Program Studi Manajemen • FEB UNDIP
Matematika Bisnis
Pertemuan 7 — Operasi Matriks & Regresi OLS Dari tabel penjualan ke sistem persamaan — matriks (susunan bilangan dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang ) adalah bahasa aljabar untuk bisnis berskala besar. Hari ini kita kuasai operasi dasar hingga formulasi regresi OLS (Ordinary Least Squares — metode kuadrat terkecil biasa) dalam notasi matriks.
RPS MINGGU 7 • SUB-CPMK 2 • DURASI 2 × 50 MENIT
Selamat datang di Pertemuan 7, topik yang banyak mahasiswa anggap "terlalu abstrak" — padahal matriks adalah alat yang setiap hari digunakan oleh tim analitik di perusahaan seperti Unilever Indonesia, PT Telkom, atau bank-bank besar untuk memroses data penjualan ribuan SKU (stock keeping unit — kode unik per jenis produk) secara serentak. Bayangkan Anda manajer keuangan yang harus merangkum pendapatan dari tiga lini produk di dua puluh provinsi — jika dikerjakan satu per satu, butuh ratusan baris perhitungan; dengan matriks, cukup satu operasi. Di bagian akhir hari ini, kita akan melihat bagaimana matriks menjadi jantung dari regresi OLS — metode statistik yang dipakai hampir di setiap paper ekonomi dan laporan keuangan analitik. Persiapkan diri untuk berpikir dalam tabel-tabel yang beroperasi satu sama lain. Tujuan Pembelajaran Hari Ini Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu menjelaskan dan mengoperasikan matriks serta membentuk regresi OLS dalam notasi matriks (Sub-CPMK 2). Secara rinci:
CAPAIAN 1 — DEFINISI
DIMENSI
Mengidentifikasi dimensi m×n, elemen, jenis matriks , dan transpose secara tepat.
CAPAIAN 2 — OPERASI
OPERASI
Melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian matriks (termasuk syarat konformabel).
CAPAIAN 3 — DET & INVERS
DET & INV
Menghitung determinan 2×2 & 3×3 dan invers 2×2 , serta menerapkan aturan Cramer .
CAPAIAN 4 — OLS
OLS
Menuliskan dan menjelaskan formulasi β̂ = (X’X)⁻¹X’y serta menginterpretasikan koefisien regresi.
Empat capaian ini merupakan penjabaran Sub-CPMK 2 dalam RPS Matematika Bisnis. Capaian pertama dan kedua membangun fondasi: Anda harus benar-benar paham apa yang sedang dikerjakan saat "mengalikan" dua matriks — bukan sekadar mengikuti prosedur. Capaian ketiga menantang lebih jauh: determinan (angka tunggal yang merangkum sifat suatu matriks persegi) dan invers (matriks yang bila dikalikan dengan matriks aslinya menghasilkan matriks identitas) adalah kunci untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Capaian keempat adalah puncak hari ini — formulasi OLS dalam matriks adalah jembatan antara matematika yang Anda pelajari dan analisis data yang akan Anda temui di dunia riset maupun konsultasi bisnis. Jadikan empat poin ini panduan belajar Anda; β̂ dibaca "beta-hat", yaitu estimator OLS yang kita kejar. Mengapa Matriks Dipakai di Dunia Bisnis? Dua situasi nyata di mana matriks bukan pilihan, melainkan keharusan:
KASUS 1 — PENJUALAN MULTI-PRODUK
TELKOM
PT Telkom punya 3 layanan (IndiHome, Telkomsel, Telkom Data) di 2 pasar (Jawa, Luar Jawa). Menghitung total pendapatan per pasar per channel serentak → matriks 2×3 × 3×2 = matriks 2×2 total pendapatan.
KASUS 2 — EKONOMETRI OJK
OJK & BEI
OJK (Otoritas Jasa Keuangan ) menganalisis pengaruh biaya iklan terhadap penjualan untuk 100 perusahaan tercatat di BEI (Bursa Efek Indonesia ) sekaligus. Regresi OLS terhadap n observasi → β̂ = (X’X)⁻¹X’y.
Matriks = cara ringkas & sistematis menangani banyak persamaan/data sekaligus. Tanpa matriks, analisis 100 perusahaan membutuhkan 100 baris rumus terpisah.
Sebelum masuk ke definisi formal, saya ingin Anda melihat dua situasi di mana matriks bukan sekadar teori. Kasus pertama: bayangkan tim analitik PT Telkom harus menyusun laporan pendapatan untuk tiga lini layanan di dua wilayah penjualan — jika dikerjakan tanpa matriks, perlu enam perhitungan terpisah dan kemungkinan salah sangat besar; dengan matriks, cukup satu operasi yang menghasilkan seluruh tabel sekaligus. Kasus kedua lebih relevan untuk riset: setiap kali Anda membaca paper atau laporan yang menyebut "regresi OLS", di baliknya ada operasi matriks — data ratusan pengamatan dirangkum ke dalam matriks X berukuran n×k, lalu diselesaikan dengan satu rumus β̂ = (X’X)⁻¹X’y. Memahami matriks artinya Anda memahami fondasi statistika yang dipakai di hampir semua penelitian kuantitatif. Ekonometri (penerapan statistika pada data ekonomi untuk menguji hubungan sebab-akibat) bersandar sepenuhnya pada aljabar matriks. Bagian 01 dari 04
Definisi & Anatomi Matriks
Elemen · Baris · Kolom · Dimensi m×n · Jenis matriks · Transpose
Kita mulai dari yang paling dasar: apa itu matriks, bagaimana membacanya, dan apa saja jenis-jenis yang penting. Bagian ini terlihat sederhana, namun pemahaman yang tepat di sini sangat menentukan kemampuan Anda di bagian-bagian berikutnya. Jangan tergoda melewatinya terlalu cepat — kesalahan yang paling banyak terjadi pada ujian bukan di perkalian matriks, melainkan di hal sederhana seperti salah membaca dimensi atau salah menempatkan elemen saat mentranspose. Tiga blok berikutnya (Bagian 2, 3, dan 4) semuanya bertumpu pada fondasi yang kita bangun di sini, jadi pastikan setiap konsep benar-benar dipahami sebelum melanjutkan. Matriks: Susunan Bilangan dalam Baris & Kolom Matriks A berukuran m×n = susunan m baris dan n kolom bilangan real. Elemen aij = posisi baris ke-i, kolom ke-j.
A = [a₁₁ a₁₂ ··· a₁n]m1 am2 ··· amn ]
Konvensi: baris dulu, kolom kedua . A2×3 = 2 baris, 3 kolom.
Contoh konkret: matriks 2×2
3 a₁₁ 1 a₁₂ 2 a₂₁ 4 a₂₂ A = 2×2 → baris 1 → baris 2 Matriks adalah cara terorganisir untuk menyimpan banyak angka sekaligus — bayangkan spreadsheet Excel: baris pertama produk pertama, baris kedua produk kedua, kolom pertama kuartal pertama, dan seterusnya; itulah intuisi matriks. Notasi aij selalu mengikuti urutan: i untuk baris (dari atas ke bawah), j untuk kolom (dari kiri ke kanan) — sama seperti cara kita membaca, baris dulu lalu kolom. Dimensi m×n sangat penting karena menentukan apakah dua matriks bisa dijumlahkan atau dikalikan; kita akan lihat aturannya segera. Contoh di slide: matriks [3 1; 2 4] berukuran 2×2 — elemen a₁₁=3, a₁₂=1, a₂₁=2, a₂₂=4; elemen yang disorot abu adalah diagonal utama. Lima Jenis Matriks yang Wajib Dikenal PERSEGI (SQUARE)
m = n. Contoh: 2×2, 3×3. Paling banyak dipakai dalam operasi determinan & invers.
IDENTITAS (I)
Persegi, diagonal utama = 1, lainnya = 0. Berperan seperti angka 1: A·I = I·A = A .I = [1 0 / 0 1]
NOL (0)
Semua elemen = 0. Berperan seperti angka 0: A + 0 = A . Identitas penjumlahan.
BARIS / KOLOM
Hanya 1 baris (1×n) = vektor baris (row vector ). Hanya 1 kolom (m×1) = vektor kolom (column vector ). Dipakai sebagai y dan x dalam OLS.
DIAGONAL
Persegi, elemen di luar diagonal utama = 0. Determinan = produk elemen diagonal. Mudah di-invers.
Dalam OLS nanti: vektor kolom y (n×1) berisi nilai variabel dependen; matriks X (n×k) berisi variabel independen.
Di antara lima jenis ini, yang paling sering Anda temui dalam praktik adalah matriks persegi dan matriks identitas. Matriks identitas adalah elemen netral perkalian matriks — analogi sempurnanya adalah angka 1: kalikan bilangan apa pun dengan 1, hasilnya bilangan itu sendiri; sama persis dengan A·I = A. Matriks nol adalah elemen netral penjumlahan — analoginya adalah angka 0. Dalam formulasi OLS nanti, kita akan menjumpai vektor kolom y (berisi nilai variabel dependen n observasi) dan matriks X (berisi konstanta dan variabel independen) — keduanya adalah jenis-jenis matriks khusus yang penting untuk dikenali sejak awal. Matriks identitas 3×3 adalah I = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]], dengan angka 1 persis di diagonal utama. Transpose: Putar Baris Jadi Kolom Transpose matriks A (notasi A’ atau Aᵀ ) diperoleh dengan menukar baris dan kolom: elemen (A’)ij = Aji . Jika A berukuran m×n, maka A’ berukuran n×m .
A (2×3) A’ (3×2)
Dalam OLS, X’ (X-prime ) adalah transpose matriks data X. Kita SELALU bertemu ini di formula β̂ = (X’X)⁻¹X’y.
(A’)’ = A (AB)’ = B’A’ (urutan terbalik!) (A+B)’ = A’ + B’ X’X selalu matriks persegi & simetris Transpose mungkin tampak seperti operasi sepele, namun ia sangat sentral dalam aljabar matriks — terutama dalam formula OLS β̂ = (X’X)⁻¹X’y di mana simbol X’ muncul dua kali. Cara paling mudah mengingat transpose: bayangkan Anda "membalik" tabel Excel sehingga semua baris menjadi kolom dan semua kolom menjadi baris. Jika A berukuran 2×3 (dua baris, tiga kolom), maka A’ berukuran 3×2 — dimensinya tertukar. Sifat (AB)’ = B’A’ sangat penting dan sering menjadi sumber kesalahan: urutan matriks terbalik saat men-transpose hasil perkalian — jangan ditulis sebagai A’B’! Ingat pula bahwa X’X selalu menghasilkan matriks persegi yang simetris — properti ini yang memungkinkan kita menginversnya dalam formula OLS. Bagian 02 dari 04
Operasi Matriks
Penjumlahan · Pengurangan · Perkalian Skalar · Perkalian Matriks (syarat konformabel)
Setelah mengenal anatomi matriks, kita masuk ke operasinya. Ada empat operasi dasar yang harus dikuasai hari ini: penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian matriks. Tiga yang pertama relatif intuitif — mirip aritmetika biasa tetapi dilakukan pada setiap elemen. Perkalian matriks yang keempat adalah yang paling berbeda dan paling kaya aplikasinya — dan syaratnya (konformabel, yaitu jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua) sering dilupakan hingga menimbulkan kesalahan fatal. Fokuskan perhatian Anda di Bagian 2 ini, terutama pada slide perkalian matriks. Penjumlahan & Pengurangan: Syarat Dimensi Sama Syarat: A + B dan A − B hanya didefinisikan bila A dan B berdimensi sama (m×n). Jumlahkan/kurangkan elemen berposisi sama.
Contoh A + B
[1 2] [5 6] [6 8]
Contoh A − B
[1 2] [5 6] [−4 −4]
Perhatian: Matriks 2×2 TIDAK bisa dijumlah dengan matriks 2×3 — dimensi berbeda! Analoginya: laporan penjualan dua wilayah tidak bisa langsung dijumlahkan dengan laporan lima wilayah.
Aplikasi: laporan penjualan triwulan Q1 (format 3×4 produk×wilayah) + Q2 (format sama) = laporan semester H1 langsung dalam satu operasi.
Penjumlahan matriks sangat intuitif: bayangkan dua tabel Excel berukuran sama, lalu setiap sel dijumlahkan dengan sel di posisi yang sama pada tabel kedua. Aplikasi bisnisnya langsung terasa — misalnya laporan penjualan triwulan pertama dan kedua dalam format tabel produk × wilayah; menjumlahkan keduanya dengan operasi matriks menghasilkan tabel penjualan semester pertama seketika. Syarat dimensi sama adalah mutlak: jika tim A melaporkan data 3×4 dan tim B melaporkan data 3×5, keduanya tidak bisa langsung dijumlahkan karena struktur kolomnya berbeda. Pengurangan matriks mengikuti logika yang persis sama — kurangkan elemen berposisi sama; ini berguna misalnya untuk menghitung selisih penjualan aktual vs target per produk per wilayah sekaligus. Perkalian Skalar: Kalikan Bilangan dengan Seluruh Matriks Skalar (bilangan tunggal, berbeda dari matriks) k dikali matriks A: setiap elemen dikalikan k.
3 × [2 4] = [6 12]
k(A+B) = kA + kB (k₁+k₂)A = k₁A + k₂A APLIKASI: KONVERSI KURS
Harga produk dalam USD (matriks A) dikonversi ke IDR dengan k = kurs Rp 16.000/USD:
16.000 × [1 2] = [16.000 32.000](dalam Rp)
Tarif PPN 11% efektif (PMK 131/2024) atau PPh 22% juga bisa diterapkan sebagai perkalian skalar ke seluruh matriks harga/biaya.
Perkalian skalar adalah operasi paling sederhana: Anda cukup mengalikan satu bilangan dengan setiap elemen dalam matriks tanpa kecuali. Analogi yang bagus adalah konversi kurs — jika Anda punya tabel harga dalam dolar dan ingin mengubah semuanya ke rupiah, cukup kalikan matriks itu dengan satu angka kurs. Dalam laporan keuangan, perkalian skalar sering muncul saat Anda menerapkan tarif PPN 11% efektif berdasarkan PMK 131/2024, PPh Badan 22%, atau faktor diskon yang sama ke seluruh baris produk. Dividen yang dibagikan emiten di BEI misalnya dikenai pajak dividen 10% sebagai ilustrasi historis — seluruh daftar dividen bisa disesuaikan sekaligus dengan perkalian skalar 0,10. Sifat distributif memastikan Anda bisa mengerjakan penjumlahan matriks dulu kemudian mengalikan skalar, atau sebaliknya — hasilnya sama. Perkalian Matriks: Syarat Konformabel Syarat WAJIB (konformabel): A berukuran m×p dan B berukuran p×n → hasil C = A×B berukuran m×n . Kolom A = Baris B = p.
(m × p ) × (p × n) = (m × n)
A×B ≠ B×A — perkalian matriks TIDAK komutatif!
Cara Menghitung Elemen Cij
Cij = ai1 ·b1j + ai2 ·b2j + … + aip ·bpj
= dot-product (perkalian titik ) baris ke-i dari A dengan kolom ke-j dari B → dijumlahkan.
Hasil C[i,j] = satu baris A × satu kolom B .
Perkalian matriks adalah satu-satunya operasi di pertemuan hari ini yang memiliki logika berbeda dari perkalian bilangan biasa — dan justru di sinilah kekuatan sesungguhnya matriks. Syarat konformabel adalah aturan nomor satu: untuk mengalikan A(m×p) dengan B(p×n), dimensi "dalam" keduanya harus sama yaitu p — dimensi yang "saling coret" sehingga hasil akhirnya berukuran m×n. Cara menghitung elemen Cij : ambil baris ke-i dari A, ambil kolom ke-j dari B, kalikan pasangan elemen posisi yang sama lalu jumlahkan semua — ini disebut dot-product (perkalian titik). Ingat pula bahwa A×B umumnya tidak sama dengan B×A — ini berbeda dari perkalian angka biasa dan sering menjadi sumber jebakan ujian. Kita akan langsung menerapkan ini di Slide 12 dengan contoh PT Telkom yang nyata. Hitung dari Nol — Perkalian Matriks A(2×3) × B(3×2) Konteks: PT Telkom — unit terjual (ribu unit) × harga (Rp ribu/unit) = pendapatan (Rp juta ).
A (unit ribu, 2×3) B (harga Rp rb/unit, 3×2)
Dimensi check: A(2×3 ) × B(3 ×2) → C(2×2) ✓
Langkah Perhitungan Nilai (Rp juta) C[1,1] Jawa×Online 100×5 + 50×3 + 80×8 = 500+150+640 1.290 C[1,2] Jawa×Mitra 100×4 + 50×2 + 80×6 = 400+100+480 980 C[2,1] LJawa×Online 60×5 + 40×3 + 30×8 = 300+120+240 660 C[2,2] LJawa×Mitra 60×4 + 40×2 + 30×6 = 240+80+180 500
Mari kita kerjakan langkah demi langkah. Elemen C[1,1] artinya: "berapa total pendapatan pasar Jawa melalui channel Online?" — ambil baris Jawa dari A (unit terjual per layanan), kalikan dengan kolom Online dari B (harga per layanan), lalu jumlahkan: 100 ribu unit IndiHome × Rp 5 ribu/unit = Rp 500 juta; 50 ribu unit Telkomsel × Rp 3 ribu/unit = Rp 150 juta; 80 ribu unit Telkom Data × Rp 8 ribu/unit = Rp 640 juta; total = Rp 1.290 juta. Perhatikan konversi satuan: ribu unit × Rp ribu/unit = Rp juta — semua elemen matriks C sudah dalam Rp juta. Satu operasi matriks menghasilkan seluruh tabel pendapatan sekaligus — tanpa matriks, kita harus menghitung empat skenario secara manual terpisah. Dimensi check: A(2×3) × B(3×2) → C(2×2); kolom A = baris B = 3 ✓. Coba Sendiri: Susun Baris × Kolom Perkalian Matriks Pilih ukuran matriks A dan B, lalu ikuti langkah baris-kali-kolom untuk melihat kapan perkalian bisa dilakukan (conformable) dan kapan tidak.
Mari kita coba widget ini bersama — silakan satu mahasiswa maju ke depan kelas. Coba ubah ukuran matriks B sehingga jumlah barisnya tidak sama dengan jumlah kolom A, dan perhatikan widget memberi peringatan "tidak conformable" — inilah syarat yang sering dilupakan mahasiswa saat ujian. Sekarang kembalikan ke ukuran yang benar dan klik langkah demi langkah untuk melihat baris A dan kolom B "berjabat tangan" menghasilkan satu elemen C. Latihan visual ini memperkuat perhitungan tabel pendapatan Telkom yang baru saja kita kerjakan. Selanjutnya kita masuk ke bagian determinan dan invers matriks. Membaca Hasil: Matriks C adalah Tabel Pendapatan Lengkap C = Online Mitra
Elemen Interpretasi C[1,1] = 1.290 Jawa × Online: Rp 1.290 juta C[1,2] = 980 Jawa × Mitra: Rp 980 juta C[2,1] = 660 Luar Jawa × Online: Rp 660 juta C[2,2] = 500 Luar Jawa × Mitra: Rp 500 juta
TOTAL PENDAPATAN
3.430
Rp juta
1.290 + 980 + 660 + 500 = Rp 3.430 juta. Diperoleh dari satu operasi matriks.
Satu operasi matriks menggantikan 4 perhitungan terpisah . Bayangkan jika ada 20 layanan dan 10 wilayah — matriks jauh lebih efisien.
Setelah menghitung, kita harus mampu membaca hasilnya secara bermakna — ini yang membedakan analis dari sekadar "mesin hitung." Matriks C berukuran 2×2 dan setiap elemennya memberi informasi spesifik: baris = wilayah, kolom = channel penjualan. Perhatikan bahwa pasar Jawa mendominasi baik di channel Online maupun Mitra, dan channel Online secara keseluruhan lebih besar dari Mitra (1.950 vs 1.480 Rp juta) — informasi ini berguna bagi manajemen untuk keputusan alokasi anggaran iklan atau ekspansi jaringan distribusi. Total seluruh pendapatan Rp 3.430 juta langsung diperoleh dengan menjumlahkan semua elemen C. Ini adalah power matriks: satu operasi, satu tabel, semua informasi — dan hasilnya bisa langsung dipresentasikan ke rapat direksi sebagai laporan pendapatan konsolidasi. Bagian 03 dari 04
Determinan, Invers & Aturan Cramer
det(A) · Ekspansi Kofaktor 3×3 · Invers matriks · A·A⁻¹ = I · Aturan Cramer
Bagian ketiga membawa kita ke konsep yang lebih dalam: determinan dan invers matriks. Dua konsep ini adalah kunci untuk menyelesaikan sistem persamaan linear — misalnya, "berapa biaya produksi masing-masing divisi jika kita tahu total biaya gabungannya?" Invers matriks dalam konteks matriks berfungsi seperti pembagian dalam aritmetika biasa — namun tidak semua matriks bisa di-invers, hanya yang determinannya tidak nol (matriks non-singular). Aturan Cramer yang akan kita pelajari berikutnya adalah cara elegan menggunakan determinan untuk menyelesaikan sistem persamaan tanpa eliminasi baris yang panjang — elegan untuk 2-3 variabel, namun kita juga akan belajar Operasi Baris Elementer (OBE) sebagai alternatifnya. Determinan 2×2: Silang-Kurang Untuk A = [[a, b],[c, d]]:
det(A) = |A| = a·d − b·c
Makna determinan: non-singular (punya invers, solusi unik)singular (tidak ada invers)
Contoh: A = [[3,1],[2,4]]
3 1 2 4 3×4=12 1×2=2 det(A) = 3×4 − 1×2 = 12 − 2 = 10 ≠ 0 → non-singular ✓
Determinan adalah "penguji" penting sebuah matriks persegi: jika nilainya nol, matriks itu singular dan tidak bisa di-invers; jika tidak nol, matriks itu non-singular dan sistem persamaan yang ia wakili memiliki tepat satu solusi. Cara menghitung determinan 2×2 sangat mudah diingat dengan teknik "silang-kurang": kalikan diagonal utama (atas-kiri ke bawah-kanan), kurangi dengan diagonal sekunder (atas-kanan ke bawah-kiri). Pada contoh di slide: 3×4 = 12, lalu 1×2 = 2, dan det = 12 − 2 = 10 — angka yang tidak nol, artinya matriks ini non-singular dan punya invers. Matriks singular (det=0) dalam konteks bisnis berarti sistem persamaan biaya atau harga tidak memiliki solusi unik — ada sesuatu yang "redundan" dalam data; ini sinyal bahwa dua variabel mungkin berkorelasi sempurna. Determinan 3×3: Ekspansi Kofaktor det(A) = a₁₁·M₁₁ − a₁₂·M₁₂ + a₁₃·M₁₃ (ekspansi sepanjang baris 1, pola +−+ ). Minor Mij = det submatriks 2×2 setelah hapus baris i & kolom j.
Contoh A — satu suku nol
A = [[2,1,0],[1,3,1],[0,1,2]]5 2 8
Contoh B — tiga suku non-nol (pola penuh)
B = [[1,2,3],[4,0,1],[2,1,2]]−1 6 4 −1
Pola tanda +−+ pada baris 1 adalah kunci. Papan catur: +−+ / −+− / +−+. Contoh B (tiga suku) adalah pola yang muncul di ujian.
Determinan 3×3 dihitung dengan cara "memecah" matriks besar menjadi tiga determinan kecil 2×2 — inilah yang disebut ekspansi kofaktor (metode menghitung determinan matriks n×n dengan mengembangkan sepanjang satu baris atau kolom menggunakan minor berukuran (n−1)×(n−1)). Ekspansi dilakukan sepanjang baris pertama: elemen pertama dikalikan determinan submatriks yang tersisa setelah baris 1 dan kolom 1 dihapus, lalu dikurangi elemen kedua dikalikan submatriksnya, kemudian ditambah elemen ketiga. Contoh A menunjukkan kasus di mana a₁₃ = 0 sehingga suku ketiga menghilang — ini strategi pintar (pilih baris/kolom yang banyak nolnya); namun penting untuk juga berlatih Contoh B di mana ketiga suku non-nol, karena itulah yang akan Anda temui di Studi Kasus Slide 20 dan ujian. Hitung dari Nol — Invers Matriks 2×2 & Verifikasi A·A⁻¹ = I Konteks: Sistem biaya dua divisi BUMN: 3x₁+x₂=5; 2x₁+4x₂=6. Dalam notasi matriks: A·x = b .
Langkah Perhitungan Hasil 1 — Hitung det(A) 3×4 − 1×2 det = 10 2 — Adjoint: tukar diagonal, negasi off-diagonal [[4,−1],[−2,3]] adj(A) 3 — Invers A⁻¹ = (1/det)·adj(A) (1/10)·[[4,−1],[−2,3]] [[0,4 ; −0,1],[−0,2 ; 0,3]] 4 — Verifikasi A·A⁻¹ [3,1;2,4]×[[0,4;−0,1],[−0,2;0,3]] I = [[1,0],[0,1]] ✓ 5 — Solusi x = A⁻¹·b [[0,4;−0,1],[−0,2;0,3]]×[[5],[6]] x₁ = 1,4 ; x₂ = 0,8 6 — Verifikasi solusi 3(1,4)+1(0,8)=5 ✓; 2(1,4)+4(0,8)=6 ✓ ✓ Konsisten
Invers matriks berfungsi seperti "kebalikan" dalam aritmetika: sama seperti 5 × (1/5) = 1, kita memiliki A × A⁻¹ = I (matriks identitas — elemen netral perkalian). Untuk matriks 2×2, langkahnya adalah: pertama hitung determinan — jika nol, berhenti, tidak ada invers; jika tidak nol, buat adjoint (tukar elemen diagonal utama, negasi elemen off-diagonal), lalu bagi seluruh elemen adjoint dengan determinan. Langkah verifikasi wajib dilakukan: kalikan A dengan A⁻¹ dan pastikan hasilnya matriks identitas — ini cara paling andal mendeteksi kesalahan hitung. Solusi sistem x = A⁻¹·b menunjukkan bahwa Divisi 1 membutuhkan biaya x₁ = Rp 1,4 miliar dan Divisi 2 membutuhkan x₂ = Rp 0,8 miliar; verifikasi: 3(1,4)+1(0,8) = 4,2+0,8 = 5 ✓ dan 2(1,4)+4(0,8) = 2,8+3,2 = 6 ✓. Coba Sendiri: Kapan Matriks Kehilangan Inversnya? Ubah elemen matriks 2×2 dan amati determinan berubah — geser sampai determinan mendekati nol dan lihat apa yang terjadi pada invers.
Silakan satu mahasiswa maju dan coba widget ini. Ubah salah satu elemen matriks sampai determinannya mendekati nol dan perhatikan nilai-nilai invers membesar tak terkendali — lalu coba buat determinan tepat nol dan lihat widget menandai matriks ini "singular, tidak punya invers". Ini pengalaman visual dari peringatan yang tadi kita baca di slide: kalau det = 0, sistem persamaan biaya dua divisi ini tidak punya solusi unik. Sekarang mari kita lihat cara alternatif menyelesaikan sistem yang sama tanpa harus menghitung invers, yaitu Operasi Baris Elementer. Aturan Ekuivalensi Matriks & OBE OBE — Operasi Baris Elementer : tiga operasi yang mempertahankan ekuivalensi baris matriks (solusi sistem tidak berubah).
OBE 1 — TUKAR
Ri ↔ Rj
OBE 2 — KALI SKALAR
c·Ri
OBE 3 — TAMBAH KELIPATAN
Ri + c·Rj → Ri i dengan nilainya + c kali Rj .
[3 1 | 5] → R₂ − (2/3)R₁ → [3 1 | 5 ]
Sub-CPMK 2 yang tertera di RPS secara eksplisit mewajibkan pemahaman "aturan ekuivalensi matriks" — inilah yang kita pelajari sekarang. Ide dasarnya sederhana: ketiga operasi baris elementer (tukar, kali, tambah) tidak mengubah solusi sistem persamaan yang diwakili matriks, melainkan hanya mengubah bentuk matriks ke format yang lebih mudah diselesaikan. Bila Anda menggabungkan matriks koefisien A dengan vektor b ke dalam satu matriks augmented [A|b] (matriks A yang ditambah kolom vektor b), lalu menerapkan OBE hingga kolom kiri berbentuk segitiga atas (bentuk eselon baris/REF), Anda bisa membaca solusi langsung melalui substitusi balik — inilah yang disebut eliminasi Gauss. Hasilnya sama persis dengan metode invers: x₁ = 1,4 dan x₂ = 0,8. Dalam praktik, seluruh software statistika (R, Python, Excel) menggunakan varian eliminasi ini untuk skala besar. Aturan Cramer: Solusi Ax = b via Determinan Untuk sistem Ax = b dengan A persegi non-singular (det ≠ 0):
xi = det(Ai ) / det(A)
Ai = matriks A dengan kolom ke-i diganti vektor b .
Cramer cocok untuk 2–3 variabel . Untuk n besar, eliminasi Gauss (OBE) lebih efisien.
Contoh: 3x₁+x₂=5; 2x₁+4x₂=6, det(A)=10
Variabel Matriks Modif. det Nilai x₁ A₁=[[5,1],[6,4]] 5×4−1×6=14 1,4 x₂ A₂=[[3,5],[2,6]] 3×6−5×2=8 0,8
Sama dengan solusi HDN-2 (metode invers) ✓
Aturan Cramer memberikan cara yang sangat elegan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear: setiap variabel langsung diperoleh dengan mengganti satu kolom dalam matriks A dengan vektor b, menghitung determinannya, lalu membagi dengan det(A). Perhatikan bahwa hasilnya sama persis dengan solusi yang diperoleh melalui metode invers di HDN-2: x₁ = 1,4 dan x₂ = 0,8 — ini karena keduanya adalah cara yang setara secara matematis untuk menyelesaikan Ax = b. Keunggulan Cramer: tidak perlu menghitung seluruh matriks invers, cukup determinan modifikasi per variabel. Keterbatasannya: untuk sistem besar (misalnya 10 persamaan), menghitung banyak determinan besar menjadi sangat lambat — di sinilah algoritma seperti eliminasi Gauss-Jordan lebih praktis. Untuk ujian, Cramer adalah cara yang paling transparan dan mudah ditelusuri langkah-per-langkahnya. Studi Kasus: Biaya Operasi Tiga Segmen PT XYZ (ilustrasi) Sistem: 2x₁+x₂=5; x₁+3x₂+x₃=10; x₂+2x₃=4. A = [[2,1,0],[1,3,1],[0,1,2]], b=[5,10,4]ᵀ, det(A) = 8
det Ekspansi Kofaktor Nilai det(A) 2(3×2−1×1) − 1(1×2−1×0) + 0 = 2(5)−1(2) 8 det(A₁) A₁=[[5,1,0],[10,3,1],[4,1,2]] 9 det(A₂) A₂=[[2,5,0],[1,10,1],[0,4,2]] 22 det(A₃) A₃=[[2,1,5],[1,3,10],[0,1,4]] 5
Divisi Solusi Cramer Biaya (Rp miliar) Ritel (x₁) 9/8 1,125 Korporat (x₂) 22/8 2,75 Digital (x₃) 5/8 0,625 Total — 4,5
Verifikasi: 2(1,125)+2,75=5 ✓; 1,125+3(2,75)+0,625=10 ✓; 2,75+2(0,625)=4 ✓
Studi kasus ini mensimulasikan situasi nyata di mana manajemen mengetahui total biaya gabungan antar-divisi namun ingin memisahkan kontribusi masing-masing. Dengan tiga persamaan dan tiga variabel, sistem ini harus diselesaikan secara simultan — tidak bisa satu per satu. Untuk setiap variabel, kita membentuk matriks termodifikasi (A₁, A₂, A₃) dengan cara mengganti kolom ke-i dari A dengan vektor b, lalu menghitung determinannya menggunakan ekspansi kofaktor 3×3 persis seperti di Slide 16. Determinan A = 8 (tidak nol), artinya sistem memiliki solusi unik: Divisi Ritel Rp 1,125 miliar, Divisi Korporat Rp 2,75 miliar, Divisi Digital Rp 0,625 miliar. Total Rp 4,5 miliar. Verifikasi substitusi balik sudah dikerjakan di slide dan hasilnya konsisten — selalu lakukan langkah ini di ujian untuk memastikan tidak ada kesalahan aritmetika. Bagian 04 dari 04
Formulasi OLS dalam Matriks
Regresi sederhana → notasi matriks · β̂ = (X’X)⁻¹X’y · Interpretasi koefisien
Kita tiba di bagian puncak hari ini: formulasi regresi OLS dalam matriks. Ini adalah jembatan antara aljabar matriks yang sudah kita pelajari dan statistika terapan yang akan terus Anda temui di mata kuliah Riset dan Metodologi, serta Ekonometrika. Formula β̂ = (X’X)⁻¹X’y mungkin terlihat rumit, namun setelah memahami transpons (Slide 7), perkalian matriks (Slides 11–12), dan invers (Slide 17), Anda akan melihat bahwa formula ini hanyalah penerapan langsung dari semua yang sudah kita bahas. Bagian ini juga menjelaskan mengapa OLS disebut "least squares" (kuadrat terkecil) — kita akan lihat artinya dalam konteks matriks dan scatter plot data. OLS: Garis Terbaik yang Meminimumkan Galat Model regresi sederhana: yi = α + β·xi + εi
y = variabel dependen (dependent variable — yang diprediksi); x = variabel independen (prediktor ); ε = galat (error/residual — selisih aktual vs prediksi).
Prinsip OLS: minimumkan JKG (Jumlah Kuadrat Galat / RSS) :i ² = ∑(yi − α − β·xi )² → minimum
Jembatan skalar → matriks (n=4 observasi)
y₁ = α + β·x₁ + ε₁y = Xβ + ε
Bayangkan Anda punya data iklan dan penjualan untuk 100 toko di seluruh Indonesia — setiap titik di scatter plot adalah satu toko. OLS bertugas mencari satu garis lurus yang "paling pas" melewati semua titik itu, dalam arti jarak vertikal antara titik dan garis (galat ε) paling kecil secara keseluruhan. Kita mengkuadratkan galat sebelum menjumlahkannya agar galat positif dan galat negatif tidak saling menghapus — pengkuadratan juga memberikan bobot lebih besar pada galat yang besar, sehingga OLS secara aktif menghindari prediksi yang sangat meleset. Perhatikan blok "jembatan" di slide: empat persamaan skalar individual ditumpuk menjadi satu persamaan matriks — kolom pertama X berisi semua angka 1 agar konstanta α masuk ke setiap baris, dan baris ke-i perkalian matriks itu menghasilkan tepat persamaan ke-i. Setelah paham tumpukan ini, Anda sudah memahami mengapa notasi y = Xβ + ε bukan "sihir" melainkan sekadar kenyamanan notasi. Matriks desain X (n×k) merangkum seluruh data independen termasuk kolom 1 untuk konstanta. Formula OLS dalam Matriks β̂ = (X’X)⁻¹ · X’y
X’ = transpose matriks desain X (n×k → k×n)X’X = matriks k×k (Gram matrix — selalu simetris)(X’X)⁻¹ = invers matriks X’XX’y = vektor k×1 (statistik ringkas data)β̂ (beta-hat — estimator OLS) = vektor k×1X : 4×22×1
Setiap langkah = operasi matriks yang sudah kita pelajari hari ini!
Formula β̂ = (X’X)⁻¹X’y adalah salah satu rumus terpenting dalam statistika dan ekonometri — hampir setiap analisis regresi di dunia ilmiah berakar dari formula ini. Perhatikan bahwa setiap langkahnya adalah operasi matriks yang sudah kita pelajari: X’ adalah transpose (Slide 7), X’X adalah perkalian matriks (Slides 11–12), (X’X)⁻¹ adalah invers (Slide 17), dan X’y adalah lagi perkalian matriks. Formula ini diturunkan secara matematis dari meminimumkan JKG — hasilnya selalu eksis selama (X’X) non-singular, yaitu selama tidak ada multikolinearitas sempurna antarvariabel. Gram matrix X’X (hasil perkalian X’ dengan X) selalu matriks persegi k×k yang simetris — properti ini yang memungkinkan kita menginversnya. Dalam praktik, software seperti Excel, R, atau Python menjalankan persis formula ini di balik layar setiap kali Anda menekan tombol "Run Regression." Hitung dari Nol — β̂ = (X’X)⁻¹X’y (Ilustrasi Penjualan) Data ilustratif (bukan data riil): 4 toko, biaya iklan x (Rp juta) vs penjualan y (Rp juta).
Toko x (iklan) y (jual) 1 2 10 2 4 18 3 6 26 4 8 34
Langkah Perhitungan Hasil 1 — Bentuk X (4×2) Kolom-1=[1;1;1;1]; Kolom-2=[2;4;6;8] X = [[1,2],[1,4],[1,6],[1,8]] 2 — X’X (2×2) [[n,∑x],[∑x,∑x²]] = [[4,20],[20,120]] [[4,20],[20,120]] 3 — det(X’X) 4×120 − 20×20 = 480−400 80 4 — (X’X)⁻¹ (1/80)×[[120,−20],[−20,4]] [[1,5;−0,25],[−0,25;0,05]] 5 — X’y (2×1) [∑y;∑xy] = [88;520] [[88],[520]] 6 — β̂ = (X’X)⁻¹X’y [[1,5;−0,25],[−0,25;0,05]]×[[88],[520]] α̂=2, β̂₁=4
Interpretasi: ŷ = 2 + 4x. Setiap Rp 1 juta tambahan biaya iklan meningkatkan penjualan Rp 4 juta . Verifikasi: ŷ₁ = 2+4×2 = 10 ✓; ŷ₂ = 2+4×4 = 18 ✓.
Data empat toko ini sengaja dipilih bersih agar Anda bisa fokus pada proses, bukan terjebak aritmetika. Langkah pertama: bentuk matriks desain X — kolom pertama berisi semua 1 (untuk mengestimasikan konstanta α̂), kolom kedua berisi nilai biaya iklan. X’X selalu simetris dan berisi statistik ringkas: n=4, ∑x=20, ∑x=20, ∑x²=120. Determinan X’X = 80 (tidak nol) mengonfirmasi kita bisa menginvers. X’y berisi [∑y ; ∑xy] = [88 ; 2×10+4×18+6×26+8×34] = [88 ; 20+72+156+272] = [88 ; 520]. Hasil akhir: α̂ = 2 dan β̂₁ = 4 — artinya bahkan tanpa iklan sama sekali, ada penjualan dasar Rp 2 juta, dan setiap Rp 1 juta iklan tambahan mendorong penjualan Rp 4 juta lebih tinggi. Verifikasi: ŷ₁ = 2+4×2 = 10 ✓, ŷ₂ = 2+4×4 = 18 ✓ — data ini memang didesain sempurna untuk latihan. OLS Bekerja Baik Hanya Jika Asumsinya Terpenuhi ASUMSI 1 — LINEARITAS
Hubungan x dan y benar-benar linear. Jika sebenarnya kuadratik atau eksponensial, OLS memberikan estimasi yang bias (estimator bias = rata-rata ekspektasinya ≠ nilai sebenarnya).
ASUMSI 2 — E[ε] = 0
Rata-rata galat = 0. Jika ada variabel penting yang tidak dimasukkan model, galat akan sistematis (bukan acak) → estimasi β akan menyimpang dari nilai sebenarnya.
ASUMSI 3 — HOMOSKEDASTISITAS
Varians galat konstan di semua observasi. Jika bervariasi (heteroskedastisitas ), standar error estimator tidak valid → uji t dan uji F tidak bisa dipercaya.
ASUMSI 4 — NO MULTIKOLINEARITAS
(X’X) harus non-singular (det ≠ 0). Jika dua variabel independen berkorelasi sempurna (multikolinearitas sempurna), (X’X)⁻¹ tidak ada → formula OLS gagal total.
Dalam mata kuliah Ekonometrika nanti, Anda akan menguji setiap asumsi ini secara formal (uji Breusch-Pagan, VIF, dll.).
Formula β̂ = (X’X)⁻¹X’y selalu bisa dihitung secara mekanis, namun hasilnya hanya bermakna jika asumsi-asumsi OLS terpenuhi — ini perbedaan penting antara sekadar "bisa menghitung" dan "bisa menginterpretasikan." Asumsi linearitas adalah yang pertama diperiksa: jika scatter plot data jelas-jelas melengkung, regresi linear akan memberikan garis yang salah kaprah. Asumsi no-multikolinearitas sempurna langsung terhubung dengan materi hari ini: jika (X’X) adalah matriks singular (det = 0), maka (X’X)⁻¹ tidak ada dan formula OLS gagal total. Untuk sekarang, yang terpenting adalah Anda memahami bahwa OLS bukan "kotak hitam" — ada kondisi-kondisi yang harus dipenuhi, dan mata kuliah Ekonometrika di semester mendatang akan mengajarkan cara menguji dan mengatasinya menggunakan perangkat lunak seperti R atau Python. Cheat Sheet — Matriks & Regresi OLS Konsep Rumus / Syarat Kunci Dimensi A: m×n → m baris, n kolom; elemen aij = baris i, kolom j Penjumlahan A + B: syarat dimensi sama; tambah per elemen Perkalian Skalar kA: kalikan semua elemen dengan k (bilangan tunggal) Perkalian Matriks A(m×p) × B(p×n) = C(m×n); Cij = ∑aik bkj ; TIDAK komutatif Transpose (A’)ij = Aji ; (AB)’ = B’A’ (urutan terbalik!) Determinan 2×2 det = ad − bc; non-singular jika det ≠ 0 Determinan 3×3 Ekspansi kofaktor: a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃ (pola +−+) Invers 2×2 A⁻¹ = (1/det)·adj(A); hanya jika det ≠ 0; verifikasi A·A⁻¹ = I OBE / Ekuivalensi Tukar baris · Kali skalar ≠0 · Tambah kelipatan; [A|b] → eliminasi Gauss Aturan Cramer xi = det(Ai )/det(A); Ai = A dengan kolom i diganti b OLS β̂ = (X’X)⁻¹X’y ; model: y = Xβ + ε; syarat: (X’X) non-singular
Slide ini adalah "kartu contekan" yang boleh Anda simpan sebagai referensi cepat. Sebelas baris di tabel mencakup seluruh materi hari ini dari A hingga Z — dari membaca dimensi hingga formula OLS. Perhatikan urutan logisnya: sebelum bisa melakukan perkalian matriks, Anda harus paham dimensi; sebelum bisa menghitung invers, Anda harus paham determinan; dan sebelum bisa memahami OLS, Anda harus paham transpose, perkalian, dan invers. Satu hal yang tidak ada di tabel namun sangat penting: selalu cek dimensi sebelum melakukan operasi, dan selalu verifikasi invers dengan A·A⁻¹ = I. Rumus OLS yang disorot di baris terakhir adalah muara dari seluruh pertemuan ini — satu formula yang merangkum seluruh aljabar matriks dalam satu ekspresi elegan. Selesai! Apa yang Sudah Anda Kuasai Hari Ini? Mendefinisikan matriks, elemen, dimensi m×n, dan jenis-jenis matriks Melakukan penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian matriks Menghitung determinan 2×2 dan 3×3 (ekspansi kofaktor) Menentukan invers matriks 2×2 dan memverifikasi A·A⁻¹ = I Memahami aturan ekuivalensi matriks dan tiga OBE Menerapkan Aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan Menuliskan formulasi OLS: β̂ = (X’X)⁻¹X’y TUGAS MANDIRI
Kerjakan Bank Soal (Lampiran B dalam materi) — minimal 3 soal sebelum Pertemuan 8. Prioritaskan HDN-1, HDN-2, dan HDN-3.
PERTEMUAN 8 — PREVIEW
Deret Aritmetika & Geometri · Aplikasi bunga majemuk, amortisasi pinjaman, dan pertumbuhan investasi.
Matriks bukan tujuan akhir — ia adalah bahasa . Sekarang Anda bisa berbicara dalam bahasa analisis kuantitatif.
Kita telah menempuh perjalanan yang cukup jauh hari ini: dari definisi matriks yang sederhana, melewati empat operasi dasar, determinan, invers, aturan Cramer, hingga formula OLS yang merangkum semuanya. Jangan tergoda untuk berpikir "sudah selesai" hanya karena kita bisa mengikuti langkah-langkah di papan tulis — kekuatan sejati baru didapat saat Anda mengerjakan sendiri soal-soal di Lampiran B, membuat kesalahan, dan menemukan di mana letak kesalahan itu. Pertemuan 8 akan membawa kita ke deret dan pola pertumbuhan — topik yang sangat aplikatif untuk analisis bunga majemuk dan amortisasi pinjaman yang akan terus muncul dalam karier Anda di keuangan bisnis. Ingat: matriks adalah bahasa aljabar lineer yang dipakai oleh ekonom, data scientist, dan konsultan keuangan di seluruh dunia — Anda sudah memulai perjalanan memahami bahasa itu hari ini. Sampai jumpa minggu depan! 📖 Baca juga: Beta Unlevering Relevering — penjelasan mendalam dan contoh numerik.