FEB UNDIP · Statistika Bisnis I

Statistika Bisnis I

Pertemuan 4 · Ukuran Penyebaran dan Deteksi Outlier

Rata-rata hanya menceritakan setengah kisah — hari ini kita ukur seberapa menyebar data, inti dari risiko, dan cara menangkap nilai yang menyimpang jauh.

RPS Minggu 3 · Sub-CPMK 1 (Bagian 2) · 2 × 50 menit

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu menghitung ukuran penyebaran dan mengenali outlier (Sub-CPMK 1, Bagian 2). Secara rinci:

Capaian 1 — Sebaran

σ, s

Menghitung range, variansi, dan standar deviasi dari data mentah; paham beda populasi (σ²) vs sampel (s²) dan pentingnya pembagi n−1.

Capaian 2 — Risiko Relatif

Menghitung dan menafsirkan koefisien variasi (CV) untuk membandingkan risiko relatif antar-aset secara adil.

Capaian 3 — Posisi & Outlier

IQR

Menentukan kuartil, IQR, pagar 1,5×IQR, menggambar boxplot, dan mengidentifikasi outlier dari satu kumpulan data.

Capaian 4 — z-score

Memakai z-score sebagai ukuran posisi dan alat deteksi anomali untuk membandingkan nilai lintas distribusi.

Empat capaian ini adalah penjabaran konkret dari Sub-CPMK minggu ketiga, khususnya bagian dispersi dan outlier. Capaian pertama adalah fondasi: Anda harus bisa menghitung seberapa menyebar data lewat range, variansi, dan standar deviasi — dan paham kapan memakai rumus populasi, kapan rumus sampel. Capaian kedua membawa Anda ke dunia investasi: koefisien variasi memungkinkan Anda membandingkan risiko dua aset secara adil meski rata-rata imbal hasilnya berbeda. Capaian ketiga mengajak Anda menemukan "nilai aneh" dalam data lewat kuartil, IQR, dan boxplot — alat yang dipakai analis di mana-mana untuk membaca sebaran sekilas. Capaian keempat, z-score, adalah ukuran posisi sekaligus detektor anomali yang dipakai dari kelas akademik sampai ke unit pencegahan pencucian uang — jadikan empat poin ini daftar periksa Anda di akhir kelas.

Dua Saham, Rata-rata Sama — Apa yang Membedakan?

Lihat imbal hasil bulanan dua saham. Rata-ratanya nyaris sama. Mana yang Anda pilih?

Saham Tenang

rata-rata/bulan

Imbal hasil: +1%, +2%, +3%, +2%, +1%, +3%. Naik-turunnya kecil dan terkendali.

Saham Liar

rata-rata/bulan

Imbal hasil: +12%, −6%, +9%, −3%, +6%, 0%. Naik-turunnya ekstrem dan tidak menentu.

Rata-rata hampir sama, tetapi "rasa"-nya jauh berbeda. Yang membedakan adalah penyebaran — dan penyebaran inilah ukuran risiko. Hari ini kita belajar mengukurnya dengan angka, bukan perasaan.

Saya selalu membuka topik penyebaran dengan satu pertanyaan investasi sederhana, karena di situlah konsep ini paling terasa hidup. Perhatikan dua saham di layar: keduanya punya rata-rata imbal hasil sekitar dua sampai tiga persen per bulan, jadi kalau Anda hanya melihat rata-rata, keduanya terlihat setara. Tetapi lihat detailnya — saham kiri bergerak tenang antara satu sampai tiga persen, sedangkan saham kanan melonjak dua belas persen lalu terjun minus enam persen, naik-turun bagai roller coaster. Bagi investor, dua hal yang menentukan keputusan bukan hanya berapa rata-rata untungnya, tetapi juga seberapa liar ayunannya, karena ayunan yang liar berarti risiko yang besar — sepanjang pertemuan ini, kita akan menerjemahkan kata "liar" dan "tenang" itu menjadi angka yang pasti: range, standar deviasi, dan koefisien variasi.

Bagian 1 dari 4

Mengapa Rata-rata
Saja Tak Cukup?

Dua ukuran penyebaran paling sederhana — range dan deviasi rata-rata — lalu kita lihat kelemahannya yang menuntun ke variansi.

Range Deviasi Risiko

Range & Deviasi Rata-rata (Mean Absolute Deviation)

Range — Paling Sederhana

Maks − Min = 10 − 2

Range = Nilai Maks − Nilai Min. Contoh {2,4,6,8,10}: 10 − 2 = 8. Mudah, tetapi hanya memakai 2 angka & sangat peka terhadap outlier.

Deviasi Rata-rata (MAD)

2,4

MAD data {2,4,6,8,10}

Rata-rata dari |jarak tiap nilai ke rata-rata|. Contoh: x̄=6, |deviasi|=4,2,0,2,4 → MAD = 12/5 = 2,4. Memakai semua data.

MAD = Σ |x − x̄| ÷ n

Range gampang dihitung tetapi "buta" pada bentuk sebaran di tengah. MAD lebih lengkap, tetapi nilai mutlak (|…|) sulit diolah secara matematis. Solusinya: kuadratkan simpangan → lahir variansi (Bagian 2).

Cara paling sederhana mengukur penyebaran adalah range, yaitu selisih nilai terbesar dan terkecil — gampang dihitung dan mudah dijelaskan ke siapa pun. Tetapi range punya kelemahan besar: ia hanya memakai dua angka, yang tertinggi dan terendah, sehingga "buta" terhadap apa yang terjadi pada ratusan data di tengah, dan satu outlier saja bisa membuatnya menyesatkan. Ukuran berikutnya, deviasi rata-rata atau MAD, lebih jujur karena memakai seluruh data: ia menghitung rata-rata jarak setiap nilai ke rata-rata. Perhatikan kenapa kita pakai tanda nilai mutlak — kalau tidak, simpangan positif dan negatif akan saling meniadakan sampai jumlahnya selalu nol. Masalahnya, nilai mutlak itu rewel diolah dalam matematika lanjutan, dan di sinilah para statistikawan menemukan trik elegan: alih-alih mengambil nilai mutlak, kita kuadratkan simpangannya — dan dari trik mengkuadratkan inilah lahir variansi yang kita pelajari sebentar lagi.

Bagian 2 dari 4

Variansi &
Standar Deviasi

Ukuran penyebaran paling penting dalam statistik — termasuk misteri pembagi n−1 dan koefisien variasi untuk membandingkan risiko.

s = √( Σ(x − x̄)² ÷ (n−1) )

Variansi Populasi (σ²) vs Sampel (s²)

Rumusnya hampir sama — bedanya hanya pada pembagi dan siapa data yang kita pegang.

Populasi (σ²)

÷ N

Seluruh anggota

Data seluruh anggota (mis. nilai semua 40 mahasiswa kelas). σ² = Σ(x − μ)² ÷ N. Pembagi = N. (μ = rata-rata populasi.)

Sampel (s²)

÷ n−1

Sebagian anggota

Data sebagian anggota (mis. survei 100 dari jutaan konsumen). s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n−1). Pembagi = n−1.

Di praktik bisnis, kita hampir selalu bekerja dengan sampel — mustahil mendata semua konsumen. Jadi rumus s² (pembagi n−1) adalah yang paling sering Anda pakai.

Ada dua versi rumus variansi, dan memilih versi yang benar bergantung pada satu pertanyaan: apakah data yang Anda pegang adalah seluruh populasi atau hanya sampel? Kalau Anda punya data lengkap semua anggota — misalnya nilai ujian seluruh empat puluh mahasiswa di kelas ini — maka Anda memakai rumus populasi dengan lambang sigma kuadrat dan pembagi N. Tetapi dalam dunia bisnis nyata, hampir mustahil mendata seluruh populasi; Anda tidak mungkin mensurvei semua konsumen Indonesia, jadi Anda mengambil sampel beberapa ratus orang dan menyimpulkan dari situ. Untuk sampel, kita pakai lambang s kuadrat dengan pembagi n−1, dan inilah rumus yang akan Anda pakai sembilan dari sepuluh kali dalam praktik — perhatikan pula perbedaan lambang rata-ratanya: rata-rata populasi ditulis dengan huruf Yunani mu, sedangkan rata-rata sampel ditulis x-bar.

Mengapa Sampel Dibagi n−1? (Degrees of Freedom)

Bukan salah ketik. Membagi dengan n−1 membuat estimasi variansi sampel tidak bias (tidak sistematis terlalu kecil).

Intuisi "Kehilangan 1 Kebebasan"

Untuk menghitung simpangan, kita pakai x̄ yang dihitung dari data itu sendiri. Begitu x̄ ditetapkan, hanya n−1 nilai yang "bebas" — nilai ke-n sudah terpaksa supaya jumlah totalnya pas.

Analogi: diminta menyebut 5 angka ber-rata-rata 10 → 4 angka pertama bebas, angka ke-5 tidak bisa bebas.

Akibat Praktis

Membagi dengan n (bukan n−1) cenderung meremehkan variansi populasi sebenarnya.

Pembagi n−1 mengoreksinya — angka jadi sedikit lebih besar dan lebih jujur.

Untuk n besar (mis. 1.000), selisih n vs n−1 nyaris tak terasa; untuk n kecil, signifikan.

Aturan praktis: data sampel → bagi n−1; data populasi penuh → bagi N.

Pertanyaan "kenapa n−1, bukan n" ini hampir selalu muncul, dan saya senang menjelaskannya karena di sinilah statistik terasa cerdas. Kuncinya ada pada konsep derajat bebas. Bayangkan saya minta Anda menyebut lima angka yang rata-ratanya harus tepat sepuluh; Anda bebas memilih empat angka pertama sesuka hati, tetapi begitu empat angka itu ditetapkan, angka kelima tidak lagi bebas — ia terpaksa bernilai tertentu agar rata-ratanya pas sepuluh. Artinya dari lima data, hanya empat yang benar-benar "bebas", maka derajat bebasnya empat, yaitu n−1. Karena untuk menghitung simpangan kita memakai rata-rata sampel yang sudah "menghabiskan" satu derajat kebebasan, kita membagi jumlah simpangan-kuadrat dengan n−1, bukan n; dan koreksi kecil ini membuat estimasi variansi sampel tidak secara sistematis terlalu kecil, sehingga lebih jujur menggambarkan variansi populasi sebenarnya.

Standar Deviasi & Rumus Hitung (Computational Formula)

Standar deviasi = akar variansi. Satuannya sama dengan data (lebih mudah dibaca daripada variansi yang satuannya dikuadratkan).

s = √( Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) )

← Rumus definisi (menjelaskan makna)

s² = [ Σx² − (Σx)² ÷ n ] ÷ (n − 1)

← Rumus hitung (lebih cepat untuk data banyak)

Kedua rumus memberi hasil identik. Rumus hitung lebih cepat karena cukup menjumlahkan Σx dan Σx² sekali jalan. ⚠️ Hati-hati: Σx² ≠ (Σx)² — kuadratkan dulu vs jumlahkan dulu!

Variansi punya satu kelemahan praktis: karena kita mengkuadratkan simpangan, satuannya ikut terkuadrat — kalau data dalam persen, variansinya dalam "persen-kuadrat" yang sulit dibayangkan. Solusinya sederhana: kita ambil akarnya, dan hasilnya disebut standar deviasi, yang satuannya kembali sama dengan data asli sehingga jauh lebih mudah ditafsirkan. Sekarang perhatikan ada dua rumus di layar: yang atas adalah rumus definisi yang menjelaskan maknanya, dan yang bawah adalah rumus hitung atau computational formula yang lebih cepat dipakai untuk data banyak — keduanya memberi hasil yang persis sama. Satu peringatan penting yang sering bikin salah: Σx² berarti kuadratkan dulu tiap nilai baru dijumlahkan, sedangkan (Σx)² berarti jumlahkan dulu semua nilai baru dikuadratkan — keduanya sangat berbeda, jadi jangan tertukar.

Hitung dari Nol — HDN-1: Variansi & SD Saham Blue-Chip

Imbal hasil bulanan Saham A (blue-chip, n=6): 3, 1, 2, 4, 0, 2 (%). Hitung variansi sampel & standar deviasi.

x (%)	x − x̄ (x̄ = 2)	(x − x̄)²
3	+1	1
1	−1	1
2	0	0
4	+2	4
0	−2	4
2	0	0
Σ = 12	Σ = 0 ✓	Σ = 10

x̄ = 12/6 = 2% · s² = 10 ÷ (6−1) = 2,00 · s = √2,00 = 1,41%. Cek: kolom simpangan jumlahnya 0 — bukti rata-rata benar.

Sekarang kita kerjakan satu kasus dari nol sampai jadi, supaya Anda tidak hanya melihat rumus tetapi merasakan cara memakainya. Saya pakai imbal hasil bulanan saham blue-chip yang tenang: tiga, satu, dua, empat, nol, dua persen selama enam bulan. Langkah pertama selalu sama — hitung rata-ratanya, yaitu jumlah dua belas dibagi enam, sama dengan dua persen. Langkah kedua, buat tabel: kolom pertama nilai aslinya, kolom kedua selisihnya ke rata-rata, dan kolom ketiga selisih itu dikuadratkan; perhatikan trik pemeriksaan yang ampuh — jumlah kolom selisih harus selalu nol, dan kalau tidak nol berarti ada salah hitung. Langkah ketiga, jumlahkan kolom kuadrat, dapat sepuluh, lalu bagi dengan n−1 yaitu lima, sehingga variansi sampel sama dengan dua; akarnya adalah standar deviasi sekitar satu koma empat satu persen.

Koefisien Variasi (CV) — Risiko per Unit Imbal Hasil

Masalah: standar deviasi bersatuan, jadi tak adil membandingkan dua aset dengan rata-rata berbeda. Solusi: buat tak bersatuan — bagi SD dengan rata-rata.

CV = (s ÷ x̄) × 100%

Arti CV

risiko per unit imbal hasil

Berapa unit risiko (SD) untuk setiap unit imbal hasil (rata-rata). Makin kecil CV → makin efisien (risiko rendah relatif terhadap hasil).

Kapan Wajib Pakai CV

≠

rata-rata berbeda

Saat membandingkan aset dengan rata-rata berbeda atau satuan berbeda. SD saja menyesatkan; CV menyetarakan.

Jebakan klasik: "SD lebih besar = lebih berisiko." Belum tentu! Aset ber-SD besar bisa lebih efisien bila imbal hasil rata-ratanya jauh lebih tinggi. Bandingkan CV, bukan SD mentah.

Standar deviasi punya satu keterbatasan saat membandingkan aset: ia bersatuan, sehingga membandingkan SD dua aset dengan rata-rata berbeda itu seperti membandingkan jarak dalam kilometer dengan dalam mil tanpa konversi. Bayangkan saham yang rata-rata untungnya dua persen dengan SD satu persen, versus saham yang rata-rata untungnya dua puluh persen dengan SD dua persen; SD kedua lebih besar, tetapi apakah benar lebih berisiko? Belum tentu, karena SD dua persen itu kecil dibanding imbal hasil dua puluh persennya. Untuk menyetarakannya, kita bagi standar deviasi dengan rata-rata, lalu kalikan seratus persen — hasilnya disebut koefisien variasi, sebuah angka tak bersatuan yang berarti "berapa unit risiko untuk setiap unit imbal hasil". Aturannya: makin kecil koefisien variasi, makin efisien sebuah aset, dan inilah cara yang adil membandingkan risiko relatif antar-aset apa pun.

Studi Kasus: Blue-Chip vs Saham Lapis Dua di BEI

Pakai HDN-1 (Saham A blue-chip) dan Saham B lapis dua. Mana yang lebih berisiko secara relatif?

Saham A — Blue-Chip

70,7%

CV Saham A

Rata-rata = 2%; s ≈ 1,41%. CV = (1,41 ÷ 2) × 100% = 70,71%.

Saham B — Lapis Dua

236,6%

CV Saham B

Imbal hasil: 12, −6, 9, −3, 6, 0 (%). Rata-rata = 3%; s ≈ 7,10%. CV = (7,10 ÷ 3) × 100% = 236,64%.

Saham B punya rata-rata imbal hasil lebih tinggi (3% vs 2%), tetapi CV-nya jauh lebih besar (236,6% vs 70,7%) — artinya jauh lebih berisiko per unit imbal hasil. Investor konservatif (mis. dana pensiun) memilih Saham A: efisiensi risiko, bukan sekadar potensi untung.

Sekarang kita pakai koefisien variasi untuk keputusan investasi nyata di Bursa Efek Indonesia. Saham A adalah blue-chip yang tadi kita hitung: rata-rata dua persen dengan standar deviasi sekitar satu koma empat satu persen, sehingga koefisien variasinya sekitar tujuh puluh satu persen. Saham B adalah saham lapis dua yang lebih bergejolak: imbal hasilnya melonjak dua belas persen lalu jatuh minus enam persen, dengan rata-rata tiga persen tetapi standar deviasi sekitar tujuh persen, sehingga koefisien variasinya melambung ke dua ratus tiga puluh enam persen. Perhatikan pelajaran pentingnya: meskipun saham B menjanjikan rata-rata untung lebih tinggi, koefisien variasinya lebih dari tiga kali lipat saham A, yang berarti untuk setiap satu unit imbal hasil Anda menanggung risiko jauh lebih besar — itulah sebabnya banyak investor konservatif dan dana pensiun memilih blue-chip.

Bagian 3 dari 4

Ukuran Posisi &
Deteksi Outlier

Kuartil, desil, persentil, IQR, dan boxplot — alat untuk membaca sebaran sekilas dan menangkap nilai yang menyimpang.

Kuartil IQR Boxplot Outlier

Kuartil, Desil, Persentil — Membagi Data Terurut

Urutkan data dari kecil ke besar, lalu potong jadi bagian sama banyak. Ukuran posisi menjawab: "nilai ini ada di peringkat mana?"

Kuartil (4 Bagian)

Q1·Q2·Q3

Q1 = 25% data di bawahnya · Q2 = median (50%) · Q3 = 75% data di bawahnya.

Desil (10 Bagian)

D1…D9

D5 = median. Contoh: D7 = nilai yang 70% data ada di bawahnya.

Persentil (100 Bagian)

P1…P99

P50 = median, P25 = Q1, P75 = Q3. Dipakai untuk rapor "peringkat persentil".

Lokasi Pₚ = (n + 1) × (p ÷ 100)

Semua satu keluarga: Q1 = P25 = D2,5. Bahasanya beda, idenya sama: bagi data terurut jadi potongan sama banyak.

IQR & Aturan Pagar 1,5 × IQR

IQR (Interquartile Range) = lebar 50% data tengah. Tahan outlier karena mengabaikan 25% ekor bawah & 25% ekor atas.

IQR = Q3 − Q1

Pagar bawah = Q1 − 1,5 × IQR · Pagar atas = Q3 + 1,5 × IQR

Aturan deteksi outlier: nilai di luar pagar (lebih kecil dari pagar bawah atau lebih besar dari pagar atas) ditandai sebagai outlier. Angka 1,5 adalah konvensi baku Tukey — bukan hukum alam, tetapi standar yang dipakai luas.

IQR sering lebih disukai daripada range/SD saat data punya outlier, karena tidak terseret nilai ekstrem.

Setelah menguasai kuartil, kita bangun satu ukuran penyebaran baru yang sangat berguna: rentang antar-kuartil atau IQR, yaitu selisih antara Q3 dan Q1. IQR menggambarkan lebar lima puluh persen data yang berada di tengah, dan keunggulannya adalah ketahanannya terhadap outlier — karena ia mengabaikan dua puluh lima persen data terkecil dan dua puluh lima persen data terbesar, satu nilai ekstrem tidak akan menyeretnya. Dari IQR, kita bisa membuat aturan otomatis untuk menandai outlier, yaitu aturan pagar: kita pasang pagar bawah sejauh satu setengah kali IQR di bawah Q1, dan pagar atas sejauh satu setengah kali IQR di atas Q3. Setiap nilai yang jatuh di luar kedua pagar itu kita tandai sebagai outlier yang patut diselidiki — angka satu setengah ini adalah konvensi baku yang diperkenalkan oleh statistikawan John Tukey.

Boxplot & Ringkasan Lima-Angka (Five-Number Summary)

Boxplot adalah "potret" sebaran data dalam satu gambar — dibangun dari lima angka kunci: Min · Q1 · Median · Q3 · Maks.

Anatomi Boxplot

Kotak = Q1 sampai Q3 (lebar = IQR)
Garis dalam kotak = median (Q2)
Kumis (whisker) = ke data terjauh dalam pagar
Titik di luar kumis = outlier

Apa yang Dibaca Sekilas

Letak median → data simetris/miring
Panjang kotak → sebaran data tengah
Panjang kumis → ekor distribusi
Ada/tidaknya titik outlier

Coba Sendiri: Bandingkan Variansi, IQR, dan Boxplot

Ubah sebaran data dan amati bagaimana variansi/SD, kuartil, serta bentuk boxplot berubah bersamaan.

Hitung dari Nol — HDN-2: Outlier Penjualan Harian

Penjualan harian (unit), n=11: 18, 14, 22, 16, 12, 26, 20, 15, 24, 19, 48. Cari Q1, Q3, IQR, pagar, outlier.

Langkah	Perhitungan	Nilai
Urutkan (n=11)	12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 48	Median = data ke-6 = 19
Lokasi Q1	(11+1) × 0,25 = posisi ke-3	Q1 = 15
Lokasi Q3	(11+1) × 0,75 = posisi ke-9	Q3 = 24
IQR	24 − 15	9
Pagar bawah	15 − 1,5 × 9 = 15 − 13,5	1,5
Pagar atas	24 + 1,5 × 9 = 24 + 13,5	37,5
Outlier?	48 > 37,5 → ya	48 = OUTLIER

Five-number summary: 12 · 15 · 19 · 24 · 48. Kumis atas berhenti di 26; titik outlier di 48. Selidiki — jangan langsung hapus!

Sekarang kita kerjakan boxplot dari nol, dan saya pilih kasus yang sangat sering muncul di bisnis: penjualan harian yang tiba-tiba melonjak di satu hari. Langkah pertama selalu urutkan data; dengan sebelas data, mediannya adalah data ke-enam, yaitu sembilan belas. Langkah kedua, cari letak kuartil dengan rumus n tambah satu dikali persentase — untuk Q1 dapat posisi ketiga yaitu lima belas, dan untuk Q3 posisi kesembilan yaitu dua puluh empat. Langkah ketiga, hitung IQR sembilan, lalu pasang pagar: bawah di satu setengah, atas di tiga puluh tujuh setengah; karena nilai empat puluh delapan melampaui pagar atas, ia kita tandai sebagai outlier. Yang menarik untuk didiskusikan: jangan langsung menghapus outlier ini — bisa jadi itu hari libur nasional, viral di media sosial, atau justru kesalahan input; outlier sering kali adalah informasi paling berharga, bukan sampah yang harus dibuang.

Studi Kasus: Sebaran Harga Pangan Antar-Kota (Gaya Data BPS)

Tiga boxplot berdampingan — harga beras (Rp/kg) dari berbagai pasar di tiga kota. Satu gambar, satu pandang.

Tanpa membaca satu pun tabel angka, boxplot langsung menjawab: kota mana yang harganya konsisten dan di mana ada pasar menyimpang yang perlu ditindaklanjuti.

Boxplot benar-benar bersinar ketika kita harus membandingkan banyak kelompok sekaligus, dan contoh paling konkret di Indonesia adalah pemantauan harga pangan yang rutin dilakukan Badan Pusat Statistik. Bayangkan kita punya harga beras dari berbagai pasar di tiga kota; alih-alih membaca tiga tabel panjang, kita gambar tiga boxplot berdampingan pada sumbu harga yang sama. Sekejap mata, kita bisa melihat Kota A punya kotak sempit yang berarti harganya konsisten antar-pasar, sementara Kota B punya kotak lebar yang berarti harganya beragam, dan Kota C menyimpan satu titik outlier yang menandakan ada satu pasar dengan harga jauh melonjak. Bagi pengambil kebijakan, gambar seperti ini sangat berharga karena langsung mengarahkan perhatian ke tempat yang bermasalah — saya tegaskan, angka-angka di slide ini hanya ilustrasi untuk mengajarkan caranya membaca, bukan data harga riil BPS.

Bagian 4 dari 4

Aturan Sebaran & z-score

Aturan Empiris dan Teorema Chebyshev memberi tahu berapa banyak data dalam jangkauan SD tertentu; z-score mengukur posisi dan menangkap anomali.

z = (x − x̄) ÷ s

Aturan Empiris (68–95–99,7%) — untuk Data Berbentuk Lonceng

Jika data berdistribusi kira-kira normal (lonceng simetris), penyebarannya mengikuti pola yang sangat teratur:

±1 SD

68%

data dalam x̄ ± 1s

±2 SD

95%

data dalam x̄ ± 2s

±3 SD

99,7%

data dalam x̄ ± 3s

Contoh: Imbal hasil rata-rata 10%, SD 4% → ~95% bulan ada di rentang 2% s.d. 18%. Nilai di luar ±3 SD (<−2% atau >22%) sangat langka.

Syarat penting: aturan ini berlaku hanya bila data berbentuk lonceng. Untuk data miring atau tak diketahui bentuknya, pakai Chebyshev (slide berikut).

Banyak data di dunia nyata — tinggi badan, nilai ujian, imbal hasil saham harian — kira-kira berbentuk lonceng simetris yang kita sebut distribusi normal. Untuk data semacam ini berlaku pola yang sangat indah dan mudah diingat, namanya Aturan Empiris: sekitar enam puluh delapan persen data jatuh dalam satu standar deviasi dari rata-rata, sekitar sembilan puluh lima persen dalam dua standar deviasi, dan sekitar sembilan puluh sembilan koma tujuh persen dalam tiga standar deviasi. Artinya, kalau imbal hasil rata-rata sebuah saham sepuluh persen dengan standar deviasi empat persen, maka sekitar sembilan puluh lima persen bulan akan menghasilkan antara dua sampai delapan belas persen, dan apa pun di luar tiga standar deviasi adalah kejadian yang sangat langka. Tetapi tolong ingat satu syarat mutlak: aturan ini hanya berlaku jika datanya benar-benar berbentuk lonceng — kalau datanya miring atau Anda tidak tahu bentuknya, jangan paksakan Aturan Empiris.

Teorema Chebyshev — Berlaku untuk Distribusi Apa Pun

Kalau bentuk data tidak diketahui atau bukan lonceng, Chebyshev tetap memberi jaminan minimum (lebih longgar, tetapi selalu benar).

Minimal ( 1 − 1/k² ) × 100% data berada dalam x̄ ± k·s (k > 1)

k (jumlah SD)	1 − 1/k²	Jaminan minimum
2	1 − 1/4 = 0,75	≥ 75% dalam ±2 SD
3	1 − 1/9 = 0,889	≥ 88,9% dalam ±3 SD
4	1 − 1/16 = 0,9375	≥ 93,75% dalam ±4 SD

Bandingkan dengan Empiris: untuk ±2 SD, Empiris bilang ~95% (tepat, syarat lonceng), Chebyshev menjamin ≥75% (longgar, untuk apa pun). Empiris lebih tajam, Chebyshev lebih aman.

z-score — Mengukur Posisi dalam Satuan Standar Deviasi

z-score menjawab: "sebuah nilai itu berapa standar deviasi dari rata-rata?" Tanda + berarti di atas rata-rata, − berarti di bawah.

z = (x − x̄) ÷ s (populasi: z = (x − μ) ÷ σ)

Membandingkan Skala Berbeda

Nilai 80 di tes (x̄=70, s=5) → z = +2,0. Nilai 85 di tes (x̄=75, s=10) → z = +1,0. Yang z = +2 lebih unggul secara relatif, walau angka mentahnya lebih kecil.

Ambang Outlier Umum

|z|>3

Banyak praktisi menandai nilai dengan |z| > 3 (lebih dari 3 SD dari rata-rata) sebagai kandidat outlier/anomali yang patut diperiksa.

z-score menyetarakan apa pun ke "bahasa standar deviasi" — itulah mengapa ia dipakai membandingkan rapor, hasil tes, sampai mendeteksi transaksi mencurigakan.

z-score adalah salah satu konsep paling serbaguna dalam statistik, dan rumusnya sederhana: ambil sebuah nilai, kurangi rata-rata, lalu bagi dengan standar deviasi. Hasilnya memberi tahu Anda berapa standar deviasi nilai itu berada dari rata-rata — tanda positif berarti di atas, tanda negatif berarti di bawah, dan besarnya menunjukkan seberapa jauh. Kekuatan terbesar z-score adalah kemampuannya membandingkan nilai dari dua skala yang sama sekali berbeda secara adil; misalnya, nilai delapan puluh di ujian yang sulit bisa jadi lebih hebat daripada nilai delapan puluh lima di ujian yang mudah, dan z-score-lah yang membuktikannya dengan menyetarakan keduanya ke "bahasa standar deviasi". Selain sebagai ukuran posisi, z-score juga menjadi detektor outlier yang praktis: banyak analis menandai nilai dengan z-score lebih dari tiga sebagai kandidat anomali.

Coba Sendiri: Hitung z-score & Cek Aturan Empiris

Masukkan nilai, rata-rata, dan SD untuk melihat posisi z-score serta persentase area di bawah kurva 68-95-99,7%.

Studi Kasus: Menangkap Transaksi Anomali dengan z-score

Sistem pemantauan transaksi (gaya yang dipakai bank & PPATK untuk anti-pencucian uang) memakai z-score untuk menandai transaksi yang menyimpang jauh dari pola normal nasabah.

Pola Normal Nasabah

z = +1,0

Transaksi Rp 33 juta → wajar

Transaksi bulanan: x̄ = Rp 25 juta, s = Rp 8 juta. Transaksi Rp 33 juta → z = (33−25)/8 = +1,0. Masih dalam rentang normal.

Transaksi Mencurigakan

z = +6,9

Transaksi Rp 80 juta → DITANDAI

Transaksi Rp 80 juta → z = (80−25)/8 = +6,875 ≈ +6,9. Jauh di atas 3 SD → sistem otomatis MENANDAI untuk pemeriksaan.

z = +6,9 berarti transaksi ini hampir tujuh standar deviasi di atas kebiasaan nasabah. Sistem tidak menuduh, hanya menandai untuk ditinjau analis — statistik memberi sinyal, manusia yang memutuskan.

Sekarang kita lihat bagaimana z-score yang sederhana tadi menjadi alat penting dalam sistem keuangan modern. Bank dan lembaga seperti Pusat Pelaporan dan Analisis Transaksi Keuangan memantau jutaan transaksi setiap hari untuk mencegah pencucian uang, dan mustahil memeriksa semuanya satu per satu secara manual. Salah satu pendekatannya adalah membangun pola normal tiap nasabah — misalnya rata-rata transaksi bulanan dua puluh lima juta dengan standar deviasi delapan juta — lalu menghitung z-score setiap transaksi baru. Transaksi tiga puluh tiga juta menghasilkan z sama dengan satu, masih sangat wajar; tetapi transaksi delapan puluh juta menghasilkan z sekitar tujuh, yang berarti hampir tujuh standar deviasi di atas kebiasaan nasabah dan sangat tidak lazim, sehingga sistem otomatis menandainya untuk ditinjau analis. Saya ingin Anda memperhatikan etika pentingnya: z-score yang tinggi tidak berarti seseorang bersalah — statistik memberi sinyal, manusia yang memutuskan.

Enam Jebakan Saat Mengukur Penyebaran

1 Salah pembagi — data sampel dibagi n, bukan n−1 → variansi bias terlalu kecil.

2 Σx² vs (Σx)² — tertukar di rumus hitung → hasil ngawur. Σx² = kuadratkan dulu; (Σx)² = jumlahkan dulu.

3 Bandingkan SD mentah padahal rata-ratanya beda → harus pakai CV.

4 Empiris ke data miring — 68-95-99,7% hanya untuk lonceng; data miring → Chebyshev.

5 Hapus outlier otomatis — outlier kadang justru informasi terpenting (fraud, krisis, peluang). Selidiki dulu!

6 Lupa urutkan sebelum cari kuartil — kuartil hanya benar pada data terurut.

Cek cepat sebelum menyerahkan jawaban: (1) pembagi n−1? · (2) Σx² vs (Σx)²? · (3) data sudah terurut?

Dari pengalaman memeriksa banyak lembar jawaban, hampir semua kesalahan dalam mengukur penyebaran berasal dari enam jebakan yang sama, jadi saya kumpulkan di sini agar Anda waspada. Jebakan pertama dan paling sering: membagi variansi sampel dengan n, bukan n−1, sehingga hasilnya bias terlalu kecil. Jebakan kedua, tertukar antara Σx² yang mengkuadratkan dulu baru menjumlahkan, dengan (Σx)² yang menjumlahkan dulu baru mengkuadratkan. Jebakan ketiga, membandingkan standar deviasi mentah dua aset padahal rata-ratanya berbeda; jebakan keempat, memaksakan Aturan Empiris ke data yang jelas miring. Dua jebakan terakhir bersifat prosedural tetapi fatal: menghapus outlier secara otomatis tanpa menyelidikinya, dan lupa mengurutkan data sebelum mencari kuartil — biasakan tiga pemeriksaan cepat sebelum menyerahkan jawaban.

Cheat Sheet — Ukuran Penyebaran & Posisi

Ukuran	Rumus	Untuk
Range	Maks − Min	Sebaran kasar, cepat
Deviasi rata-rata (MAD)	Σ\|x − x̄\| / n	Sebaran pakai semua data
Variansi sampel (s²)	Σ(x − x̄)² / (n−1)	Sebaran utama (sampel)
Standar deviasi (s)	√variansi	Sebaran satuan asli
Koef. variasi (CV)	(s / x̄) × 100%	Banding risiko relatif
IQR	Q3 − Q1	Sebaran tahan outlier
Pagar outlier	Q1 − 1,5·IQR · Q3 + 1,5·IQR	Deteksi outlier
z-score	(x − x̄) / s	Posisi & anomali

Aturan sebaran: Empiris (68–95–99,7%, hanya lonceng) · Chebyshev (≥ 1−1/k², distribusi apa pun). Semua ukuran ini menjawab satu hal: seberapa jauh data tersebar dari pusatnya.

Ini slide yang saya sarankan Anda foto dan tempel di meja belajar, karena seluruh pertemuan hari ini sebenarnya bisa diringkas menjadi beberapa rumus inti. Mulai dari yang sederhana — range dan deviasi rata-rata — naik ke yang paling penting yaitu variansi dan standar deviasi sampel dengan pembagi n−1, lalu koefisien variasi untuk membandingkan risiko relatif. Untuk ukuran posisi dan deteksi outlier, kunci Anda ada tiga: IQR sebagai sebaran yang tahan outlier, aturan pagar satu setengah kali IQR untuk menandai outlier, dan z-score untuk mengukur posisi sekaligus menangkap anomali. Yang ingin saya tekankan: jangan menghafal semua ini sebagai daftar terpisah — semuanya lahir dari satu pertanyaan induk, yaitu seberapa jauh nilai-nilai data tersebar dari pusatnya, dan kalau Anda paham pertanyaan induk itu, semua rumus akan terasa logis.

Latihan & Diskusi Kelas

Latihan 1 — Variansi & CV

s, CV

7 menit

Imbal hasil bulanan reksa dana: 5, 3, 7, 4, 6 (%). Hitung rata-rata, variansi sampel, standar deviasi, dan CV. Petunjuk: buat tabel x, x−x̄, (x−x̄)²; cek Σ simpangan = 0.

Latihan 2 — Outlier & Boxplot

IQR

7 menit

Jam lembur 9 karyawan: 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 20. Tentukan Q1, Q3, IQR, pagar 1,5×IQR, dan identifikasi outlier. Petunjuk: urutkan dulu!

Langkah disiplin: untuk variansi buat tabel & cek jumlah simpangan = 0; untuk boxplot urutkan dulu, lalu pagar. Kunci ada di Lampiran B materi kuliah.

Sekarang giliran Anda berhitung, karena ukuran penyebaran hanya benar-benar dikuasai dengan latihan, bukan dengan menonton saya. Latihan pertama menguji rangkaian penuh: dari imbal hasil bulanan sebuah reksa dana, hitung rata-rata, variansi sampel, standar deviasi, lalu koefisien variasi — ingat untuk membuat tabel tiga kolom dan memeriksa bahwa jumlah kolom simpangan sama dengan nol sebagai kontrol kualitas. Latihan kedua adalah soal outlier yang mirip situasi nyata di kantor: data jam lembur sembilan karyawan, di mana satu orang mencatat dua puluh jam yang mencolok dibanding rekan-rekannya; tentukan kuartil, IQR, dan pagar, lalu periksa apakah dua puluh jam itu benar-benar outlier secara statistik. Sebelum menghitung, biasakan dua langkah disiplin: untuk variansi selalu buat tabel rapi, dan untuk boxplot selalu urutkan data lebih dulu.

Persiapan Pertemuan 5 — Konsep Peluang

Hari ini Anda menguasai ukuran penyebaran & deteksi outlier — pelengkap ukuran pemusatan minggu lalu. Bersama, keduanya melukiskan data secara utuh.

Pertemuan 5 — Peluang (Probabilitas)

Dari mendeskripsikan data → ke mengukur ketidakpastian. Konsep peluang melandasi distribusi normal & z-score yang baru Anda kenal hari ini.

Bawa kalkulator ke kelas berikutnya.

Tugas Mandiri — Latih

SD & CV

pilih saham/reksa dana

Ambil 1 saham/reksa dana favorit, kumpulkan ~6 imbal hasil bulanan, hitung sendiri SD & CV-nya. Bandingkan dengan aset lain!

Kuasai standar deviasi, CV, IQR, dan z-score malam ini. Sampai jumpa di Pertemuan 5 — Konsep Peluang!

Kita sampai di penghujung pertemuan yang padat ini, dan saya harap Anda kini melihat bahwa mendeskripsikan data butuh dua kaki: ukuran pemusatan dari minggu lalu yang memberi tahu "di mana pusatnya", dan ukuran penyebaran hari ini yang memberi tahu "seberapa menyebarnya". Tanpa keduanya, gambaran data selalu pincang — rata-rata tanpa standar deviasi sama menyesatkannya dengan menyeberang sungai hanya bermodal kedalaman rata-rata. Pertemuan depan kita melangkah dari mendeskripsikan data ke mengukur ketidakpastian, yaitu konsep peluang atau probabilitas, yang sebenarnya sudah Anda intip hari ini lewat distribusi normal dan z-score. Tugas mandiri Anda menyenangkan sekaligus berguna: pilih satu saham atau reksa dana yang Anda minati, kumpulkan sekitar enam imbal hasil bulanannya, lalu hitung sendiri standar deviasi dan koefisien variasinya seperti yang kita lakukan di kelas — kuasai standar deviasi, koefisien variasi, IQR, dan z-score malam ini, dan sampai jumpa minggu depan.