Program Studi Manajemen • FEB

Matematika Bisnis

Pertemuan 4 — Fungsi dan Grafik Fungsi

Dari harga ke permintaan, dari volume ke pendapatan — semua hubungan bisnis adalah fungsi (aturan yang memetakan tiap input ke tepat satu output). Pelajari cara membaca, membangun, dan menggambarnya.

RPS MINGGU 4 • SUB-CPMK 1 • DURASI 2 × 50 MENIT

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu menjelaskan dan mengaplikasikan fungsi aljabar untuk bisnis dan ekonomi (Sub-CPMK 1). Secara rinci:

CAPAIAN 1 — KONSEP DASAR

FUNGSI

Mendefinisikan fungsi, domain, range, kodomain dan mengidentifikasi apakah suatu relasi adalah fungsi.

CAPAIAN 2 — MEMBANGUN

LINEAR

Menyusun fungsi linear dan kuadratik dari data verbal atau dua titik, dengan langkah derivasi lengkap.

CAPAIAN 3 — MENGGAMBAR

GRAFIK

Menggambar grafik fungsi linear dan kuadratik termasuk titik potong sumbu dan vertex parabola.

CAPAIAN 4 — APLIKASI

BISNIS

Menerapkan fungsi ke TR, TC, profit, permintaan, penawaran, dan tarif progresif konteks Indonesia.

Mengapa Fungsi Penting di Bisnis?

Setiap kali ada hubungan "jika X berubah, maka Y berubah", di sana ada fungsi.

CONTOH 1 — HARGA & PERMINTAAN

Ketika Indomie menaikkan harga Rp 500, berapa unit yang terjual berkurang? → Fungsi permintaan Qd = f(P). (Qd = kuantitas yang diminta / quantity demanded)

CONTOH 2 — PRODUKSI & PENDAPATAN

PT Djarum memproduksi Q batang rokok; berapa total pendapatannya? → Fungsi TR TR = f(Q). (TR = total revenue / total pendapatan)

CONTOH 3 — VOLUME & TAGIHAN PLN

Anda memakai 350 kWh listrik bulan ini; berapa tagihan PLN Anda? → Fungsi tarif berlapis C = f(kWh).

CONTOH 4 — KEPUTUSAN MANAJERIAL

Pada berapa unit produksi profit maksimum? → Optimasi fungsi profit π = TR − TC. (π = simbol profit, dibaca "pi")

Tanpa fungsi, manajer hanya menebak-nebak. Fungsi mengubah deskripsi verbal menjadi persamaan yang bisa dihitung.

Bagian 1 dari 4

Konsep Dasar Fungsi

Definisi formal fungsi • Domain, range, kodomain • Notasi f(x) • Evaluasi • Uji garis vertikal

Definisi Domain Notasi Uji Vertikal

Fungsi: Aturan yang Memetakan Input ke Output

Fungsi adalah aturan yang memetakan setiap elemen dari himpunan input (domain) ke tepat satu elemen di himpunan output (range).

FUNGSI ✓

Tiap x punya tepat satu y. Misal: setiap harga P menghasilkan satu kuantitas permintaan Qd. Satu ayam punya satu pemilik.

BUKAN FUNGSI ✗

Satu x punya lebih dari satu y. Misal: satu mesin menghasilkan dua tingkat output berbeda pada saat yang sama — mustahil secara fisika.

Kunci: satu input → tepat satu output. Input berbeda boleh menghasilkan output sama, tapi satu input tidak boleh menghasilkan dua output berbeda.

Definisi fungsi memiliki satu kata kunci yang tidak boleh dilupakan: "tepat satu". Sebuah aturan disebut fungsi jika dan hanya jika setiap nilai input menghasilkan tepat satu nilai output — tidak lebih, tidak kurang. Analoginya sederhana: bayangkan mesin penjual otomatis. Anda masukkan kode A1, keluar minuman tertentu — selalu minuman yang sama. Itu fungsi. Tapi kalau kode A1 kadang mengeluarkan kopi dan kadang mengeluarkan teh tanpa bisa diprediksi, mesin itu bermasalah dan hubungan tersebut bukan fungsi. Penting untuk dipahami bahwa dua input berbeda boleh saja menghasilkan output yang sama — itu tetap fungsi. Yang dilarang hanya satu: satu input menghasilkan dua output berbeda pada saat yang sama. Ingat aturan ini baik-baik karena ia akan dipakai untuk menguji grafik di slide berikutnya.

Domain, Range, dan Kodomain

DOMAIN

Semua nilai input yang diizinkan. Dalam ekonomi: Q ≥ 0 dan P ≥ 0 (tidak ada harga atau kuantitas negatif).

RANGE (DAERAH HASIL)

Nilai output yang benar-benar dihasilkan fungsi untuk domain yang diberikan.

KODOMAIN

Semua kemungkinan output — bisa lebih luas dari range. Sering dinyatakan sebagai seluruh bilangan real (ℝ).

Fungsi	Domain (bisnis)	Range
TR = 50Q	Q ≥ 0	TR ≥ 0
TC = 200Q + 5.000	Q ≥ 0	TC ≥ 5.000

Batasan konteks bisnis: domain bukan sekadar syarat matematis, tapi juga syarat ekonomi — kuantitas, harga, dan biaya tidak boleh negatif kecuali secara eksplisit dimodelkan demikian.

Notasi f(x) dan Cara Mengevaluasi Fungsi

f(x) dibaca "f dari x" — bukan f dikali x. Ini notasi standar internasional untuk menyatakan nilai fungsi f ketika inputnya x.

Jika f(x) = 3x + 5, maka:
f(2) = 3(×2) + 5 = 6 + 5 = 11
f(0) = 3(0) + 5 = 5
f(−1) = 3(−1) + 5 = −3 + 5 = 2

x	f(x) = 3x + 5 — Perhitungan	Hasil
0	3(0) + 5	5
2	3(2) + 5 = 6 + 5	11
5	3(5) + 5 = 15 + 5	20
10	3(10) + 5 = 30 + 5	35

Contoh bisnis: Jika TR(Q) = 50Q (Rp/unit), maka TR(100) = 50 × 100 = Rp 5.000. f(x) ≠ f × x. Notasi f(x) adalah nama output, bukan perkalian.

Uji Garis Vertikal — Cara Cek dari Grafik

Cara cepat memeriksa apakah grafik mewakili fungsi: tarik garis vertikal di sembarang titik. Jika garis memotong grafik lebih dari sekali → bukan fungsi.

FUNGSI ✓ — y = 2x − 1
Garis vertikal memotong tepat sekali.

BUKAN FUNGSI ✗ — x² + y² = 4
Satu x, dua nilai y.

Trik praktis: geser garis tegak lurus sumbu-x dari kiri ke kanan. Kalau ada titik di mana garis memotong grafik lebih dari satu kali — bukan fungsi.

Uji garis vertikal adalah alat praktis yang memungkinkan kita memeriksa secara visual apakah sebuah grafik mewakili fungsi atau tidak, tanpa perlu melihat persamaannya. Logikanya langsung berhubungan dengan definisi: kalau satu nilai x menghasilkan tepat satu nilai y, maka garis vertikal yang melewati titik x mana pun hanya akan menyentuh grafik satu kali. Kalau sampai dua kali atau lebih, berarti ada satu input dengan dua output berbeda — dan itu melanggar definisi fungsi. Perhatikan dua grafik ini: garis lurus di sebelah kiri adalah fungsi karena garis vertikal manapun memotongnya tepat sekali. Lingkaran di sebelah kanan bukan fungsi karena di tengahnya satu garis vertikal memotong di dua titik, bagian atas dan bawah. Dalam konteks bisnis, model bisnis yang valid harus berupa fungsi — tidak boleh ada satu kondisi pasar yang secara simultan menghasilkan dua nilai permintaan yang berbeda.

Bagian 2 dari 4

Fungsi Linear dan Grafiknya

Definisi • Slope dan intercept • Membangun dari dua titik • Permintaan & penawaran linear • TR dan TC linear

f(x) = mx + b

Fungsi Linear: f(x) = mx + b

Fungsi linear adalah fungsi berderajat satu. Dua parameter menentukan segalanya: slope m dan intercept b.

f(x) = mx + b

SLOPE (m) — KEMIRINGAN

Perubahan output (Δy) per satuan perubahan input (Δx).
m = Δy / Δx
Positif = naik, negatif = turun, nol = mendatar.

INTERCEPT (b) — TITIK POTONG Y

Nilai output saat x = 0. Dalam bisnis: TC saat Q = 0 = biaya tetap (FC / fixed cost) awal.

Fungsi	m (slope)	b (intercept)	Interpretasi
TC = 200Q + 5.000	200 (biaya variabel/unit)	5.000 (biaya tetap)	TC naik Rp 200 tiap +1 unit
Qd = 1.800 − 0,2P	−0,2	1.800	Tiap kenaikan P Rp 1.000, Qd turun 200

Aturan tanda slope: fungsi permintaan SELALU m < 0 (hukum permintaan); fungsi penawaran SELALU m > 0 (hukum penawaran).

Fungsi linear f(x) = mx + b sepenuhnya ditentukan oleh dua parameter. Pertama, slope atau kemiringan m: ini adalah laju perubahan — seberapa besar output berubah setiap kali input naik satu satuan. Kalau TC = 200Q + 5.000, maka slope 200 berarti setiap unit produksi tambahan menambah biaya sebesar Rp 200 — inilah biaya variabel per unit. Kedua, intercept b adalah nilai fungsi saat input sama dengan nol. Dalam contoh TC tadi, saat Q = 0, TC masih 5.000 — itulah biaya tetap (fixed cost) yang tetap ada meski tidak ada produksi, seperti sewa gedung dan gaji karyawan tetap. Perhatikan interpretasi ekonominya: slope negatif pada fungsi permintaan bukan kesalahan, melainkan mencerminkan hukum permintaan — semakin tinggi harga, semakin sedikit yang diminta. Slope dan intercept bukan sekadar angka matematika; keduanya menceritakan perilaku bisnis.

Membangun Fungsi Linear dari Dua Titik Data

Jika diketahui dua pasang nilai (x₁, y₁) dan (x₂, y₂), kita bisa menentukan fungsi linear yang melewati keduanya. Dua langkah:

LANGKAH 1 — HITUNG SLOPE

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Selisih output dibagi selisih input. Urutan harus konsisten.

LANGKAH 2 — HITUNG INTERCEPT

b = y₁ − m × x₁

Substitusi salah satu titik ke y = mx + b, selesaikan b.

Hasil: f(x) = mx + b

Cek verifikasi wajib: setelah fungsi jadi, substitusi KEDUA titik asli. Jika keduanya menghasilkan nilai yang benar, fungsi Anda benar. Jika satu salah, ada kesalahan aritmetika — ulangi dari Langkah 1.

Dalam praktik bisnis, fungsi jarang diberikan langsung dalam bentuk persamaan; lebih sering kita punya data — misalnya dua titik pengamatan — dan harus membangun fungsi dari sana. Cara membangun fungsi linear dari dua titik sangat sistematis. Langkah pertama, hitung slope menggunakan rumus perbandingan selisih: selisih y dibagi selisih x. Ingat, urutan harus konsisten — kalau Anda memakai y₂ − y₁ di pembilang, maka di penyebut juga harus x₂ − x₁. Langkah kedua, setelah slope diketahui, substitusikan salah satu titik ke dalam persamaan y = mx + b untuk mencari b. Langkah terakhir yang sering dilupakan tetapi sangat penting: verifikasi dengan mensubstitusikan KEDUA titik asli ke fungsi yang sudah Anda bangun. Kalau salah satu tidak pas, ada kesalahan aritmetika di langkah sebelumnya. Jangan pernah lewatkan verifikasi ini — terutama di ujian.

Hitung dari Nol — HDN-1: Fungsi Permintaan dari Dua Titik Data

Data survei pasar: pada P = Rp 5.000, kuantitas diminta Qd = 800 unit; pada P = Rp 3.000, kuantitas diminta Qd = 1.200 unit. Temukan Qd = f(P).

Langkah	Perhitungan	Nilai
Titik data	(P₁, Qd₁) = (5.000, 800) • (P₂, Qd₂) = (3.000, 1.200)	—
Hitung slope m	m = (1.200 − 800) / (3.000 − 5.000) = 400 / (−2.000)	m = −0,2
Hitung intercept b	b = 800 − (−0,2)(5.000) = 800 + 1.000	b = 1.800
Fungsi permintaan	Qd = −0,2P + 1.800	—
Verifikasi P = 5.000	Qd = −0,2(5.000) + 1.800 = −1.000 + 1.800	= 800 ✓
Verifikasi P = 3.000	Qd = −0,2(3.000) + 1.800 = −600 + 1.800	= 1.200 ✓

Hasil: Qd = 1.800 − 0,2P. Setiap kenaikan harga Rp 1.000, permintaan turun 200 unit. Berlaku untuk P antara Rp 0 (Qd = 1.800) hingga P = Rp 9.000 (Qd = 0).

Ini adalah aplikasi nyata pertama kita hari ini. Bayangkan Anda manajer riset pasar sebuah perusahaan FMCG (fast-moving consumer goods — barang konsumsi cepat habis). Langkah pertama, tempatkan kedua titik data secara eksplisit: titik pertama (5.000, 800) dan titik kedua (3.000, 1.200). Langkah kedua, hitung slope: 400 dibagi negatif 2.000 sama dengan negatif 0,2. Slope negatif ini konsisten dengan hukum permintaan — semakin tinggi harga, semakin rendah kuantitas diminta. Langkah ketiga, cari intercept b dengan mensubstitusikan salah satu titik: 800 = (−0,2)(5.000) + b, sehingga b = 800 + 1.000 = 1.800. Terakhir dan sangat penting, verifikasi dengan KEDUA titik. Fungsi Qd = 1.800 − 0,2P ini menceritakan banyak hal: saat P = 0, permintaan maksimum adalah 1.800 unit; saat P = 9.000, tidak ada yang beli; dan setiap kenaikan harga Rp 1.000 mengurangi permintaan 200 unit.

Tiga Fungsi Inti Bisnis: TR, TC, dan Profit

Dari fungsi permintaan, kita bisa membangun fungsi pendapatan, biaya, dan profit. Ketiganya jantung analisis bisnis dasar.

TR — TOTAL PENDAPATAN

TR(Q) = P × Q

Jika harga tetap: TR = P₀ × Q (linear). Jika harga fungsi permintaan: TR menjadi kuadratik (dibahas HDN-2).

TC — TOTAL BIAYA

TC(Q) = VC × Q + FC

VC = biaya variabel per unit; FC = biaya tetap (fixed cost). Contoh: TC = 200Q + 9.000.

PROFIT (π)

π(Q) = TR − TC

Profit positif saat TR > TC. Titik impas (break-even) saat TR = TC, profit = 0.

Contoh terpadu — P = Rp 500/unit; VC = Rp 200/unit; FC = Rp 9.000

TR = 500Q | TC = 200Q + 9.000 | π = 500Q − (200Q + 9.000) = 300Q − 9.000
Break-even: 300Q − 9.000 = 0 → Q* = 30 unit. Saat Q < 30: rugi • Q = 30: impas • Q > 30: untung.

Tiga fungsi yang Anda lihat di slide ini adalah tulang punggung analisis bisnis dasar. TR, total revenue atau total pendapatan, adalah hasil perkalian harga dan kuantitas. TC, total cost, terdiri dari dua komponen: biaya variabel yang naik seiring produksi dan biaya tetap yang tidak berubah. Profit, yang disimbolkan dengan huruf Yunani pi, adalah selisih TR dikurangi TC. Satu penerapan langsung yang sangat berguna adalah mencari titik impas (break-even): yaitu jumlah unit Q yang harus diproduksi dan dijual agar perusahaan tidak rugi dan tidak untung. Caranya tinggal set profit = 0, yaitu TR = TC, lalu selesaikan untuk Q. Dalam contoh di slide, titik impas adalah Q = 30: di bawah 30 unit perusahaan rugi, tepat 30 unit impas, dan di atas 30 unit baru mulai untung. Analisis ini sangat sering dipakai manajemen untuk menetapkan target produksi minimum.

Bagian 3 dari 4

Fungsi Kuadratik dan Grafiknya

Definisi parabola • Vertex (titik maks/min) • TR kuadratik • Laba maksimum

f(x) = ax² + bx + c

Fungsi Kuadratik: f(x) = ax² + bx + c

f(x) = ax² + bx + c , dengan a ≠ 0

a > 0 → Parabola ∪ (terbuka atas)

Ada nilai MINIMUM di vertex. Contoh: biaya rata-rata AC — ada skala produksi paling efisien.

a < 0 → Parabola ∩ (terbuka bawah)

Ada nilai MAKSIMUM di vertex. Contoh: fungsi TR dan profit — ada titik puncak yang dicari.

Fungsi	a	Bentuk	Arti bisnis
TC = 2Q² − 10Q + 50	+2	∪	Biaya rata-rata ada minimum
TR = 50Q − 0,5Q²	−0,5	∩	Pendapatan ada MAKSIMUM
π = −Q² + 20Q − 50	−1	∩	Profit ada MAKSIMUM

Vertex Parabola — Titik Maks atau Min

Untuk fungsi kuadratik f(x) = ax² + bx + c, koordinat vertex adalah:

x_vertex = −b / (2a)

y_vertex = f(x_vertex) ← substitusi

CONTOH CEPAT

f(x) = −x² + 10x − 16 → a = −1, b = 10
x_v = −10 / (2 × −1) = −10 / −2 = 5
y_v = −(25) + 50 − 16 = 9
Vertex: (5, 9) — nilai maksimum = 9 dicapai saat x = 5.

Ingat: x_vertex = −b/(2a) memberi di mana maks/min terjadi. Substitusikan kembali ke f(x) untuk tahu berapa nilai maks/min itu.

Vertex adalah titik terpenting dari fungsi kuadratik dalam konteks bisnis karena ia mewakili kondisi optimal: produksi yang memaksimalkan pendapatan, atau harga yang memaksimalkan profit. Ada dua cara menemukan vertex. Cara pertama, yang paling umum digunakan, adalah rumus x vertex = −b dibagi (2a). Ini memberi tahu Anda di nilai x berapa vertex berada. Kemudian substitusikan nilai x tersebut ke dalam fungsi aslinya untuk mendapatkan nilai y di vertex — inilah nilai maksimum atau minimum. Perhatikan contoh: dengan a = −1 dan b = 10, vertex di x = 5; substitusikan ke fungsi asli, y = 9. Jadi nilai maksimum fungsi adalah 9, dan ia terjadi saat x = 5. Dalam konteks bisnis, dua fakta ini sangat informatif: "maksimum sekian terjadi pada kondisi x sekian" adalah kalimat keputusan manajerial.

Coba Sendiri: Geser Koefisien, Kejar Vertex TR Maksimum

Ubah koefisien a, b, c pada fungsi kuadratik dan amati bagaimana posisi vertex (titik maksimum/minimum) berpindah.

Hitung dari Nol — HDN-2: TR Kuadratik — Ilustrasi Rokok Djarum

Angka ilustratif berskala kecil untuk kemudahan perhitungan. TR = 50Q − 0,5Q² (dalam juta Rp; Q = juta batang). Hitung TR pada Q = 20, 50, 100, dan temukan Q yang memaksimalkan TR.

Langkah	Perhitungan	Nilai
Q = 20	TR = 50(20) − 0,5(20²) = 1.000 − 0,5(400) = 1.000 − 200	TR = 800
Q = 50	TR = 50(50) − 0,5(50²) = 2.500 − 0,5(2.500) = 2.500 − 1.250	TR = 1.250
Q = 100	TR = 50(100) − 0,5(100²) = 5.000 − 0,5(10.000) = 5.000 − 5.000	TR = 0
Identifikasi a, b	a = −0,5 ; b = 50 ; c = 0	—
Vertex Q*	Q* = −b/(2a) = −50 / (2 × −0,5) = −50 / −1	*Q = 50**
TR maksimum	TR(50) = 50(50) − 0,5(50²) = 2.500 − 1.250	TR_max = 1.250

TR maksimum = 1.250 juta Rp terjadi pada Q = 50 juta batang. Di atas Q = 50, penurunan harga lebih besar dari tambahan volume sehingga TR turun. Di Q = 100, TR bahkan nol. Catatan: semua angka ilustratif, tidak merepresentasikan data keuangan aktual PT Djarum.

Titik Impas (Break-Even) — Pertemuan TR dan TC

Titik impas adalah nilai Q di mana TR = TC, sehingga profit = 0. Di sinilah perusahaan mulai menghasilkan keuntungan.

Set TR(Q) = TC(Q) → selesaikan Q

Contoh: TR = 500Q ; TC = 200Q + 9.000

500Q = 200Q + 9.000
300Q = 9.000
Q_BE = 30 unit

Rumus pintas (linear): Q_BE = FC / (P − VC) = 9.000 / (500 − 200) = 9.000 / 300 = 30

ZONA RUGI (Q < 30)

TC > TR; kerugian tiap unit.

TITIK IMPAS (Q = 30)

TR = TC = 15.000; π = 0.

ZONA UNTUNG (Q > 30)

TR > TC; profit Rp 300/unit.

Analisis titik impas adalah salah satu aplikasi paling praktis dari fungsi linear dalam manajemen bisnis, dan nyaris setiap rencana usaha menggunakannya. Logikanya intuitif: sebelum mencapai titik impas, perusahaan rugi karena biaya tetap belum tertutup; setelah titik impas, setiap unit yang dijual memberikan profit. Cara menemukan titik impas secara aljabar adalah dengan menyamakan TR dan TC lalu menyelesaikan untuk Q. Dalam contoh: 500Q = 200Q + 9.000, sederhanakan menjadi 300Q = 9.000, sehingga Q = 30. Ada juga rumus pintas yang sangat berguna: titik impas sama dengan biaya tetap dibagi kontribusi margin per unit, di mana kontribusi margin adalah harga dikurangi biaya variabel per unit. Catatan penting: rumus pintas ini hanya berlaku untuk TR dan TC yang linear; untuk kasus kuadratik, kita harus menyelesaikan persamaan kuadrat.

Bagian 4 dari 4

Aplikasi Bisnis dan Ekonomi

Tarif listrik PLN berlapis • Pendapatan Pertamina • Komposisi fungsi • Ekuilibrium permintaan–penawaran

PLN Pertamina Komposisi Ekuilibrium

Tarif Listrik PLN — Fungsi Piecewise (Berlapis)

Tarif listrik PLN berbeda berdasarkan golongan dan konsumsi. Ini adalah fungsi piecewise (berlapis) — aturan berbeda berlaku untuk rentang input yang berbeda.

f(kWh) = 415 × kWh jika kWh ≤ 50 | 20.750 + 1.445(kWh − 50) jika 50 < kWh ≤ 100 | …

Lapis	Tarif (ilustratif)	Rumus biaya
0–50 kWh	Rp 415/kWh	415 × kWh
51–100 kWh	Rp 1.445/kWh	20.750 + 1.445×(kWh−50)
>100 kWh	Rp 1.699/kWh	tambah 1.699×(kWh−100)

Contoh: pengguna 120 kWh

50 kWh pertama: 50 × 415 = 20.750
50 kWh berikutnya: 50 × 1.445 = 72.250
20 kWh terakhir: 20 × 1.699 = 33.980
Total = Rp 126.980

Catatan: tarif PLN di atas adalah ilustrasi pedagogis. Tarif aktual bergantung golongan daya dan diperbarui Pemerintah. Selalu cek tarif terkini di pln.co.id atau Keputusan Menteri ESDM.

Fungsi Pendapatan Pertamina — Skala Nasional

Pertamina, BUMN (Badan Usaha Milik Negara) migas nasional, menjual berbagai produk BBM (Bahan Bakar Minyak). Hubungan antara volume dan pendapatan adalah fungsi linear dasar.

TR(Q) = P × Q

Ilustrasi: Pertalite Rp 10.000/liter, volume Q = 3 miliar liter/bulan

TR(Q) = 10.000 × 3.000.000.000 = Rp 30 triliun

Analisis "what-if": Jika harga naik ke Rp 12.000 dan volume turun 5% →
TR_baru = 12.000 × (0,95 × 3 miliar) = 12.000 × 2,85 miliar = Rp 34,2 triliun > 30 triliun.
TR naik meski volume turun, karena kenaikan harga (20%) > penurunan volume (5%).

PERTANYAAN ANALISIS

Jika harga Pertalite naik dari Rp 10.000 menjadi Rp 12.000 dan volume turun 5% akibat efek permintaan, apakah TR naik atau turun?

Gunakan TR = P × Q untuk menjawab secara kuantitatif — jangan tebak dengan intuisi saja.

Fungsi memungkinkan what-if analysis yang terstruktur.

Harga BBM aktual: per regulasi Pemerintah, verifikasi ke ESDM.go.id

Komposisi Fungsi — Rantai Transformasi

Kadang output satu fungsi menjadi input fungsi berikutnya. Inilah komposisi fungsi: f∘g (dibaca "f komposisi g").

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) — evaluasi g dulu, hasilnya masukkan ke f

Contoh 1 — Biaya Tenaga Kerja

g(Q) = 5Q (unit → jam kerja; 1 unit = 5 jam)
f(j) = 50.000j (upah Rp 50.000/jam)
f(g(Q)) = 50.000 × 5Q = 250.000Q
→ biaya tenaga kerja = Rp 250.000 per unit

Contoh 2 — PPh Badan 22% (UU HPP No. 7/2021)

g(Q) = 300Q − 9.000 (fungsi profit, Slide 13)
f(L) = 0,22 × L (PPh Badan 22%)
f(g(Q)) = 0,22(300Q − 9.000) = 66Q − 1.980
→ pajak terutang sebagai fungsi dari Q

Urutan penting: f∘g ≠ g∘f pada umumnya. Evaluasi selalu dari dalam ke luar: g dulu, baru f.

Komposisi fungsi memodelkan situasi di mana ada rantai transformasi: satu proses mengubah input menjadi nilai antara, dan nilai antara itu menjadi input bagi proses berikutnya. Contoh pertama memperlihatkan bagaimana volume produksi dalam unit diubah dulu ke jam kerja, lalu jam kerja dikalikan upah untuk mendapatkan total biaya tenaga kerja. Contoh kedua sangat relevan untuk pajak: dari fungsi profit, kita bisa langsung menghitung pajak yang terutang sebagai fungsi dari Q, dengan mengalikan profit dengan tarif PPh Badan 22% per UU HPP Nomor 7 Tahun 2021 yang berlaku sejak Tahun Anggaran 2022. Dahulu tarifnya 25%, lalu turun ke 22%; selalu verifikasi ke peraturan terbaru bila digunakan di luar konteks perkuliahan ini. Ingat selalu bahwa urutan komposisi penting: f komposisi g berarti g dikerjakan dulu baru f.

Permintaan, Penawaran, dan Ekuilibrium Pasar

Pasar menemukan harga ekuilibrium (P*) di mana kuantitas yang diminta sama dengan kuantitas yang ditawarkan: Qd = Qs.

Fungsi	Persamaan	Sifat
Permintaan	Qd = 1.800 − 0,2P	slope < 0 (turun)
Penawaran	Qs = −200 + 0,3P	slope > 0 (naik)

Mencari Ekuilibrium: Set Qd = Qs

1.800 − 0,2P = −200 + 0,3P
2.000 = 0,5P
P* = 4.000
Q* = 1.800 − 0,2(4.000) = 1.800 − 800 = Q* = 1.000 unit
Verifikasi Qs: −200 + 0,3(4.000) = −200 + 1.200 = 1.000 ✓

Di atas P* = 4.000: surplus (Qs > Qd) → harga turun. Di bawah P* = 4.000: kekurangan/shortage (Qd > Qs) → harga naik. Pasar mendorong menuju P*.

Slide ini menggabungkan semua yang sudah kita pelajari: membangun dua fungsi linear, menyamakan keduanya, dan menyelesaikan persamaan untuk menemukan nilai ekuilibrium. Ini adalah inti ekonomi mikro dasar, dan Anda akan menemuinya lagi di mata kuliah Pengantar Ekonomi Mikro. Fungsi permintaan yang kita bangun di HDN-1, yaitu Qd = 1.800 − 0,2P, adalah sisi pembeli. Fungsi penawaran Qs = −200 + 0,3P adalah sisi penjual — slope positif karena semakin tinggi harga, semakin banyak produsen mau menjual. Ekuilibrium ditemukan dengan menyamakan Qd dan Qs: 2.000 = 0,5P, sehingga P* = 4.000. Verifikasi dengan mensubstitusikan P* ke kedua fungsi menghasilkan Q = 1.000 dari keduanya, membuktikan perhitungan benar. Grafik klasik S&D yang Anda lihat akan sering muncul dalam studi ekonomi dan manajemen.

Cheat Sheet — Empat Tipe Fungsi Bisnis

Tipe	Bentuk Umum	Ciri Grafik	Aplikasi Bisnis
Linear	f(x) = mx + b	Garis lurus; slope konstan	TR (P tetap), TC, permintaan/penawaran
Kuadratik	f(x) = ax² + bx + c	Parabola; ada vertex (maks/min)	TR (harga fleksibel), profit maks, biaya min
Piecewise	Rumus berbeda per rentang	Grafik "tangga" atau patah	Tarif progresif (PLN, PPh), diskon volume
Komposisi	(f∘g)(x) = f(g(x))	Bergantung fungsi penyusun	Rantai produksi, pajak atas profit

Rumus Kunci — Hafal 4 Ini

Slope: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Vertex kuadratik: x* = −b / (2a)
Break-even (linear): Q_BE = FC / (P − VC)
Ekuilibrium: set Qd = Qs → selesaikan P

Semua tipe ini bergantung pada satu fondasi: fungsi = aturan yang memetakan tiap input ke tepat satu output. Pahami fondasi ini, dan Anda bisa bekerja dengan tipe fungsi apa pun.

Latihan & Diskusi Kelas

LATIHAN 1 — MEMBANGUN FUNGSI

Pada harga P = Rp 8.000, terjual 400 unit. Pada P = Rp 6.000, terjual 600 unit.

Bangun fungsi permintaan Qd = f(P). Berapakah Qd saat P = Rp 5.000?

Petunjuk: dua titik → hitung slope → hitung intercept → verifikasi kedua titik.

Kunci: Qd = 1.200 − 0,1P; saat P = 5.000 → Qd = 700 unit.

LATIHAN 2 — FUNGSI KUADRATIK

Fungsi profit suatu UKM (Usaha Kecil dan Menengah) adalah:

π = −2Q² + 80Q − 600 (ribu rupiah)

Berapa unit Q yang memaksimalkan profit? Berapa nilai maksimum profit tersebut?

Petunjuk: gunakan rumus vertex x* = −b/(2a). Gambar parabolanya di kertas.

Kunci: Q* = 20; π_max = 200 ribu Rp.

Kerjakan 8 menit. Tulis setiap langkah — jangan langsung ke hasil. Gambar grafik di kertas untuk Latihan 2. Kita bahas bersama setelahnya.

Dua latihan ini dirancang untuk menguji dua capaian inti hari ini. Latihan 1 menguji kemampuan Anda membangun fungsi dari dua titik data — proses yang persis sama dengan HDN-1, hanya dengan angka berbeda. Jangan tergoda untuk langsung menulis jawaban; tulis proses langkah per langkah termasuk verifikasi dua titik. Latihan 2 menguji kemampuan menemukan vertex fungsi kuadratik dan menginterpretasikannya sebagai kondisi optimal. Perhatikan bahwa profit adalah fungsi kuadratik dengan a negatif, jadi ada nilai maksimum yang harus Anda temukan dengan rumus x* = negatif b dibagi (2 kali a). Untuk Latihan 2, saya sarankan Anda juga menggambar parabolanya di kertas — visual membantu memverifikasi bahwa vertex yang Anda hitung memang di puncak dan bukan di lembah. Kita akan bahas jawaban bersama-sama setelah delapan menit.

Persiapan Pertemuan 5

Ringkasan Pertemuan Hari Ini — 3 Poin Utama

Fungsi = aturan input → tepat satu output; domain, range, notasi f(x).
Fungsi linear: slope dan intercept; bangun dari dua titik; TR, TC, break-even.
Fungsi kuadratik: parabola; vertex = kondisi optimal; aplikasi TR dan profit.

TUGAS MANDIRI SEBELUM P5

Kerjakan soal Lampiran B nomor 1, 3, dan 5. Bawa penghitungan tertulis lengkap — bukan hanya jawaban akhir. Kerjakan di kertas, termasuk grafik.

BACA AWAL UNTUK P5

Haeussler, Paul & Wood (2018) Bab 3 §3.1–3.3: pengantar limit dan kontinuitas fungsi — fondasi kalkulus bisnis. (Limit = nilai yang didekati fungsi saat variabelnya mendekati suatu titik.)

Konsep fungsi hari ini adalah prasyarat langsung untuk kalkulus differensial (P5–P7) dan optimasi bisnis. Pastikan Anda nyaman menghitung vertex dan break-even sebelum pertemuan berikutnya.

Kita sudah menempuh jarak yang cukup jauh hari ini: dari definisi formal fungsi sampai aplikasi ekuilibrium pasar dan tarif progresif PLN. Tiga poin ringkasan ini adalah yang paling penting untuk Anda bawa pulang. Pertama, fungsi adalah aturan yang memetakan setiap input ke tepat satu output — definisi ini sederhana tapi sangat presisi. Kedua, fungsi linear dengan slope dan intercept adalah alat paling dasar untuk memodelkan hubungan bisnis linier. Ketiga, fungsi kuadratik dengan vertex-nya adalah alat untuk menemukan kondisi optimal — maksimum atau minimum. Untuk pertemuan berikutnya, tolong kerjakan tiga soal dari Lampiran B sebelum masuk kelas, dan baca pendahuluan tentang limit di bab tiga buku Haeussler. Pertemuan 5 akan membawa kita ke kalkulus — yang pada dasarnya adalah studi tentang bagaimana fungsi berubah, dan untuk itu Anda perlu pemahaman yang kuat tentang fungsi itu sendiri, persis yang sudah kita bangun hari ini.

📖 Baca juga: Dcf Valuation — penjelasan mendalam dan contoh numerik.