‹ Daftar slide
Pertemuan 7: Teknik Kuantitatif — Statistik & Probabilitas
RPS minggu 7 · 2x50 menit
Teknik Kuantitatif: Statistik & Probabilitas
Manajemen Risiko Tingkat Lanjut — Magister Manajemen FEB UNDIP
Peta Pembelajaran Hari Ini
Sub-CPMK 7: menguasai statistik & probabilitas sebagai dasar teknik kuantitatif risiko.
Jam ke-1 (50 menit)
- Moments distribusi: mean, variance, skewness, kurtosis
- Distribusi normal & fat tail (Student-t, lognormal)
- Korelasi, covariance, dan matriks
Jam ke-2 (50 menit)
- Copula & dependence struktur
- Cornish-Fisher untuk skewed VaR
- Coba widget VaR & EL
Posisi: P7 menyiapkan toolkit matematika untuk VaR (P8) dan stress test (P9).
Empat Moment Distribusi
Empat moment pertama distribusi adalah kunci untuk memahami risiko.
| Moment | Definisi | Relevansi Risiko |
|---|---|---|
| 1. Mean (μ) | Nilai rata-rata | Expected return/loss |
| 2. Variance (σ²) | Penyebaran dari mean | Volatilitas — basis VaR |
| 3. Skewness | Asimetri distribusi | Loss tail lebih tebal → skew negatif |
| 4. Kurtosis | Ketebalan ekor | Fat tail → black swan lebih sering |
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / (n-1) ; Skewness = E[(X-μ)³]/σ³ ; Kurtosis = E[(X-μ)⁴]/σ⁴
Distribusi normal: skewness=0, kurtosis=3. Banyak return finansial punya skew negatif dan kurtosis tinggi → "fat tail".
Bagian 1 · 1/4
Distribusi & Fat Tail
Diskusi kelas: return saham harian — apakah normal? Bagaimana Anda mengeceknya?
Distribusi Normal vs Fat Tail
VaR dengan asumsi normal UNDERSTATE risiko ekor — krisis 2008 menunjukkan kejadian "6σ" yang seharusnya terjadi 1 kali per 1 miliar hari terjadi beberapa kali dalam dekade.
Distribusi untuk Risk
Pilihan distribusi bergantung pada karakteristik loss — tidak ada one-size-fits-all.
Normal
- Return pasar harian (paling dekat)
- Asumsi: skew=0, kurt=3
- Simpel, mudah dihitung
- Understate tail risk
Lognormal
- Harga saham (GBM)
- Tidak bisa negatif
- Black-Scholes menggunakan ini
- Right-skewed
Student-t / Generalized
- Fat tail realistis
- Parameter df kontrol ketebalan
- VaR lebih konservatif
- Komputasi lebih kompleks
Pilihan praktis: gunakan normal untuk VaR harian pasar, Student-t untuk op-risk dengan loss ekor tebal, lognormal untuk harga aset.
Korelasi & Covariance
Korelasi adalah jantung diversifikasi — tetapi korelasi tidak stabil di krisis.
ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ_X × σ_Y) ; Cov(X,Y) = E[(X-μ_X)(Y-μ_Y)]
| Korelasi | Makna | Implikasi Diversifikasi |
|---|---|---|
| ρ = +1 | Sebanding sempurna | Tidak ada diversifikasi |
| ρ = 0 | Tidak linear terkait | Diversifikasi maksimum (linear) |
| ρ = -1 | Berlawanan sempurna | Perfect hedge |
| ρ = 0,7-0,9 (krisis) | Korelasi meningkat saat stress | Diversifikasi gagal saat dibutuhkan |
"Pada saat krisis, semua korelasi pergi ke 1" — fenomena yang terjadi di 2008 (sub-prime), 2020 (COVID), dan 1997 (krisis Asia).
Hitung dari Nol: Volatilitas Portofolio 2-Aset
Skenario: Portofolio 50% saham A (σ=20%), 50% saham B (σ=25%), korelasi ρ=0,3. Hitung volatilitas portofolio.
| Langkah | Perhitungan | Nilai |
|---|---|---|
| 1. Bobot kuadrat | w_A² = 0,5²; w_B² = 0,5² | 0,25 ; 0,25 |
| 2. Varians A & B | σ_A² = 0,04; σ_B² = 0,0625 | — |
| 3. Cross term | 2·w_A·w_B·σ_A·σ_B·ρ = 2·0,5·0,5·0,20·0,25·0,3 | 0,0075 |
| 4. Varians porto | 0,25·0,04 + 0,25·0,0625 + 0,0075 | 0,0281 |
| 5. σ porto | √0,0281 | 16,76% |
Manfaat Diversifikasi
σ = 16,76% < rata-rata 22,5%
Volatilitas turun karena korelasi < 1 — ini esensi Markowitz
Bagian 2 · 2/4
Copula & Dependence
Diskusi kelas: bagaimana menggambarkan hubungan non-linear antar risiko?
Copula: Beyond Korelasi
Korelasi hanya menangkap hubungan linear. Copula menangkap struktur dependensi penuh, terutama tail dependence.
Sklar's Theorem: F(x,y) = C(F_X(x), F_Y(y))
Jenis Copula
- Gaussian — tidak ada tail dependence
- Student-t — symmetric tail dependence
- Clayton — lower tail dependence (krisis bersama)
- Gumbel — upper tail dependence (boom bersama)
Pelajaran Krisis 2008
- CDO menggunakan Gaussian copula (Li 2000)
- Default korelasi UNDERSTATED
- Saat krisis: default terjadi serentak
- Gaussian copula: "rumus yang membunuh Wall Street"
Salah pilih copula → modal understated → blow-up di krisis. Inilah mengapa stress test (P9) lebih diutamakan daripada VaR untuk tail risk.
Cornish-Fisher Expansion
Cornish-Fisher (1937) mengoreksi z-score VaR untuk skewness & kurtosis — alternatif murah untuk distribusi fat tail.
z_cf = z + (z²-1)·S/6 + (z³-3z)·K/24 - (2z³-5z)·S²/36
Parameter
- z = z-score normal (1,645 untuk 95%, 2,326 untuk 99%)
- S = skewness sample
- K = excess kurtosis (kurt - 3)
Keunggulan
- Tidak perlu distribusi spesifik
- Cukup moments sample
- Komputasi sangat cepat
- Basis BIS untuk modifikasi VaR
Hitung dari Nol: Cornish-Fisher VaR
Skenario: Return harian portofolio: μ=0,05%, σ=1,5%, skewness=-0,8, excess kurtosis=4. Hitung VaR 99% parametrik vs Cornish-Fisher.
| Metode | z | VaR (z × σ) | VaR % |
|---|---|---|---|
| Normal (parametrik) | 2,326 | 2,326 × 1,5% = 3,49% | 3,49% |
| Cornish-Fisher (1) | 2,326 + (5,41-1)(-0,8)/6 = 2,326 - 0,588 | 1,738 | — |
| Cornish-Fisher (2) | + (12,55-6,98)(4)/24 = +0,928 | 2,666 | — |
| Cornish-Fisher (3) | - (24,90-11,63)(0,64)/36 = -0,236 | 2,430 | 3,65% |
Selisih VaR CF vs Normal
+ 4,5% lebih konservatif
Cornish-Fisher mengoreksi fat tail → VaR lebih tinggi lebih realistis
Bagian 3 · 3/4
Coba Widget: EL & VaR
Diskusi kelas: berapa VaR yang Anda anggap "aman" untuk portfolio pasar harian? Diskusikan dengan PD/LGD kredit.
Coba Sendiri: Expected Loss Slider
Atur PD, LGD, dan EAD untuk menghitung expected loss kredit. Lihat bagaimana perubahan setiap parameter memengaruhi EL absolut dan % EAD.
Coba Sendiri: VaR Explorer
Bandingkan VaR parametrik (normal), historis, dan Cornish-Fisher. Lihat bagaimana fat tail mengubah angka VaR.
Bagian 4 · 4/4
Sintesis & Persiapan P8
Diskusi kelas: metode VaR mana yang Anda pakai untuk portfolio saham harian? Mengapa?
Studi Kasus: Long-Term Capital Management
LTCM 1998 — $4,6 M hilang. Nobel laureates (Scholes, Merton) salah bukan karena formula, tapi karena korelasi & asumsi distribusi.
| Asumsi LTCM | Realita 1998 |
|---|---|
| Return normal (kurtosis 3) | Fat tail: krisis Rusia 1998 |
| Korelasi historis stabil | Korelasi lompat ke 0,9 saat stress |
| Leverage 25:1 aman dengan VaR | VaR underestimate likuiditas |
| Diversifikasi cross-strategy | Convergence trades gagal serentak |
LTCM: kegagalan bukan teori — pemahaman keterbatasan teori. VaR mengatakan aman; krisis mengatakan rugi.
Ringkasan Kunci Pertemuan 7
4 Moments
Mean, variance, skewness, kurtosis — kunci karakteristik loss
Fat Tail
Student-t lebih realistis; normal understates risk
Cornish-Fisher
Koreksi z VaR untuk skew/kurt — basis BIS modern VaR
Korelasi tidak stabil di krisis — copula dan stress test wajib untuk tail risk.
Persiapan P8: baca Jorion "Value at Risk" Bab 4-5 untuk persiapan metode VaR parametrik, historis, Monte Carlo.