Program Studi Manajemen • FEB • Matematika Bisnis

Matematika Bisnis

Pertemuan 8 — Penerapan Matriks dalam Persamaan Regresi OLS

Bagaimana data penjualan toko dan upah minimum kabupaten berubah menjadi persamaan prediksi lewat operasi matriks — dari X, y, hingga β̂.

RPS MINGGU 9 • SUB-CPMK 2 • DURASI 2 × 50 MENIT

Selamat datang di Pertemuan 8, di mana kita menggabungkan dua hal yang sudah Anda pelajari: operasi matriks dari pertemuan-pertemuan sebelumnya, dan gagasan mencari hubungan antar-variabel yang mungkin sudah pernah Anda dengar di statistik. Di pertemuan ini, kita akan melihat bahwa persamaan regresi yang biasanya diajarkan dengan rumus-rumus statistik terpisah, sebenarnya dapat diturunkan secara elegan melalui satu formula matriks: β̂ sama dengan (X'X) invers dikali X'y. OLS adalah singkatan dari Ordinary Least Squares, atau dalam bahasa Indonesia disebut metode kuadrat terkecil biasa, yaitu cara mencari garis regresi yang meminimalkan jumlah kuadrat galat. Yang menarik, kita akan pakai data yang dekat dengan kehidupan nyata: penjualan toko ritel di Semarang, dan data upah minimum kabupaten di Jawa Tengah. Pada akhir pertemuan, Anda bukan hanya hafal formula, tetapi benar-benar bisa mengambil angka mentah dari tabel, menyusunnya menjadi matriks, menghitung invers, lalu menghasilkan persamaan regresi yang bisa dipakai untuk memprediksi.

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu membuat, menghitung, dan menginterpretasikan persamaan regresi menggunakan matriks (Sub-CPMK 2). Secara rinci:

CAPAIAN 1 — FORMASI

SUSUN

Membentuk matriks desain X (dengan kolom-satu untuk intercept) dan vektor y dari data observasi nyata.

CAPAIAN 2 — KOMPUTASI

HITUNG

Menghitung X'X, X'y, (X'X)⁻¹, dan solusi β̂ = (X'X)⁻¹X'y langkah demi langkah.

CAPAIAN 3 — INTERPRETASI

ARTIKAN

Mengartikan β₀ (intercept) dan β₁ (slope) dalam satuan variabel konteks nyata Indonesia.

CAPAIAN 4 — PREDIKSI & FIT

NILAI

Menghitung ŷ = Xβ̂, residual e, SSE, SST, dan R² sebagai ukuran kualitas model.

Pertemuan ini memiliki empat capaian yang saling membangun satu sama lain secara bertahap. Capaian pertama adalah fondasi: Anda harus bisa mengambil data mentah berupa tabel angka dan menyusunnya menjadi matriks X dan vektor y dengan struktur yang benar — dan di sini letak miskonsepsi paling umum pertama yang akan kita bongkar bersama. Capaian kedua adalah mekanika komputasi inti, yaitu menghitung empat operasi matriks secara berurutan hingga β̂ keluar sebagai solusi. Capaian ketiga adalah interpretasi — ini yang membuat regresi bermakna, karena angka β₀ dan β₁ harus bisa Anda jelaskan dalam bahasa manusia biasa dengan satuan yang tepat. Capaian keempat menutup siklus: menghitung seberapa akuratnya model kita lewat prediksi, residual, SSE, SST, dan ukuran R² sebagai goodness of fit.

Mengapa Matriks untuk Regresi?

Bayangkan Anda punya data 100 toko dengan 5 variabel. Rumus statistik klasik memerlukan 5 sistem persamaan terpisah. Matriks menyelesaikannya dalam satu formula.

CARA LAMA (tanpa matriks)

p+1 persamaan

Untuk regresi dengan p variabel → selesaikan sistem p+1 persamaan normal secara manual satu per satu. Untuk p = 5 itu berarti 6 persamaan simultan yang harus diselesaikan bersama.

CARA MATRIKS (OLS)

1 formula

Susun semua data ke dalam X dan y → hitung (X'X)⁻¹X'y → satu langkah, berlaku untuk p variabel berapa pun.

Formula β̂ = (X'X)⁻¹X'y adalah “bahasa universal” regresi. Software statistik (SPSS, R, Python) semuanya menjalankan formula ini di balik layar — kita belajar isi kotak hitam itu.

Banyak mahasiswa bertanya: kenapa susah-susah pakai matriks kalau bisa pakai kalkulator statistik atau SPSS? Jawabannya ada dua. Pertama, memahami isi formula matriks ini berarti Anda memahami apa yang dikerjakan oleh perangkat lunak — Anda bukan sekadar operator tombol, tetapi analis yang paham prinsip kerjanya. Kedua, ketika kasus menjadi lebih besar, misalnya regresi dengan lima atau sepuluh variabel bebas, formula matriks tunggal ini tetap berlaku tanpa perubahan struktural — hanya ukuran matriksnya yang membesar, bukan cara kerjanya. Persamaan normal yang dimaksud — normal equations — adalah sistem persamaan yang dihasilkan dari kondisi OLS, dan formula matriks adalah solusi kompaknya. Bayangkan memahami OLS matriks itu seperti memahami cara kerja mesin mobil, bukan sekadar cara menekan pedal gas. Hari ini kita akan membuka kap mesin bersama-sama.

Bagian 1 dari 4

Dari Data ke Matriks

Cara menyusun tabel data menjadi matriks desain X dan vektor y — fondasi yang menentukan segalanya.

Dua Peran Variabel: Dependen (y) dan Independen (x)

Sebelum menyusun matriks, identifikasi dulu: mana yang ingin diprediksi, mana yang dipakai untuk memprediksi?

VARIABEL DEPENDEN (y)

Terikat / Respons

Yang ingin dijelaskan/diprediksi. Disebut juga variabel terikat. Disusun sebagai vektor kolom n×1.

Contoh: penjualan toko (juta Rp/bulan).

VARIABEL INDEPENDEN (x)

Bebas / Prediktor

Yang dipakai untuk menjelaskan/memprediksi y. Disebut juga variabel bebas. Masuk ke kolom-kolom matriks X.

Contoh: pengeluaran iklan (juta Rp/bulan).

Toko	Iklan x (juta Rp/bln)	Penjualan y (juta Rp/bln)
A	5	120
B	8	150
C	10	180
D	12	200

Langkah paling pertama dalam regresi bukan menghitung, melainkan berpikir: mana variabel yang ingin kita jelaskan, dan mana yang kita pakai untuk menjelaskannya? Variabel dependen — atau variabel terikat — adalah yang kita ingin tahu nilainya: dalam contoh ini, berapa penjualan sebuah toko. n adalah jumlah observasi; untuk kasus ini n sama dengan 4, karena ada empat toko. Variabel independen — atau variabel bebas, atau prediktor — adalah informasi yang kita miliki untuk membuat prediksi: dalam contoh ini, berapa rupiah yang dikeluarkan toko untuk iklan. Hubungan yang ingin kita temukan adalah: seberapa besar kenaikan penjualan yang berkaitan dengan kenaikan anggaran iklan? Identifikasi dua peran ini sebelum menyentuh matriks apa pun, karena jika y dan x tertukar, seluruh perhitungan akan menghasilkan jawaban yang tidak bermakna.

Menyusun Matriks Desain X dan Vektor y

Dari tabel data 4 toko → matriks X berukuran 4×2 dan vektor y berukuran 4×1.

X (4×2)
┌ 1 5 ┐
│ 1 8 │
│ 1 10 │
└ 1 12 ┘

y (4×1)
┌ 120 ┐
│ 150 │
│ 180 │
└ 200 ┘

Kolom 1: vektor-satu (semua = 1) → untuk intercept β₀
Kolom 2: nilai iklan x → untuk slope β₁
Tiap baris = satu observasi (satu toko)

WAJIB: Kolom pertama X selalu berisi angka 1 semua — jangan diisi nilai x₁. Ini bukan kesalahan ketik; ini struktur yang disengaja untuk menghasilkan β₀ (intercept). Matriks desain (design matrix) inilah yang menjadi fondasi formula OLS.

Ukuran X: n × (p+1) — n baris observasi, satu kolom-satu + p kolom variabel bebas. Untuk kasus ini: 4×2.

Mengapa Kolom Pertama X Harus Semua Angka 1?

Ini muncul secara alami dari cara model regresi ditulis dalam notasi matriks.

Model satu variabel: y = β₀·1 + β₁·x₁ + e

┌ y₁ ┐ ┌ 1 x₁₁ ┐ ┌ β₀ ┐ ┌ e₁ ┐
│ y₂ │ = │ 1 x₁₂ │ × │ β₁ │ + │ e₂ │
│ y₃ │ │ 1 x₁₃ │ └      ┘ │ e₃ │
└ y₄ ┘ └ 1 x₁₄ ┘              └ e₄ ┘
  y        =       X         × β + e

Kolom-satu muncul secara alami dari perkalian β₀ × 1. Hilangkan kolom-satu → β₀ tidak bisa diestimasi → model dipaksa lewat titik asal (0,0) — kondisi no-intercept model yang hampir selalu salah secara konteks bisnis.

Pertanyaan yang paling sering muncul dari mahasiswa ketika pertama melihat matriks X adalah: “Pak, kolom pertama isinya satu semua — itu bukan kesalahan?” Bukan kesalahan, itu disengaja. Perhatikan model y = β₀ + β₁x₁ — kalau ditulis lebih lengkap, β₀ itu sebenarnya β₀ dikali 1, sehingga intercept ini perlu “kolom pendamping” berisi angka 1 agar bisa masuk ke dalam perkalian matriks. Ketika kita kembangkan persamaan untuk keempat toko sekaligus dalam satu perkalian matriks, kolom satu itu muncul secara alami di posisi pertama. Kalau Anda menghilangkan kolom tersebut, model Anda menjadi model tanpa intercept yang dipaksa melewati titik asal — artinya ketika pengeluaran iklan nol, penjualan juga dianggap nol, yang secara bisnis nyaris tidak pernah masuk akal karena toko yang tidak beriklan tetap bisa punya penjualan dasar.

Transpos X — Langkah Pertama dalam Komputasi OLS

Dari X berukuran n×2, transpos menghasilkan X' berukuran 2×n (baris dan kolom ditukar).

X (4×2)
┌ 1 5 ┐
│ 1 8 │
│ 1 10 │
└ 1 12 ┘

↓ X'

X' (2×4)
┌ 1 1 1 1 ┐
└ 5 8 10 12 ┘

Aturan: baris ke-i dari X menjadi kolom ke-i dari X'. Baris pertama X [1,1,1,1] menjadi baris pertama X'. Baris kedua X [5,8,10,12] menjadi baris kedua X'.

X' bukan tujuan akhir — ia hanya alat antara untuk membentuk X'X dan X'y. Ukurannya selalu 2×n untuk model bivariat (satu variabel bebas).

Bagian 2 dari 4

Mekanika OLS Matriks

Formula β̂ = (X'X)⁻¹X'y dan lima langkah komputasi — dari X'X ke solusi koefisien.

β̂ = (X'X)⁻¹ X'y

Formula OLS Matriks — Satu Ekspresi, Semua Koefisien

β̂ = (X'X)⁻¹ X'y

Simbol	Nama	Ukuran (bivariat)	Peran
X	Matriks desain	n × 2	Berisi kolom-satu + nilai x
y	Vektor dependen	n × 1	Berisi nilai y observasi
X'	Transpos X	2 × n	Alat antara
X'X	Matriks momen	2 × 2	Selalu bujur sangkar
(X'X)⁻¹	Invers momen	2 × 2	Harus ada (det ≠ 0)
X'y	Vektor silang	2 × 1	Alat antara
β̂	Vektor estimasi	2 × 1	Solusi: [β₀, β₁]'

OLS meminimalkan SSE (Sum of Squared Errors — jumlah kuadrat residual) = Σeᵢ² = e'e = (y − Xβ̂)'(y − Xβ̂). Formula β̂ di atas adalah solusi analitisnya.

Lima Langkah OLS Matriks — Urutan Wajib

SUSUN X dan y — bentuk matriks desain X (kolom-satu + x) dan vektor y dari data observasi.

HITUNG X'X — kalikan X' (transpos) dengan X → matriks 2×2 yang selalu simetris.

HITUNG X'y — kalikan X' (transpos) dengan y → vektor 2×1 yang merangkum hubungan x dan y.

INVERS (X'X)⁻¹ — gunakan rumus invers 2×2 (syarat: determinan ≠ 0).

KALIKAN: β̂ = (X'X)⁻¹ × X'y → solusi [β₀, β₁]'.

Bonus langkah evaluasi: ŷ = Xβ̂ (prediksi) → e = y − ŷ (residual) → SSE = e'e (ukuran fit) → R² = 1 − SSE/SST (goodness of fit).

Coba Sendiri: Jalankan Lima Langkah OLS Sendiri

Klik maju satu per satu melalui lima langkah OLS matriks — dari menyusun X hingga mendapatkan β̂ — dengan data Anda sendiri.

Menghitung X'X — Matriks Momen 2×2

X' (2×4) × X (4×2) → X'X (2×2). Hasilnya selalu simetris dan bujur sangkar.

X'X[1,1] = 1+1+1+1 = 4 (= n)
X'X[1,2] = 5+8+10+12 = 35 (= Σxᵢ)
X'X[2,1] = 5+8+10+12 = 35 (= Σxᵢ)
X'X[2,2] = 25+64+100+144 = 333 (= Σxᵢ²)

X'X =
┌ 4 35 ┐
└ 35 333 ┘

X'X[1,1] = n (jumlah observasi).
X'X[1,2] = X'X[2,1] = Σxᵢ.
X'X[2,2] = Σxᵢ² = 5²+8²+10²+12².

Matriks ini selalu simetris karena (X'X)' = X'(X')' = X'X.

Verifikasi: 5² = 25, 8² = 64, 10² = 100, 12² = 144.
Jumlah: 25 + 64 + 100 + 144 = 333 ✓

Menghitung X'y — Vektor Silang 2×1

X' (2×4) × y (4×1) → X'y (2×1). Ini merangkum hubungan antara X dan y.

X'y[1] = 120+150+180+200
       = 650 (= Σyᵢ)

X'y[2] = 5×120 + 8×150 + 10×180 + 12×200
       = 600 + 1.200 + 1.800 + 2.400
       = 6.000 (= Σxᵢyᵢ)

X'y =
┌ 650 ┐
└ 6.000 ┘

X'y[1] = Σyᵢ = jumlah semua nilai y.
X'y[2] = Σxᵢyᵢ = produk silang (cross product) — penjumlahan perkalian x dan y tiap observasi.

Dua angka ini merangkum seluruh informasi ko-variasi antara x dan y dalam data kita.

Verifikasi Σxy: 5×120=600 • 8×150=1.200 • 10×180=1.800 • 12×200=2.400.
Total = 6.000 ✓

Menginvers X'X (Matriks 2×2) — Rumus Eksplisit

Untuk matriks 2×2, ada rumus langsung tanpa eliminasi Gauss-Jordan:

Jika A = [a b ; c d] → A⁻¹ = (1/(ad−bc)) × [d −b ; −c a]

Langkah	Perhitungan	Nilai
Identifikasi a,b,c,d	a=4, b=35, c=35, d=333	—
Hitung determinan	det = 4×333 − 35×35 = 1.332 − 1.225	107
Tulis adjoin	[333, −35 ; −35, 4]	—
Bagi dengan det	(X'X)⁻¹ = (1/107) × adjoin	—
Elemen [1,1]	333 ÷ 107	3,1121
Elemen [1,2] = [2,1]	−35 ÷ 107	−0,3271
Elemen [2,2]	4 ÷ 107	0,0374

Jika det = 0, invers tidak ada → model tidak bisa diselesaikan (terjadi multikolinearitas sempurna). Untuk data riil, det hampir selalu ≠ 0.

Bagian 3 dari 4

Hitung dari Nol

Dua contoh lengkap: data penjualan ritel Semarang (n=4) dan data UMK–PDRB Jawa Tengah (n=5) — seluruh alur X → X'X → invers → β̂.

Contoh 1

Ritel

Penjualan vs Iklan, Semarang

Contoh 2

UMK Jateng

UMK vs PDRB, 5 Kab/Kota

Hitung dari Nol — HDN-1: Penjualan Ritel vs Iklan (n=4, Semarang)

Data: 4 gerai ritel ilustratif, Semarang

Toko	Iklan x (juta Rp)	Penjualan y (juta Rp)
A	5	120
B	8	150
C	10	180
D	12	200

Langkah	Perhitungan	Nilai
L1: Susun X,y	X=[[1,5];[1,8];[1,10];[1,12]]	y=[120;150;180;200]
L2: X'X [1,1]	1+1+1+1	4 (=n)
L2: X'X [1,2]	5+8+10+12	35 (=Σx)
L2: X'X [2,2]	25+64+100+144	333 (=Σx²)
L3: X'y [1]	120+150+180+200	650 (=Σy)
L3: X'y [2]	600+1.200+1.800+2.400	6.000 (=Σxy)
L4: det	4×333 − 35² = 1.332 − 1.225	107

HDN-1 (Lanjutan) — Langkah 5: β̂, Interpretasi, dan Prediksi

Langkah	Perhitungan	Nilai
L5: β₀	(333×650 − 35×6.000) ÷ 107 = (216.450 − 210.000) ÷ 107 = 6.450 ÷ 107	60,28
L5: β₁	(−35×650 + 4×6.000) ÷ 107 = (−22.750 + 24.000) ÷ 107 = 1.250 ÷ 107	11,68

ŷ = 60,28 + 11,68x

Interpretasi β₀ = 60,28

Jika anggaran iklan = 0, estimasi penjualan dasar = Rp 60,28 juta/bulan (nilai konstanta teknis — cek apakah x=0 realistis).

Interpretasi β₁ = 11,68

Setiap kenaikan iklan Rp 1 juta/bulan, penjualan naik rata-rata Rp 11,68 juta/bulan.

Prediksi toko baru dengan iklan Rp 9 juta: ŷ = 60,28 + 11,68×9 = 60,28 + 105,12 = Rp 165,40 juta.

Hitung dari Nol — HDN-2: UMK vs PDRB 5 Kab/Kota Jawa Tengah

Data ilustratif berbasis BPS Jawa Tengah & Pemprov Jateng (UMK 2024), dibulatkan untuk pembelajaran.

Kab/Kota	PDRB 2023 x (triliun Rp)	UMK 2024 y (juta Rp/bln)
Kab Semarang	50	2,70
Kota Solo	70	2,40
Kab Kudus	45	2,50
Kab Cilacap	80	2,60
Kab Pekalongan	35	2,10

Langkah	Perhitungan	Nilai
Σx	50+70+45+80+35	280
Σx²	2.500+4.900+2.025+6.400+1.225	17.050
X'X	[[5, 280]; [280, 17.050]]	—
Σy	2,70+2,40+2,50+2,60+2,10	12,30
Σxy	135+168+112,5+208+73,5	697,0
X'y	[[12,30]; [697,0]]	—
det	5×17.050 − 280² = 85.250 − 78.400	6.850

HDN-2 (Lanjutan) — Langkah 5: β̂ dan Interpretasi Kebijakan

Langkah	Perhitungan	Nilai
L5: β₀	(17.050×12,30 − 280×697) ÷ 6.850 = (209.715 − 195.160) ÷ 6.850 = 14.555 ÷ 6.850	2,125
L5: β₁	(−280×12,30 + 5×697) ÷ 6.850 = (−3.444 + 3.485) ÷ 6.850 = 41 ÷ 6.850	0,0060

ŷ = 2,125 + 0,006x (UMK juta Rp; x = PDRB triliun Rp)

Interpretasi β₁ = 0,0060

Setiap kenaikan PDRB Rp 1 triliun, UMK naik rata-rata Rp 6.000/bulan — efek yang relatif kecil.

R² = 0,23 — Insight Kebijakan

PDRB hanya menjelaskan 23% variasi UMK. Faktor lain: inflasi lokal, tekanan serikat buruh, regulasi Pemprov. (Cara menghitung R² → Slide 23–24.)

R² rendah bukan kegagalan. Justru ini insight: kalau ingin UMK naik signifikan, menaikkan PDRB saja tidak cukup. Banyak faktor penentu lain yang perlu dipertimbangkan pembuat kebijakan.

Dari β̂ yang kita hitung, β₁ sebesar 0,006 berarti setiap kenaikan PDRB satu triliun rupiah berkaitan dengan kenaikan UMK sekitar enam ribu rupiah per bulan — efek yang relatif kecil. Saya tampilkan nilai R² = 0,23 di sini sebagai ringkasan kualitas model, karena ini adalah insight kebijakan yang paling penting. Jangan khawatir bila Anda belum tahu persis cara menghitung angka 0,23 itu — di Bagian 4 nanti kita akan hitung step-by-step lewat SSE dan SST. Yang perlu Anda tangkap sekarang adalah maknanya: variasi PDRB hanya menjelaskan sekitar 23% variasi UMK antar-kabupaten, yang berarti banyak faktor lain yang penting — inflasi lokal, tekanan serikat buruh, daya beli masyarakat, dan keputusan politik Pemprov. Justru dari model sederhana ini Anda bisa berargumen kepada pembuat kebijakan: kalau ingin UMK naik signifikan, menaikkan PDRB saja tidak cukup.

Bagian 4 dari 4

Interpretasi, Prediksi, Residual, dan Goodness of Fit

Dari β̂ ke makna: cara membaca koefisien, menghitung prediksi ŷ, residual e, SSE, SST, dan menilai kualitas model melalui R².

Menginterpretasikan β₀ (Intercept) dan β₁ (Slope)

β₀ — INTERCEPT

Titik Potong

Nilai y ketika x = 0.
Selalu sertakan satuan y.
Cek konteks: apakah x = 0 realistis?

Contoh: β₀ = 60,28 → “Penjualan dasar = Rp 60,28 juta/bulan saat iklan = 0.”

β₁ — SLOPE

Kemiringan

Perubahan rata-rata y per 1 kenaikan x.
Template: “Setiap kenaikan [x satu satuan], [y] naik/turun rata-rata [β₁ satuan y].”

Contoh: β₁ = 11,68 → “Tambahan Rp 1 juta iklan → penjualan naik rata-rata Rp 11,68 juta.”

β₀ tidak selalu bermakna praktis. Jika x tidak pernah = 0 dalam konteks nyata (mis. PDRB = 0 tidak mungkin), β₀ hanya konstanta matematis — jangan diartikan harfiah.

Interpretasi adalah langkah yang paling sering diabaikan mahasiswa yang baru belajar regresi — mereka berhenti setelah mendapatkan angka tanpa menjelaskan artinya. Ada pola bahasa yang wajib Anda ikuti. Untuk β₁, template kalimatnya adalah: “setiap kenaikan variabel x sebesar satu satuan, variabel y naik atau turun rata-rata sebesar nilai β₁ dalam satuan y, dengan asumsi faktor lain tetap.” Untuk β₀, katakan: “ketika nilai variabel x adalah nol, estimasi nilai variabel y adalah β₀ dalam satuan y.” Kemudian selalu evaluasi apakah interpretasi β₀ masuk akal secara konteks — kalau nilai x = 0 tidak mungkin terjadi, sampaikan bahwa β₀ hanya konstanta teknis. Ingat bahwa β₁ adalah perubahan rata-rata, bukan perubahan pasti; regresi menangkap kecenderungan, bukan kepastian deterministik.

Nilai Prediksi ŷ = Xβ̂ dan Residual e = y − ŷ

Setelah β̂ diketahui, hitung ŷ untuk tiap observasi, lalu bandingkan dengan y aktual.

Toko	x	y aktual	ŷ = 60,28 + 11,68x	e = y − ŷ	e²
A	5	120	60,28 + 58,40 = 118,68	+1,32	1,74
B	8	150	60,28 + 93,44 = 153,72	−3,72	13,84
C	10	180	60,28 + 116,80 = 177,08	+2,92	8,53
D	12	200	60,28 + 140,16 = 200,44	−0,44	0,19
Σ	—	650	649,92 ≈ 650	≈ 0	24,30

Cek kontrol penting: Σeᵢ ≈ 0 (jumlah residual mendekati nol). Ini jaminan matematis OLS ketika model menyertakan intercept β₀. Jika Σe jauh dari nol, ada kesalahan di perhitungan β̂. Nilai SSE ≈ 24,34 (dari Lampiran A).

Seberapa Baik Garis Kita? — Membangun Ide Variasi (SST)

Sebelum menghitung R², kita perlu memahami: seberapa “tersebar” data y di sekitar nilai rata-ratanya?

ẩ (y-bar) = rata-rata y = 650 ÷ 4 = 162,5

SST (Sum of Squares Total) = Σ(yᵢ − ẩ)²
Dikuadratkan agar nilai positif & negatif tidak saling menghapus.

Toko	y	ẩ	(y−ẩ)	(y−ẩ)²
A	120	162,5	−42,5	1.806,25
B	150	162,5	−12,5	156,25
C	180	162,5	+17,5	306,25
D	200	162,5	+37,5	1.406,25
Σ				SST = 3.675

SST = 3.675 adalah “plafon” variasi yang harus dijelaskan. Model regresi yang baik menangkap sebagian besar SST — sisanya adalah SSE (variasi yang tidak bisa dijelaskan).

Sebelum kita bisa mengatakan “model ini baik” atau “model ini buruk”, kita perlu tahu: seberapa besar variasi yang ada dalam data y? SST menjawab pertanyaan ini. Bayangkan penjualan keempat toko kita: ada yang 120, ada yang 200 — mereka tersebar di sekitar rata-rata 162,5. Kalau semua toko penjualannya persis sama, tidak ada variasi dan SST = 0 — tidak ada yang perlu “dijelaskan”. Tapi karena ada perbedaan, kita mengukur penyebaran itu dengan mengkuadratkan selisih masing-masing toko dari rata-rata lalu menjumlahkan, hasilnya SST = 3675. Mengapa dikuadratkan? Karena kalau tidak, selisih positif dan negatif akan saling menghapus dan total menjadi nol, padahal kita butuh ukuran “seberapa besar” penyebarannya. SST ini adalah titik tolak untuk menghitung R² di slide berikutnya.

Dari SSE dan SST ke R² — Berapa Bagian yang Bisa Dijelaskan?

Kita sudah tahu SSE (variasi sisa setelah model) dan SST (variasi total). R² mengukur proporsi yang berhasil ditangkap model.

SSE = Σeᵢ² ≈ 24,34

SST = Σ(yᵢ−ẩ)² = 3.675

R² = 1 − SSE/SST

R² = 1 − 24,34 / 3.675
R² = 1 − 0,0066
R² ≈ 0,9934

R² ≈ 0,993: model menjelaskan 99,3% variasi penjualan lewat iklan saja — fit sangat tinggi (data ilustratif).

Bandingkan dengan HDN-2: R² = 0,23 — perbedaan makna yang sangat besar.

Panduan umum R²:
≥0,90 = sangat kuat • 0,70–0,89 = kuat • 0,50–0,69 = sedang • <0,50 = lemah (tapi bisa jadi insight, bukan kegagalan)

Coba Sendiri: Geser Sebaran Data, Lihat R² Berubah

Ubah sebaran titik data di sekitar garis regresi dan amati bagaimana SSE, SST, dan R² bereaksi secara langsung.

Empat Jebakan Umum — Hindari Sebelum Ujian

⚠ JEBAKAN 1

Lupa Kolom-Satu di X

Memasukkan data x langsung di kolom pertama tanpa vektor-satu → β₀ tidak bisa diestimasi → seluruh β̂ salah.

⚠ JEBAKAN 2

Invers Salah Matriks

Mencoba menginvers X (matriks n×2, bukan bujur sangkar) → tidak mungkin. Yang diinvers adalah X'X (matriks 2×2).

⚠ JEBAKAN 3

Urutan Perkalian Terbalik

Menulis X'y × (X'X)⁻¹ bukan (X'X)⁻¹ × X'y → hasil berbeda. Perkalian matriks tidak komutatif: AB ≠ BA.

⚠ JEBAKAN 4

Salah Satuan Interpretasi

Menafsirkan β₁ tanpa menyebut satuan x dan y → interpretasi kosong. Selalu sebut: “per [satuan x]” dan “[satuan y]”.

Cek tiga hal sebelum mengumpulkan: (1) Kolom-satu ada di X? (2) Yang diinvers adalah X'X (bukan X)? (3) Urutan β̂ = (X'X)⁻¹X'y (bukan sebaliknya)?

Peta Konsep — Alur Lengkap OLS Matriks

Seluruh regresi OLS bivariat = 5 langkah komputasi + 3 langkah evaluasi yang semuanya berakar dari satu formula: β̂ = (X'X)⁻¹X'y. Ini fondasi yang dipakai oleh SPSS, R, Python, dan setiap software statistik lainnya.

Latihan Kelas & Persiapan Pertemuan Berikutnya

LATIHAN — HITUNG DARI NOL

3 Toko Kopi

Data: Gerai P (luas 20 m², pendapatan 15 ratus ribu Rp/hari), Q (35 m², 25), R (50 m², 40).

Kerjakan: Susun X dan y → hitung X'X, X'y, det, (X'X)⁻¹ → cari β̂ → interpretasikan β₁ dalam satuan yang benar → prediksi pendapatan toko baru luas 30 m².

Jawaban: Lampiran B materi kuliah.

REFLEKSI KELAS

R² Rendah vs Tinggi

Dari dua contoh hari ini (ritel dan UMK):
• R² = 0,993 (HDN-1) → apa artinya?
• R² = 0,23 (HDN-2) → apa artinya?

Diskusikan: Kapan R² rendah justru menjadi insight penting bagi pembuat kebijakan — bukan kegagalan model?

Tips mengerjakan di kertas: Gambar X dan y dulu, cek kolom-satu ada, hitung det sebelum lanjut ke invers. Jika det ≈ 0, periksa kembali data. Σe ≈ 0 adalah cek akhir bahwa β̂ Anda benar.

Sebelum menutup, kita kerjakan satu latihan bersama menggunakan data baru supaya Anda benar-benar bisa menjalankan seluruh pipeline sendiri. Perhatikan latihan kiri: data tiga toko kopi dengan dua variabel berbeda dari contoh kita tadi — luas gerai dalam meter persegi dan pendapatan harian dalam ratus ribu rupiah. Prosesnya sama persis: susun X dengan kolom-satu, hitung X'X dan X'y, temukan det, invers, dan β̂, lalu interpretasikan β₁ dalam bahasa yang benar dengan satuan “ratus ribu rupiah per meter persegi”. Untuk refleksi kelas di kanan, saya ingin Anda berpikir lebih dalam: model UMK–PDRB kita punya R² rendah 0,23, tapi bukan berarti analisis itu sia-sia — justru ia memberi insight bahwa PDRB bukan penentu utama UMK. Pelajaran inilah yang membedakan analis yang sekedar menghitung dari analis yang benar-benar memahami apa yang dihasilkan oleh angkanya. Sampai jumpa di Pertemuan 9!

📖 Baca juga: Beta Unlevering Relevering — penjelasan mendalam dan contoh numerik.