiga faktorial dikali tujuh faktorial, yang setelah disederhanakan menjadi sepuluh kali sembilan kali delapan dibagi enam, hasilnya seratus dua puluh cara. Sekarang kita naikkan ke probabilitas: andai komite memutuskan dua saham perbankan tertentu, katakanlah BBCA dan BMRI, wajib masuk, maka tinggal satu slot tersisa yang diisi dari delapan kandidat lain, sehingga ada delapan cara yang menguntungkan; peluangnya adalah delapan dibagi seratus dua puluh, yaitu seperlima belas atau sekitar enam koma enam tujuh persen. Pola berpikirnya: pertama cacah seluruh kemungkinan dengan kombinasi, lalu cacah kemungkinan yang menguntungkan, baru bagi keduanya — inilah jembatan dari pencacahan menuju probabilitas klasik.

Tabel Kontingensi — Membaca Peluang dari Data Silang

Tabel kontingensi menyilangkan dua variabel kategori. Dari sel-selnya, kita baca dua jenis peluang.

	Lancar	Macet	Total (marginal)
Punya agunan	110	10	120
Tanpa agunan	60	20	80
Total (marginal)	170	30	200

Peluang Joint (Bersama)

0,05

dari sel dalam

P(macet dan agunan) = 10 ÷ 200 = 0,05. Baca dari sel dalam tabel.

Peluang Marginal (Pinggir)

0,15

dari total pinggir

P(macet) = 30 ÷ 200 = 0,15. P(agunan) = 120 ÷ 200 = 0,60. Baca dari total baris/kolom.

Tabel kontingensi adalah salah satu alat yang paling sering Anda jumpai begitu masuk dunia kerja, jadi pastikan Anda lancar membacanya. Tabel ini menyilangkan dua variabel kategori — di contoh kita, status kredit (lancar atau macet) disilangkan dengan kepemilikan agunan (punya atau tidak) untuk dua ratus nasabah. Dari tabel ini ada dua jenis peluang yang bisa Anda baca: peluang joint dan peluang marginal. Peluang joint, atau peluang bersama, dibaca dari sel di dalam tabel, misalnya banyaknya nasabah yang macet sekaligus punya agunan ada sepuluh orang, sehingga peluang bersama keduanya adalah sepuluh dibagi dua ratus, yaitu nol koma nol lima. Peluang marginal dibaca dari angka total di tepi tabel — disebut marginal karena letaknya di margin atau pinggir — misalnya total nasabah macet ada tiga puluh dari dua ratus, sehingga peluang macet secara keseluruhan adalah nol koma satu lima; dengan satu tabel sederhana ini, Anda bisa menjawab banyak pertanyaan peluang sekaligus.

Coba Sendiri: Baca P(A|B) vs P(B|A) dari Tabel Silang

Klik sel-sel tabel kontingensi untuk menghitung peluang bersyarat dan buktikan sendiri P(A|B) berbeda dari P(B|A).

Hitung dari Nol — HDN-3: Lima Peluang dari Tabel Kontingensi

Pakai tabel 200 nasabah. Hitung lima peluang, lalu buktikan aturan penjumlahan.

Langkah	Perhitungan	Nilai
P(macet) — marginal	30 ÷ 200	0,15 (15%)
P(agunan) — marginal	120 ÷ 200	0,60 (60%)
P(macet dan agunan) — joint	10 ÷ 200	0,05 (5%)
P(macet atau agunan) — aturan +	0,15 + 0,60 − 0,05	0,70 (70%)
Cek langsung (hitung sel)	(110 + 10 + 20) ÷ 200 = 140 ÷ 200	0,70 ✓ cocok

P(macet atau agunan) = 70%, dan dua cara (rumus vs hitung sel langsung) memberi angka sama — bukti aturan penjumlahan bekerja. · Bonus komplemen: P(lancar) = 1 − 0,15 = 0,85 (85%).

Sekarang kita kerjakan kasus inti pertemuan ini dari nol, memakai tabel dua ratus nasabah tadi, dan saya minta Anda ikuti tiap langkah karena soal seperti ini hampir pasti muncul di ujian. Pertama, peluang macet adalah peluang marginal: total nasabah macet tiga puluh orang dibagi dua ratus, hasilnya nol koma satu lima atau lima belas persen. Kedua, peluang punya agunan juga marginal: total seratus dua puluh dibagi dua ratus, yaitu enam puluh persen. Ketiga, peluang macet sekaligus punya agunan adalah peluang joint, dibaca dari sel dalam yang berisi sepuluh orang, sehingga sepuluh dibagi dua ratus sama dengan lima persen. Keempat, inilah penerapan aturan penjumlahan: peluang macet atau punya agunan sama dengan lima belas persen ditambah enam puluh persen dikurangi lima persen, yaitu tujuh puluh persen — perhatikan kita mengurangi irisan lima persen agar nasabah yang macet-dan-beragunan tidak terhitung dua kali. Untuk meyakinkan bahwa rumus itu benar, kita cek dengan cara lain: hitung langsung semua nasabah yang macet atau punya agunan, yaitu seratus sepuluh ditambah sepuluh ditambah dua puluh sama dengan seratus empat puluh, dibagi dua ratus, dan hasilnya tetap tujuh puluh persen — dua jalan, satu jawaban.

Studi Kasus: Probabilitas di Industri Keuangan Indonesia

Tiga konteks nyata di mana probabilitas mengubah keputusan bernilai miliaran rupiah:

Asuransi (Data AAUI)

P(klaim) ilustratif

Dari ~10.000 polis kendaraan, sekitar 200 mengajukan klaim setahun → P(klaim) ≈ 200/10.000 = 0,02. Angka ini menentukan premi yang Anda bayar.

Kredit (Data SLIK/OJK)

P(D)

probability of default

Bank memodelkan peluang gagal bayar tiap segmen dari riwayat kredit SLIK. Peluang ini menentukan suku bunga & cadangan kerugian.

Pola yang sama berulang: kumpulkan data → hitung frekuensi relatif → jadikan probabilitas → ambil keputusan harga/risiko. Probabilitas adalah mesin pengambilan keputusan sektor keuangan.

Mari kita lihat bagaimana semua yang dipelajari hari ini langsung dipakai untuk keputusan bernilai miliaran rupiah di industri keuangan Indonesia. Ambil contoh asuransi: sebuah perusahaan asuransi kendaraan tidak bisa tahu mobil mana yang akan kecelakaan, tetapi dari data historis ribuan polis — yang statistiknya dihimpun lewat asosiasi seperti AAUI — ia bisa menaksir bahwa peluang sebuah polis mengajukan klaim dalam setahun sekitar dua persen, dan angka dua persen inilah yang menjadi dasar penetapan premi yang Anda bayar. Pola yang sama persis terjadi di perbankan: bank tidak tahu nasabah mana yang akan gagal bayar, tetapi dari riwayat kredit jutaan debitur yang terekam di sistem SLIK milik OJK, ia bisa menaksir peluang gagal bayar tiap segmen, lalu memakainya untuk menetapkan suku bunga dan menyisihkan cadangan kerugian. Perhatikan pola yang berulang di kedua kasus: kumpulkan data, hitung frekuensi relatifnya, perlakukan itu sebagai probabilitas, lalu ambil keputusan harga atau risiko. Inilah alasan probabilitas disebut mesin pengambilan keputusan di sektor keuangan, dan menguasainya membuka pintu Anda ke profesi seperti aktuaris, analis risiko, dan manajer investasi.

Lima Jebakan yang Sering Membuat Salah Hitung

1 Lupa mengurangi irisan — menjumlahkan P(A)+P(B) padahal A & B bisa tumpang tindih. Selalu cek: saling lepas atau tidak?

2 Menyamakan saling lepas = independen — dua konsep berbeda; saling lepas justru sangat bergantung.

3 Salah pilih permutasi/kombinasi — tanya dulu: "apakah urutan penting?" Jabatan → permutasi; anggota → kombinasi.

4 Hasil di luar [0, 1] — peluang negatif atau >1 = pasti salah. Pakai aksioma 1 sebagai rem darurat.

5 Tertukar joint vs marginal — sel dalam tabel = joint; total pinggir = marginal. Salah baris/kolom → salah total.

Tiga cek sebelum menyerahkan jawaban: rentang [0,1] · saling lepas/independen · urutan penting/tidak.

Dari pengalaman memeriksa banyak lembar ujian, hampir semua kesalahan probabilitas berasal dari lima jebakan yang sama, jadi saya kumpulkan di sini agar Anda waspada sejak awal. Jebakan pertama dan paling sering: lupa mengurangi irisan pada aturan penjumlahan, sehingga peluang A atau B dihitung dengan menjumlahkan saja, padahal kedua kejadian bisa tumpang tindih. Jebakan kedua, menyamakan "saling lepas" dengan "independen" — ingat, ini dua hal berbeda, dan kejadian yang saling lepas justru sangat bergantung satu sama lain. Jebakan ketiga, salah memilih antara permutasi dan kombinasi karena tidak bertanya lebih dulu apakah urutan penting. Jebakan keempat dan kelima, menghasilkan peluang di luar rentang nol sampai satu yang seharusnya langsung Anda curigai sebagai kesalahan, serta tertukar membaca peluang joint dengan marginal di tabel kontingensi. Saran saya, biasakan tiga pemeriksaan cepat sebelum menyerahkan jawaban: periksa apakah hasil ada di rentang nol sampai satu, periksa apakah kejadiannya saling lepas atau independen, dan periksa apakah urutan penting — tiga cek sederhana ini akan menyelamatkan sebagian besar nilai Anda.

Cheat Sheet — Hukum & Rumus Inti Probabilitas

Konsep	Rumus	Untuk
Probabilitas klasik	P(A) = n(A) ÷ n(S)	Hasil sama mungkin (dadu, kartu, undian)
Frekuensi relatif	P(A) = f(A) ÷ total	Dari data historis (kredit, klaim)
Komplemen	P(A') = 1 − P(A)	"Bukan A"; trik soal "minimal satu"
Penjumlahan umum	P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)	"A atau B" (tumpang tindih)
Perkalian (independen)	P(A∩B) = P(A) × P(B)	"A dan B" saling bebas
Permutasi	P(n,r) = n! ÷ (n−r)!	Menyusun r dari n — urutan penting
Kombinasi	C(n,r) = n! ÷ [r!(n−r)!]	Memilih r dari n — urutan diabaikan

Aksioma sebagai penjaga: 0 ≤ P ≤ 1 dan P(S) = 1. Tabel kontingensi: joint dari sel dalam, marginal dari total pinggir.

Ini slide yang saya sarankan Anda foto dan tempel di meja belajar, karena seluruh pertemuan hari ini sebenarnya terangkum dalam tabel ini. Dua baris pertama adalah cara memperoleh angka peluang — klasik untuk hasil yang sama mungkin, frekuensi relatif untuk data historis. Tiga baris berikutnya adalah hukum menggabungkan peluang — komplemen untuk "bukan", penjumlahan untuk "atau", dan perkalian untuk "dan", dengan catatan penting bahwa penjumlahan harus mengurangi irisan dan perkalian mensyaratkan kejadian independen. Dua baris terakhir adalah alat mencacah — permutasi ketika urutan penting dan kombinasi ketika urutan diabaikan. Yang ingin saya tekankan, jangan menghafal tujuh rumus ini sebagai tujuh hal terpisah; semuanya berpijak pada tiga aksioma sederhana. Kalau Anda paham aksioma induknya dan satu pertanyaan kunci di tiap rumus — "saling lepas atau tidak", "independen atau tidak", "urutan penting atau tidak" — maka ketujuh rumus ini akan terasa logis, bukan sekadar hafalan.

Latihan & Diskusi Kelas

Latihan 1 — Tabel & Aturan +

UMKM

150 responden

Dari survei 150 UMKM: 90 berhasil dapat kredit (sisanya tidak); 100 memiliki laporan keuangan rapi. Dari yang berlaporan rapi, 75 berhasil dapat kredit.

Buat tabel kontingensi 2×2, lalu hitung P(dapat kredit atau laporan rapi).
Petunjuk: aturan penjumlahan.

Latihan 2 — Kombinasi & Peluang

Reksa Dana

12 kandidat saham

Sebuah reksa dana memilih 4 saham dari 12 kandidat.

(a) Berapa banyak cara?
(b) Jika 1 saham BUMN tertentu wajib masuk, berapa peluang ia terpilih?
Petunjuk: C(n,r).

Kerjakan 7 menit. Untuk soal tabel, isi keempat sel dulu baru hitung. Untuk soal cacah, tanya: "urutan penting?". Lalu kita bahas bersama.

Sekarang giliran Anda berhitung, karena probabilitas hanya benar-benar dikuasai dengan latihan, bukan dengan menonton saya. Latihan pertama menguji kemampuan membaca tabel dan menerapkan aturan penjumlahan: dari survei seratus lima puluh UMKM, Anda diberi beberapa angka dan diminta menyusun tabel kontingensi dua kali dua sendiri, lalu menghitung peluang sebuah UMKM berhasil dapat kredit atau memiliki laporan keuangan rapi — ingat untuk mengurangi irisannya. Latihan kedua menguji kombinasi dalam konteks reksa dana: hitung berapa banyak cara memilih empat saham dari dua belas kandidat, lalu peluang sebuah saham BUMN tertentu terpilih jika ia wajib masuk. Sebelum menghitung, biasakan dua langkah disiplin: untuk soal tabel, isi dulu keempat selnya dengan lengkap baru hitung peluang; untuk soal pencacahan, tanyakan dulu apakah urutan penting agar Anda tidak salah memilih rumus. Saya beri waktu tujuh menit, kerjakan dengan tenang, dan setelah itu kita bahas jawabannya bersama.

Persiapan Pertemuan 6

Hari ini Anda belajar dasar probabilitas — ruang sampel, kejadian, dan hukum-hukumnya. Pertemuan depan kita perdalam ke probabilitas bersyarat & Teorema Bayes.

Pertemuan 6 — Probabilitas Lanjutan

Probabilitas bersyarat P(A|B)
Aturan perkalian umum (kejadian tak independen)
Teorema Bayes — membalik peluang
Aplikasi: deteksi penipuan kartu kredit & uji diagnostik

Tugas Mandiri — Latih Malam Ini

HDN

1, 2, dan 3

Ulangi HDN-1 s/d HDN-3 dengan angka Anda sendiri. Bawa kalkulator (bertombol faktorial / nCr) ke kelas berikutnya.

Kuasai 7 rumus inti & 3 aksioma malam ini. Sampai jumpa di Pertemuan 6 — Probabilitas Bersyarat & Teorema Bayes.

Kita sampai di penghujung pertemuan yang padat ini, dan saya harap Anda kini punya fondasi yang kokoh: tahu membedakan eksperimen, ruang sampel, dan kejadian; tahu tiga cara memperoleh peluang; dan menguasai aturan penjumlahan, komplemen, serta perkalian. Hari ini fokus kita adalah dasar probabilitas, dan Pertemuan 6 nanti kita akan naik satu tingkat ke konsep yang lebih kaya, yaitu probabilitas bersyarat — peluang sesuatu terjadi dengan syarat sesuatu yang lain sudah diketahui — serta Teorema Bayes yang menjadi inti sistem deteksi penipuan kartu kredit dan uji diagnostik medis. Tugas mandiri Anda sederhana tapi penting: ulangi ketiga Hitung dari Nol hari ini menggunakan angka Anda sendiri sampai langkah-langkahnya terasa otomatis. Saya juga minta Anda mulai membiasakan diri dengan tombol faktorial dan nCr di kalkulator, karena perhitungan permutasi-kombinasi akan terus muncul. Kuasai tujuh rumus inti dan tiga aksioma malam ini, dan sampai jumpa minggu depan di Pertemuan 6.