RPS minggu 5 · 2x50 menit

Expected Shortfall: Kelemahan VaR & Alternatif

Permodelan Risiko — Magister Manajemen FEB UNDIP

Peta Pembelajaran Hari Ini

Sub-CPMK 5: membandingkan VaR dan Expected Shortfall sebagai ukuran risiko. Empat indikator capaian.

Jam ke-1 (50 menit)

Empat aksioma ukuran koheren (Artzner 1999)
Mengapa VaR gagal sub-aditif — contoh numerik
Hitung dari nol: contoh gagal sub-aditif

Jam ke-2 (50 menit)

Expected Shortfall: definisi & sifat
ES ≥ VaR; migrasi FRTB Basel
Menghitung ES di praktik; persiapan P6 (backtesting)

Posisi: P5 kritis terhadap VaR (P4); P6 backtesting; P7 stress; P13 model risk.

Krisis 2008: Mengapa VaR Gagal

Selama krisis 2008, model VaR di bank-bank global dijebol beruntun — exception jauh di atas ekspektasi 1%.

Exception Ekspektasi VaR 99%

~2-3 / tahun

250 hari × 1% = 2,5 exception tahunan (teori)

Exception Realisasi 2008

~10-20×

banyak bank alami 20-50 exception; clustering (BCBS, dihedge)

Pertanyaan pemantik: apakah kegagalan 2008 karena VaR secara konseptual salah, atau karena implementasi yang lemah?

Bagian 1 · 1/4

Sifat Ukuran Risiko Koheren

Diskusi kelas: jika diversifikasi seharusnya mengurangi risiko, mengapa ukuran risiko yang baik harus mencerminkan hal itu?

Empat Aksioma Koherensi (Artzner 1999)

Artzner, Delbaen, Eber, Heath (1999) mendefinisikan ukuran risiko koheren sebagai yang memenuhi empat aksioma: monoton, sub-aditif, homogen positif, translasi-invarian.

Aksioma	Definisi	Intuisi
Monoton	X ≤ Y ⇒ ρ(X) ≤ ρ(Y)	Loss lebih besar → risiko lebih besar
Sub-aditif	ρ(X+Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y)	Diversifikasi mengurangi risiko
Homogen positif	ρ(λX) = λ·ρ(X), λ>0	Scaling linear dengan ukuran posisi
Translasi-invarian	ρ(X+c) = ρ(X) + c	Menambah kerugian tetap menambah risiko

Koheren = monoton + sub-aditif + homogen positif + translasi-invarian

Sub-aditif: Logika Diversifikasi

Jika ukuran risiko gagal sub-aditif, "diversifikasi" menjadi formaliti — portofolio bisa tampak lebih berisiko daripada bagian-bagiannya.

Mengapa VaR Bisa Non-sub-aditif

Pada distribusi diskrit dengan probabilitas ekor dekat ambang α, dua aset individu bisa masing-masing tidak melanggar VaR, tetapi gabungan melanggar.

Mekanisme Kegagalan

Aset X: loss 0 atau Rp 100 M, p = 4%
Aset Y: loss 0 atau Rp 100 M, p = 4% (independen)
VaR 95% individu = 0 (loss > 0 hanya 4% < 5%)
Gabungan: P(setidaknya satu gagal) = 1−(0,96)² = 7,84% > 5%

Implikasi

VaR 95% gabungan = Rp 100 M
VaR(X+Y) = 100 M > VaR(X) + VaR(Y) = 0
Gagal sub-aditif!
Cadangan modal berbasis VaR underestimate

Inilah dasar matematis mengapa VaR tidak koheren — dan mengapa FRTB menggantinya dengan ES.

Hitung dari Nol: Contoh Numerik Gagal Sub-aditif VaR

Skenario: Dua obligasi masing-masing loss 0 (p=96%) atau Rp 100 juta (p=4%), independen. Bandingkan VaR 95% individu, gabungan, dan ES gabungan.

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. P(X>0)	4% < 5% ambang	VaR(X) 95% = 0
2. P(Y>0)	4% < 5% ambang	VaR(Y) 95% = 0
3. P(X+Y > 0)	1 − (0,96)² = 0,0784	7,84% > 5%
4. VaR(X+Y) 95%	loss pada persentil 95% = Rp 100 jt	VaR gabungan = Rp 100 jt
5. Cek sub-aditif	VaR(X+Y) = 100 vs VaR(X)+VaR(Y) = 0	GAGAL sub-aditif

Kesimpulan

100 > 0 + 0

VaR(X+Y) > VaR(X) + VaR(Y) — diversifikasi seakan-akan menambah risiko

Bagian 2 · 2/4

Kelemahan VaR Lebih Dalam

Diskusi kelas: selain gagal sub-aditif, kelemahan apa lagi VaR yang membuat regulator beralih ke ES?

VaR Buta pada Ekor Lebih Dalam

VaR hanya memberi kuantil pada α — tidak mengatakan apa-apa tentang seberapa besar kerugian saat ambang dilampaui.

Portofolio	VaR 99%	Ekor > VaR	ES 99%
A (loss capped Rp 100 jt)	Rp 100 jt	Maks Rp 100 jt	Rp 100 jt
B (loss tail tipis)	Rp 100 jt	Rp 100-110 jt	~Rp 105 jt
C (loss fat tail)	Rp 100 jt	Rp 100 jt - Rp 500 jt	~Rp 200 jt

Tiga portofolio dengan VaR sama → ES sangat berbeda. VaR menyembunyikan risiko ekor.

Banyak Portofolio, VaR Sama, ES Berbeda

VaR adalah satu titik pada distribusi — ES merangkum seluruh ekor.

VaR — Informasi Terbatas

Hanya satu kuantil pada α
Tidak peduli seberapa dalam kerugian setelahnya
Bisa menyamarkan portofolio berisiko ekstrem
Mudah dimanipulasi (regulatory arbitrage)

ES — Informasi Ekor Lengkap

Rata-rata seluruh ekor di atas VaR
Menangkap magnitude kerugian ekstrem
Koheren (memenuhi empat aksioma)
Lebih sulit dimanipulasi

ES memberi gambaran lebih lengkap — inilah mengapa FRTB Basel mengadopsinya sebagai standar baru.

Manipulasi: Menggeser Kerugian ke Lewat VaR

Praktik "regulatory arbitrage": merestrukturisasi posisi agar kerugian terjadi tepat di atas VaR sehingga VaR tetap kecil.

Strategi	Mekanisme	Implikasi
Penjualan opsi jauh OTM	Premium kecil, risiko ekor besar	VaR rendah; ES tinggi
Carry trade	Pickup bunga, risiko crash	VaR harian rendah; tail risk
Short volatility	Pendapatan stabil, krisis ekstrem	VaR menyesatkan
Structuring	Menggeser loss ke lewat ambang VaR	VaR tidak melihat; ES melihat

Inilah mengapa regulator curiga pada bank dengan VaR rendah tetapi ES tinggi — sinyal regulatory arbitrage.

Hitung dari Nol: Bandingkan VaR vs ES pada 2 Distribusi

Skenario: Bandingkan VaR 95% dan ES 95% pada distribusi loss normal (μ=0, σ=10 juta) vs distribusi loss fat tail (t-Student df=5, scaled σ=10 juta). Portofolio Rp 100 M.

Langkah	Normal	t-Student (df=5)
1. z/kuantil 5%	−1,645σ	≈ −2,015σ
2. VaR 95%	1,645 × 10 = Rp 16,45 jt	≈ Rp 20,15 jt
3. ES 95% (normal)	σ·φ(z)/α ≈ 2,063σ	≈ Rp 20,63 jt
4. ES 95% (t, df=5)	(σ/(α·ν)) · (ν+t²_α)^(...) ~2,76σ	≈ Rp 27,6 jt
5. Rasio ES/VaR	1,25 (normal)	1,37 (t-Student)

Kesimpulan

ES t-Student ~Rp 27,6 jt

ES lebih tinggi pada fat tail; ES menangkap kerugian ekor yang disembunyikan VaR

Bagian 3 · 3/4

Expected Shortfall

Diskusi kelas: jika ES selalu lebih besar dari VaR, mengapa tidak selalu memakai ES? Apa trade-offnya?

Definisi ES: Rata-rata Kerugian Melebihi VaR

Expected Shortfall (ES, juga Conditional VaR) adalah ekspektasi kerugian bersyarat pada kerugian melebihi VaR. ES_α = E[L | L > VaR_α]. ES koheren (memenuhi empat aksioma Artzner). (Acerbi & Tasche, 2002)

Definisi

ES_α = E[L | L > VaR_α]

Sifat

Koheren; sub-aditif; menangkap ekor

Standar

FRTB Basel 97,5% 10-hari

ES_α = E[L | L > VaR_α] = (1/(1−α)) · ∫ VaR_α^∞ L · f(L) dL

ES Selalu ≥ VaR

Pada distribusi normal, ES_95% ≈ 1,25 × VaR_95%; pada fat tail, rasio lebih tinggi.

Eksplorasi Interaktif: VaR vs Expected Shortfall

Geser parameter distribusi loss di bawah untuk merasikan sensitivitas VaR dan ES — alat yang sama bisa Anda pakai untuk menganalisis portofolio treasury sendiri.

Studi Kasus: Migrasi VaR→ES di FRTB Basel

Fundamental Review of the Trading Book (FRTB) Basel 2019 mengganti VaR 99% 10-hari dengan ES 97,5% sebagai standar modal trading book.

Aspek	VaR (lama)	ES (FRTB)
Tingkat kepercayaan	99%	97,5%
Horizon	10 hari	10 hari (base)
Sifat koheren	Tidak sub-aditif	Koheren
Informasi ekor	Terbatas (satu titik)	Rata-rata ekor lengkap
Toleransi manipulasi	Rentang regulatory arbitrage	Lebih sulit dimanipulasi

Pelajaran: ES 97,5% setara VaR 99% pada normal tetapi lebih ketat pada fat tail — jawaban Basel atas kegagalan 2008.

Bagian 4 · 4/4

Menghitung ES di Praktik

Diskusi kelas: untuk ES 99%, berapa titik data ekor yang Anda butuhkan agar estimasi stabil? Implikasinya untuk data?

Menghitung ES di Praktik

Tiga pendekatan implementasi ES: empiris (rata-rata ekor historis), parametrik (formula distribusi asumsi), dan Monte Carlo (simulasi).

Empiris

Rata-rata semua loss di atas VaR historis
Sederhana; non-parametrik
Noisy pada α tinggi (titik ekor sedikit)

Parametrik

Formula tertutup (normal, t)
ES_normal = σ·φ(z)/α
Cepat; asumsi distribusi krusial

Monte Carlo

Simulasi skenario; rata-rata ekor
Fleksibel untuk non-linear
Komputasi mahal

Tantangan utama: estimasi ES pada α tinggi membutuhkan data ekor yang langka — kualitas data sangat penting.

Ringkasan Kunci Pertemuan 5

Koherensi Artzner

4 aksioma; VaR gagal sub-aditif

Kelemahan VaR

Buta ekor; bisa dimanipulasi

ES sebagai Alternatif

Koheren; menangkap ekor; FRTB standar

Bawa tiga lensa ini (koherensi · kelemahan · ES) sebagai kritik formal VaR sepanjang semester.

Persiapan P6: baca Kupiec (1995) tentang backtesting; siapkan untuk menerapkan uji exception pada model VaR.