Posisi dalam alur 14 pertemuan: P1 meletakkan taksonomi; P2 menaraikan statistika; P3 memakainya untuk ukuran risiko; P4 membangun VaR.
Mengapa Statistika Adalah Bahasa Risiko
Tanpa distribusi, kita hanya bisa berkata "berisiko" atau "tidak berisiko". Dengan distribusi, kita bisa berkata "kerugian melebihi Rp 1 miliar hanya 1% dari hari".
Kurtosis Empiris Return Saham
~7–9
jauh di atas 3 (normal) — ekor jauh lebih tebal (McNeil, dihedge)
Pelanggaran 3σ (Normal vs Empiris)
~3× lebih sering
empiris ~1-1,5% vs normal 0,3% (data pasar, dihedge)
Pertanyaan pemantik: kalau return saham tidak normal, mengapa begitu banyak model VaR masih memakai asumsi normalitas? Jawabannya: kemudahan komputasi — bukan akurasi.
Bagian 1 · 1/4
Distribusi & Ekspektasi
Diskusi kelas: pada portofolio kredit, apakah "ekspektasi kerugian" dan "kerugian yang paling sering terjadi" selalu sama? Kapan keduanya berbeda?
Distribusi Probabilitas: Massa & Kepadatan
Distribusi probabilitas adalah fungsi yang memberi probabilitas pada setiap outcome. Diskrit memakai probability mass function (PMF); kontinu memakai probability density function (PDF). Luas/total = 1.
Domain
Rentang nilai yang mungkin (mis. return [-100%, +∞))
Std-dev bulanan — jangkar untuk VaR parametrik di P4 (dihedge; angka ilustratif 6 titik)
Bagian 2 · 2/4
Varians, Skewness, Kurtosis
Diskusi kelas: jika dua portofolio punya mean dan varians sama, apakah profil risikonya pasti sama? Mengapa bisa berbeda?
Varians vs Semi-Varians (Downside)
Varians menghitung penyebaran dua arah; semi-varians hanya menghitung penyebaran ke bawah target — lebih sesuai untuk investor risk-averse.
Ukuran
Formula
Interpretasi
Varians
σ² = (1/(n−1)) Σ(xᵢ−x̄)²
Penyebaran simetris di sekitar mean
Semi-varians
σ²_D = (1/n) Σ min(xᵢ−T, 0)²
Penyebaran hanya di bawah target T
Shortfall prob
P(X < T)
Probabilitas outcome di bawah target
Sortino ratio
(r − T) ÷ σ_D
Return per unit downside risk
Untuk return skewed, varian dapat menyesatkan — upside yang besar menggembungkan varian tanpa menambah risiko.
Skewness: Kemiringan Distribusi
Skewness mengukur asimetri distribusi. Return saham tipikal left-skewed: ekor kerugian lebih panjang daripada ekor keuntungan.
Left-Skewed (tipikal return)
Ekor kiri (kerugian) lebih panjang & tebal
Mean < Median < Mode
Skewness < 0
Implikasi: kerugian ekstrem lebih sering daripada prediksi simetris
Right-Skewed (tipikal op & credit loss)
Ekor kanan (kerugian besar) lebih panjang
Banyak nilai kecil, sedikit nilai ekstrem
Skewness > 0
Implikasi: rata-rata ditarik oleh ekor ekstrem
Catatan: untuk distribusi loss (positif = rugi), right-skewed setara dengan ekor kerugian besar. Untuk distribusi return (positif = untung), left-skewed setara dengan ekor kerugian.
Kurtosis: Ekor Tebal vs Ekor Tipis
Kurtosis mengukur ketebalan ekor relatif terhadap normal. Excess kurtosis > 0 berarti ekor lebih tebal dari normal.
Mesokurtik (Normal)
Kurtosis = 3; excess = 0
Ekor tipis: 3σ hanya 0,3% waktu
Basis perbandingan standar
Leptokurtik (Fat Tail)
Kurtosis > 3; excess > 0
Ekor tebal: 3σ lebih sering (~1%+)
Tipikal return saham, op-risk, kredit
Excess kurtosis = (momen ke-4 / σ⁴) − 3
Hitung dari Nol: Kurtosis Return vs Distribusi Normal
Skenario: Dari sampel return harian saham LQ45 selama 250 hari (ilustratif), diperoleh mean 0,03%, std-dev 1,1%, dan momen ke-4 rata-rata (E[(x−μ)⁴]) ≈ 12,5 (%⁴). Hitung kurtosis dan excess kurtosis, bandingkan dengan normal.
Langkah
Perhitungan
Nilai
1. σ⁴
(1,1)⁴ = (1,21)²
~1,4641 %⁴
2. Kurtosis
E[(x−μ)⁴] ÷ σ⁴ = 12,5 ÷ 1,4641
~8,54
3. Excess kurtosis
8,54 − 3 (normal)
~5,54
4. Implikasi
Ekor ~5,5 unit lebih tebal dari normal
VaR normal underestimate
Kesimpulan
excess ≈ 5,5
Distribusi return leptokurtik —VaR parametrik normal akan konsisten underestimate pada ekor (angka ilustratif)
Bagian 3 · 3/4
Fat Tail & Ekor Distribusi
Diskusi kelas: mengapa krisis 2008 dan 2020 disebut "black swan" meskipun secara historis peristiwa ekstem berulang? Apa yang salah dengan cara kita menilai probabilitas ekor?
Distribusi Normal vs t-Student vs Pareto
Tiga kandidat distribusi untuk return/loss — pilihan menentukan ketebalan ekor.
Parameter derajat kebebasan (df) pada t-Student mengontrol ketebalan ekor: df kecil = ekor sangat tebal; df → ∞ = mendekati normal.
Aturan Chebyshev & Pendekatan Ekor
Chebyshev memberi batas atas probabilitas ekor tanpa asumsi distribusi — longgar tetapi sangat berguna ketika distribusi tidak diketahui.
k (σ)
Chebyshev (batas atas)
Normal (aktual)
Implikasi
2
P(|X−μ| ≥ 2σ) ≤ 25%
~4,6%
Chebyshev sangat longgar
3
P(|X−μ| ≥ 3σ) ≤ 11,1%
~0,3%
Normal jauh di bawah batas
4
P(|X−μ| ≥ 4σ) ≤ 6,25%
~0,006%
Batas bebas-distribusi
6
P(|X−μ| ≥ 6σ) ≤ 2,78%
~10⁻⁷%
"6σ event" tidak mustahil tanpa asumsi
P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1 / k²
Studi Kasus: Fat Tail IHSG 2008 & 2020
IHSG memberi dua ilustrasi nyata bagaimana ekor fat tail menghantam portofolio Indonesia.
Periode
Peristiwa
Drawdown IHSG
Implikasi
2008 (GFC)
Krisis keuangan global; flight to safety
~−50% (puncak ke trough, dihedge)
~6-7σ event di bawah asumsi normal — mustahil tetapi terjadi
Mar 2020 (COVID)
Pandemi; PSBB global
~−25% dalam ~1 bulan (dihedge)
Speed unrivaled — fat tail + volatilitas tinggi
2013 (Taper Tantrum)
Pengumuman Fed taper; capital outflow EM
~−20% (dihedge)
Risiko pasar eksternal; rupiah melemah ~25%
2018 (Trade War)
AS-China tariff; tekanan EM
~−10% (dihedge)
Fat tail moderat; flight to USD
Pelajaran: pada semua peristiwa ini, model VaR berbasis normalitas dilanggar beruntun — backtesting masuk zona merah (P6).
Bagian 4 · 4/4
Implikasi Fat Tail untuk Risiko
Diskusi kelas: jika VaR normal underestimate, apakah kita harus selalu memakai t-Student? Apa trade-off komputasi vs akurasi?
Implikasi Fat Tail bagi Cadangan Modal
Jika return fat tail, cadangan modal berbasis VaR normal akan konsisten underestimate — risiko bangkrut saat krisis.
VaR Normal (Underestimate)
VaR 99% ≈ −2,33σ × V
Cepat, tertutup, mudah dijelaskan
Konsisten dilanggar saat krisis
VaR t-Student / Historis / MC
VaR 99% lebih besar (~+30-40%)
Lebih akurat di ekor
Estimasi lebih kompleks; buffer lebih tebal
Migrasi VaR→ES (Expected Shortfall) di FRTB Basel adalah jawaban industri: ES menangkap rata-rata kerugian di ekor, bukan hanya kuantil.
Ringkasan Kunci Pertemuan 2
Ekspektasi & Varians
Operator dasar untuk menggambarkan pusat & penyebaran distribusi
Skewness & Kurtosis
Diagnostik asimetri & ekor tebal — kunci memilih distribusi
Fat Tail
Return finansial leptokurtik; VaR normal underestimate
Bawa tiga lensa ini (momen · diagnostik · fat tail) sebagai fondasi matematika sepanjang semester.
Persiapan P3: baca Hull bab VaR pendahuluan; bawa satu deret return historis (saham/reksa dana) untuk kita hitung std-dev vs semi-deviasi bersama.