Sub-CPMK 5: membandingkan VaR dan Expected Shortfall sebagai ukuran risiko. Empat indikator capaian.
Jam ke-1 (50 menit)
Empat aksioma ukuran koheren (Artzner 1999)
Mengapa VaR gagal sub-aditif — contoh numerik
Hitung dari nol: contoh gagal sub-aditif
Jam ke-2 (50 menit)
Expected Shortfall: definisi & sifat
ES ≥ VaR; migrasi FRTB Basel
Menghitung ES di praktik; persiapan P6 (backtesting)
Posisi: P5 kritis terhadap VaR (P4); P6 backtesting; P7 stress; P13 model risk.
Krisis 2008: Mengapa VaR Gagal
Selama krisis 2008, model VaR di bank-bank global dijebol beruntun — exception jauh di atas ekspektasi 1%.
Exception Ekspektasi VaR 99%
~2-3 / tahun
250 hari × 1% = 2,5 exception tahunan (teori)
Exception Realisasi 2008
~10-20×
banyak bank alami 20-50 exception; clustering (BCBS, dihedge)
Pertanyaan pemantik: apakah kegagalan 2008 karena VaR secara konseptual salah, atau karena implementasi yang lemah?
Bagian 1 · 1/4
Sifat Ukuran Risiko Koheren
Diskusi kelas: jika diversifikasi seharusnya mengurangi risiko, mengapa ukuran risiko yang baik harus mencerminkan hal itu?
Empat Aksioma Koherensi (Artzner 1999)
Artzner, Delbaen, Eber, Heath (1999) mendefinisikan ukuran risiko koheren sebagai yang memenuhi empat aksioma: monoton, sub-aditif, homogen positif, translasi-invarian.
Jika ukuran risiko gagal sub-aditif, "diversifikasi" menjadi formaliti — portofolio bisa tampak lebih berisiko daripada bagian-bagiannya.
Mengapa VaR Bisa Non-sub-aditif
Pada distribusi diskrit dengan probabilitas ekor dekat ambang α, dua aset individu bisa masing-masing tidak melanggar VaR, tetapi gabungan melanggar.
Mekanisme Kegagalan
Aset X: loss 0 atau Rp 100 M, p = 4%
Aset Y: loss 0 atau Rp 100 M, p = 4% (independen)
VaR 95% individu = 0 (loss > 0 hanya 4% < 5%)
Gabungan: P(setidaknya satu gagal) = 1−(0,96)² = 7,84% > 5%
Implikasi
VaR 95% gabungan = Rp 100 M
VaR(X+Y) = 100 M > VaR(X) + VaR(Y) = 0
Gagal sub-aditif!
Cadangan modal berbasis VaR underestimate
Inilah dasar matematis mengapa VaR tidak koheren — dan mengapa FRTB menggantinya dengan ES.
Coba Sendiri: Empat Aksioma — Mana yang Dilanggar VaR?
Empat aksioma koherensi Artzner 1999: monotonisitas, translasi-free, positif homogen, sub-aditif. Klik tiap aksioma untuk melihat apakah VaR memenuhi atau melanggar — dan demonstrasi numerik pelanggaran sub-aditivitas.
Hitung dari Nol: Contoh Numerik Gagal Sub-aditif VaR
Skenario: Dua obligasi masing-masing loss 0 (p=96%) atau Rp 100 juta (p=4%), independen. Bandingkan VaR 95% individu, gabungan, dan ES gabungan.
Diskusi kelas: selain gagal sub-aditif, kelemahan apa lagi VaR yang membuat regulator beralih ke ES?
VaR Buta pada Ekor Lebih Dalam
VaR hanya memberi kuantil pada α — tidak mengatakan apa-apa tentang seberapa besar kerugian saat ambang dilampaui.
Portofolio
VaR 99%
Ekor > VaR
ES 99%
A (loss capped Rp 100 jt)
Rp 100 jt
Maks Rp 100 jt
Rp 100 jt
B (loss tail tipis)
Rp 100 jt
Rp 100-110 jt
~Rp 105 jt
C (loss fat tail)
Rp 100 jt
Rp 100 jt - Rp 500 jt
~Rp 200 jt
Tiga portofolio dengan VaR sama → ES sangat berbeda. VaR menyembunyikan risiko ekor.
Coba Sendiri: VaR Menyebut Ambang, ES Menyebut Keparahan
Geser confidence level dan kurtosis — lihat bagaimana VaR tetap tetap di ambang, sementara ES menyatakan rata-rata keparahan di ekor.
Banyak Portofolio, VaR Sama, ES Berbeda
VaR adalah satu titik pada distribusi — ES merangkum seluruh ekor.
VaR — Informasi Terbatas
Hanya satu kuantil pada α
Tidak peduli seberapa dalam kerugian setelahnya
Bisa menyamarkan portofolio berisiko ekstrem
Mudah dimanipulasi (regulatory arbitrage)
ES — Informasi Ekor Lengkap
Rata-rata seluruh ekor di atas VaR
Menangkap magnitude kerugian ekstrem
Koheren (memenuhi empat aksioma)
Lebih sulit dimanipulasi
ES memberi gambaran lebih lengkap — inilah mengapa FRTB Basel mengadopsinya sebagai standar baru.
Manipulasi: Menggeser Kerugian ke Lewat VaR
Praktik "regulatory arbitrage": merestrukturisasi posisi agar kerugian terjadi tepat di atas VaR sehingga VaR tetap kecil.
Strategi
Mekanisme
Implikasi
Penjualan opsi jauh OTM
Premium kecil, risiko ekor besar
VaR rendah; ES tinggi
Carry trade
Pickup bunga, risiko crash
VaR harian rendah; tail risk
Short volatility
Pendapatan stabil, krisis ekstrem
VaR menyesatkan
Structuring
Menggeser loss ke lewat ambang VaR
VaR tidak melihat; ES melihat
Inilah mengapa regulator curiga pada bank dengan VaR rendah tetapi ES tinggi — sinyal regulatory arbitrage.
Hitung dari Nol: Bandingkan VaR vs ES pada 2 Distribusi
Skenario: Bandingkan VaR 95% dan ES 95% pada distribusi loss normal (μ=0, σ=10 juta) vs distribusi loss fat tail (t-Student df=5, scaled σ=10 juta). Portofolio Rp 100 M.
ES lebih tinggi pada fat tail; ES menangkap kerugian ekor yang disembunyikan VaR
Bagian 3 · 3/4
Expected Shortfall
Diskusi kelas: jika ES selalu lebih besar dari VaR, mengapa tidak selalu memakai ES? Apa trade-offnya?
Definisi ES: Rata-rata Kerugian Melebihi VaR
Expected Shortfall (ES, juga Conditional VaR) adalah ekspektasi kerugian bersyarat pada kerugian melebihi VaR. $\text{ES}_\alpha = E[L \mid L > \text{VaR}_\alpha]$. ES koheren (memenuhi empat aksioma Artzner). (Acerbi & Tasche, 2002)
Definisi
$\text{ES}_\alpha = E[L \mid L > \text{VaR}_\alpha]$
Sifat
Koheren; sub-aditif; menangkap ekor
Standar
FRTB Basel 97,5% 10-hari
$$\text{ES}_\alpha = E[L \mid L > \text{VaR}_\alpha] = \frac{1}{1-\alpha} \cdot \int_{\text{VaR}_\alpha}^{\infty} L \cdot f(L)\, dL$$
ES Selalu ≥ VaR
Pada distribusi normal, $\text{ES}_{95\%} \approx 1{,}25 \times \text{VaR}_{95\%}$; pada fat tail, rasio lebih tinggi.
Coba Sendiri: ES Sub-aditif — Mengapa ES Koheren
Bandingkan VaR dan ES secara langsung dengan tabel properti. Lihat area di kurva distribusi yang diukur masing-masing dan mengapa ES selalu koheren (sub-aditif).
Eksplorasi Interaktif: VaR vs Expected Shortfall
Geser parameter distribusi loss di bawah untuk merasikan sensitivitas VaR dan ES — alat yang sama bisa Anda pakai untuk menganalisis portofolio treasury sendiri.