‹ Daftar slidePertemuan 2: Persamaan dengan Satu Variabel
Program Studi Manajemen • FEB UNDIP
Matematika Bisnis
Pertemuan 2 — Persamaan dengan Satu Variabel
Menerjemahkan masalah bisnis ke dalam bahasa aljabar — dari narasi verbal ke persamaan (equation), lalu ke solusi konkret termasuk titik impas usaha.
RPS MINGGU 2 • SUB-CPMK 3 • DURASI 2 × 50 MENIT
Tujuan Pembelajaran Hari Ini
Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu menerjemahkan masalah verbal menjadi persamaan dan menyelesaikannya (Sub-CPMK 3). Secara rinci:
CAPAIAN 1 — ISOLASI
LINEAR
Menyelesaikan persamaan linear satu variabel secara sistematis melalui prosedur isolasi variabel.
CAPAIAN 2 — TERJEMAHAN
VERBAL
Mengubah narasi verbal bisnis menjadi bentuk persamaan aljabar yang tepat untuk minimal tiga kasus berbeda.
CAPAIAN 3 — BEP
IMPAS
Menghitung titik impas / BEP (Break-Even Point) dalam unit dan Rupiah dari data TR = TC.
CAPAIAN 4 — PECAHAN
FRAKSI
Menyelesaikan persamaan pecahan satu variabel dengan langkah yang sistematis dan terdokumentasi.
Setiap Keputusan Bisnis Menyimpan Persamaan
Tiga situasi nyata — semuanya adalah persamaan yang menunggu diselesaikan:
WARUNG KOPI SEMARANG
☕
"Saya perlu jual berapa cangkir agar pendapatan = biaya?" → TR = TC → persamaan!
DEALER MOTOR
🚗
"Perlu jual berapa unit agar modal bulan ini kembali?" → laba = 0 → persamaan!
HARGA BERAS BULOG
🌿
"Kalau margin grosir–eceran Rp 200/kg, berapa harga jual ecerannya?" → harga eceran = harga grosir + margin → persamaan!
Persamaan = alat penerjemah antara realitas bisnis dan angka yang bisa dihitung. Kita akan kembali ke tiga contoh ini sepanjang pertemuan hari ini.
BLOK 1
Dari Kata ke Simbol: Mengenal Persamaan
Apa itu persamaan? Mengapa ia “seimbang”? Dan bagaimana kita membacanya secara aljabar?
Persamaan Linear Satu Variabel: Bentuk Umum
ax + b = c (a ≠ 0)
Simbol
Nama
Contoh (kasus warung kopi)
x
Variabel (yang dicari)
x = jumlah cangkir terjual
a
Koefisien variabel
a = 3.000 (margin kontribusi per cangkir = harga jual − biaya variabel: 5.000 − 2.000)
b
Konstanta (bilangan tetap)
b = −500.000 (biaya tetap sewa + listrik)
c
Nilai ruas kanan
c = 0 (kondisi impas: laba = 0)
Contoh konkret: 3.000x − 500.000 = 0 → cari x (jumlah cangkir impas)
Linear = pangkat tertinggi variabel adalah 1 (tidak ada x², tidak ada √x). Detail model TR/TC dibahas tuntas di Blok 4 (Slide 18–19).
Aturan Emas Persamaan: Jaga Keseimbangan
Jangan pernah membagi dengan nol — tidak terdefinisi secara matematika.
Operasi
Contoh
Tambah bilangan sama
x − 3 = 7 → x = 10
Kurang bilangan sama
x + 5 = 12 → x = 7
Kali bilangan sama (≠ 0)
x/4 = 6 → x = 24
Bagi bilangan sama (≠ 0)
3x = 15 → x = 5
BLOK 2
Teknik Isolasi dan Pecahan
Prosedur langkah-demi-langkah untuk menyelesaikan persamaan linear — termasuk bentuk pecahan.
SOP Menyelesaikan Persamaan Linear
Contoh: 2x + 8 = 20 → x = ?
Langkah
Tindakan
Hasil pada: 2x + 8 = 20
1
Sederhanakan masing-masing ruas (ekspansi kurung, gabung suku sejenis)
2x + 8 = 20 (sudah sederhana)
2
Pindahkan konstanta ke ruas kanan (tambah/kurang)
2x = 20 − 8 = 12
3
Pindahkan koefisien variabel ke ruas kanan (bagi)
x = 12 ÷ 2
4 ✓
Verifikasi: substitusi kembali ke persamaan asal
2(6) + 8 = 12 + 8 = 20 ✓
Hasil: x = 6 — isolasi variabel (variable isolation) selesai. Verifikasi hanya butuh 10 detik tapi bisa menyelamatkan 5 poin di ujian.
Hitung dari Nol 1 — Isolasi Variabel
Soal: Selesaikan 3(x − 4) + 2x = x + 8
Langkah
Perhitungan
Nilai
0. Tulis persamaan asal
—
3(x − 4) + 2x = x + 8
1a. Ekspansi kurung
3·x − 3·4
3x − 12 + 2x = x + 8
1b. Gabung suku sejenis di kiri
(3x + 2x) − 12
5x − 12 = x + 8
2. Pindah x ke kiri (−x kedua sisi)
5x − x − 12 = 8
4x − 12 = 8
3a. Pindah konstanta ke kanan (+12 kedua sisi)
4x = 8 + 12
4x = 20
3b. Bagi koefisien (÷4 kedua sisi)
x = 20 ÷ 4
x = 5
4. Verifikasi: substitusi x = 5
3(5−4)+2(5) = 3+10 = 13 ; kanan: 5+8 = 13
13 = 13 ✓
Kurung = Perintah Distribusi
Aturan distributif: a(b + c) = ab + ac dan a(b − c) = ab − ac
Salah ✗
Benar ✓
2(x + 3) = 2x + 3
2(x + 3) = 2x + 6
−(x − 5) = −x − 5
−(x − 5) = −x + 5
4(2x − 1) = 8x − 1
4(2x − 1) = 8x − 4
Hati-hati tanda negatif di depan kurung: −(a − b) = −a + b, BUKAN −a − b. Negatif satu dikali negatif b = positif b.
Persamaan Pecahan — Hilangkan Penyebut Dulu
Strategi: Kalikan seluruh persamaan dengan KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari semua penyebut → penyebut hilang → persamaan jadi linear biasa.
Contoh: x/3 + x/6 = 5
KPK(3, 6) = 6 Kalikan semua suku × 6: (x/3)×6 + (x/6)×6 = 5×6 Sederhanakan: 2x + x = 30 Gabung: 3x = 30 → x = 10
Verifikasi: 10/3 + 10/6 = 3,33 + 1,67 = 5 ✓
Hitung dari Nol 2 — Persamaan Pecahan
Soal: Selesaikan (2x − 1)/4 − (x + 3)/2 = 1
Langkah
Perhitungan
Nilai
0. Identifikasi penyebut
Penyebut: 4 dan 2
KPK = 4
1. Kalikan semua suku × 4
(2x−1)/4×4 − (x+3)/2×4 = 1×4
(2x−1) − 2(x+3) = 4
2. Ekspansi kurung
(2x−1) − (2x+6) = 4
2x − 1 − 2x − 6 = 4
3. Gabung suku sejenis
(2x−2x) + (−1−6) = 4
−7 = 4
4. Interpretasi
Pernyataan ini salah untuk semua nilai x
Tidak ada solusi (kontradiksi)
Verifikasi
Substitusi x apapun ke asal → tidak pernah sama
Confirmed ✓
Kontradiksi (−7 = 4) artinya: tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan ini. Tidak semua persamaan punya solusi.
BLOK 3
Menerjemahkan Masalah Verbal
Dari narasi cerita → simbol aljabar → penyelesaian. Kosakata, pola, dan latihan.
Kosakata: Kata Bahasa Indonesia → Simbol Matematika
Kata / Frasa
Simbol / Operasi
Contoh kalimat
adalah, sama dengan, menjadi
=
"Harga jual adalah Rp 5.000" → p = 5.000
jumlah, total, ditambah
+
"Biaya tetap ditambah biaya variabel" → BT + BV
dikurang, selisih, lebih kecil dari
−
"Pendapatan dikurangi biaya" → TR − TC
dikali, setiap, per unit
×
"Rp 5.000 per cangkir" → 5.000 × x
dibagi, rasio, per (dalam pembagi)
÷
"Laba dibagi unit terjual" → π/x
berapa, berapa banyak, tentukan
→ variabel x
"Berapa cangkir?" → misalkan x = cangkir
impas, pulang-pokok, titik nol laba
laba = 0, TR = TC
"Titik impas" → TR = TC
Langkah pertama selalu: tetapkan variabel — tulis "Misalkan x = …" — sebelum menulis persamaan apapun.
Studi Kasus 1 — Harga Beras Bulog: Grosir ke Eceran
Narasi
Bulog (Badan Urusan Logistik) mendistribusikan beras medium ke pedagang grosir di Pasar Johar, Semarang, seharga Rp 10.500/kg. Margin (selisih harga beli–jual) pedagang grosir ke pengecer Rp 800/kg, dan pengecer menambah margin Rp 600/kg.
Berapa harga eceran per kg yang dibayar konsumen?
Penyelesaian
Misalkan: h = harga eceran konsumen (Rp/kg)
h = 10.500 + 800 + 600
h = Rp 11.900/kg
Variasi soal
Jika harga eceran ditetapkan Rp 12.200/kg dan margin pengecer Rp 600/kg, berapa harga grosir?
Misalkan g = harga grosir: g + 600 = 12.200 → g = Rp 11.600/kg
Studi Kasus 2 — Dealer Yamaha: Persamaan Harga-Kuantitas
Dealer Yamaha di Semarang Selatan: harga jual Rp 21.000.000/unit, biaya variabel per unit (HPP + komisi + pengiriman) Rp 15.750.000, biaya tetap operasional Rp 52.500.000/bulan. Berapa unit agar impas?
Langkah
Perhitungan
Nilai
Tetapkan variabel
q = jumlah unit motor terjual per bulan
—
Tulis TR
TR (Total Revenue / total pendapatan) = 21.000.000 × q
Verifikasi silang: BEP (Rp) = xBEP × p (unit BEP dikali harga jual). BEP dalam Rupiah berguna saat ditanya "berapa omset minimum?" — lebih komunikatif dari jumlah unit.
Laba = Rp 1.000 (positif kecil karena pembulatan) ✓
Warung harus jual minimal 167 cangkir/bulan. BEP matematis tepat di x = 166,67; pembulatan ke 167 membuat laba Rp 1.000 — bukan nol, tapi itu konsekuensi pembulatan, bukan kesalahan.
Hitung dari Nol 4 — BEP Dealer Honda Semarang
Data: harga jual Rp 18.000.000/unit; biaya variabel Rp 13.500.000/unit; biaya tetap Rp 45.000.000/bulan.
Langkah
Perhitungan
Nilai
0. Tetapkan variabel
q = jumlah unit motor terjual per bulan
—
1. Hitung MK per unit
MK = 18.000.000 − 13.500.000
MK = Rp 4.500.000/unit
2. Rumus BEP unit
BEP = BT / MK
= 45.000.000 / 4.500.000
3. Hitung
45.000.000 ÷ 4.500.000
BEP = 10 unit
4. BEP dalam Rupiah
BEP(Rp) = 10 × 18.000.000
BEP = Rp 180.000.000/bulan
5. Verifikasi laba = 0 pada q = 10
π = 18.000.000×10 − (13.500.000×10 + 45.000.000)
= 180.000.000 − 180.000.000 = Rp 0 ✓
Dealer Honda harus menjual minimal 10 unit motor/bulan (omset Rp 180.000.000) agar impas. Verifikasi menunjukkan laba persis Rp 0 — berbeda dengan HDN-3 (warung kopi) yang perlu pembulatan.
Studi Kasus 3 — BEP dalam Rupiah: Konveksi Kaos Semarang
Narasi
Usaha konveksi kaos di Semarang menjual kaos Rp 75.000/pcs. Biaya bahan + produksi per kaos = Rp 45.000. Biaya tetap (mesin, sewa, listrik) = Rp 4.500.000/bulan.
Berapa rupiah pendapatan minimum per bulan agar impas?
Langkah
Operasi
Nilai
MK per unit
75.000 − 45.000
Rp 30.000/pcs
Rasio MK (rMK)
30.000 / 75.000
0,4 (= 40%)
BEP (unit)
4.500.000 / 30.000
150 pcs
BEP (Rupiah)
4.500.000 / 0,4
Rp 11.250.000/bulan
Verifikasi: 150 pcs × Rp 75.000 = Rp 11.250.000 ✓
Empat Jebakan yang Sering Muncul
JEBAKAN 1: Biaya Campuran Memasukkan biaya tetap ke dalam bv atau sebaliknya. Cek: "Apakah biaya ini ada walau penjualan = 0 unit?" Jika ya → biaya tetap. Jika tidak → biaya variabel.
JEBAKAN 2: Satuan Tidak Konsisten Biaya tetap per tahun vs harga per bulan. Cek: Selalu gunakan periode yang sama di semua variabel sebelum menghitung BEP.
JEBAKAN 3: BEP = Laba "BEP" bukan berarti bisnis sudah aman atau untung. BEP = laba 0 = titik pulang-pokok. Laba nyata baru dimulai di atas BEP.
JEBAKAN 4: Tidak Verifikasi Jawaban tanpa verifikasi berisiko salah tanpa terdeteksi. Selalu substitusi kembali ke persamaan asal — hanya 10 detik.
BEP adalah batas bawah kelayakan bisnis, bukan target keberhasilan.
Cheat Sheet Pertemuan 2 — Persamaan Satu Variabel
Topik
Formula / Prosedur Kunci
Persamaan linear
ax + b = c → x = (c − b) / a
SOP isolasi (4 langkah)
1. Sederhanakan 2. Pindah konstanta 3. Bagi koefisien 4. Verifikasi
Persamaan pecahan
Kalikan KPK ke seluruh persamaan → jadi persamaan integer biasa
Terjemahan verbal
Tetapkan x = … → tulis persamaan kata per kata
TC / TR
TC = bv·x + BT ; TR = p·x
BEP (unit)
BT / (p − bv) = BT / MK
BEP (Rupiah)
BT / rMK di mana rMK = MK / p
Verifikasi BEP
π = TR − TC = 0 pada titik BEP matematis
Pesan utama: Bisnis nyata = persamaan yang menunggu diselesaikan. Semua formula BEP berakar dari TR = TC.
Latihan Kelas — Kerjakan Bersama
Soal 1 — Isolasi Variabel
Selesaikan: 5(2x − 3) − 4x = 2x + 7
Mulai: ekspansi kurung terlebih dahulu.
Catatan: hasil boleh pecahan (mis. x = 5,5) — sah secara matematika.
Soal 2 — Persamaan Pecahan
Selesaikan: x/5 − (x−2)/10 = 3/2
Mulai: cari KPK(5, 10, 2) terlebih dahulu.
Soal 3 — BEP
Kantin kampus FEB menjual nasi kotak Rp 15.000/porsi. Biaya variabel per porsi = Rp 9.000. Biaya tetap per hari = Rp 180.000.
Berapa porsi harus terjual agar impas dalam sehari?
Tulis "Misalkan x = ..." terlebih dahulu sebelum menghitung.
Kerjakan di buku tulis → 10 menit → bahas bersama. Langkah verifikasi wajib ditulis.
Sampai di Sini Hari Ini
✓ Yang sudah Anda kuasai hari ini
Isolasi variabel: SOP 4 langkah + verifikasi
Persamaan pecahan via KPK — termasuk kasus kontradiksi
Terjemahan narasi verbal → persamaan aljabar
BEP unit (BT/MK) dan BEP Rupiah (BT/rMK)
Empat jebakan umum soal BEP
→ Persiapan Pertemuan 3
Topik: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (persamaan dengan dua variabel)
Baca: Haeussler, Paul & Wood (2018), Ch. 2
Coba: Kerjakan minimal 2 soal BEP dari Lampiran B sebelum pertemuan berikutnya
Bawa: kalkulator (boleh hp kalkulator) untuk latihan eliminasi/substitusi
Pertemuan 3 akan membahas kasus dua produk dengan dua variabel — BEP yang lebih realistis untuk bisnis multi-produk.