Manajemen Risiko Pasar — Magister Manajemen FEB UNDIP
Peta Pertemuan Hari Ini
Jam ke-1 (50 menit)
Black-Scholes-Merton (1973) revisi
Delta: sensitivitas vs harga underlying
Gamma: sensitivitas delta (non-linearity)
Jam ke-2 (50 menit)
Vega: sensitivitas vs volatilitas
Theta: time decay
Hitung dari nol: delta call & put BBCA
Greeks wajib untuk portofolio dengan opsi non-linear. LTCM 1998 dan Nickel squeeze 2022 menunjukkan gamma & vega risk bisa runtuhkan hedge fund USD miliaran.
Motivasi: LTCM 1998 — Vega & Gamma Disaster
Long-Term Capital Management (LTCM) dengan Myron Scholes (Nobel BSM) di board, runtuh September 1998. Vega & gamma risk pada portofolio derivatif miliaran USD.
Strategi LTCM
Arbitrage bond (Russian vs US Treasury)
Short option (collect premium)
Leverage ~25:1 (USD 125 miliar modal)
Vega & gamma signifikan (rugi jika vol naik)
Runaway Risk
Russian default Agt 1998 → vol bond naik ekstrem
LTCM Vega loss USD 1,6 miliar dalam 1 hari
Fed-organized bailout USD 3,6 miliar
Counterparty risk sistemik (systemic event)
Bagian 1 · 1/4
Black-Scholes-Merton & Delta
Diskusi kelas: opsi call ATM dengan 3 bulan tenor — berapa delta-nya secara intuitif? Bagaimana dengan call deep ITM dan deep OTM? Apa reasoning Anda?
Black-Scholes-Merton (1973)
$C = S \times N(d_1) - K \times e^{-rT} \times N(d_2){,}$ dengan $d_1 = \dfrac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$
Black-Scholes-Merton (1973) memberi formula closed-form untuk opsi Eropa. Merton (1973) extension mencakup dividend. N(d) = cumulative normal distribution.
Delta = turunan parsial harga opsi terhadap harga underlying. Untuk perubahan kecil ΔS: ΔOption ≈ Delta × ΔS.
Posisi Opsi
Delta Call
Delta Put
Interpretasi
Deep ITM (S >> K)
≈ +1
≈ −1
Bergerak 1:1 dengan underlying
ATM (S = K)
≈ +0,5
≈ −0,5
Bergerak 0,5:1 dengan underlying
Deep OTM (S << K)
≈ 0
≈ 0
Tidak sensitif terhadap underlying
Delta-hedging: untuk neutralisasi eksposur underlying, hold −Delta shares per opsi. Contoh: 1 call ATM dengan Δ=0,5 di-hedge dengan short 0,5 shares.
Coba Sendiri: Diagram Payoff Opsi Call & Put
Delta membentuk profil payoff opsi. Geser strike, spot, dan premi untuk membandingkan bentuk payoff call dan put serta melihat di mana delta berubah paling cepat (wilayah at-the-money).
Gamma = turunan kedua harga opsi terhadap underlying = rate of change dari delta. Gamma tertinggi di ATM dan menurun ke arah ITM/OTM.
Karakter Gamma
Selalu positif untuk long option (call/put)
Maksimal di ATM, menurun ke ITM/OTM
Meningkat saat mendekati expiry (gamma squeeze)
Short option: gamma negatif (rugi saat vol)
Gamma Risk
Rebalancing cost untuk delta-hedging
"Gamma squeeze" (GameStop 2021)
Nickel squeeze LME 2022
LTCM gamma loss di bond options
Bagian 2 · 2/4
Vega, Theta & Greeks Management
Diskusi kelas: untuk portofolio dengan posisi short option (mis. selling covered call untuk income), vega risk apa yang dihadapi? Bagaimana dengan theta?
Vega: Sensitivitas vs Volatilitas
$\text{Vega} = S \times \sqrt{T} \times N'(d_1){,}$ efek: $\Delta V \approx \text{Vega} \times \Delta \sigma$
Vega = sensitivitas harga opsi terhadap perubahan volatilitas (1% atau 1 point). Vega selalu positif untuk long option (call/put).
Pokok Posisi
Vega
Pengaruh Vol Naik
Long call/put
Positif
Untung (value opsi naik)
Short call/put
Negatif
Rugi (value opsi naik, short rugi)
Straddle long (ATM C+P)
Positif besar
Untung besar (vega play)
Straddle short (ATM C+P)
Negatif besar
Rugi besar (vol play)
Theta: Time Decay
$\Theta = \dfrac{\partial V}{\partial T}$ (negatif untuk long option)
Theta = sensitivitas harga opsi terhadap berkurangnya waktu (time decay). Long option rugi value seiring waktu berlalu (theta negatif); short option untung (theta positif).
Theta untuk Buyer
Negatif: option value berkurang seiring waktu
Akselerasi menjelang expiry (theta naik)
"Time decay is enemy of buyer"
Implikasi: buy long-dated option
Theta untuk Seller
Positif: collect time decay sebagai income
Akselerasi menjelang expiry (income naik)
"Time decay is friend of seller"
Strategi income: covered call, cash-secured put
Coba Sendiri: Protective Put — Melindungi Portofolio dengan Opsi
Protective put adalah aplikasi langsung Greeks: pembeli memperoleh delta positif dari underlying plus delta negatif dari put sehingga kerugian terbatas. Geser strike untuk melihat trade-off antara biaya perlindungan dan tingkat proteksi.
Hitung dari Nol: Delta Call & Put BBCA
Skenario (ilustratif): Call opsi BBCA: S = Rp 8.000, K = Rp 8.000 (ATM), T = 3 bulan (0,25 tahun), r = 6,5%/tahun, σ = 20%/tahun. Hitung delta call dan delta put.
Delta call ATM ~0,5-0,6 karena 50-60% probability akan expire ITM. Delta put = delta call − 1 (put-call parity).
Bagian 3 · 3/4
Gamma: Sensitivitas Tingkat Kedua
Diskusi kelas: gamma tertinggi berada di opsi at-the-money (ATM) menjelang maturity karena delta berubah paling cepat di region itu. Apa implikasi untuk delta hedging dinamis?
Bagian 4 · 4/4
Greeks di Praktik & Risk Management
Diskusi kelas: untuk portofolio dengan multiple posisi opsi (calls, puts, straddles, spreads), bagaimana aggregate Greeks dihitung? Apa limit yang sehat?
Mini-Kasus: Gamma Call ATM BBCA
Skenario (lanjutan): Dengan parameter call ATM BBCA di atas (S=8000, K=8000, T=0,25, σ=0,20), hitung gamma.
Langkah
Perhitungan
Nilai
1. N'(d₁) (PDF normal di d₁=0,205)
$(1/\sqrt{2\pi}) \times e^{-0{,}205^{2}/2}$
0,3906
2. Penyebut
S × σ × √T = 8000 × 0,20 × 0,5
800
3. Gamma
N'(d₁) / (Sσ√T) = 0,3906/800
0,000488 per Rp (per Rp perubahan S)
4. Interpretasi: delta berubah
Gamma × ΔS = 0,000488 × 1000 (ΔS=1000)
+0,488 (delta call dari 0,58 → 1,07, tidak possible)
5. Catatan: gamma valid untuk ΔS kecil
Untuk ΔS besar, butuh full revaluation
BSM asumsi kontinu
Coba Sendiri: VaR Portofolio Opsi — Parametrik, Historis, Monte Carlo
Portofolio opsi non-linear tidak bisa diukur hanya dengan delta — diperlukan tiga metode VaR. Ubah volatilitas dan amati bagaimana Monte Carlo menangkap convexity (gamma) yang tidak tertangkap VaR parametrik linear.
Greeks Management Best Practices
Limit Setting
Delta limit (IDR per 1% move)
Gamma limit (rebalancing cost)
Vega limit (vol shock)
Theta monitoring (income vs decay)
Operational Practices
Real-time Greeks dashboard trader
Daily Greeks report ke risk committee
Stress test Greeks (2008, 2020 scenarios)
Scenario analysis non-parallel shift
Sources & Persiapan Pertemuan 9
Referensi Utama
Hull, J.C. — Bab 19 (Greeks, Black-Scholes)
Black, F. & Scholes, M. (1973) — Option Pricing
Merton, R.C. (1973) — Theory of Rational Option Pricing
Taleb, N. (1997) — Dynamic Hedging
Persiapan Pertemuan 9 (Stress Testing)
Baca Hull Bab 14 (Stress Testing)
Review Greeks dari hari ini
Siapkan skenario stress perusahaan
Diskusi: skenario 2008, 2013, 2020
Coba Sendiri: Black-Scholes & Sensitivitas Greeks
Atur spot, strike, volatilitas, time-to-maturity, dan risk-free rate. Amati harga opsi call/put dan sensitivitas Delta, Gamma, Vega. Bandingkan Black-Scholes dengan model ML.