Program Studi Manajemen • FEB UNDIP

Manajemen Sains

Pertemuan 4 — Metode Simpleks & Analisis Sensitivitas

Dari dua variabel di grafik ke ribuan variabel di komputer — dan cara membaca nilai setiap sumber daya secara presisi.

RPS Minggu 4 • Sub-CPMK 3 • Durasi 2 × 50 Menit

Selamat datang di Pertemuan 4, titik balik penting dalam kursus Manajemen Sains. Di Pertemuan 2 dan 3, Anda sudah belajar memformulasikan masalah LP — Linear Programming (Pemrograman Linier) — dan menyelesaikannya secara grafis: sangat intuitif, tapi hanya bisa menangani dua variabel keputusan. Hari ini kita naik satu tingkat: Metode Simpleks, yaitu prosedur aljabar yang menjadi mesin di balik semua perangkat lunak optimasi, mulai dari Excel Solver yang nanti Anda pakai di tugas, hingga sistem perencanaan produksi PT Pertamina, maskapai penerbangan, dan bank-bank di Indonesia. Di paruh kedua kita belajar Analisis Sensitivitas, alat yang menjawab pertanyaan manajerial paling sering: "Kalau kondisi berubah, apakah solusi saya masih berlaku?" Dua kemampuan ini bersama-sama mengubah LP dari sekadar matematika menjadi alat pengambilan keputusan yang hidup.

Tujuan Pembelajaran & Peta Alur

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu menjelaskan dan menerapkan Metode Simpleks & Analisis Sensitivitas (Sub-CPMK 3):

Capaian 1 — Tableau

Mengonstruksi simplex tableau awal dari formulasi LP menggunakan slack variables dan BFS (Basic Feasible Solution — Solusi Dasar Layak) awal.

Capaian 2 — Pivot

Melaksanakan iterasi pivot: memilih entering variable, minimum ratio test, dan operasi baris hingga optimal.

Capaian 3 — Solusi

Membaca nilai optimal variabel keputusan dan Z dari tableau final dengan benar.

Capaian 4 — Sensitivitas

Menginterpretasikan shadow price & allowable range untuk rekomendasi manajerial "what-if".

1Bentuk Standar → 2Tableau Awal → 3Iterasi Pivot → 4Sensitivitas

Empat capaian ini adalah panduan navigasi Anda selama dua jam ke depan. Capaian pertama dan kedua adalah "mekanik" — Anda harus bisa menjalankan algoritma simpleks dengan tangan, karena tanpa memahami langkahnya, Anda tidak akan bisa menginterpretasikan output Excel Solver dengan benar. Capaian ketiga sekilas tampak mudah, tetapi membaca tableau final dengan benar — khususnya mengidentifikasi variabel mana yang "masuk basis" dan mana yang tetap nol — adalah keterampilan tersendiri yang butuh latihan. Capaian keempat adalah yang paling berguna secara manajerial: ketika Anda sudah mendapat solusi optimal, Anda tidak berhenti di sana, tetapi bertanya "seberapa robust solusi ini?" dan "berapa nilai tambah kalau saya tambah satu jam kapasitas?" Ikuti peta alur ini, dan di akhir sesi Anda akan punya kerangka lengkap.

Motivasi: Mengapa Simpleks?

Grafis: hanya untuk 2 variabel. Simpleks: untuk 1.000 variabel.

Metode Grafis (Pertemuan 3)

✅ Intuitif & visual
✅ Cocok untuk belajar konsep
❌ Hanya 2 variabel keputusan
❌ Tidak bisa diprogram komputer

Metode Simpleks (Hari Ini)

✅ Berlaku untuk n variabel
✅ Dapat diprogram (Excel Solver, Python, R)
✅ Dasar semua LP solver modern
⚠️ Lebih abstrak — butuh latihan

"PT Pertamina mengelola campuran ratusan komponen dalam sistem blending pelumas. Tidak ada grafik yang bisa menangani itu. Simpleks bisa."

Di Pertemuan 3, Anda sudah merasakan keindahan metode grafis: cukup gambar dua garis kendala, temukan feasible region (daerah layak), lalu cek setiap titik sudut. Bayangkan sekarang Anda adalah manajer produksi di PT Pertamina Lubricants Cilacap, yang harus memutuskan berapa barel Fastron Techno, Fastron Eco+, Fastron Enduro, Prima XP, dan beberapa jenis pelumas industri harus diproduksi dalam satu shift, dengan kendala kapasitas reaktor, pasokan base oil, anggaran aditif, dan target kontrak — mungkin 50–200 variabel keputusan sekaligus. Tidak ada manusia yang bisa menggambar grafis 200 dimensi; itulah alasan Simpleks ditemukan oleh George Dantzig pada 1947. LP Solver atau perangkat lunak yang menyelesaikan LP secara otomatis menggunakan simpleks atau variannya menjadikannya standar industri hingga hari ini. Di semester ini Anda mengerjakan kasus kecil dengan tangan untuk membangun pemahaman — dan ketika nanti Anda memakai Excel Solver, Anda tahu persis apa yang terjadi di balik layar.

Bagian 1 — Dari Grafis ke Algebra

Bentuk Standar & Representasi Aljabar

Slack variable • Persamaan kesetaraan • Basic Feasible Solution

Ingat Kembali: Bentuk Standar LP

Sebelum membentuk tableau, pastikan LP Anda sudah dalam bentuk standar (tiga syarat):

Syarat	Kondisi Asli	Bentuk Standar
1. Fungsi tujuan	Maksimasi (atau minimasi)	Tetap sama
2. Semua kendala	≤ (lebih kecil sama dengan)	Diubah ke = dengan menambah slack variable
3. Semua variabel	Harus tidak negatif	X₁, X₂ ≥ 0 tetap berlaku

Kelak di kuliah lanjut: kendala ≥ pakai surplus variable + artificial variable; kendala = langsung pakai artificial variable. Hari ini fokus ke kasus ≤ dulu. Bentuk standar (standard form) adalah representasi LP di mana semua kendala berbentuk persamaan dan semua variabel non-negatif.

Di Pertemuan 2, Anda sudah memformulasikan LP dalam bentuk pertidaksamaan — itulah bentuk yang paling alami untuk ditulis, karena mencerminkan "kapasitas tidak boleh terlampaui". Namun simpleks bekerja dalam sistem persamaan linier, bukan pertidaksamaan. Solusinya elegan: kita tambahkan satu variabel baru untuk setiap kendala ≤, yang merepresentasikan "sisa kapasitas" atau "kelonggaran" — itulah slack variable. Bayangkan Anda punya kapasitas gudang 100 ton, lalu memutuskan produksi yang butuh 85 ton: slack-nya 15 ton, artinya masih ada sisa kapasitas 15 ton. Dengan cara ini, setiap pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan yang tepat, dan sistem LP kita siap dituangkan ke dalam tableau. Surplus variable untuk kendala ≥ dan artificial variable akan Anda pelajari di semester lebih tinggi atau kelas lanjutan.

Slack Variable — Mengubah ≤ Menjadi =

Menambahkan Slack Variable pada Setiap Kendala ≤

Kendala Asli (Pertidaksamaan)

2X₁ + 4X₂ ≤ 100 (jam kerja)

3X₁ + 2X₂ ≤ 90 (material)

Setelah Ditambah S₁, S₂

2X₁ + 4X₂ + S₁ = 100

→ S₁ = sisa jam kerja

3X₁ + 2X₂ + S₂ = 90

→ S₂ = sisa material

S₁ dan S₂ ≥ 0. Bila S₁ = 0: kendala jam binding (terpakai penuh). Bila S₁ > 0: masih ada sisa kapasitas. Slack variable (S) adalah variabel non-negatif yang merepresentasikan sisa kapasitas tidak terpakai.

Basic Feasible Solution — Titik Sudut dalam Algebra

Solusi Dasar (Basic Solution)

Dari n variabel total (keputusan + slack), pilih m variabel sebagai basic variables (= tidak nol). Sisa = non-basic variables (= 0).

Di sini: 4 variabel total (X₁, X₂, S₁, S₂), 2 kendala (m=2) → 2 basic + 2 non-basic.

BFS Awal — Titik Asal (0,0)

BFS Awal: tetapkan X₁=0, X₂=0 (non-basic); maka S₁=100, S₂=90 (basic).

Ini adalah titik asal (0,0) di grafis — belum ada produksi, semua kapasitas belum terpakai.

Simpleks = bergerak dari satu BFS ke BFS tetangga yang lebih baik, hingga tidak ada yang lebih baik lagi. Basic variable adalah variabel bernilai tidak-nol saat ini ("masuk basis"); non-basic variable bernilai nol ("di luar basis").

Salah satu teorema paling berguna dalam LP adalah ini: solusi optimal, kalau ada, selalu berada di salah satu titik sudut atau corner point feasible region. Di Pertemuan 3, Anda mencek semua titik sudut satu per satu secara grafis; simpleks melakukan hal yang sama secara aljabar — tapi jauh lebih efisien karena selalu bergerak ke titik sudut dengan nilai Z yang lebih tinggi. Konsep BFS menerjemahkan "titik sudut" ke bahasa aljabar: pada setiap titik sudut, tepat sejumlah variabel bernilai nol (non-basic), dan sisanya bernilai positif (basic). Untuk masalah dengan dua kendala dan dua variabel keputusan seperti contoh kita, akan ada tepat dua basic variable pada setiap BFS. Kita mulai dari BFS paling sederhana: titik asal, di mana X₁=X₂=0 dan semua kapasitas belum terpakai — artinya S₁ dan S₂ menjadi variabel basic awal.

Bagian 2 — Membangun Simplex Tableau

Konstruksi Tableau Awal

Baris kendala • Baris Z • Pembacaan BFS awal

HDN-1 — Step A: Kasus Dua Produk, Formulasi & Tableau Awal

Data Produksi

	P1 (X₁)	P2 (X₂)	Kapasitas
Jam kerja/unit	2	4	100 jam
Material (kg)/unit	3	2	90 kg
Profit (Rp ribu)/unit	30	40	—

Formulasi LP & Bentuk Standar

Maks Z = 30X₁ + 40X₂
2X₁ + 4X₂ ≤ 100
3X₁ + 2X₂ ≤ 90
X₁, X₂ ≥ 0
Bentuk standar (+ S₁, S₂):
2X₁ + 4X₂ + S₁ = 100
3X₁ + 2X₂ + S₂ = 90
Z − 30X₁ − 40X₂ = 0

X₁ = jumlah unit P1; X₂ = jumlah unit P2. RHS (right-hand side) = nilai kapasitas. BFS awal: X₁=0, X₂=0 → S₁=100, S₂=90, Z=0.

Anatomi Simplex Tableau

Tableau Awal — Dibaca dari Kanan ke Kiri

Basis	X₁	X₂	S₁	S₂	RHS
S₁	2	4	1	0	100
S₂	3	2	0	1	90
Z	−30	−40	0	0	0

Kolom Basis: variabel yang saat ini basic (S₁=100, S₂=90).

Kolom RHS: nilai variabel basic saat ini; Z=0 = belum ada profit.

Baris Z: koefisien negatif → variabel masih bisa menaikkan Z.

−40 paling negatif → X₂ adalah kandidat entering variable pertama. Kolom pivot (pivot column) = kolom X₂.

Baris Z & Koefisien Negatif — Membaca Sinyal Optimal

Ada Koefisien Negatif di Baris Z

Solusi belum optimal. Variabel dengan koefisien paling negatif = kandidat entering variable (meningkatkan Z lebih cepat).

→ LANJUT ITERASI

Semua Koefisien ≥ 0 di Baris Z

Solusi sudah optimal. Tidak ada variabel non-basic yang bisa menaikkan Z lagi.

→ BACA SOLUSI

Kondisi optimalitas (maksimasi): tidak ada koefisien negatif di baris Z. Dari tableau awal: −40 dan −30 → belum optimal → iterasi diperlukan.

Ini adalah aturan berhenti atau stopping rule yang paling penting dalam simpleks untuk masalah maksimasi. Logikanya: koefisien negatif di baris Z untuk variabel X berarti "setiap satu unit X yang saya tambahkan ke solusi akan meningkatkan Z sebesar nilai absolut koefisien itu". Kalau masih ada angka negatif, berarti masih ada cara untuk meningkatkan Z — jadi kita harus lanjutkan. Ketika semua koefisien di baris Z sudah non-negatif, tidak ada satu pun variabel non-basic yang bisa meningkatkan Z — inilah titik optimal. Perhatikan analogi berikut: Anda mendaki bukit, dan di setiap titik Anda melihat apakah ada arah yang lebih tinggi. Kalau ada, Anda bergerak ke sana. Kalau semua arah lebih rendah atau sama, Anda sudah di puncak. Baris Z adalah "kompas" yang memberitahu Anda arah mana yang lebih tinggi.

Bagian 3 — Iterasi Pivot

Langkah demi Langkah Menuju Optimal

Entering variable • Leaving variable (minimum ratio test) • Operasi baris • Iterasi

Aturan 1 — Pilih Entering Variable (Kolom Pivot)

Entering variable = variabel non-basic dengan koefisien PALING NEGATIF di baris Z
j* = argmin { c̄ⱼ : c̄ⱼ < 0 } (c̄ⱼ = reduced cost Xⱼ di baris Z)

Kondisi	Tindakan
c̄ⱼ < 0 untuk beberapa j	Pilih j dengan c̄ⱼ paling negatif → entering variable
Semua c̄ⱼ ≥ 0	Solusi sudah optimal → BERHENTI

Intuisi: koefisien paling negatif → variabel yang paling cepat meningkatkan Z per unit yang ditambahkan. Reduced cost (c̄ⱼ) mengukur seberapa besar Z meningkat per unit Xⱼ; negatif berarti menguntungkan untuk dimasukkan.

Dari tableau awal: c̄_X₁=−30, c̄_X₂=−40 → entering variable = X₂

Aturan 2 — Pilih Leaving Variable (Minimum Ratio Test)

Minimum Ratio Test: rasio_i = RHS_i ÷ a_ij* (hanya baris dengan a_ij* > 0)
Leaving variable = baris dengan rasio minimum (terkecil, tidak negatif)

Penerapan pada HDN-1 (entering = X₂, kolom pivot = X₂):

Baris	Variabel Basic	Koefisien X₂	RHS	Rasio
1	S₁	4	100	100÷4 = 25 ← minimum
2	S₂	2	90	90÷2 = 45

Elemen pivot (pivot element) = koefisien di perpotongan baris pivot (baris 1) dan kolom pivot (X₂) = 4. Leaving variable = S₁ (rasio paling kecil). Abaikan baris dengan koefisien ≤ 0 di kolom pivot.

Mengapa kita perlu aturan minimum rasio? Karena kalau kita asal pilih baris pivot, bisa jadi setelah operasi pivot ada variabel basic yang bernilai negatif — melanggar syarat non-negatifitas dan membuat solusi tidak layak. Logika minimum rasio sangat intuitif: rasio RHS dibagi koefisien pivot memberitahu kita "berapa maksimum X₂ yang bisa kita produksi sebelum kapasitas baris ini habis". Baris 1 memberikan batas 100 dibagi 4 sama dengan 25 unit X₂ sebelum S₁ habis; baris 2 memberikan batas 90 dibagi 2 sama dengan 45 unit sebelum S₂ habis. Kapasitas yang pertama habis adalah batas sesungguhnya — itulah baris 1, dengan rasio 25. Jadi S₁ keluar dari basis dan X₂ masuk, dengan elemen pivot sama dengan 4. Elemen pivot adalah nilai sel di perpotongan baris pivot dan kolom pivot, dan nilainya, 4, adalah pembagi untuk seluruh operasi baris berikutnya.

HDN-1 — Step B: Iterasi 1, Pivot & Tableau Baru

X₂ masuk, S₁ keluar. Elemen pivot = 4 (baris 1, kolom X₂).

Langkah	Perhitungan	Nilai
Baris 1 baru	Baris 1 lama ÷ 4	[½, 1, ¼, 0 \| 25]
Baris 2 baru	Baris 2 lama − 2 × Baris 1 baru	[2, 0, −½, 1 \| 40]
Baris Z baru	Baris Z lama + 40 × Baris 1 baru	[−10, 0, 10, 0 \| 1000]

Tableau setelah Iterasi 1:

Basis	X₁	X₂	S₁	S₂	RHS
X₂	½	1	¼	0	25
S₂	2	0	−½	1	40
Z	−10	0	10	0	1000

Baris Z: X₁ = −10 (masih negatif) → belum optimal → lanjut Iterasi 2.

HDN-1 — Step C: Iterasi 2, Solusi Optimal Ditemukan

Entering = X₁ (koef −10). Ratio test: Baris 1: 25÷½=50; Baris 2: 40÷2=20 ← min. Leaving = S₂. Pivot = 2.

Langkah	Perhitungan	Nilai
Baris 2 baru	Baris 2 lama ÷ 2	[1, 0, −¼, ½ \| 20]
Baris 1 baru	Baris 1 lama − ½ × Baris 2 baru	[0, 1, ⅜, −¼ \| 15]
Baris Z baru	Baris Z lama + 10 × Baris 2 baru	[0, 0, 7,5, 5 \| 1200]

Tableau Final (Optimal):

Basis	X₁	X₂	S₁	S₂	RHS
X₂	0	1	⅜	−¼	15
X₁	1	0	−¼	½	20
Z	0	0	7,5	5	1200

Semua baris Z ≥ 0 (0, 0, 7,5, 5) → OPTIMAL! | X₁=20, X₂=15, Z=Rp 1.200 ribu

Coba Sendiri: Jalankan Iterasi Simpleks Langkah demi Langkah

Pilih kolom pivot (entering variable) dan baris pivot (leaving variable via ratio test), lalu jalankan operasi baris dan amati tableau berubah hingga optimal.

Membaca Solusi dari Tableau Final

Langkah 1 — Variabel Basic

Basis

Lihat kolom "Basis". Variabel di sana bernilai RHS-nya: X₂=15, X₁=20.

Langkah 2 — Variabel Non-Basic

= 0

Variabel tidak ada di kolom Basis bernilai nol: S₁=0, S₂=0 → kedua kendala binding.

Langkah 3 — Nilai Z

1200

Rp ribu

Baca RHS baris Z = nilai Z optimal. Profit maksimum = Rp 1.200 ribu.

Slack nol (S₁=S₂=0) → kapasitas jam kerja & material terpakai habis. Binding constraint (kendala aktif) = sumber daya yang bernilai tinggi untuk diperluas.

Studi Kasus Indonesia — PT Pertamina Lubricants

Kilang Cilacap memproduksi dua pelumas andalan. Manajer produksi harus menentukan bauran optimal (product mix).

Data Produksi (per 1.000 liter)

	Fastron (F)	Prima XP (P)	Kapasitas
Jam mesin	3	2	120 jam
Base oil (ton)	2	4	100 ton
Margin (Rp juta)	45	35	—

Maks Z = 45F + 35P
3F + 2P ≤ 120; 2F + 4P ≤ 100
F, P ≥ 0

Pertanyaan Manajerial (Dijawab Analisis Sensitivitas)

Berapa ribu liter Fastron & Prima XP per shift untuk memaksimalkan margin?
Tambah 10 jam lembur (biaya Rp 60 juta) — worthwhile?
Margin Fastron turun dari 45 → 35 — bauran produksi berubah?

Pertanyaan 2 & 3 dijawab oleh Analisis Sensitivitas — Bagian 4.

Bagian 4 — Analisis Sensitivitas

"Kalau Kondisi Berubah,
Apakah Solusi Kita Masih Berlaku?"

Shadow price • Allowable range koefisien tujuan • Interpretasi manajerial

Mengapa Sensitivitas? Dunia Nyata Tidak Pasti

What-If 1 — Profit Berubah

Margin Fastron turun dari Rp 45 jt → Rp 35 jt. Apakah bauran produksi optimal berubah?

→ Allowable Range Koefisien Tujuan

What-If 2 — Kapasitas Ditambah

Tawaran lembur: tambah 10 jam kapasitas mesin. Berapa tambahan margin yang didapat?

→ Shadow Price × ΔCapacity

What-If 3 — Kapasitas Berkurang

Pasokan base oil bulan ini berkurang dari 100 ton → 80 ton. Seberapa turun margin?

→ Shadow Price × ΔCapacity

Prinsip Utama

Perubahan dalam allowable range → basis tidak berubah, hitung Z baru langsung. Di luar range → re-solve (jalankan ulang LP).

Excel Solver → Sensitivity Report → langsung dapat semua angka.

Di dunia praktik, parameter LP jarang pernah pasti. Perencana produksi di Pertamina harus bekerja dengan proyeksi harga base oil yang berfluktuasi mengikuti harga minyak mentah dunia, proyeksi permintaan yang berubah tiap kuartal, dan kapasitas mesin yang bisa turun karena jadwal perawatan. Analisis sensitivitas memberikan manajer sebuah "zona aman" — kisaran di mana kondisi boleh berubah tanpa membuat keputusan produksi hari ini menjadi salah. Kalau perubahan masih dalam zona aman tersebut, cukup hitung ulang nilai Z dengan parameter baru; kalau keluar dari zona aman, baru perlu re-solve atau solve ulang LP-nya. Dalam praktik, Excel Solver menghasilkan Sensitivity Report secara otomatis — dan di situlah shadow price, allowable increase, dan allowable decrease langsung terbaca. Hari ini kita pelajari maknanya agar Anda bisa membaca dan menginterpretasikan laporan tersebut.

Shadow Price — Nilai Marginal Sumber Daya

Shadow Price (yᵢ) = ΔZ ÷ ΔRHSᵢ (parameter lain tetap)
Sumber: koefisien S_i di baris Z pada tableau final

Shadow Price > 0

Kendala binding — terpakai penuh. Menambah kapasitas akan meningkatkan Z. Layak diinvestasikan bila biaya penambahan < shadow price.

Shadow Price = 0

Kendala non-binding — ada slack. Menambah kapasitas tidak mengubah Z; sumber daya berlebih, bukan bottleneck.

Shadow price BUKAN harga pasar. Ia adalah nilai internal satu unit kapasitas ekstra, diukur dalam satuan fungsi tujuan (misal: Rp ribu profit per jam ekstra). Istilah lain di Excel Solver: Dual Value.

Shadow price adalah salah satu output paling berharga dari analisis LP. Bayangkan Anda adalah direktur pabrik dan ingin tahu: "Apakah worth it membeli satu jam lembur untuk karyawan?" Untuk menjawab itu, Anda perlu tahu berapa rupiah tambahan profit dari satu jam ekstra kapasitas — itulah shadow price jam kerja. Kalau shadow price jam kerja sama dengan Rp 7.500 per jam dan biaya lembur Rp 5.000 per jam, maka lembur worthwhile: setiap jam lembur menghasilkan laba bersih tambahan Rp 2.500. Kalau biaya lembur Rp 10.000 per jam, maka tidak worthwhile. Shadow price nol untuk suatu kendala berarti sumber daya itu tidak membatasi — bahkan kalau kapasitasnya ditambah, tidak ada lagi produk yang bisa dibuat karena sumber daya lain yang menjadi bottleneck. Ingat: shadow price hanya berlaku selama perubahan RHS masih dalam allowable range.

HDN-2 — Membaca Shadow Price dari Tableau Final

Tableau final HDN-1 (ulang dari Slide 16):

Basis	X₁	X₂	S₁	S₂	RHS
X₂	0	1	⅜	−¼	15
X₁	1	0	−¼	½	20
Z	0	0	7,5	5	1200

Langkah	Tindakan	Nilai
1	Lihat baris Z, kolom S₁	7,5
2	Lihat baris Z, kolom S₂	5
3	Interpretasi S₁ (jam kerja): tiap 1 jam ekstra → Z naik Rp 7.500	Worthwhile bila biaya < 7.500
4	Interpretasi S₂ (material): tiap 1 kg ekstra → Z naik Rp 5.000	Worthwhile bila biaya < 5.000

Kedua kendala binding (S₁=S₂=0) → keduanya bernilai untuk diperluas. Verifikasi: 7,5×100 + 5×90 = 750 + 450 = 1200 ✓

Pembacaan shadow price dari tableau final sangat mudah: cukup baca koefisien variabel slack di baris Z pada tableau final — itulah shadow price-nya. Shadow price S₁ sama dengan 7,5 berarti setiap jam kerja tambahan akan meningkatkan profit optimal sebesar Rp 7.500. Shadow price S₂ sama dengan 5 berarti setiap kilogram material tambahan akan meningkatkan profit optimal sebesar Rp 5.000. Aturan keputusan shadow price yang wajib selalu diingat: lembur atau penambahan kapasitas worthwhile bila biayanya lebih rendah dari shadow price; tidak worthwhile bila biayanya lebih tinggi. Contoh konkret: kalau ada tawaran lembur di harga Rp 6.000 per jam, lembur worthwhile karena shadow price 7.500 lebih besar dari biaya 6.000 — laba bersih tambahan Rp 1.500 per jam ekstra. Sebaliknya kalau biaya lembur Rp 9.000 per jam, tidak worthwhile. Excel Solver menyebutnya "Dual Value" dalam Sensitivity Report — angkanya sama persis.

Coba Sendiri: Baca Shadow Price & Allowable Range

Ubah RHS salah satu kendala dalam batas allowable range-nya, lalu amati bagaimana Z bergerak linear sesuai shadow price — dan apa yang terjadi begitu RHS melewati batas itu.

Allowable Range Koefisien Fungsi Tujuan

Seberapa jauh profit per unit boleh berubah tanpa mengubah basis (= bauran produksi optimal)?

Allowable Decrease (AD) = min { c̄_k ÷ ȳ_kj } untuk ȳ_kj > 0
Allowable Increase (AI) = min { c̄_k ÷ |ȳ_kj| } untuk ȳ_kj < 0
ȳ_kj = koefisien non-basic k pada baris Xⱼ di tableau final

Penerapan untuk X₂ (c₂=40, baris X₂ di tableau final: [0, 1, ⅜, −¼ | 15]):

Allowable Decrease c₂

AD = c̄_S₁ ÷ (3/8) = 7,5 ÷ 0,375 = 20
→ c₂ ≥ 40−20 = 20

Allowable Increase c₂

AI = c̄_S₂ ÷ (1/4) = 5 ÷ 0,25 = 20
→ c₂ ≤ 40+20 = 60

Allowable range c₂ = [20, 60]. Selama c₂ ∈ [20, 60], basis optimal tidak berubah (X₁=20, X₂=15 tetap). Jika c₂ keluar dari range → re-solve.

Rumus formal allowable range mungkin tampak rumit, namun intinya sederhana: kita mencari kisaran perubahan koefisien profit c_j di mana tidak ada variabel non-basic yang tiba-tiba menjadi lebih menguntungkan untuk masuk basis. Mekanismenya: mengubah c₂ sebesar δ setara menambah δ kali baris X₂ ke baris Z. Akibatnya koefisien S₁ di baris Z berubah dari 7,5 menjadi 7,5 + δ × (3/8), dan koefisien S₂ berubah dari 5 menjadi 5 + δ × (−1/4). Syarat optimalitas berarti kedua nilai harus tetap lebih besar atau sama dengan nol. Dalam praktik, sangat jarang Anda menghitung allowable range secara manual; Excel Solver memberikan nilai "Allowable Increase" dan "Allowable Decrease" di Sensitivity Report secara otomatis. Yang penting adalah Anda memahami maknanya: kalau perubahan masih di dalam range tersebut, Anda bisa langsung menghitung Z baru dengan solusi yang sama; kalau keluar dari range, Anda perlu solve ulang.

HDN-2 Lanjut — Profit P2 Naik ke 55: Apakah Solusi Berubah?

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. Koefisien c₂ saat ini	c₂ = 40	—
2. Allowable Decrease c₂	c̄_S₁ ÷ (3/8) = 7,5 ÷ 0,375	AD = 20
3. Batas bawah c₂	40 − 20	c₂ ≥ 20
4. Allowable Increase c₂	c̄_S₂ ÷ (1/4) = 5 ÷ 0,25	AI = 20
5. Batas atas c₂	40 + 20	c₂ ≤ 60
6. c₂ baru = 55, apakah ∈ [20, 60]?	20 ≤ 55 ≤ 60 → YA	Basis tidak berubah
7. Z baru	30(20) + 55(15) = 600 + 825	Z = 1.425 (ribu Rp)

Keputusan: Solusi bauran TIDAK BERUBAH (tetap X₁=20, X₂=15). Namun Z meningkat dari Rp 1.200 ribu menjadi Rp 1.425 ribu.

Mari kita ikuti langkah ini bersama. Kita punya c₂ sama dengan 40, dan pertanyaannya: kalau profit P2 naik menjadi 55, apakah kita perlu mengubah rencana produksi? Dari perhitungan allowable range, kita dapatkan bahwa c₂ boleh berubah dalam kisaran 20 sampai 60 tanpa mengubah basis optimal. Nilai 55 berada di dalam kisaran itu — maka jawabannya: tidak perlu mengubah rencana produksi. Keputusan tetap: produksi 20 unit P1 dan 15 unit P2. Yang berubah hanya nilai Z: sekarang Z sama dengan 30 kali 20 ditambah 55 kali 15 sama dengan 1.425 ribu rupiah. Bayangkan ini dalam konteks manajerial: Anda sudah menandatangani kontrak produksi dan mengalokasikan kapasitas untuk bulan ini; tiba-tiba harga jual P2 naik. Apakah Anda perlu mengubah rencana produksi mendadak? Tidak perlu — analisis sensitivitas memberikan kepastian bahwa rencana saat ini masih optimal hingga profit P2 mencapai Rp 60 ribu per unit.

Rangkuman — Alur Simpleks & Kunci Sensitivitas

Informasi	Dari Mana	Arti Manajerial
Shadow price Sᵢ	Baris Z, kolom Sᵢ, tableau final	Nilai Rp per unit kapasitas ekstra
Allowable range cⱼ	[cⱼ−AD, cⱼ+AI]	Kisaran profit/biaya aman tanpa re-solve
Allowable range RHS	Excel Solver Sensitivity Report	Kisaran kapasitas aman tanpa re-solve

Pertemuan 4 — Selesai

Yang Sudah Anda Kuasai Hari Ini

Slack variable & bentuk standar LP
Simplex tableau awal & BFS (Basic Feasible Solution)
Iterasi pivot: entering, minimum ratio test, operasi baris
Membaca solusi dari tableau final
Shadow price & allowable range koefisien tujuan

Persiapan Pertemuan 5 (LP dengan Excel Solver)

Baca Winston & Albright Bab 4–5 (contoh soal & latihan)
Install Excel Solver: File → Options → Add-ins → Solver Add-in
Kerjakan Soal B-1 s.d. B-3 di Lampiran B (latihan mandiri)
Bawa laptop saat Pertemuan 5 — langsung pakai Excel Solver

Tugas: Kerjakan soal di Lampiran B dan kirim via EMAS UNDIP (elearning2.undip.ac.id) sebelum Pertemuan 5. EMAS = E-Learning Management Adaptive System UNDIP.

Kita menutup Pertemuan 4 di sini. Anda telah menyelesaikan salah satu bagian paling teknis dalam kursus ini — dan kalau Anda bisa mengikutinya sampai titik ini, Anda sudah punya fondasi yang kuat untuk semua materi optimasi berikutnya. Di Pertemuan 5, kita tidak akan berhitung manual lagi — kita akan serahkan pekerjaan itu ke Excel Solver dan Python PuLP, dan fokus pada interpretasi serta aplikasi. Namun kemampuan Anda memahami apa yang dilakukan Solver di balik layar — iterasi pivot, shadow price, allowable range — adalah yang membedakan pengguna biasa dari seorang manajer yang betul-betul memahami keputusannya. Pastikan Anda menginstal Excel Solver sebelum Pertemuan 5, dan kerjakan latihan mandiri di Lampiran B untuk memverifikasi bahwa Anda benar-benar menguasai prosedur pivot. Sampai jumpa di Pertemuan 5.

📖 Baca juga: Sensitivity Scenario Analysis — penjelasan mendalam dan contoh numerik.