Program Studi Manajemen • FEB UNDIP

Manajemen Sains

Pertemuan 11 — Teori Antrean (Queuing Theory)

Mengapa loket BPJS selalu ramai? Berapa agen call center yang perlu direkrut? Jawabannya ada di matematika antrean — dan hari ini kita kuasai dari nol.

RPS MINGGU 12 • SUB-CPMK 7 • DURASI 2 × 50 MENIT

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda mampu (Sub-CPMK 7):

CAPAIAN 1

$\lambda \mu \rho$

Mengidentifikasi laju kedatangan $(\lambda)$, laju layanan $(\mu)$, dan utilisasi $(\rho)$ dari deskripsi masalah nyata, dengan nilai benar dan satuan tepat.

CAPAIAN 2

M/M/1

Menghitung $L, Lq, W, Wq, P_{0}$ dengan model M/M/1, memeriksa syarat stabilitas $\rho$ < 1, tanpa kesalahan aritmetika.

CAPAIAN 3

M/M/c

Menerapkan Erlang C untuk model M/M/c dan menentukan jumlah server minimum untuk mencapai target Wq tertentu.

CAPAIAN 4

TC(c)

Menganalisis trade-off biaya server vs biaya menunggu untuk keputusan kapasitas operasional berbasis SLA.

Dua latihan hitung-dari-nol hari ini — siapkan kalkulator.

Mengapa Antrean Itu Mahal?

Antrean bukan sekadar ketidaknyamanan — ia punya nilai ekonomi nyata.

Biaya Menunggu (terlalu sedikit server)

Produktivitas pelanggan hilang
Abandonment rate meningkat — pelanggan pergi sebelum dilayani
Kepuasan & loyalitas turun; risiko churn jangka panjang
Survei BPJS 2023: 34% peserta sebut waktu tunggu sebagai keluhan utama di FKTP

Biaya Berlebih (terlalu banyak server)

Gaji petugas saat idle (menganggur) — membayar kapasitas yang tidak terpakai
Ruang fisik & infrastruktur terbuang
Investasi pelatihan tidak ter-amortisasi
Perbankan Indonesia: nasabah meninggalkan antrean setelah rata-rata 8–12 menit menunggu

Pertanyaan kelas: Mana yang lebih mahal — terlalu sedikit server, atau terlalu banyak? Teori Antrean memberi kita titik manis (optimal point) antara kedua ekstrem ini.

Sebelum masuk ke rumus, mari kita tancapkan motivasi mengapa topik ini penting secara bisnis. Bayangkan Anda adalah manajer operasional sebuah cabang BPJS Kesehatan: jika loket terlalu sedikit, peserta menunggu satu jam dan pulang tanpa dilayani — keluhan meningkat, kepercayaan publik turun, dan reputasi lembaga ikut terdampak. Sebaliknya, jika Anda membuka sepuluh loket untuk melayani dua puluh orang per hari, Anda membayar gaji petugas yang 80% waktu kerjanya dihabiskan menganggur — buang-buang anggaran. Teori antrean memberi kita alat untuk menemukan keseimbangan itu. Angka-angka yang akan kita pelajari hari ini, seperti Lq dan Wq, adalah sinyal manajerial yang memberi tahu kapan sistem mulai kelebihan beban dan kapan sudah waktunya menambah kapasitas. Abandonment rate adalah istilah untuk proporsi pelanggan yang pergi sebelum dilayani — ini "kerugian tersembunyi" yang sering tidak tercatat dalam laporan operasional.

BAGIAN 1

Anatomi Sistem Antrean
& Notasi Kendall

Komponen, asumsi, dan cara membaca "bahasa" sistem antrean

Komponen Sistem Antrean

Setiap sistem antrean terdiri dari empat komponen utama:

1 Populasi Sumber (calling population)

Kumpulan entitas yang berpotensi datang — peserta BPJS, penelepon call center, kendaraan di gerbang tol Semarang.

2 Proses Kedatangan

Diukur dengan $\lambda$ (lambda) — laju kedatangan; satuan: pelanggan/jam. Dalam model M, mengikuti distribusi Poisson.

3 Antrean (queue)

Tempat menunggu; aturan urutan paling umum: FCFS — siapa datang pertama, dilayani pertama.

4 Mekanisme Layanan

Diukur dengan $\mu$ (mu) — laju layanan per server; c = jumlah server. Dalam model M, waktu layanan ~ Eksponensial.

Notasi Kendall: A/B/c/K/N/D

Notasi Kendall merangkum sistem antrean dalam 6 karakter: A/B/c/K/N/D

Posisi	Simbol	Artinya	Contoh Nilai
A	Distribusi kedatangan	M (Markov/Poisson), G (General), D (Deterministik)	M
B	Distribusi waktu layanan	M (Eksponensial), G (General), D (Deterministik)	M, G
c	Jumlah server	Bilangan bulat ≥ 1	1, 2, 5
K	Kapasitas sistem	∞ (tak terbatas, default)	∞
N	Ukuran populasi	∞ (default)	∞
D	Disiplin antrean	FCFS (default), LCFS, SIRO	FCFS

M/M/1 = 1 server, Poisson, Eksponensial — model hari ini

M/M/5 = 5 agen call center paralel berbagi satu antrean

M/G/1 = layanan tidak harus Eksponensial (kasir bervariasi)

Distribusi Kedatangan & Layanan

Model M/M/* bergantung pada dua distribusi probabilitas kunci:

Poisson — Kedatangan $(\lambda)$

$$P(k \text{ \text{dalam} } t) = \frac{(\lambda t)^k \cdot e^{-\lambda t}}{k!}$$

Rata-rata $= $\lambda t$$; waktu antar-kedatangan ~ Eksponensial$(\lambda)$
Cocok: telepon masuk, kendaraan di gerbang tol Krapyak, pasien Puskesmas
e ≈ 2,718 (bilangan Euler); $k!$ = faktorial — rumus tak perlu dihafal, yang penting intuisinya

Eksponensial — Waktu Layanan $(\mu)$

$$P(S > t) = e^{-\mu t}$$

Rata-rata waktu layanan = $1/\mu$; sifat tanpa memori (memoryless)
Cocok: petugas loket tunggal, kasir ATM, agen call center
Semakin besar t, semakin kecil peluang masih menunggu

Syarat stabilitas sistem: $\lambda$ < $c \times \mu$ | Laju kedatangan harus lebih kecil dari total kapasitas layanan — jika tidak, antrean tumbuh tanpa batas.

Mengapa kita menggunakan distribusi Poisson dan Eksponensial? Karena keduanya memiliki properti matematika yang membuat sistem antrean bisa diselesaikan secara analitik — artinya kita bisa menurunkan rumus eksplisit untuk L, Lq, W, Wq tanpa harus mensimulasikan ribuan kejadian di komputer. Distribusi Poisson sangat baik merepresentasikan kedatangan yang acak dan independen: misalnya, jumlah kendaraan yang memasuki gerbang tol Semarang dalam sembarang 5 menit, atau jumlah panggilan masuk ke call center Telkomsel per menit. Distribusi Eksponensial merepresentasikan waktu layanan yang bervariasi dan memiliki sifat tanpa memori — artinya petugas yang sudah melayani Anda 3 menit masih punya probabilitas selesai yang sama seperti di menit ke-0. Untuk kasus di mana distribusi layanan tidak Eksponensial — misalnya kasir terlatih dengan waktu layanan lebih konsisten — kita bisa menggunakan model M/G/1 yang akan disinggung singkat nanti.

Parameter Dasar: $\lambda, \mu, \rho$

Tiga parameter mendefinisikan beban sistem:

$\lambda$ = laju kedatangan (pelanggan / jam)
$\mu$ = laju layanan (pelanggan / jam per server)
$\rho$ $= \lambda/ (c \times \mu)$ [traffic intensity / utilisasi server]

Untuk $M/M/1 (c = 1): \rho = \lambda/\mu$

$\rho$	Arti Utilisasi	Kondisi Antrean
0,50	Server sibuk 50% waktu	Antrean pendek; nyaman
0,80	Server sibuk 80% waktu	Antrean mulai terasa
0,95	Server hampir penuh	Antrean bisa sangat panjang
≥ 1,00	TIDAK STABIL	Antrean tumbuh tak terbatas

SYARAT STABILITAS: $\rho$ < 1 WAJIB dipenuhi sebelum menggunakan rumus M/M/1 atau M/M/c. Ini langkah pertama yang tidak boleh dilewati.

Tiga parameter ini — lambda, mu, dan rho — adalah "vital sign" sistem antrean, seperti tekanan darah dan denyut nadi dalam pemeriksaan medis. Lambda memberitahu kita seberapa cepat pelanggan datang; mu memberitahu seberapa cepat satu server bisa melayani; dan rho adalah rasio keduanya, yang mencerminkan seberapa "tertekan" sistem itu. Yang paling kritis untuk diingat: rho harus selalu kurang dari 1 — ini adalah syarat matematis agar sistem berada dalam keseimbangan, yang disebut steady state. Jika rho sama dengan atau melebihi 1, artinya pelanggan datang lebih cepat dari kapasitas total layanan, dan antrean akan terus tumbuh tanpa batas sampai sistem kolaps — persis seperti yang terjadi di gerbang tol Semarang saat H-2 Lebaran ketika jumlah kendaraan jauh melampaui kapasitas gardu. Sebelum menggunakan satu pun rumus, langkah pertama yang wajib Anda lakukan adalah menghitung rho dan memverifikasi bahwa rho kurang dari satu.

BAGIAN 2

Model M/M/1: Satu Server

Lima ukuran kinerja dan cara membacanya untuk keputusan manajerial

Lima Rumus M/M/1

Dengan syarat $\rho = \lambda/\mu$ < 1 (satu server, c = 1):

$P_0$ $= 1 - \rho$                             [probabilitas sistem kosong]
$P_n$ $= \rho^{n} (1-\rho)$                     [probabilitas tepat n pelanggan]
$L$   $= \rho/ (1-\rho)$                      [rata-rata dalam sistem (antre + dilayani)]
$L_q$ $= \rho^2 / (1-\rho)$                    [rata-rata dalam antrean]
$W$   $= 1 / (\mu-\lambda)$                      [rata-rata waktu dalam sistem]
$W_q$ $= \lambda/ [\mu(\mu-\lambda)]$               [rata-rata waktu menunggu]

Little's Law (berlaku universal): $L = \lambda \times W$ | $L_q = \lambda \times W_q$ — menghubungkan ukuran jumlah dengan ukuran waktu.

Lima ukuran kinerja ini adalah "rapor" sistem antrean — mereka bercerita dari sudut berbeda tentang performa sistem yang sama. P nol menceritakan sistem dari perspektif server: berapa fraksi waktu server itu menganggur, yang sama dengan satu dikurangi rho. L dan Lq menceritakan dari perspektif ruang: berapa orang yang ada di dalam sistem, dan berapa yang sedang menunggu tanpa dilayani. W dan Wq menceritakan dari perspektif waktu pelanggan: berapa menit rata-rata mereka habiskan di sistem, dan khususnya berapa yang "terbuang" untuk menunggu sebelum mulai dilayani. Little's Law — L = lambda W — menghubungkan keduanya: kalau Anda sudah tahu L dan lambda, maka W langsung terhitung. Dalam konteks manajerial, Wq adalah ukuran yang paling sering dijadikan patokan SLA, karena itulah yang pelanggan rasakan langsung: waktu menunggu sebelum mendapat layanan.

Hitung dari Nol 1 — Loket BPJS Puskesmas (M/M/1)

Setup: 1 loket BPJS Puskesmas Semarang Barat. Peserta datang rata-rata 10 orang/jam $(\lambda = 10)$. Petugas melayani rata-rata 12 orang/jam $(\mu = 12)$.

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. Cek stabilitas	$\rho = \lambda/\mu = 10/12$	$\rho = 0,833$ (< 1 ✓ stabil)
$2. P_{0}$	$1 - \rho = 1 - 0,833$	$P_{0} = 0,167$ (server kosong 16,7\% waktu)
3. L	$\rho/(1-\rho) = 0,833/0,167$	L = 5,0 orang dalam sistem
4. Lq	$\rho^{2}/(1-\rho) = 0,694/0,167$	Lq = 4,167 orang dalam antrean
5. W	$1/(\mu-\lambda) = 1/(12-10) = 1/2$	W = 0,5 jam = 30 menit
6. Wq	$\lambda/[\mu(\mu-\lambda)] = 10/[12\times2] = 10/24$	Wq = 0,417 jam ≈ 25 menit

Verifikasi Little's Law: $L = \lambda \times W = 10 \times 0,5 = 5,0 ✓$ | $Lq = \lambda \times Wq = 10 \times 0,417 = 4,17 ✓$

Mari kerjakan dari nol — ambil kalkulator Anda dan ikuti setiap langkah ini bersama saya. Langkah pertama yang tidak boleh dilewati adalah memeriksa stabilitas: rho sama dengan 10 dibagi 12 sama dengan 0,833, kurang dari 1, jadi sistem stabil dan rumus M/M/1 bisa dipakai. Perhatikan hasil Lq sama dengan 4,167 dan Wq sekitar 25 menit — artinya rata-rata ada lebih dari empat orang yang sedang menunggu belum dilayani, dan setiap peserta BPJS rata-rata menghabiskan 25 menit hanya untuk menunggu, belum termasuk waktu dilayani. Apakah Anda akan puas jika harus menunggu 25 menit di Puskesmas? Dengan utilisasi rho sama dengan 83%, sistem sudah berjalan sangat padat, dan sedikit saja kenaikan kedatangan — misalnya hari Senin pasca-libur nasional — bisa membuat antrean meledak. Verifikasi Little's Law selalu kita lakukan sebagai pengecekan: jika hasilnya tidak cocok, ada yang salah di perhitungan kita.

Coba Sendiri: Dekatkan $\rho ke 1$ dan Amati Wq Meledak

Ubah laju kedatangan $\lambda$ atau laju layanan $\mu$, lalu amati bagaimana rho, L, Lq, W, dan Wq berubah — terutama saat rho mendekati 1.

🧪 Buka kalkulator penuh (Antrean M/M/1 & M/M/c)

Distribusi Probabilitas Status Sistem $(P_{n})$

Berapa probabilitas bahwa ada tepat n pelanggan dalam sistem?

$$P_n = \rho^{n} \times (1-\rho) = \rho^{n} \times P_0$$

n	$P_n = (0{,}833)^{n} \times 0{,}167$	Interpretasi
0	0,167	Sistem kosong: 16,7% waktu
1	0,139	Tepat 1 orang: 13,9% waktu
2	0,116	Tepat 2 orang: 11,6% waktu
3	0,097	Tepat 3 orang: 9,7% waktu
5	0,067	Tepat 5 orang: 6,7% waktu
10	0,025	Tepat 10 orang: 2,5% waktu

$$P(n \geq 5) = \rho^5 = (0{,}833)^5 \approx 0{,}40$ \to 40\%$ waktu ada 5 orang atau lebih di sistem! (deret geometri: jumlah ekor $= \rho^k$)

Formula Pn memberi kita "foto probabilistik" dari sistem antrean — pada sembarang saat, berapa kemungkinan sistem dalam kondisi tertentu. Perhatikan pola geometrisnya: setiap kenaikan n, Pn turun sebesar faktor rho, yaitu dikalikan 0,833. Ini berarti distribusinya "berekor panjang" — ada probabilitas non-trivial untuk n yang sangat besar. Yang paling mengejutkan dalam kasus BPJS kita: 40% waktu, ada 5 orang atau lebih di dalam sistem. Bayangkan ruang tunggu yang tidak pernah benar-benar kosong. Bagaimana kita mendapatkan angka 40%? Kita menjumlahkan semua Pn dari n=5 sampai tak hingga — dan karena itu adalah deret geometri, hasilnya bisa disederhanakan menjadi rho pangkat lima. Implikasi manajerial: kalau kapasitas ruang tunggu hanya 3 kursi, maka hampir separuh waktu ada orang yang terpaksa berdiri — informasi ini berguna untuk merancang tata letak fisik ruang tunggu.

Interpretasi & Rekomendasi: Wq = 25 Menit

Dari hasil HDN-1, apa keputusan manajerial yang tepat?

Ukuran	Nilai	Sinyal Manajerial
$\rho = 0,833$	Utilisasi 83%	Sangat tinggi; rentan overload saat peak hour
Wq ≈ 25 menit	Waktu tunggu	Jauh melampaui standar BPJS (target ≤ 15 menit)
Lq ≈ 4,2 orang	Panjang antrean	Rata-rata selalu ada 4+ orang menunggu
$P_{0} = 16,7\%$	Server idle 1 dari 6 menit	Masalah bukan server malas — kapasitas memang kurang

Jangka Pendek

Terapkan pra-registrasi via aplikasi Mobile JKN untuk meratakan kedatangan (turunkan $\lambda$ efektif)
Jadwalkan jam kunjungan (appointment system) untuk menghindari penumpukan pagi hari

Jangka Panjang

Buka loket ke-2 (model $M/M/2) \to Wq$ turun drastis
$\rho$ per server turun, kapasitas total naik ke 24 orang/jam — jauh lebih bertenaga

Angka-angka itu sendiri tidak otomatis menjadi keputusan — tugas manajer adalah menginterpretasikan dan bertindak. Wq 25 menit di loket BPJS Puskesmas adalah angka yang mengkhawatirkan: standar pelayanan BPJS Kesehatan menargetkan waktu tunggu tidak lebih dari 15 menit di FKTP. Perhatikan juga bahwa rho 83% bukan berarti petugas malas — server bukan idle 83% waktu, melainkan sibuk 83% waktu. Masalahnya adalah sistem sudah sangat dekat batas kapasitas, sehingga variabilitas kecil dalam kedatangan langsung menciptakan antrean panjang. Ingat miskonsepsi umum yang perlu kita luruskan: "kalau rata-rata kedatangan lebih sedikit dari kapasitas server, antrean pasti pendek" — ini keliru. Variabilitas, bukan hanya rata-rata, yang menciptakan antrean meski rho kurang dari satu. Dalam kondisi seperti ini, solusi paling efektif adalah mengurangi lambda melalui penjadwalan atau menambah kapasitas dengan membuka loket tambahan.

BAGIAN 3

Model M/M/c: Banyak Server Paralel

Erlang C — menentukan jumlah server optimal untuk target SLA

Dari Satu ke Banyak Server: Intuisi M/M/c

Model M/M/c: c server paralel berbagi satu antrean tunggal.

Keunggulan Satu Antrean + c Server

Tidak ada ketimpangan "memilih antrean salah"
Variabilitas terdistribusi merata ke semua server
Total kapasitas layanan $= c \times \mu$
Utilisasi per server: $\rho = \lambda/ (c \times \mu)$

Bank Central Asia (BCA) menggunakan satu sistem antrean nomor (Q-Matic) untuk semua teller — ini penerapan M/M/c nyata yang diregulasi OJK.

Intuisi penting yang sering tidak disadari mahasiswa: satu antrean yang dibagi ke banyak server umumnya lebih efisien dari banyak antrean terpisah. Bayangkan Anda di supermarket dengan 5 kasir dan 5 antrean terpisah — Anda pasti pernah frustasi karena sudah antre lama ternyata kasir di sebelah lebih cepat. Bandingkan dengan sistem BCA yang menggunakan nomor antrean tunggal: siapapun yang bebas berikutnya langsung memanggil nomor berikutnya dari satu antrean, sehingga tidak ada ketimpangan. Secara matematis, M/M/c dengan satu antrean terbukti menghasilkan Wq yang lebih rendah dibanding c sistem M/M/1 terpisah dengan utilisasi yang sama — dan ini adalah salah satu wawasan paling praktis yang dapat Anda bawa ke dunia kerja. A.K. Erlang, insinyur Telekomunikasi Denmark yang hidup 1878–1929, meletakkan fondasi teori antrean modern saat menganalisis sistem telepon di Copenhagen.

Erlang C: Rumus $P_{0}$ dan $C(c, \lambda/\mu)$

Erlang C = probabilitas bahwa pelanggan harus menunggu (semua server sibuk).

LANGKAH 1 — Hitung $P_{0}$ (probabilitas sistem kosong)

$$P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} + \frac{(\lambda/\mu)^c}{c!} \cdot \frac{1}{1-\rho} \right]^{-1}$$

LANGKAH 2 — Hitung Erlang $C = C(c, \lambda/\mu)$

$$C(c, \lambda/\mu) = \frac{P_0 \cdot (\lambda/\mu)^c}{c! \cdot (1-\rho)}$$

Interpretasi: $C(c, \lambda/\mu)$ = P(pelanggan harus menunggu). Untuk c=1: $C(1, \lambda/\mu) = \rho$ (kembali ke M/M/1 ✓). Gunakan spreadsheet untuk c ≥ 3 agar terhindar kesalahan aritmetika.

Formula Erlang C memang terlihat kompleks, tapi mari kita bedah secara bertahap. P nol adalah probabilitas bahwa sistem dalam keadaan kosong total — tidak ada satu pun pelanggan yang sedang dilayani atau menunggu. Menghitungnya membutuhkan penjumlahan sigma untuk semua kondisi dari nol server hingga c-minus-1 server sibuk, lalu ditambah suku untuk kondisi c server atau lebih. Erlang C sendiri kemudian menggunakan P nol ini untuk menghitung probabilitas bahwa semua c server sedang sibuk ketika pelanggan baru datang, sehingga pelanggan itu harus menunggu. Sigma berarti "jumlahkan semua suku" — untuk n=0 sampai c minus satu. Faktorial n!, yang ditulis n!, berarti hasil kali bilangan dari 1 sampai n: contoh 5! = 120. Dalam praktik, para analis menggunakan tabel Erlang C pra-hitung atau formula spreadsheet — kita akan melihat ini dalam latihan berikutnya. Yang terpenting adalah memahami alurnya: hitung P nol terlebih dahulu, lalu Erlang C, lalu baru Lq dan Wq.

Rumus Lq, Wq, L, W untuk M/M/c

Setelah $C(c, \lambda/\mu)$ dihitung, ukuran kinerja diperoleh secara berurutan:

Lq $= C(c, \lambda/\mu) \times \rho/ (1-\rho)$        [rata-rata dalam antrean]
Wq $= Lq / \lambda$                              [rata-rata waktu menunggu]
W   $= Wq + 1/\mu$                            [total waktu dalam sistem]
L   $= \lambda \times W$    (Little's Law)          [total dalam sistem]

Catatan penting:
• Rata-rata waktu layanan per pelanggan $= 1/\mu$ (konstan, tidak bergantung c)
• W = Wq + waktu dilayani; selisihnya selalu $1/\mu$
• Untuk $c=1: C(1,\lambda/\mu) = \rho \to Lq = \rho^{2}/(1-\rho) -$ sama persis dengan M/M/1 ✓
• Semakin besar $c, C(c,\lambda/\mu)$ makin kecil $\to Lq$ dan Wq makin kecil

Kabar baiknya: setelah Anda berhasil menghitung Erlang C, langkah selanjutnya sangat mudah. Lq langsung dihitung dari C dikalikan fungsi utilisasi rho dibagi satu minus rho. Wq diperoleh dengan membagi Lq dengan lambda — ini adalah Little's Law untuk antrean saja. Kemudian W = Wq ditambah satu dibagi mu: ini adalah logika sederhana bahwa total waktu dalam sistem terdiri dari waktu menunggu plus waktu dilayani. Hubungan ini berlaku di semua model M/M/c dan bahkan di berbagai model antrean lainnya. Perhatikan juga bahwa semakin besar c — lebih banyak server — Erlang C akan semakin kecil karena probabilitas semua server sibuk turun, sehingga Lq dan Wq juga semakin kecil. Ini adalah cara matematika mengonfirmasi intuisi kita: lebih banyak server berarti antrean lebih pendek, namun dengan biaya lebih tinggi.

Hitung dari Nol 2 — Call Center Telkomsel: Berapa Agen? (M/M/c)

Setup: $\lambda = 60$ panggilan/jam; $\mu = 15$ panggilan/jam/agen; $\lambda/\mu = 4,0$. Target SLA: $Wq \leq 2$ menit.

Tahap 1 — Coba c = 4:

Cek	Nilai	Kesimpulan
$\rho = 60/(4\times15)$	$\rho = 1,000$	TIDAK STABIL — c = 4 gugur!

Tahap 2 — Coba c = 5:

Langkah	Perhitungan	Nilai
$\rho = 60/(5\times15)$	60/75	0,800 (stabil ✓)
$\sum$ suku n=0..4	1 + 4 + 8 + 10,667 + 10,667	= 34,333
Suku-c (n=5)	$(4^{5}/5!) \times 1/(1-0,8) = 8,533\times5$	= 42,667
$P_{0} = 1/(34,333+42,667)$	1/77,000	≈ 0,0130
Erlang C C(5,4)	$0,0130 \times (4^{5}/5!) / 0,2$	≈ 0,5547
$Lq = C \times \rho/(1-\rho)$	0,5547 × 4,0	≈ 2,219 orang
$Wq = Lq/\lambda$	2,219/60 jam	≈ 2,22 menit > 2 mnt ❌

Hasil c=5: Wq = 2,22 menit — SLA belum terpenuhi. $c = 6 \to Wq \approx 0,57$ menit ✓ (lihat slide berikut)

Ini adalah latihan paling penting hari ini, dan saya ingin Anda ikuti langkah demi langkah. Pertama, selalu cek stabilitas: c sama dengan 4 menghasilkan rho sama dengan 1,0 — tepat di batas ketidakstabilan, sistem tidak bisa dianalisis. Dengan c sama dengan 5, rho sama dengan 0,8 dan sistem stabil; Erlang C menghasilkan probabilitas menunggu sebesar 55,5% — lebih dari setengah pelanggan harus menunggu saat datang. Wq sama dengan 2,22 menit terdengar hanya sedikit di atas target 2 menit, tapi dalam konteks layanan pelanggan, gap ini bisa berarti perbedaan antara kepuasan dan frustrasi. Dengan c sama dengan 6, Wq turun dramatis menjadi 0,57 menit — jauh di bawah target. Inilah "kurva siku" yang khas dalam analisis multi-server: dari c=5 ke c=6, ada penurunan Wq yang besar; dari c=6 ke c=7, penurunannya jauh lebih kecil — hukum diminishing returns berlaku.

Mengapa c = 5 Tidak Cukup? Analisis Margin

Perbandingan kinerja sistem untuk c = 4 sampai $c = 7 (\lambda = 60, \mu = 15)$:

c	$\rho$	$C(c, \lambda/\mu)$	Lq	Wq (menit)	Status SLA (≤ 2 mnt)
4	1,000	—	∞	∞	❌ TIDAK STABIL
5	0,800	0,5547	2,219	2,22	❌ Belum terpenuhi
6	0,667	0,2847	0,569	0,57	✅ Terpenuhi
7	0,571	0,1351	0,180	0,18	✅ Berlebihan (biaya naik)

Tiga pengamatan kunci:
1. c minimum untuk stabil = 5 (karena $\lambda/\mu = 4$; butuh c > 4).
2. c minimum untuk SLA Wq ≤ 2 mnt = 6.
3. Dari c=6 ke c=7: Wq turun $0,57 \to 0,18$ mnt — diminishing returns sudah terasa; setiap agen tambahan memberikan manfaat yang semakin kecil.

Tabel ini mengilustrasikan prinsip penting dalam analisis kapasitas. Penambahan server pertama dari batas minimum — c=5 ke c=6 — memberikan penurunan Wq yang sangat drastis: dari 2,22 menit menjadi 0,57 menit, penurunan 74%. Bandingkan dengan penambahan dari c=6 ke c=7 yang hanya menurunkan Wq dari 0,57 ke 0,18 menit — penurunan yang jauh lebih kecil namun dengan biaya gaji satu agen yang sama. Ini adalah "elbow" atau "siku" yang terkenal dalam analisis antrean: di sebelah kiri siku, setiap server tambahan sangat berharga; di sebelah kanan, Anda sudah berinvestasi terlalu banyak dibandingkan manfaatnya. Dari perspektif manajerial, c=6 adalah titik optimal untuk kasus ini: SLA terpenuhi, biaya tidak berlebihan. Namun jika perusahaan punya target Wq yang lebih ketat, misalnya 30 detik, maka c=7 atau lebih mungkin masih dibutuhkan — dan di sinilah analisis trade-off biaya slide 25 menjadi relevan.

Coba Sendiri: Geser Jumlah Server, Bandingkan Wq M/M/1 dan M/M/c

Atur laju kedatangan, laju layanan, dan jumlah server secara bersamaan — amati kapan menambah satu server mulai memberi pengembalian yang menurun.

Service Level Agreement (SLA) & Target Wq

SLA = komitmen formal tentang tingkat layanan yang dijamin kepada pelanggan.

Industri	SLA Antrean Umum	Dasar
BPJS Kesehatan (FKTP)	≤ 15 menit waktu tunggu	Panduan BPJS 2022
Perbankan (teller)	≤ 10 menit	Standar OJK & SOP bank
Call center telekomunikasi	≤ 20 detik (80% panggilan)	Regulasi BRTI / SLA industri
Gerbang tol (non-e-toll)	≤ 4 detik per transaksi	Standar Jasa Marga

Rata-rata vs Persentil: Wq dari M/M/c adalah rata-rata. SLA call center "80% panggilan dijawab dalam 20 detik" adalah berbasis persentil — lebih ketat, karena ada pelanggan yang bisa menunggu jauh di atas rata-rata. Untuk analisis SLA berbasis persentil, diperlukan distribusi Erlang atau simulasi Monte Carlo.

Pertanyaan praktis sebelum merancang kapasitas: "SLA kita berbasis rata-rata atau persentil?" — jawabannya menentukan konservatisme model yang Anda bangun.

SLA adalah jembatan antara model matematis dan komitmen bisnis. OJK, Otoritas Jasa Keuangan, menetapkan standar pelayanan minimum bagi industri perbankan Indonesia, termasuk waktu tunggu di teller. BRTI, Badan Regulasi Telekomunikasi Indonesia, mengatur standar layanan call center. Perhatikan bahwa SLA call center telekomunikasi menggunakan formulasi persentil: "80% panggilan dijawab dalam 20 detik" — ini lebih ketat dari sekadar "rata-rata 20 detik" karena bisa ada 20% pelanggan yang menunggu jauh lebih lama. Model M/M/c yang kita pelajari hari ini memberikan nilai rata-rata Wq, yang merupakan titik awal yang baik; untuk analisis SLA berbasis persentil yang akurat, pendekatan lanjut seperti simulasi Monte Carlo digunakan. Poin praktis: selalu tanyakan dulu apakah SLA berbasis rata-rata atau persentil sebelum memilih berapa jumlah server yang direkomendasikan.

Model M/G/1 — Layanan Tidak Eksponensial

Jika waktu layanan tidak Eksponensial, gunakan M/G/1 (distribusi General).

Formula Pollaczek–Khinchine (P-K):

$Lq = \rho^{2} (1 + Cv^{2}) / [2(1-\rho)]$
$Cv = \sigma/E[S] =$ koefisien variasi waktu layanan $(\sigma =$ standar deviasi; E[S] = rata-rata)

Cv = 0

½ M/M/1

Layanan deterministik — semua pelanggan persis sama lama. Lq = ½ dari M/M/1 — "free lunch"!

Cv = 1

=M/M/1

Distribusi Eksponensial — rumus kembali ke M/M/1 persis ✓

Cv > 1

> M/M/1

Layanan sangat bervariasi — Lq lebih besar. Contoh: agen call center dengan kompleksitas bervariasi.

Model M/G/1 adalah generalisasi penting: kita tetap asumsikan kedatangan Poisson, tetapi melepas asumsi bahwa waktu layanan harus Eksponensial. Ini sangat relevan di dunia nyata. Kasir terlatih di Indomaret mungkin punya waktu layanan yang relatif konsisten karena sudah sangat hafal prosedur — Cv rendah, mendekati nol. Jika kita memodelkan itu sebagai M/M/1, kita akan melebih-estimasi antrean secara signifikan. Formula Pollaczek–Khinchine memberi kita jawaban yang lebih akurat. Implikasi manajerial yang sangat penting: standardisasi proses layanan — mengurangi Cv melalui SOP, skrip, dan pelatihan — dapat mempersingkat antrean tanpa menambah satu pun server. Bagi perusahaan yang sudah terkendala biaya operasional, ini adalah strategi yang sangat cost-effective. Formula P-K diturunkan oleh Felix Pollaczek dan Aleksandr Khinchine sekitar tahun 1930, jauh sebelum era komputer.

BAGIAN 4

Analisis Manajerial

SLA, bottleneck, queue abandonment, trade-off biaya, dan strategi perbaikan

Studi Kasus: Bottleneck di Gerbang Tol Semarang

Gerbang Tol Krapyak, Semarang (Jasa Marga) — ilustrasi berdasarkan karakteristik umum gerbang tol Jawa Tengah.

Parameter	E-toll (normal)	Gardu manual
$\lambda$ (puncak)	720 kend/jam	720 kend/jam
$\mu$ per gardu	900 kend/jam (~4 dtk)	60 kend/jam (~1 mnt)
c aktif	4 gardu	4 gardu
$\rho$	0,200 ✓ stabil	3,000 ❌ kolaps!

Jika e-toll bermasalah $\to$ manual: c=4 menghasilkan $\rho = 3,0 \to$ antrean mengular tanpa batas. Butuh $c \geq$ 13 gardu manual agar sistem stabil (ρ < 1)!

Pelajaran: $\mu e-$toll $= 15\times \mu$ manual. Gangguan minor (1 mesin error, 1 kendaraan tanpa saldo) dapat memicu antrean eksponensial. Redundansi dan rencana kontingensi adalah wajib.

Studi kasus gerbang tol ini adalah contoh nyata bagaimana teori antrean digunakan oleh Jasa Marga dalam perencanaan kapasitas. Perhatikan betapa dramatisnya perbedaan antara gardu e-toll — 900 kendaraan per jam, sekitar 4 detik per kendaraan — dan gardu manual — 60 kendaraan per jam, sekitar 1 menit per kendaraan — perbedaan 15 kali lipat dalam laju layanan. Ketika gardu e-toll bermasalah dan sistem berpindah ke manual, rho melonjak dari 0,20 ke 3,0 — sistem langsung tidak stabil hanya dengan 4 gardu. Ini menjelaskan kenapa Anda bisa terjebak kemacetan panjang di tol hanya karena satu mesin e-toll bermasalah atau satu kendaraan tanpa saldo cukup. Bottleneck dalam kasus ini adalah kecepatan gardu, bukan jumlahnya. Jasa Marga harus selalu mempertahankan redundansi gardu dan memastikan minimal c gardu buka untuk mengantisipasi skenario terburuk — ini adalah identifikasi bottleneck dan perencanaan kontingensi berbasis analisis antrean.

Queue Abandonment — Pelanggan yang Pergi

Queue abandonment terjadi ketika pelanggan tidak sabar dan pergi sebelum dilayani.

Dua Jenis Abandonment

Balking — pelanggan melihat antrean panjang saat datang $\to$ memutuskan tidak bergabung
Reneging — pelanggan sudah bergabung antrean $\to$ tidak sabar $\to$ pergi sebelum dilayani

Dampak Bisnis

Pendapatan hilang langsung (transaksi tidak terjadi)
Churn jangka panjang — pelanggan tidak kembali
Bias pengukuran: Wq "terlihat" lebih pendek karena yang tidak sabar sudah pergi lebih dulu!
Call center: abandonment rate ~5–15% saat peak hour (ilustrasi industri telekomunikasi Indonesia)

Perhatian: Model M/M/1 dan M/M/c standar tidak memodelkan abandonment. Untuk sistem dengan abandonment, diperlukan model M/M/c+K (kapasitas terbatas) atau simulasi. ARPU (Average Revenue Per User) dipakai untuk mengestimasi nilai yang hilang per panggilan yang ditinggalkan.

Queue abandonment adalah "kerugian tersembunyi" yang sering diremehkan dalam analisis kapasitas. Jika Wq terlalu tinggi, pelanggan tidak hanya menunggu lebih lama — banyak yang pergi dan tidak kembali; kerugiannya bukan sekadar satu transaksi, melainkan nilai hidup pelanggan atau customer lifetime value yang hilang selamanya. Ada ironi yang menarik: ketika abandonment rate tinggi, Wq yang Anda ukur dari pelanggan yang berhasil dilayani akan tampak lebih rendah dari realita — karena pelanggan yang benar-benar tidak mau menunggu sudah pergi lebih dulu, meninggalkan hanya pelanggan yang relatif sabar. Ini adalah bias seleksi dalam data operasional yang penting disadari manajer. ARPU adalah singkatan dari Average Revenue Per User — metrik kunci industri telekomunikasi yang mengukur rata-rata pendapatan per pelanggan per periode. Dalam industri call center Indonesia, 5–15% panggilan ditinggalkan saat peak hour — untuk operator besar dengan jutaan pelanggan, ini berarti potensi kehilangan pendapatan yang sangat signifikan.

Coba Sendiri: Antrean Mempool — Tip Mempengaruhi Posisi

Sistem antrean di blockchain mirip call center, tetapi posisi ditentukan tip (fee) — eksplorasi bagaimana prioritas non-FIFO memengaruhi waktu tunggu efektif.

Trade-off: Biaya Server vs Biaya Menunggu

Tujuan optimasi: minimumkan Total Cost = biaya server + biaya menunggu.

TC(c) = c × Cs + Lq × Cw
Cs = biaya per server/jam (gaji, listrik, fasilitas) | Cw = biaya menunggu per pelanggan/jam (nilai waktu, risiko churn)

c	Lq	Biaya Server (c × Rp 50.000)	Biaya Menunggu (Lq × Rp 100.000)	TC/jam
5	2,219	Rp 250.000	Rp 221.900	Rp 471.900
6	0,569	Rp 300.000	Rp 56.900	Rp 356.900 ✅ minimum
7	0,180	Rp 350.000	Rp 18.000	Rp 368.000

Optimal: c = 6 (TC minimum = Rp 356.900/jam). Dari c=5 ke c=6: biaya server naik Rp 50.000 tapi biaya menunggu turun Rp 165.000 — net saving Rp 115.000/jam. Dari c=6 ke c=7: penghematan hanya Rp 38.900 tapi biaya server naik Rp 50.000 — tidak efisien.

Model trade-off biaya ini adalah jantung dari analisis kapasitas berbasis teori antrean. Perhatikan bahwa menambah server dari 5 ke 6 justru mengurangi total biaya meski biaya server naik, karena penghematan biaya menunggu jauh lebih besar. Namun dari c=6 ke c=7, penambahan biaya server tidak lagi diimbangi oleh penghematan biaya menunggu yang semakin kecil — total biaya malah naik. Titik minimum TC itulah c optimal. Catatan penting: Cw atau biaya menunggu adalah parameter yang paling sulit diestimasi dalam praktik — perusahaan perlu studi churn, survei kepuasan, atau model customer lifetime value untuk mendapatkan angkanya. Namun bahkan estimasi kasar jauh lebih berguna daripada keputusan berbasis intuisi semata. Konsistensi yang menarik: rekomendasi SLA dari slide 19 dan rekomendasi ekonomi dari slide ini sama-sama menunjuk ke c=6 sebagai titik optimal — ini bukan kebetulan, melainkan matematika yang konsisten.

Coba Sendiri: Distribusi Kedatangan Tidak Selalu Eksponensial

Asumsi M/M/1 adalah kedatangan eksponensial — jalankan Monte Carlo pada distribusi permintaan realistis untuk melihat Wq aktual bisa menyimpang dari rumus teoretis.

Enam Cara Memperbaiki Sistem Antrean

Menambah server bukan satu-satunya solusi. Enam strategi perbaikan:

STRATEGI 1

Tambah server — paling langsung; meningkatkan kapasitas total $c\times\mu$; biaya naik linear.

STRATEGI 2

$+\mu$

Naikkan $\mu$ — percepat layanan via SOP, teknologi, pelatihan; mengurangi Wq tanpa staf baru.

STRATEGI 3

$-\lambda$

Kurangi $\lambda$ efektif — appointment system (Mobile JKN), peak-spreading, self-service (ATM, e-toll).

STRATEGI 4

−Cv

Turunkan variasi — standardisasi proses (skrip, SOP). M/G/1: Cv rendah $\to Lq$ lebih kecil meski $\mu$ sama.

STRATEGI 5

Q Virtual

Antrean virtual — Q-Matic BCA, Mobile JKN; pelanggan tidak perlu berdiri secara fisik.

STRATEGI 6

Prioritas

Priority queuing — jalur Nasabah Prioritas (BCA/BNI), antrean Ibu Hamil/Difabel; Wq efektif segmen kritis turun.

Solusi terbaik sering kombinasi: teknologi self-service (↓$\lambda) +$ pelatihan staf (↑$\mu) +$ sistem antrean virtual (↓rasa menunggu).

Setelah belajar cara menghitung, sekarang kita pikirkan cara bertindak. Penambahan server adalah respons paling intuitif tapi tidak selalu paling cost-effective — kenaikan biaya operasional bersifat permanen, sementara beban puncak mungkin hanya terjadi beberapa jam sehari. Strategi yang sering diabaikan adalah pengurangan variasi — menurunkan Cv: perusahaan asuransi di Indonesia menemukan bahwa skrip standar untuk klaim sederhana bisa mengurangi waktu rata-rata dari 8 menit ke 4 menit dan sekaligus menurunkan variansi, sehingga Lq turun signifikan tanpa satu agen pun ditambah. Antrean virtual seperti aplikasi Mobile JKN BPJS yang memungkinkan peserta mendaftar online dan datang sesuai estimasi waktu tunggu adalah inovasi yang sangat efektif karena menghilangkan komponen "terasa menunggu" — bahkan jika Wq aktual sama, kepuasan pelanggan meningkat. Dalam praktik konsultasi manajemen, rekomendasi terbaik hampir selalu adalah kombinasi dua atau tiga strategi ini, disesuaikan dengan konteks biaya dan teknologi organisasi.

Peta Konsep & Penutup

Cheat Sheet Teori Antrean — yang harus Anda ingat keluar dari kelas hari ini:

Konsep	Inti
Notasi Kendall	A/B/c — M=Poisson/Eksponensial, c=jumlah server; M/M/1 dan M/M/c hari ini
Syarat stabilitas	$\rho = \lambda/(c\times\mu)$ < 1 — WAJIB cek pertama
M/M/1 kunci	$Lq = \rho^{2}/(1-\rho)$ \| $Wq = \lambda/[\mu(\mu-\lambda)]$ \| $P_{0} = 1-\rho$
M/M/c kunci	Hitung $P_{0} \to$ Erlang $C C(c,\lambda/\mu) \to Lq = C\times\rho/(1-\rho) \to Wq = Lq/\lambda$
Little's Law	$L = \lambda W$ \| $Lq = \lambda Wq -$ berlaku universal, dipakai untuk verifikasi
SLA	Wq dibandingkan target; persentil lebih ketat dari rata-rata
Trade-off optimal	TC(c) = c×Cs + Lq×Cw, cari minimum — c=6 optimal untuk kasus Telkomsel
Perbaikan	Tambah c \| naikkan $\mu \|$ turunkan $\lambda \|$ kurangi Cv \| antrean virtual \| prioritas

Pertemuan berikutnya (RPS Minggu 13): Simulasi Monte Carlo — ketika model analitik tidak cukup. | Tugas: Latihan soal B1–B3 di bahan ajar sebelum Minggu 13.

Hari ini kita telah menempuh perjalanan dari nol hingga mampu menghitung dan menginterpretasikan sistem antrean nyata di Indonesia — dari loket BPJS Puskesmas hingga call center Telkomsel dan gerbang tol Semarang. Tiga hal paling penting yang harus Anda bawa: pertama, syarat stabilitas rho kurang dari satu adalah langkah pertama yang tidak bisa dilewati; kedua, Erlang C adalah kunci untuk model M/M/c, dan alurnya selalu: hitung P nol, hitung Erlang C, hitung Lq, hitung Wq; ketiga, angka-angka itu bermakna hanya dalam konteks keputusan — bandingkan dengan SLA, analisis trade-off biaya, dan rekomendasikan solusi yang realistis. Pertemuan berikutnya kita akan melihat apa yang terjadi ketika sistem terlalu kompleks untuk model analitik — misalnya ada abandonment, distribusi aneh, atau aturan prioritas bertingkat. Di situlah Simulasi Monte Carlo menjadi alat kita. Jangan lupa mengerjakan tiga soal di Lampiran B sebelum Minggu 13 — soal-soal itu dirancang untuk memastikan Anda bisa mengaplikasikan semua yang telah kita pelajari hari ini secara mandiri. Terima Kasih atas partisipasi Anda hari ini.

📖 Bacaan pendalaman: Lean Six Sigma, Studi Kelayakan Bisnis.