Program Studi Manajemen • FEB UNDIP

Matematika Bisnis

Pertemuan 13 — Derivatif (Diferensial)

Dari “seberapa cepat sesuatu berubah?” hingga “berapa unit yang memaksimumkan profit?” — kalkulus diferensial sebagai alat analisis bisnis.

RPS MINGGU 14 • SUB-CPMK 6 • DURASI 2 × 50 MENIT

Tujuan Pembelajaran — Apa yang Akan Anda Kuasai

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu (Sub-CPMK 6):

CAPAIAN 1

LIMIT

Memahami limit & definisi turunan — konsep “laju perubahan sesaat” secara formal.

CAPAIAN 2

6 ATURAN

Menguasai 6 aturan diferensiasi — power, constant, sum, product, quotient, chain rule + eksponensial/log.

CAPAIAN 3

MAX/MIN

Menemukan nilai ekstrem — uji turunan pertama dan kedua untuk maksimum dan minimum.

CAPAIAN 4

BISNIS

Menerapkan ke bisnis — MC, MR, profit maximization (MR=MC), elastisitas permintaan titik.

Mengapa Turunan Penting di Bisnis?

Tiga pertanyaan bisnis nyata yang dijawab dengan turunan:

Pertanyaan Bisnis

Berapa unit produksi agar keuntungan Indofood maksimum?
Jika harga bensin Pertamina naik 10%, permintaan turun berapa persen?
Apakah lahan pertanian padi di Kabupaten Demak sudah optimal digarap?

Alat Matematis

MR = MC → selesaikan dengan turunan TC dan TR
Elastisitas titik: E_d = (dQ/dP) · (P/Q)
MPL (Marginal Product of Labor — tambahan output saat tenaga kerja bertambah) → turunan parsial fungsi produksi

Semua pertanyaan di atas adalah soal laju perubahan — itulah inti turunan. Laju perubahan (rate of change) = seberapa cepat satu variabel berubah ketika variabel lain berubah.

Sebelum kita masuk ke rumus, izinkan saya tunjukkan mengapa materi hari ini bukan sekadar matematika abstrak. Pertanyaan pertama: manajemen Indofood perlu tahu berapa banyak ton mie harus diproduksi agar keuntungan paling besar — melebihi kapasitas itu malah rugi karena biaya bertambah lebih cepat dari penerimaan. Pertanyaan kedua: Pertamina dan pemerintah perlu memahami seberapa sensitif konsumen terhadap kenaikan harga BBM sebelum memutuskan penyesuaian harga — ini elastisitas. Pertanyaan ketiga: petani padi di Kabupaten Demak bertanya apakah perlu menambah buruh atau traktor untuk meningkatkan hasil panen — jawabannya adalah produk marjinal dari masing-masing faktor produksi. Ketiga pertanyaan ini berbeda di permukaan, tetapi memiliki satu alat matematika yang sama: turunan. Hari ini kita kuasai alat itu dari nol.

BLOK 1 DARI 4

Konsep Limit dan
Definisi Turunan

Fondasi: dari mana rumus turunan berasal?

1Limit intuitif → 2Definisi formal → 3Notasi dy/dx

Ide Limit: Mendekati Tanpa Menyentuh

Limit adalah nilai yang didekati suatu fungsi ketika variabelnya mendekati suatu angka. Garis singgung (tangent line) = limit dari tali busur (secant line) yang semakin dekat.

x mendekati 2	f(x) = x²
1,9	3,61
1,99	3,9601
1,999	3,996001
x → 2	f(x) → 4

Notasi: lim_{x → 2} x² = 4. Slope garis singgung = turunan di titik itu.

Tali busur → garis singgung saat h → 0

Definisi Formal Turunan (Limit Definisi)

f′(x) = lim_{h → 0} f(x+h) - f(x)h

“Turunan f di titik x = limit rasio perubahan nilai fungsi terhadap perubahan input, ketika h → 0.” Di sini h adalah jarak horizontal antara dua titik pada kurva — saat h→0, tali busur menjadi garis singgung.

Contoh: f(x) = x² → f′(x) = ?

Langkah	Operasi Aljabar	Hasil
1	f(x+h) = (x+h)² = x² + 2xh + h²	x² + 2xh + h²
2	[f(x+h) - f(x)] / h = [2xh + h²] / h	(2xh + h²)/h
3	Faktorkan h: h(2x+h)/h → coret h (h ≠ 0)	2x + h
4	Evaluasi limit h → 0: suku +h hilang	f′(x) = 2x

Pada x=3: f′(3) = 2(3) = 6 — slope garis singgung di titik (3,9) adalah 6.

Coba Sendiri: Kecilkan h, Saksikan Tali Busur Jadi Garis Singgung

Geser nilai h mendekati nol dan amati garis tali busur yang menghubungkan dua titik pada kurva berubah menjadi garis singgung.

Buka widget turunan garis singgung di tab baru → • Bacaan pendukung: elastisitas permintaan.

Notasi: dy/dx vs f′(x) vs Df(x)

Tiga cara menulis turunan — semuanya berarti sama:

Notasi	Dibaca	Penemu	Dipakai di
f′(x)	“f prima x”	Lagrange (Perancis-Italia)	Kalkulus umum, fungsi satu variabel
dy/dx	“dee-y dee-x”	Leibniz	Ekonomi, fisika, teknik — paling sering dipakai
Df(x)	“D dari f x”	Euler/Cauchy	Matematika formal

Contoh: jika y = 3x², maka f′(x) = dy/dx = Df = 6x. Di soal bisnis/ekonomi, notasi dy/dx paling sering dipakai karena jelas menunjukkan “turunan y terhadap x”. dy = perubahan kecil pada y; dx = perubahan kecil pada x.

BLOK 2 DARI 4

Enam Aturan Diferensiasi

Alat: aturan-aturan ini menggantikan perhitungan limit setiap saat

1Power 2Constant 3Sum/Diff 4Product 5Quotient 6Chain +Exp/Log

Power Rule dan Constant Rule

ATURAN 1 — POWER RULE

Jika f(x) = xⁿ, maka f′(x) = n · xⁿ⁻¹

f(x) = x⁴ → f′(x) = 4x³
f(x) = x^0,5 → f′(x) = 0,5/√(x)

ATURAN 2 — CONSTANT RULE

Jika f(x) = c, maka f′(x) = 0

f(x) = 7 → f′(x) = 0
Logika: konstanta tidak berubah → laju perubahan = nol.

Bonus — Constant × Function: jika f(x) = c · g(x), maka f′(x) = c · g′(x).
Contoh: f(x) = 5x³ → f′(x) = 5 · 3x² = 15x²

Sum/Difference Rule dan Product Rule

ATURAN 3 — SUM/DIFFERENCE RULE

[f(x) ± g(x)]′ = f′(x) ± g′(x)

Contoh: h(x) = 3x² + 5x - 7

→ h′(x) = 6x + 5 - 0 = 6x + 5

ATURAN 4 — PRODUCT RULE

[f · g]′ = f′ · g + f · g′

h(x) = (2x+1)(x³): f=2x+1, f′=2; g=x³, g′=3x²

→ 2 · x³ + (2x+1) · 3x² = 8x³ + 3x²

⚠️ Peringatan: Product Rule BUKAN (fg)′ = f′·g′ — ini kesalahan paling umum! Ingat mnemonik: “prime-second plus first-prime-second”.

Quotient Rule dan Chain Rule

ATURAN 5 — QUOTIENT RULE

[f/g]′ = f′ · g - f · g′g²

h(x) = 3x²/(x+1): f=3x², f′=6x; g=x+1, g′=1

→ [6x(x+1) - 3x²] / (x+1)² = (3x²+6x)/(x+1)²

Mnemonik: “bawah×atas′ − atas×bawah′, dibagi bawah²”

ATURAN 6 — CHAIN RULE

dy/dx = f′(g(x)) · g′(x)

y = (2x+3)⁵: u=2x+3, y=u⁵

→ 5u⁴ · 2 = 10(2x+3)⁴

Mnemonik: “turunkan luar, biarkan dalam → kalikan turunan dalam”

Chain Rule (aturan rantai) = untuk fungsi komposit/berlapis. Lihat “fungsi di dalam fungsi” → gunakan Chain Rule.

Turunan Fungsi Eksponensial dan Logaritma

EKSPONENSIAL

ddx[eˣ] = eˣ ddx[e^f(x)] = e^f(x) · f′(x) ddx[aˣ] = aˣ · ln(a)

Contoh: y = e³ˣ → dy/dx = e³ˣ · 3 = 3e³ˣ

LOGARITMA ALAMI (ln)

ddx[ln(x)] = 1x ddx[ln(f(x))] = f′(x)f(x)

Contoh: y = ln(2x²+1) → dy/dx = 4x/(2x²+1)

Istimewa: e (bilangan Euler ≈ 2,718 — basis logaritma alami) adalah satu-satunya fungsi yang turunannya sama dengan dirinya sendiri. ln = logaritma alami (basis e). Keduanya muncul di model pertumbuhan, bunga majemuk kontinu, dan regresi log-linear.

Hitung dari Nol — Enam Aturan Sekaligus (HDN-1)

Konteks: fungsi biaya total TC(Q) = 0,01Q³ - 0,6Q² + 15Q + 100. Turunkan MC (Marginal Cost — biaya marjinal: perubahan biaya total per tambahan satu unit output Q).

Langkah	Perhitungan	Nilai
1	Suku 0,01Q³ → Power Rule: 3 × 0,01 × Q³⁻¹	0,03Q²
2	Suku -0,6Q² → Power Rule: 2 × (-0,6) × Q²⁻¹	-1,2Q
3	Suku 15Q → Power Rule: 1 × 15 × Q¹⁻¹	15
4	Suku 100 → Constant Rule: turunan konstanta = 0	0
5	Sum Rule: jumlahkan semua suku	MC = 0,03Q² - 1,2Q + 15

Cek pada Q=10: MC = 0,03(100) − 1,2(10) + 15 = 3 − 12 + 15 = 6.
Memproduksi unit ke-10 membutuhkan tambahan biaya Rp 6 (ribu). Fungsi TC ini dipakai sepanjang pertemuan hari ini.

BLOK 3 DARI 4

Optimisasi:
Maksimum dan Minimum

Turunan sebagai kompas: mencari puncak dan lembah kurva

1Turunan pertama (naik/turun) → 2Turunan kedua (cekung) → 3Prosedur uji max/min → 4Cobb-Douglas

Turunan Pertama dan Kedua — Maknanya

f′(x) — Mengukur Arah

f′(x) > 0 → fungsi naik (increasing)
f′(x) < 0 → fungsi turun (decreasing)
f′(x) = 0 → titik kritis (critical point) — calon max atau min

f″(x) — Mengukur Kelengkungan

f″(x) > 0 → cekung ke atas (concave up) → MINIMUM
f″(x) < 0 → cekung ke bawah (concave down) → MAKSIMUM
f″(x) = 0 → titik belok (inflection point)

Analogi: f′(x) = gas/rem mobil — arah. f″(x) = setir — belok kanan (cekung atas, MIN) atau belok kiri (cekung bawah, MAX).

Prosedur Uji Maksimum dan Minimum

Empat langkah baku untuk setiap soal optimisasi:

Langkah	Tindakan	Hasil
1	Tentukan domain f(x) (misal: Q ≥ 0)	Batasan variabel
2	Hitung f′(x), set f′(x) = 0 → selesaikan x*	Titik kritis x*
3	Hitung f″(x), substitusi x: f″(x) < 0 → MAKSIMUM \| f″(x) > 0 → MINIMUM \| f″(x)=0 → uji lebih lanjut	Jenis titik kritis
4	Hitung f(x*) untuk mendapatkan nilai max/min	Nilai optimal

⚠️ Langkah 3 wajib! Jangan lupa uji turunan kedua — sinyal f′=0 saja belum cukup untuk menyimpulkan maksimum atau minimum.

Turunan Parsial: Ketika Fungsi Punya Dua Input

Analogi Sawah — Ceteris Paribus

Hasil panen padi bergantung pada: jumlah traktor K (modal) DAN jumlah buruh L (tenaga kerja).

Pertanyaan: jika hanya buruh yang ditambah — traktor dibekukan — panen naik berapa?

→ Itulah ∂Q/∂L: turunkan Q terhadap L, anggap K konstan. Ceteris paribus (Latin — “hal lain tetap sama”).

Notasi	Dibaca	Artinya
d/dx	“dee terhadap x”	Fungsi satu variabel
∂/∂x	“del terhadap x”	Fungsi dua+ variabel; lainnya konstan

f(K,L) = K · L² ∂ f∂ L = K · 2L (K konstan) ∂ f∂ K = L² (L konstan)

Hitung dari Nol — Fungsi Produksi Cobb-Douglas (HDN-2)

Konteks ilustrasi: Q = 10K^0,5 · L^0,5 (fungsi produksi padi di Kabupaten Demak). K = modal (traktor, dll.), L = tenaga kerja. Hitung MPL dan MPK pada K=4, L=9.

Langkah	Perhitungan	Nilai
1	MPL = ∂ Q/∂ L = 10K^0,5 · (0,5)L^0,5-1	5K^0,5/L^0,5
2	MPK = ∂ Q/∂ K = (0,5) · 10K^0,5-1 · L^0,5	5L^0,5/K^0,5
3	MPL pada K=4, L=9: 5 · (4^0,5)/(9^0,5) = 5 · 2/3	MPL = 10/3 ≈ 3,33
4	MPK pada K=4, L=9: 5 · (9^0,5)/(4^0,5) = 5 · 3/2	MPK = 7,5
5	Interpretasi MPL=3,33	+1 unit buruh → +3,33 kwintal padi
6	Interpretasi MPK=7,5	+1 unit traktor → +7,5 kwintal padi

Kesimpulan: pada K=4, L=9 → MPK (7,5) > MPL (3,33). Modal lebih produktif secara marjinal. Cobb-Douglas = bentuk fungsi Q=AK^α · L^β, sangat umum dalam ekonomi produksi. Verifikasi Q = 10 · 2 · 3 = 60 unit.

Coba Sendiri: Fungsi Produksi — TP, MP, AP dan Hukum Hasil Menurun

Geser input modal atau tenaga kerja pada fungsi produksi Cobb-Douglas dan amati turunan parsialnya — produk marjinal (MP) dan produk rata-rata (AP) — yang menjelaskan kapan penambahan input berhenti menguntungkan.

BLOK 4 DARI 4

Aplikasi Bisnis:
Analisis Marjinal

Dari rumus abstrak ke keputusan manajerial nyata

1MC = dTC/dQ → 2MR = dTR/dQ → 3Profit max: MR=MC → 4Elastisitas titik

Biaya Marjinal MC = dTC/dQ

MC = dTCdQ “Perubahan biaya total per tambahan satu unit Q”

Konsep	Rumus	Arti
TC (Total Cost)	Fungsi biaya total	Total biaya pada Q unit
AC (Average Cost — biaya rata-rata)	TC/Q	Biaya per unit rata-rata
MC (Marginal Cost)	dTC/dQ	Biaya tambahan unit terakhir

Contoh: TC = 0,01Q³ - 0,6Q² + 15Q + 100 → MC = 0,03Q² - 1,2Q + 15.
Pada Q=20: MC = 0,03(400) - 1,2(20) + 15 = 12 - 24 + 15 = 3 (Rp 3.000/unit).
MC ≠ AC. Keputusan berapa banyak produksi ditentukan oleh MC, bukan AC.

Penerimaan Marjinal MR = dTR/dQ

MR = dTRdQ TR (Total Revenue) = P × Q

Fungsi permintaan P = 20 - 0,05Q → TR = (20 - 0,05Q) · Q = 20Q - 0,05Q² → MR = 20 - 0,1Q

Q	TR	MR = 20 − 0,1Q
0	0	20
50	875	15
100	1.500	10
200	2.000	0 ← TR maksimum

Saat MR = 0, TR maksimum. Saat MR < 0, menambah unit justru menurunkan total penerimaan. MR (Marginal Revenue — penerimaan marjinal) = turunan TR terhadap Q.

Coba Sendiri: Cari Titik MR = MC untuk Laba Maksimum

Geser kuantitas produksi Q dan amati kurva MR dan MC — temukan sendiri titik potongnya sebagai syarat laba maksimum.

Buka widget MR=MC di tab baru → • Bacaan pendukung: CVP-BEP interaktif • Pendalaman terkait: central limit theorem (limit) & functional forms.

Hitung dari Nol — Profit Maximization Indofood (HDN-3)

Ilustrasi pendidikan (bukan data resmi Indofood): TC = 0,01Q³ - 0,6Q² + 15Q + 100; TR = 20Q - 0,05Q² (ribu rupiah/ton). π = TR - TC.

Langkah	Perhitungan	Nilai
1 — Turunkan MC	dTC/dQ = 3(0,01)Q² + 2(-0,6)Q + 15	MC = 0,03Q² - 1,2Q + 15
2 — Turunkan MR	dTR/dQ = 20 - 2(0,05)Q	MR = 20 - 0,1Q
3 — Set MR=MC	20 - 0,1Q = 0,03Q² - 1,2Q + 15	3Q² - 110Q - 500 = 0
4 — Rumus abc	Q = [110 ± √(110² + 4 · 3 · 500)] / 6 = [110 ± 134,5] / 6	Q* ≈ 41 ton
5 — Uji f″(π)	π″(Q) = MR′ − MC′ = −0,1 − (0,06·41 − 1,2) = −1,36	−1,36 < 0 ✓ MAKSIMUM
6 — Hitung π*	TR(41)=735,95; TC(41)=395,61; π=TR−TC	π* ≈ Rp 340,34 ribu/ton

Catatan: Q*=40,756 dibulatkan ke 41 ton. π eksak pada Q*=40,756 adalah Rp 340,38 ribu/ton. π (pi) = simbol profit dalam matematika ekonomi.

Inilah puncak dari seluruh pertemuan hari ini — kita gabungkan semua yang dipelajari untuk menyelesaikan satu masalah bisnis nyata dari nol. Langkah 1 dan 2: kita turunkan TC dan TR menggunakan Power Rule dan Sum Rule untuk mendapatkan MC dan MR. Langkah 3: kita set MR=MC karena itulah syarat profit maksimum — teorema ekonomi yang juga Anda pelajari di mata kuliah Ekonomi Mikro. Langkah 4: persamaan kuadrat diselesaikan dengan rumus abc, dan kita dapatkan Q* ≈ 41 ton (ambil nilai positif, karena produksi tidak mungkin negatif). Langkah 5 adalah verifikasi wajib: turunan kedua dari fungsi profit π″ = −1,36, mengkonfirmasi ini memang maksimum. Langkah 6: substitusi kembali ke TR dan TC untuk mendapatkan nilai profit ≈ Rp 340 ribu per ton. Seluruh proses ini — dari fungsi biaya hingga keputusan produksi — adalah kalkulus diferensial terapan.

Studi Kasus MC dan MR — Mayora Indah (MYOR)

Ilustrasi pendidikan — Mayora Indah Tbk (kode MYOR di BEI — Bursa Efek Indonesia). TC(Q) = 2Q² + 10Q + 200 (juta Rp / juta unit); P(Q) = 50 - Q; TR = 50Q - Q².

Variabel	Rumus	Nilai di Q=10
MC	dTC/dQ = 4Q + 10	4(10)+10 = 50
MR	dTR/dQ = 50 − 2Q	50−20 = 30
Selisih	MR − MC	30 − 50 = −20
Sinyal	MR < MC	→ Kurangi produksi; Q=10 bukan optimal

Temukan Q*: MR=MC → 50−2Q = 4Q+10 → 6Q=40 → Q* = 6,67 juta unit. Verifikasi: MR=MC=36,67.

⚠️ MR=MC ≠ selalu profit positif. Pada kasus ini, π(Q*=6,67) = −66,67 (RUGI). MR=MC hanya menentukan titik profit-maksimum atau rugi-minimum. Selalu periksa π = TR − TC setelah menemukan Q*.

Mari terapkan analisis marjinal ke perusahaan yang Anda kenal sehari-hari. Mayora Indah — produsen Kopiko, Roma, Beng-Beng — adalah salah satu emiten konsumen terbesar di BEI dengan kode MYOR. Dalam skenario ilustrasi ini, jika divisi kopi memproduksi 10 juta unit, MC = Rp 50 ribu per unit tetapi MR hanya Rp 30 ribu — artinya setiap unit yang ke-10 juta itu justru merugikan Rp 20 ribu. Perusahaan harus mengurangi produksi hingga Q* ≈ 6,67 juta unit, di mana MR=MC=Rp 36,67 ribu. Ini adalah inti dari keputusan produksi optimal: “produksi selama MR > MC, berhenti ketika MR = MC.” Perhatikan bahwa meski MR=MC terpenuhi, profit bisa negatif — ini adalah titik rugi-minimum, bukan selalu titik untung. Data ini ilustrasi pendidikan; angka resmi Mayora ada di laporan keuangan IDX (idx.co.id).

Elastisitas Permintaan Titik — E_d

E_d = dQdP · PQ

“Persentase perubahan kuantitas diminta dibagi persentase perubahan harga.” E_d biasanya negatif (hukum permintaan); konvensi memakai |E_d|.

\|E_d\|	Kategori	Makna
> 1	Elastis	Konsumen sensitif: naik harga sedikit → permintaan turun banyak
= 1	Elastis uniter	Perubahan harga dan kuantitas proporsional
< 1	Inelastis	Konsumen tidak sensitif: naik harga → permintaan turun kecil

PENGAYAAN (Ekonomi Manajerial) — hubungan MR–E_d

MR = P · [1 + (1/E_d)]. Contoh: E_d=−0,5; P=10 → MR=10·[1−2]=−10. Saat permintaan inelastis, menambah penjualan justru menurunkan TR. Materi ini pandangan ke depan; fokus pertemuan ini = rumus E_d di atas.

Elastisitas Harga Bensin — Ilustrasi Pertamina

Konteks ilustrasi akademis: Q = 500 − 20P (juta liter/hari; P dalam ribu rupiah/liter). Harga saat ini P₀ = 12 (mendekati harga Pertamax komersial 2024). Q₀ = 500 − 20(12) = 260 juta liter/hari.

Langkah	Perhitungan	Nilai
1	dQ/dP = turunan fungsi permintaan	dQ/dP = −20
2	E_d = (dQ/dP) · (P₀/Q₀) = (−20) · (12/260)	−20 × 0,0462
3	E_d =	−0,923
4	\|E_d\| = 0,923 < 1	→ Permintaan inelastis

Bisnis: Kenaikan harga 10% → permintaan turun ≈ 9,2% → TR Pertamina naik (karena permintaan inelastis).

Kebijakan: Konsumen tidak punya banyak pilihan → beban meningkat → Kementerian ESDM / BPH Migas perlu mengkaji subsidi terarah. OJK mengawasi sektor jasa keuangan, bukan harga BBM.

Kita aplikasikan elastisitas titik ke kasus yang sangat relevan bagi kehidupan sehari-hari mahasiswa: harga bensin. Dalam skenario ilustrasi ini, kita hitung E_d pada harga Rp 12.000 per liter mendekati harga Pertamax komersial. Hasilnya: E_d ≈ −0,923, yaitu inelastis — setiap kenaikan harga 1% menyebabkan penurunan permintaan hanya sekitar 0,92%. Artinya jika harga naik 10%, permintaan turun kurang dari 10%, sehingga total penerimaan justru naik. Tetapi inelastisitas juga berarti konsumen tidak punya banyak pilihan — mereka terpaksa membayar lebih mahal. Inilah mengapa kebijakan harga BBM di Indonesia selalu melibatkan perdebatan antara efisiensi fiskal dan keadilan sosial, dan mengapa Kementerian ESDM dan BPH Migas (regulator harga dan distribusi BBM) memantaunya ketat. Angka ini ilustrasi akademis; penelitian empiris aktual membutuhkan data penjualan riil dan estimasi ekonometrik.

Coba Sendiri: Elastisitas Permintaan — Aplikasi Langsung Turunan

Elastisitas titik E_d = (dQ/dP) · (P/Q) memakai turunan langsung. Geser titik sepanjang kurva permintaan dan lihat elastisitas berubah dari elastis ke inelastis.

Cheat Sheet — Delapan Aturan + Empat Aplikasi

A — Delapan Aturan Turunan

Aturan	Rumus Ringkas
Power	(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹
Constant	(c)′ = 0
Sum/Diff	(f±g)′ = f′±g′
Product	(fg)′ = f′g + fg′
Quotient	(f/g)′ = (f′g-fg′)/g²
Chain	[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)
Eksponensial	(eˣ)′=eˣ; (eᶠ)′=eᶠ · f′
Logaritma	(ln x)′=1/x; (ln f)′=f′/f

B — Empat Aplikasi Bisnis

Aplikasi	Rumus	Kondisi Optimal
MC	dTC/dQ	Min AC saat MC=AC
MR	dTR/dQ	TR max saat MR=0
Profit Max	π = TR−TC	MR=MC, f″(π)<0
Elastisitas	E_d=(dQ/dP)·(P/Q)	\|E_d\|>1 elastis; <1 inelastis

Satu prinsip — turunan — menghasilkan empat alat manajerial. Foto slide ini sebagai referensi cepat.

Persiapan Pertemuan 14 & Tugas Mandiri

Pertemuan 14 — Minggu 15 (Terakhir)

Integral (Anti-Diferensial) — operasi kebalikan turunan
Total Revenue dari MR; Total Cost dari MC
Consumer & Producer Surplus (luas di bawah kurva)
Referensi: Haeussler, Paul & Wood (2018), Ch. 14.1

Integral = simbol ∫ — anti-diferensial; mengukur akumulasi, bukan laju perubahan.

Tugas Mandiri Sebelum P14

Selesaikan semua soal Lampiran B (5 soal + 2 diskusi) — tipe soal UAS
Baca Haeussler, Paul & Wood (2018), Ch. 14.1 (pengantar integral)
(Opsional) Tonton: Khan Academy “Derivatives — Applications” (gratis)

“Turunan adalah bahasa kuantitatif keputusan bisnis. Setiap kali Anda dengar ‘marjinal’ dalam ekonomi — biaya marjinal, utilitas marjinal, produk marjinal — di baliknya ada turunan.”

Terima Kasih • SAMPAI PERTEMUAN 14

Matematika Bisnis

Pertemuan 13 — Derivatif (Diferensial)

Tujuan Pembelajaran — Apa yang Akan Anda Kuasai

Mengapa Turunan Penting di Bisnis?

Ide Limit: Mendekati Tanpa Menyentuh

Definisi Formal Turunan (Limit Definisi)

Coba Sendiri: Kecilkan h, Saksikan Tali Busur Jadi Garis Singgung

Notasi: dy/dx vs f′(x) vs Df(x)

Power Rule dan Constant Rule

Sum/Difference Rule dan Product Rule

Quotient Rule dan Chain Rule

Turunan Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Hitung dari Nol — Enam Aturan Sekaligus (HDN-1)

Turunan Pertama dan Kedua — Maknanya

Prosedur Uji Maksimum dan Minimum

Turunan Parsial: Ketika Fungsi Punya Dua Input

Hitung dari Nol — Fungsi Produksi Cobb-Douglas (HDN-2)

Coba Sendiri: Fungsi Produksi — TP, MP, AP dan Hukum Hasil Menurun

Biaya Marjinal MC = dTC/dQ

Penerimaan Marjinal MR = dTR/dQ

Coba Sendiri: Cari Titik MR = MC untuk Laba Maksimum

Hitung dari Nol — Profit Maximization Indofood (HDN-3)

Studi Kasus MC dan MR — Mayora Indah (MYOR)

Elastisitas Permintaan Titik — Ed

Elastisitas Harga Bensin — Ilustrasi Pertamina

Coba Sendiri: Elastisitas Permintaan — Aplikasi Langsung Turunan

Cheat Sheet — Delapan Aturan + Empat Aplikasi

Persiapan Pertemuan 14 & Tugas Mandiri

Elastisitas Permintaan Titik — E_d