Penilaian Opsi — Model Binomial & Intuisi Black-Scholes
Sekuritas Derivatif dan Pendapatan Tetap — Magister Manajemen FEB UNDIP
Empat Indikator Hari Ini
Sub-CPMK 9: Mahasiswa dapat menjelaskan logika penilaian opsi dengan model binomial sederhana.
Jam ke-1
Tiga pendekatan penilaian opsi
No-arbitrage & risk-neutral pricing
HDN-1: binomial satu periode
Jam ke-2
Multi-periode & Black-Scholes intuitif
Peran N(d1), N(d2)
Implied volatility & treasury korporasi
Mengapa Perlu Model Penilaian Opsi?
Premi opsi bukan ditentukan oleh "feeling" bank — ada model kuantitatif yang bisa Anda verifikasi.
Tanpa Model
Quote bank → black box
Treasury tidak bisa negotiate
Risiko overpaying premi
Dengan Model
Quote transparan & verifiable
Treasury bisa benchmark
Implied volatility = negotiating leverage
Bagian 1
Intuisi Penilaian Opsi
Diskusi: kalau Anda tahu opsi akan ITM di maturity, berapa Anda bayar hari ini?
Tiga Pendekatan Penilaian Opsi
1. Replikasi
Bangun portofolio underlying + bond
Replicate payoff opsi
No-arbitrage → harga = portofolio
2. Risk-Neutral
Diskonto expected payoff
Pakai probabilitas risk-neutral
Lebih cepat komputasi
3. Closed-Form
Rumus eksplisit (Black-Scholes)
Asumsi distribusi lognormal
Industri untuk opsi Eropa vanilla
Prinsip No-Arbitrage
No-arbitrage: dua portofolio dengan payoff identik di masa depan harus memiliki harga yang sama hari ini. Jika tidak, ada peluang arbitrase bebas risiko (lihat kontrak-derivatif untuk prinsip ini pada forward, futures, opsi, dan swap).
$\Pi_{\text{opsi}} = \Pi_{\text{replikasi}} \quad (\text{kalau tidak, ada arbitrase})
Inilah jangkar logika seluruh penilaian derivatif: kita tidak perlu tahu "harga sebenarnya" — kita hanya perlu tahu berapa biaya mereplikasi payoff.
Konsep Risk-Neutral Pricing
Probabilitas Riil (p)
Pandangan investor terhadap market
Berbeda per investor
Sulit diestimasi
Probabilitas Risk-Neutral (q)
Asumsi semua investor risk-neutral
Diskonto pakai risk-free rate r
Memberi harga yang sama dengan replikasi
Risk-neutral bukan asumsi bahwa investor benar-benar risk-neutral — ini adalah shortcut matematis yang memberi harga yang sama dengan no-arbitrage.
HDN-1: Binomial Satu Periode — Harga Call
S₀=100, u=1.1, d=0.9, K=100, r=5% per periode. Hitung call price.
S₀=100, u=1.1, d=0.9, K=100, r=5% per periode (2 periode). Hitung via backward induction.
Langkah
Perhitungan
Nilai
1. Harga akhir (Suu, Sud, Sdd)
100×1.21, 100×0.99, 100×0.81
121, 99, 81
2. Payoff akhir (call)
max(−K, 0)
21, 0, 0
3. Node Cu (node tengah-atas)
$e^{-rT} \times [q \cdot 21 + (1-q) \cdot 0]$
(1/1.05) × 15.75 = 15
4. Node Cd (node tengah-bawah)
$e^{-rT} \times [q \cdot 0 + (1-q) \cdot 0]$
0
5. Harga call awal C₀
$e^{-rT} \times [q \cdot 15 + (1-q) \cdot 0]$
(1/1.05) × 11.25 ≈ 10.71
Harga Call 2-Periode
≈ 10.71
Lebih tinggi dari 1-periode karena lebih banyak peluang naik signifikan
Bagian 3
Intuisi Black-Scholes
Diskusi: apa limit pohon binomial saat jumlah periode → tak terhingga?
Lima Input Black-Scholes
Input
Simbol
Sumber/Estimasi
Harga spot
S
Pasar spot real-time
Strike price
K
Spec kontrak opsi
Waktu ke maturity
T
Kalender kontrak
Risk-free rate
r
Yield SUN / rate referensi BI
Volatilitas
σ
Historical atau implied dari harga opsi pasar
Empat input pertama observable di pasar. Volatilitas (σ) adalah input "yang tidak terlihat" — sering jadi sumber perdebatan dan negotiating leverage.
Coba Sendiri: Diagram Payoff Opsi Call & Put
Lihat bentuk hockey-stick long call dan long put — dasar visual untuk memahami premi yang dihitung Black-Scholes.
Peran N(d1) dan N(d2)
$C = S \cdot N(d_1) - K \cdot e^{-rT} \cdot N(d_2)
dengan $d_1 = \dfrac{\ln(S/K) + (r + \tfrac{1}{2}\sigma^{2})T}{\sigma \sqrt{T}}$ dan $d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}$.
N(d1)
Probabilitas risk-neutral exercise
Diberi weight oleh harga spot
Bukan probabilitas profit dunia nyata
N(d2)
Probabilitas risk-neutral opsi ITM
Diberi weight oleh PV strike
Bukan probabilitas profit dunia nyata
Miskonsepsi: N(d1) dan N(d2) bukan probabilitas profit dunia nyata — mereka probabilitas risk-neutral. Derivasi penuh dan penurunan rumus d1, d2 dibahas di artikel option-pricing-black-scholes.
Mini-Kasus: OTC Option Korporasi (Treasury)
Langkah
Keputusan Treasury
Estimasi
1. Eksposur
Importir USD 6-bulan
~USD 1 mio exposure
2. Quote bank
Call USD/IDR premi
~1,8% notional
3. Treasury model
Black-Scholes verify
S, K, T, r observable; σ = ?
4. Implied vol
Solve σ dari premi
~ implied 22% (vs hist 18%)
5. Negosiasi
Benchmark vs competitor
Bandar prem 1,5–2% fair
Treasury Insight
Implied vol 22% vs hist 18% → bank charge premium untuk vol risk → negotiate bandar
Bagian 4
Aplikasi Treasury
Diskusi: bagaimana treasury korporasi memantau implied volatility untuk keputusan hedging?
Implied Volatility & "Vol Surface"
Implied Volatility
Solve σ dari harga opsi pasar
Forward-looking (bukan historis)
Industri standar untuk quote
Vol Surface
Grid σ vs strike & maturity
Smile/skew adalah fakta pasar
Bertentangan dengan asumsi BS σ konstan
Vol surface adalah "koreksi pasar" terhadap asumsi Black-Scholes σ konstan — implied vol berbeda untuk strike dan maturity berbeda. Volatilitas juga menggerakkan ekuitas value-at-risk treasury.
Eksplorasi: Black-Scholes Interaktif
Geser S, K, T, r, σ — amati bagaimana harga call Black-Scholes berubah terhadap tiap input.