RPS minggu 9 · 2x50 menit
Penilaian Opsi — Model Binomial & Intuisi Black-Scholes Sekuritas Derivatif dan Pendapatan Tetap — Magister Manajemen FEB UNDIP Pertemuan kesembilan masuk ke penilaian opsi — bagaimana premi yang kita bahas minggu lalu ditentukan. Kita bangun intuisi via model binomial (pohon satu periode), lalu sambungkan ke intuisi Black-Scholes tanpa derivasi matematis penuh. Untuk Anda yang bekerja di treasury atau sedang mengevaluasi quote opsi OTC dari bank, pemahaman ini krusial untuk verifikasi kewajaran harga. Empat Indikator Hari Ini Sub-CPMK 9: Mahasiswa dapat menjelaskan logika penilaian opsi dengan model binomial sederhana.
Tiga pendekatan penilaian opsi No-arbitrage & risk-neutral pricing HDN-1: binomial satu periode Multi-periode & Black-Scholes intuitif Peran N(d1), N(d2) Implied volatility & treasury korporasi Empat indikator dibagi dua sesi. Sesi pertama bangun intuisi no-arbitrage & risk-neutral pricing, lalu HDN-1 binomial satu periode yang bisa Anda hitung sendiri. Sesi kedua sambungkan ke multi-periode dan intuisi Black-Scholes — tanpa derivasi matematis penuh. Penekanan: logika, bukan rumus hafalan. Treasury manager yang paham logika bisa verifikasi kewajaran quote opsi OTC dari bank. Mengapa Perlu Model Penilaian Opsi? Premi opsi bukan ditentukan oleh "feeling" bank — ada model kuantitatif yang bisa Anda verifikasi.
Quote bank → black box Treasury tidak bisa negotiate Risiko overpaying premi Quote transparan & verifiable Treasury bisa benchmark Implied volatility = negotiating leverage Mengapa perlu model penilaian opsi? Tanpa model, premi yang di-quote bank adalah black box — treasury tidak bisa negotiate atau verifikasi kewajaran. Dengan model, treasury bisa benchmark quote, terutama implied volatility yang sering jadi negotiating leverage. Untuk Anda di korporasi dengan eksposur besar, pemahaman model = posisi tawar. Bagian 1
Intuisi Penilaian Opsi
Diskusi: kalau Anda tahu opsi akan ITM di maturity, berapa Anda bayar hari ini?
Sebelum rumus, satu pertanyaan refleksi: kalau Anda tahu opsi pasti ITM (in-the-money) di maturity, berapa Anda bayar hari ini? Jawabannya: PV (present value) dari payoff akhir. Tetapi karena kita tidak tahu pasti, model menimbang berbagai skenario. Inilah intuisi penilaian opsi: expected payoff yang didiskontokan, tetapi dengan "probabilitas khusus" yang akan kita bahas. Tiga Pendekatan Penilaian Opsi Bangun portofolio underlying + bond Replicate payoff opsi No-arbitrage → harga = portofolio Diskonto expected payoff Pakai probabilitas risk-neutral Lebih cepat komputasi Rumus eksplisit (Black-Scholes) Asumsi distribusi lognormal Industri untuk opsi Eropa vanilla Tiga pendekatan penilaian opsi yang ekuivalen. Replikasi: bangun portofolio underlying + bond yang replicate payoff opsi; via no-arbitrage, harga opsi = harga portofolio. Risk-neutral: diskonto expected payoff pakai probabilitas risk-neutral. Closed-form: rumus eksplisit Black-Scholes untuk opsi Eropa vanilla. Semua memberi harga yang sama jika asumsi konsisten. Prinsip No-Arbitrage No-arbitrage: dua portofolio dengan payoff identik di masa depan harus memiliki harga yang sama hari ini. Jika tidak, ada peluang arbitrase bebas risiko.
Π_option = Π_replicate (otherwise arbitrage)
Inilah jangkar logika seluruh penilaian derivatif: kita tidak perlu tahu "harga sebenarnya" — kita hanya perlu tahu berapa biaya mereplikasi payoff.
Prinsip no-arbitrage adalah jangkar seluruh penilaian derivatif. Dua portofolio dengan payoff identik di masa depan harus memiliki harga yang sama hari ini; jika tidak, ada peluang arbitrase bebas risiko. Inilah mengapa kita tidak perlu tahu "harga sebenarnya" opsi — kita hanya perlu tahu berapa biaya mereplikasi payoffnya. Logika ini berlaku untuk forward, futures, opsi, swap, semua derivatif. Konsep Risk-Neutral Pricing Pandangan investor terhadap market Berbeda per investor Sulit diestimasi Asumsi semua investor risk-neutral Diskonto pakai risk-free rate r Memberi harga yang sama dengan replikasi Risk-neutral bukan asumsi bahwa investor benar-benar risk-neutral — ini adalah shortcut matematis yang memberi harga yang sama dengan no-arbitrage.
Risk-neutral pricing adalah shortcut elegan. Probabilitas riil p berbeda per investor, sulit diestimasi. Probabilitas risk-neutral q adalah asumsi semua investor risk-neutral — yaitu diskonto expected payoff pakai risk-free rate r. Memberi harga yang sama dengan replikasi. Penting: risk-neutral bukan asumsi investor benar-benar risk-neutral; ini shortcut matematis yang konsisten dengan no-arbitrage. HDN-1: Binomial Satu Periode — Harga Call S₀=100, u=1.1, d=0.9, K=100, r=5% per periode. Hitung call price.
Langkah Perhitungan Nilai 1. Harga naik (Su) S₀ × u = 100 × 1.1 110 2. Harga turun (Sd) S₀ × d = 100 × 0.9 90 3. Payoff call naik (Cu) max(110−100, 0) 10 4. Payoff call turun (Cd) max(90−100, 0) 0 5. Probabilitas risk-neutral q (e^rT − d)/(u − d) = (1.05−0.9)/(1.1−0.9) 0.75 6. Harga call C₀ e^(−rT) × [q·Cu + (1−q)·Cd] (1/1.05) × 7.5 ≈ 7.14
Harga Call 1-Periode
≈ 7.14
Verifikasi: portofolio replikasi Δ·S + B memberi payoff yang sama
Mari kita hitung langkah demi langkah. Harga naik menjadi 110, turun menjadi 90. Payoff call: 10 dan 0. Probabilitas risk-neutral: q = (1.05 - 0.9)/(1.1 - 0.9) = 0.75. Harga call = diskonto × expected payoff = (1/1.05) × (0.75 × 10 + 0.25 × 0) = 7.14. Diskusi: kalau q bukan 0.75, apakah harga berubah? Tidak — q adalah fungsi u, d, r; tidak bergantung preferensi investor. Bagian 2
Model Binomial
Diskusi: apa keuntungan memperbanyak langkah (periode) dalam pohon binomial?
Pertanyaan refleksi: apa keuntungan memperbanyak langkah dalam pohon binomial? Jawabannya: semakin banyak langkah, semakin halus distribusi harga akhir — konvergen ke Black-Scholes untuk opsi Eropa. Tetapi untuk opsi Amerika (early exercise), binomial lebih akurat karena bisa cek exercise di tiap node. Asumsi & Pohon Binomial S₀ u (naik) d (turun) uu ud/du du dd Pohon binomial 2-periode. Dari S₀, harga naik dengan faktor u atau turun dengan d. Setelah dua periode, ada empat kemungkinan outcome: uu, ud/du, du, dd. Backward induction: hitung harga opsi di setiap node akhir, lalu diskontokan mundur ke node sebelumnya, sampai ke S₀. Asumsi: u, d, r konstan per periode; no-arbitrage berlaku (d < e^rT < u). Replikasi Portofolio Beli Δ saham underlying Pinjam B dalam risk-free bond Replicate payoff call di u & d Δ·Su − B·e^rT = Cu Δ·Sd − B·e^rT = Cd Solve: Δ, B → harga call = Δ·S₀ − B Untuk HDN-1: Δ = (Cu − Cd)/(Su − Sd) = (10 − 0)/(110 − 90) = 0.5 saham. Replikasi memberi harga yang sama dengan risk-neutral.
Replikasi: beli Δ saham, pinjam B dalam bond. Bangun sistem dua persamaan: Δ·Su − B·e^rT = Cu dan Δ·Sd − B·e^rT = Cd. Solve Δ dan B. Harga call = Δ·S₀ − B. Untuk HDN-1: Δ = 0.5, memberi harga yang sama dengan risk-neutral pricing. Inilah keindahan no-arbitrage — dua metode berbeda memberi harga yang sama. HDN-2: Multi-Periode (2 Langkah) — Backward Induction S₀=100, u=1.1, d=0.9, K=100, r=5% per periode (2 periode). Hitung via backward induction.
Langkah Perhitungan Nilai 1. Harga akhir (Suu, Sud, Sdd) 100×1.21, 100×0.99, 100×0.81 121, 99, 81 2. Payoff akhir (call) max(−K, 0) 21, 0, 0 3. Node Cu (node tengah-atas) e^(−rT) × [q·21 + (1−q)·0] (1/1.05) × 15.75 = 15 4. Node Cd (node tengah-bawah) e^(−rT) × [q·0 + (1−q)·0] 0 5. Harga call awal C₀ e^(−rT) × [q·15 + (1−q)·0] (1/1.05) × 11.25 ≈ 10.71
Harga Call 2-Periode
≈ 10.71
Lebih tinggi dari 1-periode karena lebih banyak peluang naik signifikan
Multi-periode via backward induction. Hitung harga akhir di tiga node (121, 99, 81), payoff call (21, 0, 0). Mundur satu langkah: di node Cu, expected payoff didiskontokan = 15. Di node Cd = 0. Mundur lagi ke S₀: diskonto expected = (1/1.05) × (0.75 × 15) = 10.71. Lebih tinggi dari 1-periode karena lebih banyak peluang underlying naik signifikan. Bagian 3
Intuisi Black-Scholes
Diskusi: apa limit pohon binomial saat jumlah periode → tak terhingga?
Pertanyaan refleksi: apa limit pohon binomial saat jumlah periode menuju tak terhingga? Jawabannya: distribusi harga akhir menjadi lognormal, dan rumus binomial konvergen ke Black-Scholes. Inilah jembatan intuisi antara dua model — Black-Scholes adalah limit kontinu dari binomial diskret. Lima Input Black-Scholes Input Simbol Sumber/Estimasi Harga spot S Pasar spot real-time Strike price K Spec kontrak opsi Waktu ke maturity T Kalender kontrak Risk-free rate r Yield SUN / rate referensi BI Volatilitas σ Historical atau implied dari harga opsi pasar
Empat input pertama observable di pasar. Volatilitas (σ) adalah input "yang tidak terlihat" — sering jadi sumber perdebatan dan negotiating leverage.
Lima input Black-Scholes. Empat pertama observable: harga spot S, strike K, waktu T, risk-free rate r (yield SUN atau rate referensi BI). Volatilitas σ adalah input yang tidak terlihat langsung — bisa diestimasi dari data historis atau implied dari harga opsi pasar. Inilah mengapa σ sering jadi sumber perdebatan dan negotiating leverage antara treasury dan bank. Peran N(d1) dan N(d2) C = S · N(d1) − K · e^(−rT) · N(d2)
Probabilitas risk-neutral exercise Diberi weight oleh harga spot Bukan probabilitas profit dunia nyata Probabilitas risk-neutral opsi ITM Diberi weight oleh PV strike Bukan probabilitas profit dunia nyata Miskonsepsi: N(d1) dan N(d2) bukan probabilitas profit dunia nyata — mereka probabilitas risk-neutral.
Rumus Black-Scholes untuk call: C = S·N(d1) − K·e^(−rT)·N(d2). N(d1) dan N(d2) adalah probabilitas risk-neutral exercise, bukan probabilitas profit dunia nyata. Miskonsepsi umum: banyak yang mengira N(d2) adalah peluang profit — keliru. Mereka adalah shortcut matematis dalam kerangka risk-neutral. Untuk Anda yang ingin lebih dalam, Hull bab 15 menjelaskan derivasi intuitif. Mini-Kasus: OTC Option Korporasi (Treasury) Langkah Keputusan Treasury Estimasi 1. Eksposur Importir USD 6-bulan ~USD 1 mio exposure 2. Quote bank Call USD/IDR premi ~1,8% notional 3. Treasury model Black-Scholes verify S, K, T, r observable; σ = ? 4. Implied vol Solve σ dari premi ~ implied 22% (vs hist 18%) 5. Negosiasi Benchmark vs competitor Bandar prem 1,5–2% fair
Treasury Insight
Implied vol 22% vs hist 18% → bank charge premium untuk vol risk → negotiate bandar
Mini-kasus treasury korporasi. Importir USD 6-bulan, quote bank premi ~1,8%. Treasury verifikasi via Black-Scholes: empat input pertama observable, σ implied dari premi yang di-quote. Hasil implied vol ~22% vs historical 18% — bank charge premium untuk vol risk. Negosiasi: benchmark 1,5–2% adalah bandar wajar. Diskusi: kapan treasury terima premi tinggi? Saat view vol pasar naik (krisis/regime change). Bagian 4
Aplikasi Treasury
Diskusi: bagaimana treasury korporasi memantau implied volatility untuk keputusan hedging?
Pertanyaan refleksi: bagaimana treasury korporasi memantau implied volatility untuk keputusan hedging? Treasury canggih melacak vol surface — grid implied vol vs strike dan maturity. Kalau implied vol rendah (regime tenang), beli opsi lebih murah. Kalau implied vol tinggi (krisis/election), premi naik — mungkin tunda hedge atau pakai strategi kombinasi (spread) untuk reduce cost. Implied Volatility & "Vol Surface" Solve σ dari harga opsi pasar Forward-looking (bukan historis) Industri standar untuk quote Grid σ vs strike & maturity Smile/skew adalah fakta pasar Bertentangan dengan asumsi BS σ konstan Vol surface adalah "koreksi pasar" terhadap asumsi Black-Scholes σ konstan — implied vol berbeda untuk strike dan maturity berbeda.
Implied volatility adalah solve σ dari harga opsi pasar — forward-looking, bukan historis. Industri pakai implied untuk quote. Vol surface: grid σ vs strike dan maturity. Smile/skew adalah fakta pasar — implied vol berbeda untuk strike OTM vs ATM. Bertentangan dengan asumsi Black-Scholes σ konstan. Treasury canggih memantau vol surface untuk timing hedging opsi. Eksplorasi: Black-Scholes Interaktif Geser S, K, T, r, σ — amati bagaimana harga call Black-Scholes berubah terhadap tiap input.
Silakan maju satu mahasiswa. Geser volatilitas (σ) ke atas — harga call naik. Ini kontra-intuitif bagi pemula: kenapa opsi lebih mahal saat volatile? Karena asimetri opsi (rugi terbatas premi, profit tidak terbatas), volatilitas tinggi = peluang profit besar lebih tinggi. Bandingkan output Black-Scholes vs model machine learning yang dilatih dari data — intuisi pricing kuantitatif. Latihan & Persiapan Pertemuan 10 Latihan individu (sebelum P10): Hitung call 1-periode: S₀=50, u=1.2, d=0.8, K=55, r=4%. Verifikasi via replikasi portofolio.
Baca Hull bab 7 (Swap) Konsep IRS: fixed ↔ floating CCS: pertukaran pokok & kupon antar valuta Latihan: hitung call 1-periode dengan angka berbeda — S₀=50, u=1.2, d=0.8, K=55, r=4%. Verifikasi via replikasi portofolio memberi harga yang sama dengan risk-neutral pricing. Pertemuan berikutnya masuk ke swap — suku bunga dan valuta. IRS: tukar kupon fixed ↔ floating. CCS: tukar pokok dan kupon antar valuta. Ringkasan Kunci Pertemuan 9 No-Arbitrage
Harga derivatif = biaya replikasi payoff
Risk-Neutral
Probabilitas khusus q, bukan preferensi riil
Implied Vol
σ dari harga pasar — negotiating leverage treasury
Black-Scholes adalah limit kontinu binomial — logikanya sama, hanya beda diskonto kontinu vs diskret.
Tiga pesan kunci: no-arbitrage menjamin harga derivatif = biaya replikasi payoff; risk-neutral adalah shortcut matematis dengan probabilitas khusus q, bukan preferensi riil investor; implied volatility adalah σ yang di-solve dari harga pasar — negotiating leverage treasury saat verifikasi quote bank. Black-Scholes adalah limit kontinu binomial; logikanya sama, hanya beda diskonto kontinu vs diskret.