Program Studi Manajemen • FEB

Matematika Bisnis

Pertemuan 5 — Fungsi Logaritma dan Eksponensial

Dari pertumbuhan deposito BRI hingga aset perbankan syariah: dua fungsi matematika yang menggerakkan seluruh dunia keuangan.

RPS MINGGU 5 • SUB-CPMK1 • DURASI 2 × 50 MENIT

Selamat datang di Pertemuan 5, pertemuan yang mungkin terdengar teknis tetapi sebenarnya sangat dekat dengan kehidupan keuangan Anda sehari-hari. Ketika bank mengiklankan "bunga berbunga" atau ketika OJK (Otoritas Jasa Keuangan) melaporkan pertumbuhan aset perbankan syariah 15% per tahun, di baliknya ada satu fungsi matematika: fungsi eksponensial. Hari ini kita akan belajar dua fungsi yang saling kebalikan — eksponen dan logaritma — dan menggunakannya untuk menjawab pertanyaan nyata seperti: "Jika saya simpan Rp 10 juta di deposito BRI selama lima tahun dengan bunga kontinu, berapa yang saya terima?" Kedua pertanyaan itu akan kita selesaikan bersama hari ini, langkah demi langkah. Saya sarankan Anda membuka kalkulator ilmiah di HP atau laptop sekarang — karena kita akan berhitung, bukan sekadar mencatat.

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu menjelaskan dan menghitung menggunakan fungsi eksponensial dan logaritma (Sub-CPMK1).

CAPAIAN 1

DEFINISI

Menjelaskan fungsi eksponensial (fungsi dengan variabel sebagai pangkat) f(x) = a^x dan bilangan Euler e ≈ 2,71828.

CAPAIAN 2

HITUNG

Menghitung pertumbuhan kontinu P = P₀·e^rt untuk deposito dan aset perbankan dengan ketelitian dua desimal.

CAPAIAN 3

INVERSE

Menggunakan logaritma natural (ln) untuk mencari periode investasi t = ln(Pₜ/P₀)/r tanpa kesalahan operasi logaritma.

CAPAIAN 4

SIFAT

Menerapkan 3 sifat logaritma (perkalian, pembagian, pangkat) dan Rule of 72 untuk masalah bisnis numerik.

Uang Tumbuh Seperti Apa?

Bayangkan dua nasabah menyimpan Rp 10 juta di bank selama 10 tahun dengan r = 8%/tahun:

Jenis Bunga	Formula	Nilai Akhir
Bunga sederhana (simple interest)	P₀ × (1 + r × t)	Rp 18.000.000
Bunga majemuk tahunan (compound)	P₀ × (1 + r)^t	Rp 21.589.250
Bunga kontinu (eksponensial)	P₀ × e^rt	Rp 22.255.409

Fungsi eksponensial mendeskripsikan pertumbuhan paling “alami” — inilah yang terjadi saat bunga dihitung setiap detik. Bunga sederhana (bunga hanya dari pokok awal) menghasilkan nilai paling kecil; bunga kontinu adalah batas tertinggi penggandaan.

Perhatikan tabel ini: ketiganya mulai dari modal yang sama dan tingkat bunga yang sama, tetapi menghasilkan nilai akhir yang berbeda. Bunga sederhana adalah yang paling kecil hasilnya karena bunga tidak menghasilkan bunga lagi. Bunga majemuk tahunan lebih besar karena setiap akhir tahun, bunga ditambahkan ke pokok, sehingga tahun berikutnya bunga dihitung dari jumlah yang lebih besar. Bunga kontinu adalah batas tertinggi dari proses majemuk — bayangkan bunga dihitung bukan per tahun, bukan per bulan, bukan per detik, melainkan secara terus-menerus tanpa henti; inilah yang menghasilkan bilangan e. Menariknya, selisih antara bunga majemuk tahunan dan kontinu untuk r = 8%, t = 10 tahun hanya sekitar Rp 666 ribu — tidak besar, tetapi untuk memahaminya kita butuh konsep fungsi eksponensial.

BAGIAN 1

Fungsi Eksponensial & Bilangan e

Dari f(x) = a^x hingga konstanta alam semesta keuangan: e ≈ 2,71828

1Definisi f(x)=a^x → 2Sifat operasi → 3Bilangan e → 4Aplikasi pertumbuhan

Fungsi Eksponensial f(x) = a^x

Fungsi eksponensial berbentuk f(x) = a^x, di mana a = basis (base), syarat: a > 0 dan a ≠ 1; x = pangkat/eksponen, dapat berupa bilangan real apa pun.

Basis a	Fungsi	f(0)	f(1)	f(2)	f(3)
2	2^x	1	2	4	8
10	10^x	1	10	100	1.000
e ≈ 2,718	e^x	1	2,718	7,389	20,086

Ciri khas: Selalu positif f(x) > 0 untuk semua x; melewati titik (0, 1) karena a&sup0; = 1. Pertumbuhan semakin cepat seiring x bertambah — inilah arti harfiah "pertumbuhan eksponensial".

Bilangan Euler e ≈ 2,71828

e adalah bilangan irasional (tidak bisa dinyatakan sebagai pecahan, desimalnya tidak berakhir dan tidak berulang — seperti π) dengan nilai e ≈ 2,71828.

Frekuensi majemuk/tahun (n)	Rumus (1 + 1/n)ⁿ	Hasil
1 (tahunan)	(1 + 1/1)¹	2,00000
12 (bulanan)	(1 + 1/12)¹²	2,61304
365 (harian)	(1 + 1/365)³⁶⁵	2,71457
∞ (kontinu = bunga dihitung setiap saat tanpa henti)	lim n→∞ (1+1/n)ⁿ	e = 2,71828…

e adalah batas alam dari pertumbuhan majemuk kontinu. Di kalkulator, tombol [e^x] atau [exp] menggunakan basis e. Coba ketik e¹ → hasilnya 2,71828.

Sifat Operasi Fungsi Eksponensial

Sifat-sifat pangkat berlaku penuh untuk fungsi eksponensial (a > 0):

Sifat	Rumus	Contoh (basis e)
Perkalian	a^x · a^y = a^x+y	e² · e³ = e⁵
Pembagian	a^x / a^y = a^x−y	e⁵ / e² = e³
Pangkat dari pangkat	(a^x)^y = a^xy	(e²)³ = e⁶
Pangkat nol	a&sup0; = 1	e&sup0; = 1
Pangkat negatif (peluruhan eksponensial: nilai menyusut)	a^−x = 1/a^x	e⁻² = 1/e² ≈ 0,135

Kunci: e^−x mendeskripsikan peluruhan eksponensial — nilai mengecil seiring x bertambah. Ini kebalikan pertumbuhan.

BAGIAN 2

Pertumbuhan & Peluruhan Eksponensial

Rumus P = P₀·e^rt dan cara menggunakannya untuk deposito, kredit, dan aset perbankan

1Model pertumbuhan kontinu → 2HDN deposito BRI → 3Kontinu vs diskret → 4Rule of 72 → 5Peluruhan

Model Pertumbuhan Kontinu P = P₀·e^rt

P = P₀ · e^rt

Simbol	Artinya	Satuan
P	Nilai akhir (masa depan)	Rupiah
P₀	Nilai awal (modal pokok)	Rupiah
e	Bilangan Euler ≈ 2,71828	—
r	Laju pertumbuhan kontinu (laju di mana nilai tumbuh setiap saat, dalam desimal)	per tahun (desimal)
t	Waktu	tahun

Catatan: r dimasukkan sebagai desimal (6% → r = 0,06). | Urutan kalkulator: hitung r×t terlebih dahulu → tekan [e^x] → × P₀

Hitung dari Nol 1 — Deposito BRI Bunga Kontinu

Soal: Nasabah menyimpan Rp 10.000.000 di deposito BRI dengan laju bunga kontinu r = 6%/tahun selama t = 5 tahun. Berapa nilai simpanan di akhir?

Langkah	Perhitungan	Nilai
1 — Identifikasi variabel	P₀ = 10.000.000 \| r = 0,06 \| t = 5	—
2 — Hitung pangkat r × t	0,06 × 5	0,30
3 — Hitung e^0,30 [tombol e^x di kalkulator]	e^0,30	1,349859
4 — Hitung P = P₀ × e^rt	10.000.000 × 1,349859	Rp 13.498.588

Dari Rp 10 juta, Anda mendapatkan kembali sekitar Rp 13,5 juta setelah 5 tahun — bunga total ≈ Rp 3,5 juta. Coba kerjakan sendiri di kalkulator sekarang!

Kontinu vs Diskret: Mana Lebih Besar?

Dengan modal dan laju yang sama (P₀ = Rp 10 juta, r = 6%, t = 5 tahun):

Metode	Rumus	Hasil Akhir	Bunga Diperoleh
Diskret (bunga dihitung tahunan)	P₀ × (1,06)⁵	Rp 13.382.256	Rp 3.382.256
Kontinu	P₀ × e^0,30	Rp 13.498.588	Rp 3.498.588
Selisih	—	Rp 116.332	Rp 116.332

Bunga kontinu selalu sedikit lebih besar dari diskret — karena penggandaan lebih sering. Selisihnya kecil (<1,2%), bukan berlipat ganda. Untuk aset triliunan rupiah, selisih 1% pun bernilai miliaran.

Coba Sendiri: Geser Bunga & Tenor, Lihat PV/FV Berubah

Ubah pokok, suku bunga, dan jangka waktu, lalu amati bagaimana nilai sekarang (PV) dan nilai masa depan (FV) satu arus kas bergerak.

Rule of 72 — Perkiraan Cepat Waktu Melipat Ganda

t ≈ 72 / r(%) (t dalam tahun, r dalam persen)

Tingkat Bunga	t ≈ 72 / r	Artinya
r = 6%/tahun	72 / 6 = 12 tahun	Deposito BRI: Rp 10 juta → Rp 20 juta
r = 8%/tahun	72 / 8 = 9 tahun	Aset BPR tumbuh 8%: berlipat dua dalam 9 thn
r = 12%/tahun	72 / 12 = 6 tahun	Portofolio saham agresif: berlipat dua dalam 6 thn

Rule of 72 adalah aproksimasi (pendekatan/perkiraan) dari t = ln(2)/r ≈ 0,693/r. Angka 72 dipilih karena banyak faktor pembagi (2, 3, 4, 6, 8, 9, 12) sehingga mudah dihitung mental.

Coba Sendiri: Bandingkan Laju Pertumbuhan Kontinu

Ubah laju pertumbuhan r dan waktu t, lalu bandingkan kurva pertumbuhan kontinu dengan perkiraan cepat Rule of 72.

Peluruhan Eksponensial: f(t) = A · e^−kt

Tidak semua pertumbuhan positif. Peluruhan eksponensial mendeskripsikan nilai yang menurun dengan laju proporsional:

f(t) = A · e^−kt (A = nilai awal, k > 0 = laju peluruhan, t = waktu)

Aplikasi bisnis:

Nilai kendaraan/peralatan yang menyusut
Nilai agunan kredit yang merosot
Kepercayaan merek yang memudar setelah skandal

Contoh Ringkas

Kendaraan operasional Rp 300 juta, laju peluruhan k = 15%/thn.
t = 5 thn: f(5) = 300 × e^−0,75 ≈ 300 × 0,4724 = Rp 141,7 juta
(nilai residu: sisa nilai aset setelah peluruhan)

Fungsi eksponensial tidak selalu menanjak ke atas — ketika pangkatnya negatif (e^−kt), fungsinya turun secara eksponensial. Ini sangat relevan dalam manajemen aset: nilai kendaraan operasional, peralatan kantor, atau mesin produksi biasanya tidak turun secara linear, melainkan turun lebih cepat di awal dan melambat kemudian — pola yang justru lebih akurat dimodelkan dengan eksponensial negatif. Dalam contoh kita: kendaraan seharga Rp 300 juta dengan laju peluruhan 15%/tahun, setelah 5 tahun nilainya tersisa sekitar Rp 141,7 juta — artinya lebih dari separuhnya hilang. Catatan penting: dalam praktik, bank dan perusahaan menggunakan metode penyusutan PSAK yang mungkin berbeda dari model eksponensial murni (seperti garis lurus atau saldo menurun ganda), tetapi prinsip "penurunan nilai yang semakin melambat" inilah yang menginspirasi metode saldo menurun.

Studi Kasus: Nilai Agunan Kredit yang Merosot

Konteks: Sebuah BPR di Jawa Tengah menerima agunan (jaminan aset yang diserahkan debitur kepada bank) berupa kendaraan niaga senilai Rp 200 juta. Laju peluruhan k = 20%/tahun kontinu.

Langkah	Perhitungan	Nilai
Hitung pangkat: −k × t	−0,20 × 3	−0,60
Hitung e^−0,60	e^−0,60	0,5488
Nilai agunan: 200 × 0,5488	200.000.000 × 0,5488	Rp 109,76 juta

Implikasi: Plafon kredit (batas maksimum pinjaman) sebaiknya tidak melebihi ~80% dari nilai agunan saat pengajuan. Dalam 3 tahun nilainya hampir separuh. OJK mewajibkan analisis nilai agunan dalam penilaian kredit (POJK No. 40/POJK.03/2019 — verifikasi nomor pasti sebelum sitasi formal).

Contoh ini sangat relevan dengan dunia perbankan Indonesia. Ketika seorang pelaku UMKM mengajukan kredit ke BPR atau BRI Unit dengan agunan kendaraan, bagian analis kredit perlu mengestimasi berapa nilai agunan itu dalam 3–5 tahun ke depan — karena kredit tidak langsung dilunasi di hari pertama. Jika agunan dinilai Rp 200 juta sekarang tetapi ternyata hanya bernilai Rp 110 juta dalam 3 tahun, bank menanggung risiko jika debitur gagal bayar. Itulah mengapa OJK mewajibkan penilaian ulang agunan secara berkala. Dari sisi matematika, perhatikan bahwa perhitungannya sama persis dengan pertumbuhan — hanya pangkatnya yang negatif. Siswa sering lupa tanda negatif dan mendapatkan hasil yang tumbuh, padahal seharusnya menyusut; selalu periksa: apakah soalnya tentang pertumbuhan atau peluruhan.

BAGIAN 3

Logaritma: Kebalikan Eksponen

Jika eksponen menjawab “berapa nilai akhirnya?”, logaritma menjawab “butuh berapa lama?”

e^x = y ↔ x = ln(y)

1Definisi log → 2log₁₀ vs ln → 3Tiga sifat kunci → 4Pitfall umum

Definisi Logaritma: Inverse Eksponen

Logaritma basis a dari y adalah pangkat yang harus diberikan kepada a untuk menghasilkan y. Jika a^x = y, maka x = logₐ(y).

Eksponen	Logaritma	Hubungan
10² = 100	log₁₀(100) = 2	kebalikan satu sama lain
e^x = y	ln(y) = x	kebalikan satu sama lain
e^0,30 = 1,3499	ln(1,3499) = 0,30	kebalikan satu sama lain

Hukum dasar saling membatalkan: logₐ(a^x) = x • a^logₐ(x) = x. Ini kunci mencari t dari P = P₀·e^rt.

log₁₀ vs ln — Dua Jenis Logaritma

Dua jenis logaritma yang paling sering dipakai dalam bisnis dan matematika:

Nama	Notasi	Basis	Tombol Kalkulator	Kegunaan Utama
Logaritma biasa	log atau log₁₀	10	[log]	Skala dB, pH, skala Richter; beberapa soal bisnis
Logaritma natural (ln = logₑ)	ln	e ≈ 2,71828	[ln]	Pertumbuhan kontinu, TVM lanjut, statistik, ekonometrika

Aturan praktis: Kalau rumusnya ada huruf e, pakai tombol [ln]. Salah tekan [log] alih-alih [ln] adalah kesalahan paling umum mahasiswa dalam ujian!

Sifat-Sifat Logaritma (3 Sifat Utama)

Tiga sifat logaritma yang wajib dikuasai (berlaku untuk log maupun ln):

#	Nama	Rumus	Contoh (ln)
1	Sifat Perkalian	log(a·b) = log(a) + log(b)	ln(e²·e³) = ln(e²)+ln(e³) = 2+3 = 5
2	Sifat Pembagian	log(a/b) = log(a) − log(b)	ln(e⁵/e²) = ln(e⁵)−ln(e²) = 5−2 = 3
3	Sifat Pangkat	log(aⁿ) = n · log(a)	ln(e^rt) = r·t · ln(e) = r·t × 1 = r·t

Sifat tambahan: ln(e) = 1 • ln(1) = 0 • Ingat: ln(e) = 1 — ini yang membuat rumus t = ln(Pₜ/P₀)/r bekerja!

Hati-Hati: Kesalahan Umum Logaritma

MITOS yang SERING DIPERCAYA — SEMUANYA SALAH:

Mitos (SALAH ❌)	Yang Benar
log(a + b) = log(a) + log(b)	Tidak ada sifat ini! Sifat penjumlahan berlaku untuk perkalian isi: log(a·b) = log(a) + log(b).
log(a − b) = log(a) − log(b)	Sifat pembagian: log(a/b) = log(a) − log(b), bukan selisih isi.
log(a · b) = log(a) · log(b)	Hasilnya dijumlahkan, bukan dikalikan: log(a·b) = log(a) + log(b).
ln(−5) ada nilainya	Logaritma hanya terdefinisi untuk argumen (nilai yang dimasukkan ke logaritma) POSITIF: ln(x) hanya ada jika x > 0.

Uji mandiri: log₁₀(2 + 3) = log₁₀(5) ≈ 0,699 ≠ log₁₀(2) + log₁₀(3) ≈ 0,778. Selalu uji dengan angka jika ragu!

Saya tunjukkan slide ini karena kesalahan-kesalahan ini muncul berulang dalam ujian mahasiswa di seluruh dunia, bukan hanya di Indonesia. Kesalahan paling umum adalah menulis log(a + b) = log(a) + log(b) — ini tampak "masuk akal" karena kita terbiasa dengan distribusi penjumlahan dalam aljabar biasa. Tetapi logaritma tidak bekerja seperti itu: sifat penjumlahan logaritma berlaku untuk perkalian argumennya, bukan penjumlahan. Jika ragu, uji dengan angka: log₁₀(2 + 3) = log₁₀(5) ≈ 0,699, sedangkan log₁₀(2) + log₁₀(3) ≈ 0,301 + 0,477 = 0,778 — jelas berbeda. Kesalahan kedua yang sering adalah mencoba mengambil logaritma dari angka negatif atau nol: secara matematis, ini tidak terdefinisi. Dalam konteks keuangan, ini tidak masalah karena nilai uang selalu positif — tetapi kalau Anda menghitung selisih dan hasilnya negatif, pastikan Anda tidak langsung ambil ln-nya.

BAGIAN 4

Aplikasi Bisnis: Mencari Waktu dengan Logaritma

Dari rumus P = P₀·e^rt → kita balikkan → t = ln(P/P₀) / r

P = P₀·ert
→
P/P₀ = ert
→
ln(P/P₀) = r·t
→
t = ln(P/P₀)/r

1Derivasi rumus t → 2HDN-2 BPR → 3Kasus BSI → 4Log untuk analisis data

Mencari Periode Investasi: t = ln(Pₜ/P₀) / r

Derivasi (penurunan rumus secara langkah matematis) dari P = P₀·e^rt:

Bagi kedua sisi dengan P₀:  P/P₀ = ert
Ambil ln kedua sisi:  ln(P/P₀) = r·t  (sifat pangkat: ln(ert) = r·t)
Bagi dengan r:  t = ln(P/P₀) / r

t = ln(Pₜ / P₀) / r

Simbol	Artinya
t	Periode waktu yang dicari (tahun)
Pₜ	Nilai target akhir (Rupiah)
P₀	Nilai awal (Rupiah)
r	Laju pertumbuhan kontinu (desimal)

Hitung dari Nol 2 — Modal BPR Rp 500 Juta → Rp 750 Juta

Soal: Modal inti (komponen utama ekuitas bank; diatur OJK) sebuah BPR tumbuh dari Rp 500 juta menjadi Rp 750 juta dengan laju kontinu r = 8%/tahun. Berapa tahun?

Langkah	Perhitungan	Nilai
1 — Identifikasi variabel	P₀ = 500 juta \| Pₜ = 750 juta \| r = 0,08	—
2 — Hitung rasio Pₜ/P₀	750 / 500	1,5
3 — Hitung ln(1,5) [tombol [ln] di kalkulator]	ln(1,5)	0,405465
4 — Bagi dengan r	0,405465 / 0,08	5,07 tahun
5 — Interpretasi	Sekitar 5 tahun 1 bulan	t ≈ 5,07 tahun

Verifikasi (pengecekan balik): 500 × e^{(0,08 × 5,07)} = 500 × e^0,4056 = 500 × 1,5000 ≈ 750 ✓

Studi Kasus: Pertumbuhan Aset BSI — Kapan Target Tercapai?

Konteks: BSI (Bank Syariah Indonesia, kode emiten BRIS di BEI — Bursa Efek Indonesia) adalah bank syariah (berbasis prinsip Islam, diatur OJK) terbesar di Indonesia. Aset perbankan syariah nasional tumbuh pesat.

Skenario ilustratif: Jika total aset perbankan syariah pada tahun dasar = Rp 800 triliun dan tumbuh dengan laju kontinu r = 12%/tahun, kapan aset menembus Rp 1.000 triliun?

Langkah	Perhitungan	Nilai
Rasio Pₜ/P₀	1.000 / 800	1,25
ln(1,25)	[ln] → 1,25	0,2231
t = 0,2231 / 0,12	0,2231 / 0,12	1,86 tahun

Catatan akurasi: Skenario ini ilustratif — angka Rp 800 T dan r = 12% adalah asumsi untuk latihan. Data aktual: OJK Statistik Perbankan Syariah (data.ojk.go.id). Verifikasi sebelum presentasi.

Skenario ini menunjukkan bagaimana rumus logaritma benar-benar dipakai dalam analisis keuangan sektoral. Industri perbankan syariah Indonesia adalah salah satu yang tumbuh paling cepat di Asia Tenggara, dan para analis di OJK, BI, maupun bank-bank besar menggunakan model pertumbuhan eksponensial ini untuk memproyeksikan kapan target tertentu akan tercapai. Dalam skenario kita, dari Rp 800 triliun menuju Rp 1.000 triliun dengan laju 12%/tahun kontinu hanya butuh sekitar 1,86 tahun — kurang dari dua tahun. Angka yang lebih realistis untuk data aktual mungkin berbeda, itulah mengapa saya tambahkan catatan akurasi: selalu verifikasi dengan data resmi OJK sebelum mempublikasikan angka riil. Pelajaran pentingnya adalah struktur perhitungannya: rasio target-ke-awal, ambil ln, bagi dengan laju. Struktur ini sama untuk semua kasus.

Pendalaman: Logaritma untuk Analisis Data & Elastisitas

APLIKASI 1

DATA
MIRING

Data aset perusahaan, pendapatan, atau transaksi biasanya sangat miring ke kanan. Mengambil ln(data) membuatnya lebih simetris — asumsi statistik lebih terpenuhi.

APLIKASI 2

ELASTISITAS

Regresi log-log: ln(Q) = a + b·ln(P). Koefisien b langsung memberikan elastisitas harga permintaan (seberapa banyak permintaan berubah per 1% perubahan harga).

APLIKASI 3

GRAFIK
SAHAM

Grafik harga saham BBCA/TLKM jangka panjang sering disajikan dalam skala logaritmik agar persentase perubahan terlihat proporsional.

Contoh: Analisis kredit OJK menggunakan transformasi ln pada variabel NPL (Non-Performing Loan — rasio kredit macet) dan LDR (Loan-to-Deposit Ratio — rasio pinjaman terhadap dana) untuk menstabilkan varian dalam model regresi.

Cheat Sheet: Rumus Kunci Eksponen & Logaritma

Konsep	Rumus / Definisi	Catatan
Fungsi eksponensial	f(x) = a^x (a>0, a≠1)	x adalah variabel (pangkat)
Bilangan Euler	e ≈ 2,71828	Basis pertumbuhan kontinu alami
Pertumbuhan kontinu	P = P₀·e^rt	r desimal, t tahun
Peluruhan kontinu	f(t) = A·e^−kt	k > 0, nilai menyusut
Rule of 72	t ≈ 72/r(%)	Perkiraan waktu berlipat dua
Definisi logaritma	a^x = y ↔ x = logₐ(y)	Inverse eksponen
Logaritma natural (ln)	ln = logₑ	Gunakan tombol [ln] di kalkulator
Sifat perkalian	ln(a·b) = ln(a)+ln(b)
Sifat pembagian	ln(a/b) = ln(a)−ln(b)
Sifat pangkat	ln(aⁿ) = n·ln(a)	Kunci mencari t
Mencari periode	t = ln(Pₜ/P₀) / r	Derivasi dari P = P₀·e^rt

Nilai referensi: ln(1) = 0 • ln(e) = 1 • e&sup0; = 1

Diskusi & Latihan Kelas

Latihan A — Individual (5 menit)

Deposito BNI Rp 20.000.000 dengan laju bunga kontinu r = 7,5%/tahun selama t = 3 tahun. Hitung nilai akhir!

Petunjuk: P = 20.000.000 × e^(0,075×3)

Jawaban: e^0,225 ≈ 1,25232 → Rp 25.046.454

Latihan B — Berpasangan (5 menit)

Jika aset PT Telkom (TLKM, emiten di BEI) tumbuh dari Rp 200 triliun menjadi Rp 260 triliun dengan laju kontinu r = 10%/tahun, butuh berapa tahun?

Petunjuk: t = ln(260/200) / 0,10

Jawaban: ln(1,3) ≈ 0,2624 → t ≈ 2,62 tahun

Diskusi Kelas: Mengapa bank komersial tidak secara eksplisit mengiklankan "bunga kontinu" kepada nasabah? Apa yang mereka lakukan sebagai gantinya? (Kaitkan dengan EAR — Effective Annual Rate dan regulasi OJK tentang pengungkapan bunga efektif.)

Persiapan Pertemuan 6 — Bunga Majemuk & Nilai Waktu Uang

Hari Ini Kita Telah Mempelajari ✓

Fungsi eksponensial f(x) = a^x dan bilangan Euler e
Pertumbuhan & peluruhan kontinu: P = P₀·e^rt
Logaritma sebagai inverse eksponen: 3 sifat + aplikasi bisnis
Mencari periode investasi: t = ln(Pₜ/P₀)/r
Rule of 72 untuk estimasi cepat

Pertemuan 6 — Preview

Generalisasi: bunga diskret tahunan, semesteran, bulanan
FV (Future Value) dan PV (Present Value) formal
Fondasi untuk Capital Budgeting (NPV — Net Present Value, IRR — Internal Rate of Return)
Tugas persiapan: Baca Haeussler et al. (2018), Ch. 5; kerjakan 3 soal dari bank soal pertemuan ini.

Pertemuan 6 → Nilai Waktu Uang • Haeussler Ch. 5–6

Sebelum kita tutup, mari kita refleksikan apa yang sudah kita capai hari ini. Anda mulai pertemuan ini mungkin belum pernah menghitung bunga menggunakan bilangan e — dan sekarang Anda sudah mengerjakan dua kasus nyata: deposito BRI dan pertumbuhan modal BPR, keduanya menggunakan fungsi eksponensial dan logaritma. Ini bukan hal kecil — banyak profesional keuangan yang sudah bekerja bertahun-tahun belum pernah benar-benar memahami dari mana rumus bunga kontinu itu berasal. Untuk pertemuan depan, kita akan memperluas pemahaman ini ke konsep yang lebih luas: nilai waktu uang secara umum — FV, PV, anuitas — yang merupakan fondasi dari hampir semua analisis keuangan profesional. Kerjakan tugas persiapan yang tercantum, karena Pertemuan 6 akan bergerak cepat. Sampai jumpa minggu depan, dan kalau ada pertanyaan saya ada di kantor atau bisa dihubungi via email.

Matematika Bisnis

Pertemuan 5 — Fungsi Logaritma dan Eksponensial

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Uang Tumbuh Seperti Apa?

Fungsi Eksponensial f(x) = ax

Bilangan Euler e ≈ 2,71828

Sifat Operasi Fungsi Eksponensial

Model Pertumbuhan Kontinu P = P₀·ert

Hitung dari Nol 1 — Deposito BRI Bunga Kontinu

Kontinu vs Diskret: Mana Lebih Besar?

Coba Sendiri: Geser Bunga & Tenor, Lihat PV/FV Berubah

Rule of 72 — Perkiraan Cepat Waktu Melipat Ganda

Coba Sendiri: Bandingkan Laju Pertumbuhan Kontinu

Peluruhan Eksponensial: f(t) = A · e−kt

Studi Kasus: Nilai Agunan Kredit yang Merosot

Definisi Logaritma: Inverse Eksponen

log₁₀ vs ln — Dua Jenis Logaritma

Sifat-Sifat Logaritma (3 Sifat Utama)

Hati-Hati: Kesalahan Umum Logaritma

Mencari Periode Investasi: t = ln(Pₜ/P₀) / r

Hitung dari Nol 2 — Modal BPR Rp 500 Juta → Rp 750 Juta

Studi Kasus: Pertumbuhan Aset BSI — Kapan Target Tercapai?

Pendalaman: Logaritma untuk Analisis Data & Elastisitas

Cheat Sheet: Rumus Kunci Eksponen & Logaritma

Diskusi & Latihan Kelas

Persiapan Pertemuan 6 — Bunga Majemuk & Nilai Waktu Uang

Fungsi Eksponensial f(x) = a^x

Model Pertumbuhan Kontinu P = P₀·e^rt

Peluruhan Eksponensial: f(t) = A · e^−kt