Program Studi Manajemen • FEB UNDIP

Manajemen Sains

Pertemuan 3 — Metode Grafis untuk Solusi LP

Mengubah model matematika LP (Linear Programming — pemrograman linear) menjadi gambar, membaca feasible region (daerah layak), dan menemukan solusi optimal di sudut-sudut poligon.

RPS MINGGU 3 • SUB-CPMK3 • DURASI 2 × 50 MENIT

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu memecahkan LP dua-variabel dengan metode grafis (Sub-CPMK3). Secara rinci:

CAPAIAN 1 — GAMBAR

PLOT

Menggambar garis kendala dan mengarsir daerah feasible pada sumbu X1–X2.

CAPAIAN 2 — CORNER POINTS

HITUNG

Menghitung koordinat semua corner points (titik sudut) via substitusi simultan.

CAPAIAN 3 — OPTIMAL

PILIH

Mengevaluasi Z di tiap corner point dan mengidentifikasi solusi optimal.

CAPAIAN 4 — ANALISIS

ANALISIS

Membedakan binding vs non-binding dan mengenali kasus khusus LP.

Empat capaian ini adalah penjabaran konkret Sub-CPMK3 untuk hari ini. Corner points atau titik sudut adalah titik perpotongan batas-batas daerah feasible dan merupakan kandidat solusi optimal; binding constraint atau kendala aktif adalah kendala yang dipenuhi dengan tanda sama-dengan di titik optimal. Capaian pertama dan kedua bersifat teknis-prosedural: Anda harus terampil menggambar dan berhitung, karena tanpa keterampilan itu Anda tidak bisa melangkah ke capaian ketiga. Capaian ketiga adalah inti: menemukan solusi optimal — titik di dalam atau pada batas daerah feasible yang memberikan nilai fungsi tujuan paling baik. Capaian keempat mengajak Anda berpikir satu level lebih dalam — menganalisis arti dari solusi yang didapat: kendala mana yang mengikat, dan apa yang terjadi kalau modelnya punya keistimewaan. Mahasiswa yang hanya bisa cari titik optimal sudah bagus; yang bisa menganalisis kendalanya adalah yang akan unggul di ujian dan di dunia kerja.

Dari Persamaan ke Gambar — Mengapa Grafis?

PENDEKATAN COBA-COBA

✗

Uji ribuan titik (X1, X2) satu per satu, hitung Z di tiap titik, bandingkan. Tidak efisien, rawan melewati titik optimal.

METODE GRAFIS

✓

Gambar batas kendala, arsir daerah feasible, lalu cukup periksa 4–6 corner points. Dijamin menemukan optimal (jika ada).

Secara matematis terbukti: solusi optimal LP selalu berada di corner point. Kita tidak perlu memeriksa titik-titik di dalamnya — cukup sudut-sudutnya.

	Coba-coba	Metode Grafis
Titik yang diperiksa	Ribuan	4–6 (corner)
Jaminan optimal	Tidak	Ya
Diagram visual	Tidak	Ya

Sebelum belajar cara menggambar, mari saya jelaskan dulu mengapa repot-repot membuat gambar alih-alih sekadar mencoba ribuan titik. Bayangkan Anda punya masalah dengan X1 antara 0 dan 100 dan X2 antara 0 dan 200; kalau Anda uji tiap kombinasi bulat, itu sudah 20.100 titik yang harus dihitung dan belum tentu solusi optimalnya bilangan bulat. Metode grafis menjawab ini dengan memanfaatkan sifat matematis LP: karena semua persamaan dan pertidaksamaannya linear, daerah feasible-nya berbentuk segibanyak (poligon) dengan sudut-sudut tajam, dan fungsi tujuan yang juga linear selalu mencapai nilai terbaiknya di salah satu sudut poligon itu. Artinya kita cukup menggambar poligonnya, mencari sudut-sudutnya, lalu menghitung Z hanya di sudut-sudut itu — dan kita dijamin menemukan nilai optimal. Hari ini kita akan berlatih langkah demi langkah dengan dua kasus nyata dari industri Indonesia.

Bagian 1 dari 4

Fondasi Metode Grafis

Lima langkah terstruktur dari model LP hingga solusi optimal — plus cara menggambar garis kendala dan mengarsir daerah feasible.

Gambar Arsir Hitung

Lima Langkah Metode Grafis LP

1
Gambar sumbu koordinat X1 (horisontal) dan X2 (vertikal). Tentukan skala berdasarkan nilai RHS (right-hand side — sisi kanan kendala, yaitu nilai batas kapasitas) terbesar.
2
Plot garis batas setiap kendala dengan mengubah pertidaksamaan (≤ atau ≥) menjadi persamaan (=), lalu cari dua titik potong sumbu.
3
Arsir daerah feasible — daerah yang memenuhi SEMUA kendala secara bersamaan (termasuk non-negativitas X1 ≥ 0, X2 ≥ 0).
4
Identifikasi corner points — semua titik sudut poligon feasible (perpotongan garis-garis batas). Hitung koordinatnya via substitusi simultan (menyelesaikan dua persamaan linear sekaligus).
5
Evaluasi Z di setiap corner point. Pilih yang memberikan Z maksimum (atau minimum) — itulah solusi optimal.

Makin banyak kendala, makin banyak titik sudut yang mungkin. Untuk 2 kendala utama + 2 non-negativitas, umumnya terbentuk maksimal 4 corner points. Tidak semua perpotongan garis adalah corner point — hanya yang memenuhi semua kendala yang dihitung.

Lima langkah ini adalah algoritma metode grafis, dan saya minta Anda menghafalkan urutannya sekarang karena seluruh sisa pertemuan ini adalah latihan menjalankan algoritma ini. Langkah pertama, gambar sumbu — kesalahan skala di sini menyebabkan gambar yang tidak informatif atau menyesatkan. Langkah kedua, setiap kendala yang ditulis sebagai pertidaksamaan harus diubah menjadi persamaan dulu untuk bisa digambar sebagai garis lurus. Langkah ketiga dan keempat adalah inti grafis — mengarsir daerah yang memenuhi semua kendala sekaligus, lalu mencari semua titik sudut poligon yang terbentuk. Langkah kelima menjawab pertanyaan inti masalah LP: mana corner point yang memberikan nilai fungsi tujuan terbaik? Ingat: solusi LP bukanlah suatu daerah, melainkan satu titik (atau segmen) dengan koordinat tepat.

Cara Menggambar Garis Batas Kendala

Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan, lalu cari dua titik pada garis (biasanya titik potong sumbu X1 dan X2).

Contoh: Kendala 4X1 + 2X2 ≤ 240 → ubah jadi 4X1 + 2X2 = 240

Langkah	Perhitungan	Nilai
Potong sumbu X2 (set X1 = 0)	4(0) + 2X2 = 240 → 2X2 = 240	X2 = 120 → (0, 120)
Potong sumbu X1 (set X2 = 0)	4X1 + 2(0) = 240 → 4X1 = 240	X1 = 60 → (60, 0)
Hubungkan dua titik	Tarik garis lurus dari (0, 120) ke (60, 0)	Garis kendala tergambar

Untuk kendala ≤, daerah feasible ada di sisi kiri-bawah garis. Verifikasi cepat: substitusikan titik asal (0, 0) — kalau hasilnya benar (0 ≤ 240 √), asal masuk daerah feasible.

Cara paling praktis menggambar garis lurus pada grafik adalah mencari dua titik yang dilaluinya, lalu menghubungkan keduanya. Untuk garis kendala LP, dua titik paling mudah ditemukan adalah titik potong sumbu: pertama set X1 sama dengan nol dan cari X2, lalu set X2 sama dengan nol dan cari X1. Dengan kendala 4X1 + 2X2 = 240: kalau X1 nol maka X2 = 120, memberikan titik (0, 120) pada sumbu X2; kalau X2 nol maka X1 = 60, memberikan titik (60, 0) pada sumbu X1. Hubungkan keduanya, dan Anda punya garis kendalanya. Setelah garis tergambar, Anda perlu tahu sisi mana yang feasible: untuk kendala tipe kurang dari atau sama dengan, daerah feasible ada di sisi kiri-bawah garis; cara termudah memverifikasi adalah substitusikan titik asal (0, 0) ke pertidaksamaan — 4(0) + 2(0) = 0 yang memang kurang dari 240, jadi asal masuk daerah feasible kendala ini.

Daerah Feasible — Irisan Semua Kendala

Setelah semua garis tergambar, daerah feasible adalah daerah yang sekaligus memenuhi SEMUA kendala (termasuk X1 ≥ 0 dan X2 ≥ 0).

Penting: Kalau suatu titik memenuhi K1 tetapi tidak memenuhi K2, titik itu bukan bagian dari daerah feasible. Semua kendala harus dipenuhi secara bersamaan.

Trik cepat: periksa apakah titik asal (0,0) masuk daerah feasible (non-negativitas X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 — batas kiri dan bawah = sumbu koordinat). Kalau ya, daerah feasible ada di sisi yang sama dengan asal untuk tiap kendala ≤.

Corner Points — Kandidat Solusi Optimal

Teorema Titik Ekstrem: Jika solusi optimal LP ada, maka solusi itu terletak di setidaknya satu corner point dari daerah feasible.

TIGA JENIS CORNER POINT

Titik asal (0, 0)
Titik potong garis kendala dengan sumbu X1 atau X2
Titik potong dua garis kendala di dalam daerah feasible

CARA HITUNG KOORDINAT

Perpotongan dua sumbu → langsung (0, 0)
Garis ∩ sumbu → substitusi 0
Garis ∩ Garis → substitusi simultan (sistem 2 persamaan)

Untuk LP dengan 2 kendala utama + 2 non-negativitas → maksimal 4 corner points. Hanya perlu hitung Z di 4 titik itu. Dengan 3+ kendala, gunakan prosedur enumerasi + uji feasibility (Slide 15b).

Teorema Titik Ekstrem adalah landasan matematis yang membuat metode grafis bekerja dengan efisien. Intuisinya: bayangkan daerah feasible sebagai kolam renang berbentuk poligon, dan fungsi tujuan Z adalah ketinggian air; kalau Anda miringkan kolam (menggeser nilai Z), air akan mengalir ke salah satu sudut kolam terlebih dahulu, bukan ke titik tengah. Ada tiga jenis corner point yang perlu Anda kenal: titik asal (0,0), titik di mana garis kendala berpotongan dengan salah satu sumbu, dan titik di mana dua garis kendala berpotongan di dalam daerah feasible. Untuk LP dengan dua kendala utama seperti kasus mebel yang segera kita kerjakan di Bagian 2, corner points-nya relatif mudah terbaca karena hanya ada sedikit perpotongan. Saat kita sampai di kasus sepatu dengan tiga kendala, prosedur yang lebih sistematis diperlukan — kita bahas itu di Slide 15b tepat sebelum kasus sepatu.

Langkah 5 — Evaluasi Z di Tiap Corner Point

Substitusikan koordinat (X1, X2) setiap corner point ke fungsi tujuan Z, lalu bandingkan hasilnya.

Fungsi tujuan umum: Z = c₁·X1 + c₂·X2

Corner Point	X1	X2	Z = c⊂1;X1 + c⊂2;X2	Status
A	…	…	…	—
B	…	…	…	—
C	…	…	… (terbesar)	★ OPTIMAL
D	…	…	…	—

Titik yang memberikan Z terbesar (maksimasi) atau Z terkecil (minimasi) adalah solusi optimal. Laporkan nilai X1, X2, dan Z — ketiganya adalah jawaban lengkap masalah LP.

Langkah terakhir ini adalah yang paling memuaskan, karena di sinilah semua pekerjaan menggambar dan menghitung tadi akhirnya menghasilkan jawaban. Setelah Anda memiliki daftar semua corner points dengan koordinatnya, substitusikan tiap pasangan (X1, X2) ke rumus Z dan hitung nilainya. Untuk masalah maksimasi, cari Z yang paling besar; untuk minimasi, cari Z yang paling kecil. Sangat penting untuk melaporkan ketiga komponen: nilai X1 optimal, nilai X2 optimal, dan nilai Z optimal — jangan hanya melaporkan Z-nya tanpa tahu berapa X1 dan X2 yang menghasilkan Z itu. Dalam konteks bisnis justru nilai variabel keputusan itulah yang menjadi instruksi tindakan — misalnya: produksi 30 kursi dan 40 meja. Coefisien c1 dan c2 dalam fungsi tujuan adalah kontribusi per unit tiap variabel terhadap nilai Z.

Coba Sendiri: Geser Garis Iso-Profit di Daerah Layak

Ubah koefisien fungsi tujuan atau kendala, lalu amati bagaimana daerah layak berubah bentuk dan garis iso-profit bergeser untuk menemukan corner point optimal.

Bagian 2 dari 4

Hitung dari Nol: Pabrik Mebel

Mengambil model LP mebel dari Pertemuan 2 dan menyelesaikannya step-by-step dengan metode grafis — dari menggambar garis hingga solusi optimal.

Fungsi tujuan: Maks Z = 600X1 + 400X2 (X1 = kursi, X2 = meja)
Lanjutan P2 — formulasi sudah diketahui.

HDN-1 (a) — Mebel: Model & Garis Kendala

Model LP Mebel (Pengingat P2)

Maks Z = 600X1 + 400X2

K1 (Bahan kayu): 2X1 + 4X2 ≤ 160

K2 (Tenaga kerja): 3X1 + 2X2 ≤ 120

X1, X2 ≥ 0

Kendala	X1=0 → X2	X2=0 → X1
K1: 2X1+4X2=160	(0, 40)	(80, 0)
K2: 3X1+2X2=120	(0, 60)	(40, 0)

Mari kita mulai dari nol. Modelnya kita ingat bersama: perusahaan mebel ingin memaksimumkan pendapatan dari kursi (X1) dan meja (X2), dengan kendala bahan kayu (jam-papan — satuan pemakaian bahan baku kayu) dan tenaga kerja (jam-orang — satuan waktu tenaga kerja per unit produk). Langkah pertama, kita ubah tiap kendala jadi persamaan. Untuk K1 (2X1 + 4X2 = 160): set X1 = 0, dapat X2 = 40, titik (0, 40); set X2 = 0, dapat X1 = 80, titik (80, 0) — hubungkan keduanya, itulah garis K1 di grafik. Untuk K2 (3X1 + 2X2 = 120): set X1 = 0, dapat X2 = 60, titik (0, 60); set X2 = 0, dapat X1 = 40, titik (40, 0) — hubungkan keduanya, itulah garis K2. Perhatikan bahwa garis K2 memotong sumbu X2 lebih tinggi (60 vs 40) tetapi memotong sumbu X1 lebih rendah (40 vs 80), sehingga kedua garis pasti berpotongan di suatu titik di dalam grafik — titik perpotongan itulah yang akan menjadi salah satu corner point kita.

HDN-1 (b) — Mebel: Daerah Feasible & Corner Points

Empat corner points daerah feasible:

Titik	X1	X2	Keterangan
O	0	0	Asal
A	0	40	K1 ∩ sumbu X2
B	20	30	K1 ∩ K2 (hitung)
C	40	0	K2 ∩ sumbu X1

Hitung Titik B = K1 ∩ K2

K1 (÷2): X1 + 2X2 = 80 … (i)
K2: 3X1 + 2X2 = 120 … (ii)
(ii) − (i): 2X1 = 40 → X1 = 20
Ke (i): 20 + 2X2 = 80 → X2 = 30
Verifikasi: K1: 2(20)+4(30)=160 √ K2: 3(20)+2(30)=120 √

Setelah kedua garis tergambar, kita arsir daerah feasible: daerah yang memenuhi K1 kurang dari atau sama dengan 160, K2 kurang dari atau sama dengan 120, dan keduanya di kuadran pertama. Hasilnya adalah poligon berbentuk segi empat dengan empat sudut: O di asal (0,0), A di titik potong K1 dengan sumbu X2 pada (0,40), B di perpotongan K1 dan K2, dan C di titik potong K2 dengan sumbu X1 pada (40,0). Titik O, A, dan C bisa langsung dibaca dari grafik, tetapi titik B memerlukan kalkulasi. Kita selesaikan sistem persamaan K1 dan K2 secara simultan: sederhanakan K1 dengan membagi dua menjadi X1 + 2X2 = 80, lalu kurangi dari K2 untuk mendapat 2X1 = 40 sehingga X1 = 20, kemudian substitusi kembali untuk mendapat X2 = 30. Verifikasi kedua kendala: 2(20) + 4(30) = 160 tanda centang dan 3(20) + 2(30) = 120 tanda centang — titik (20, 30) memenuhi kedua kendala dengan tepat dan berada di batas keduanya.

HDN-1 (c) — Mebel: Evaluasi Z & Solusi Optimal

Fungsi tujuan: Z = 600X1 + 400X2 (Rp ribu)

Titik	X1	X2	Langkah: 600×X1 + 400×X2	Z (Rp ribu)
O (0, 0)	0	0	600(0) + 400(0)	0
A (0, 40)	0	40	600(0) + 400(40)	16.000
B (20, 30)	20	30	600(20) + 400(30) = 12.000 + 12.000	24.000 ★
C (40, 0)	40	0	600(40) + 400(0)	24.000 ★

Dua titik optimal! B (20, 30) dan C (40, 0) keduanya memberikan Z = Rp 24.000 ribu = Rp 24 juta. Ini disebut Multiple Optimal Solutions (solusi optimal ganda). Penjelasan grafis lengkap ada di Slide 23 (Bagian 4). Pelajaran kunci: selalu hitung Z di SEMUA corner point sebelum memutuskan.

Interpretasi: Perusahaan dapat memproduksi 20 kursi + 30 meja, ATAU 40 kursi + 0 meja — keduanya menghasilkan pendapatan Rp 24 juta.

Inilah momen yang paling menarik di contoh mebel ini: kita menemukan dua corner points yang keduanya memberikan Z yang sama dan terbesar — sesuatu yang tidak bisa Anda tebak tanpa menghitung semua titik. Titik B (20 kursi, 30 meja) menghasilkan Z = 600 kali 20 ditambah 400 kali 30 = 12.000 plus 12.000 = 24.000 ribu rupiah; titik C (40 kursi, 0 meja) menghasilkan Z = 600 kali 40 = 24.000 ribu rupiah juga — sama persis. Ada penjelasan grafis yang elegan tentang ini — bayangkan garis isoprofit (garis dengan Z sama) kebetulan sejajar dengan sisi BC poligon, sehingga seluruh sisi itu disentuh sekaligus ketika garis didorong ke luar. Penjelasan lengkap beserta diagram akan ada di Slide 23; untuk sekarang, catat saja bahwa fenomena ini nyata dan punya implikasi manajerial positif: perusahaan punya fleksibilitas memilih kombinasi produksi. Pelajaran utama saat ini: selalu hitung Z di SEMUA corner point sebelum memutuskan.

Kendala Binding vs Non-Binding di Titik Optimal

Di titik optimal, ada kendala yang ketat (binding) dan yang longgar (non-binding). Keduanya punya makna manajerial berbeda.

BINDING (AKTIF) — Slack = 0

Kendala yang dipenuhi persis di titik optimal. Kapasitas habis terpakai. Inilah yang benar-benar membatasi peningkatan Z — kalau ingin Z naik, kapasitas ini harus ditambah.

NON-BINDING — Slack > 0

Kendala yang tidak mengikat di titik optimal. Masih ada sisa kapasitas (slack — sisa kapasitas). Menambah kapasitas ini tidak otomatis meningkatkan Z.

Analisis titik B (20, 30) — kasus mebel:

Kendala	Pemakaian	Kapasitas	Slack	Status
K1 (kayu): 2X1+4X2	2(20)+4(30) = 160	160	0	Binding
K2 (TK): 3X1+2X2	3(20)+2(30) = 120	120	0	Binding

Di titik B, kedua kendala binding — kayu dan tenaga kerja habis persis. Untuk meningkatkan Z lebih lanjut, perusahaan harus menambah KEDUA sumber daya itu.

Menemukan titik optimal hanyalah setengah dari pekerjaan seorang manajer; setengah lainnya adalah memahami apa artinya solusi itu bagi pengambilan keputusan ke depan. Kendala binding adalah kendala yang dipenuhi dengan tepat di titik optimal, artinya semua kapasitas sumber daya itu terpakai habis — tidak ada sisa. Sebaliknya, kendala non-binding masih punya slack, artinya ada kapasitas yang tidak terpakai di titik optimal. Implikasi manajerial penting: kalau manajer ingin meningkatkan nilai Z lebih jauh, ia harus fokus pada kendala-kendala yang binding, karena memperlonggar kendala binding langsung membuka ruang bagi Z untuk naik. Menambah kapasitas pada kendala non-binding tidak akan mengubah Z selama kendala-kendala yang binding belum dilonggarkan. Dalam kasus mebel di titik B, kedua kendala binding — artinya kayu dan tenaga kerja keduanya habis persis; kalau ingin produksi lebih banyak untuk meningkatkan pendapatan, perusahaan harus menambah stok kayu DAN jam tenaga kerja secara bersamaan.

Latihan Kelas — Kerjakan Bersama (5 menit)

Pabrik tas kulit kecil memproduksi tas jinjing (X1) dan dompet (X2). Maks Z = 5X1 + 4X2 (Rp ribu/unit).

Kendala:
K1 (waktu produksi): 2X1 + X2 ≤ 10
K2 (bahan kulit): X1 + 2X2 ≤ 8
X1, X2 ≥ 0

(a) Hitung intercepts K1 & K2. (b) Tentukan corner points. (c) Hitung Z di tiap corner point. (d) Identifikasi solusi optimal.

Jawaban (reveal setelah 5 menit)

Intercepts K1: (0,10) & (5,0) | K2: (0,4) & (8,0)
Titik B = K1∩K2: eliminasi → X2=2, X1=4 → B(4,2)

Titik	Z = 5X1+4X2
O(0,0)	0	—
A(0,4)	16	—
B(4,2)	28	★ OPTIMAL
C(5,0)	25	—

Solusi: 4 tas jinjing + 2 dompet → Z = Rp 28 ribu. K1 & K2 keduanya binding.

Sebelum kita beranjak ke kasus sepatu yang lebih kompleks, saya ingin memastikan bahwa semua orang sudah nyaman dengan prosedur dasar metode grafis yang baru saja kita pelajari. Silakan kerjakan soal mini LP ini selama 5 menit — sendiri atau berpasangan dengan teman di sebelah Anda. Soal ini sengaja dirancang sederhana (2 kendala, sama seperti kasus mebel) agar Anda bisa fokus melatih prosedur, bukan berjuang dengan aritmetika. Setelah 5 menit, kita bahas bersama — saya akan persilakan satu-dua mahasiswa membacakan jawaban mereka, lalu kita verifikasi bersama. Hasil yang diharapkan: Anda menemukan bahwa optimal ada di titik B(4, 2) dengan Z = 28 ribu — artinya produksi campuran 4 tas jinjing dan 2 dompet menghasilkan margin tertinggi, dan kedua kendala (waktu produksi dan bahan kulit) habis terpakai sekaligus sehingga keduanya binding.

Corner Points dengan 3+ Kendala — Prosedur Enumerasi & Uji Feasibility

Dengan 3+ kendala, tidak semua perpotongan garis menjadi corner point feasible. Gunakan tiga langkah ini:

1
Daftarkan SEMUA pasangan perpotongan (Ki × Kj), tiap garis × sumbu X1, tiap garis × sumbu X2.
2
Uji feasibility setiap kandidat — substitusikan ke SEMUA kendala; buang yang melanggar satu kendala pun.
3
Hanya titik yang lolos semua kendala (termasuk X1 ≥ 0, X2 ≥ 0) yang dihitung Z-nya.

Pratinjau: uji kandidat kasus sepatu Cibaduyut (3 kendala)

Kandidat	K1 ≤80?	K2 ≤30?	K3 ≤60?	Feasible?
(0, 20) — A	80 ≤ 80 √	20 ≤ 30 √	60 ≤ 60 √	Ya
(0, 30) — K2∩sumbu X2	120 > 80 ✗	30 ≤ 30 √	90 > 60 ✗	Tidak
(15, 15) — K2∩K3	90 > 80 ✗	30 ≤ 30 √	60 ≤ 60 √	Tidak
(20, 10) — B	80 ≤ 80 √	30 ≤ 30 √	50 ≤ 60 √	Ya

Prosedur di slide ini dirancang untuk kasus dengan tiga kendala atau lebih — persis seperti kasus sepatu Cibaduyut yang akan segera kita kerjakan. Begitu jumlah kendala bertambah, jumlah kandidat perpotongan juga bertambah secara kombinatorial: dengan tiga garis kendala ada tiga pasang perpotongan antar-garis, ditambah perpotongan dengan sumbu, sehingga total kandidat bisa delapan atau lebih. Tanpa prosedur sistematis, sangat mudah untuk menebak corner point dari grafik dan salah — terutama kalau gambar tidak terlalu akurat atau titik-titik berdekatan. Langkah uji feasibility (memeriksa apakah suatu titik memenuhi seluruh kendala) adalah kuncinya: setiap kandidat titik harus disubstitusikan ke seluruh kendala, dan hanya yang lulus semua kendala yang berhak menjadi corner point sejati. Pada kasus sepatu ini prosedur akan membuktikan bahwa dari semua kandidat hanya empat titik yang lolos — dan itu saja yang akan kita evaluasi Z-nya.

Bagian 3 dari 4

Hitung dari Nol: Sepatu Cibaduyut

Kasus baru dengan tiga kendala: pabrik sepatu kulit di Cibaduyut, Bandung — dua produk (sandal & sepatu formal), kendala mesin jahit, bahan kulit, dan kapasitas pengering.

Kasus Baru 3 Kendala Cibaduyut, Bandung

Kita pindah ke contoh kedua yang sengaja saya pilih dari industri sepatu Cibaduyut, Bandung, yang merupakan sentra produksi sepatu kulit terbesar di Indonesia dan sudah beroperasi sejak era 1920-an. Contoh ini lebih realistis dari mebel karena melibatkan tiga kendala produksi, sehingga jumlah corner points bisa lebih banyak dan prosedur yang sama harus diterapkan dengan lebih teliti. Industri alas kaki Indonesia pada tahun 2023 merupakan salah satu yang terbesar di ASEAN, dan pabrik-pabrik skala menengah seperti yang kita modelkan ini menghadapi masalah optimasi produksi nyata setiap harinya. Saya akan formulasikan modelnya bersama-sama di slide berikut, lalu kita selesaikan langkah demi langkah — perhatikan bagaimana prosedur yang sudah kita pelajari tetap sama meskipun kendalanya bertambah satu.

HDN-2 (a) — Sepatu Cibaduyut: Formulasi Model

Pabrik sepatu kulit kecil di Cibaduyut, Bandung. Dua produk: sandal (X1) dan sepatu formal (X2). Tiga sumber daya terbatas:

Sumber Daya	Per Sandal (X1)	Per Sepatu Formal (X2)	Kapasitas/Hari
Mesin jahit (jam)	2	4	80
Bahan kulit (dm²)	3	3	90
Kapasitas pengering (jam)	1	3	60
Margin kontribusi (Rp ribu)	50	80	—

Maks Z = 50X1 + 80X2 (Rp ribu/hari)
K1 (mesin jahit): 2X1 + 4X2 ≤ 80
K2 (kulit, ÷3): X1 + X2 ≤ 30
K3 (pengering): X1 + 3X2 ≤ 60
X1, X2 ≥ 0

Mari kita formulasikan modelnya bersama. Pabrik menghasilkan dua produk: sandal yang dilabeli X1 dan sepatu formal yang dilabeli X2. Margin kontribusi adalah pendapatan per unit dikurangi biaya variabel langsung, yang merupakan kontribusi per unit terhadap laba. Fungsi tujuannya adalah memaksimumkan total margin kontribusi per hari: Z = 50X1 + 80X2. Kemudian ada tiga kendala sumber daya: kapasitas mesin jahit (2 jam per sandal plus 4 jam per sepatu formal kurang dari atau sama dengan 80 jam per hari), ketersediaan bahan kulit dalam dm² atau desimeter persegi (3X1 + 3X2 kurang dari atau sama dengan 90 yang disederhanakan menjadi X1 + X2 kurang dari atau sama dengan 30 dengan membagi semua suku dengan 3 — langkah sah karena semua koefisien habis dibagi 3), dan kapasitas pengering (X1 + 3X2 kurang dari atau sama dengan 60 jam per hari). Dengan tiga kendala utama plus dua non-negativitas, kita potensial memiliki lebih banyak corner points dibanding kasus mebel.

HDN-2 (b) — Sepatu: Grafik, Feasible Region & Corner Points

Kendala	X1=0 → X2	X2=0 → X1
K1: 2X1+4X2=80	(0, 20)	(40, 0)
K2: X1+X2=30	(0, 30)	(30, 0)
K3: X1+3X2=60	(0, 20)	(60, 0)

Titik	X1	X2	Keterangan
O	0	0	Asal
A	0	20	K1 & K3 di sumbu X2
B	20	10	K1 ∩ K2
C	30	0	K2 ∩ sumbu X1

K1 & K3 keduanya melalui (0,20) — kasus khusus! (0,30) & (15,15) tidak feasible: K1: 4(30)=120>80 & 2(15)+4(15)=90>80.

Dengan tiga kendala, grafik menjadi lebih ramai, tetapi prosedurnya sama persis dengan yang sudah kita pelajari: enumerasi semua kandidat perpotongan, lalu uji feasibility satu per satu. Pertama, hitung intercepts setiap garis kendala — hasilnya ada di tabel di slide. Ada satu hal yang perlu saya tegaskan tentang titik A di (0, 20): ini adalah titik pada sumbu X2 yang membatasi feasible region, dan kebetulan baik K1 maupun K3 melewati titik yang sama itu — ini kasus khusus, biasanya tiap garis memotong sumbu di titik berbeda. Setelah ketiga garis tergambar, arsir daerah feasible dan gunakan tabel uji feasibility untuk membuang kandidat yang tidak lolos. Hasilnya adalah poligon dengan empat sudut saja: O, A, B, C. Koordinat titik B yang merupakan perpotongan K1 dan K2 dihitung dengan substitusi simultan menghasilkan B = (20, 10), seperti yang sudah kita verifikasi di Slide 15b.

HDN-2 (c) — Sepatu: Evaluasi Z & Solusi Optimal

Fungsi tujuan: Z = 50X1 + 80X2 (Rp ribu/hari)

Titik	X1	X2	Langkah: 50×X1 + 80×X2	Z (Rp ribu)
O (0, 0)	0	0	50(0) + 80(0)	0
A (0, 20)	0	20	50(0) + 80(20)	1.600
B (20, 10)	20	10	50(20) + 80(10) = 1.000 + 800	1.800 ★
C (30, 0)	30	0	50(30) + 80(0)	1.500

Solusi optimal: titik B → X1 = 20 sandal, X2 = 10 sepatu formal, Z = Rp 1.800 ribu/hari (Rp 1,8 juta/hari).

Verifikasi binding: K1 = 2(20)+4(10) = 80 (binding √) K2 = 20+10 = 30 (binding √) K3 = 20+3(10) = 50 ≤ 60 (non-binding, slack = 10 jam)

Setelah mengevaluasi Z di keempat corner point, hasilnya jelas: titik B dengan X1 = 20 dan X2 = 10 memberikan Z tertinggi sebesar Rp 1.800 ribu per hari atau Rp 1,8 juta per hari. Ini berarti pabrik sebaiknya memproduksi 20 pasang sandal dan 10 pasang sepatu formal setiap harinya untuk memaksimumkan margin kontribusinya. Perhatikan bahwa kedua variabel keputusan sudah bernilai bilangan bulat — tidak ada isu pembulatan di sini, sehingga solusi ini langsung dapat diimplementasikan. Verifikasi binding: K1 sama dengan 2(20)+4(10) = 80 yang memenuhi tepat kapasitas 80 jam sehingga binding; K2 sama dengan 20+10 = 30 tepat memenuhi kapasitas 30 sehingga binding; K3 sama dengan 20+3(10) = 50 lebih kecil dari 60 sehingga non-binding dengan slack 10 jam pengering masih tersisa. Ini artinya untuk meningkatkan pendapatan lebih lanjut, pabrik harus menambah kapasitas mesin jahit atau bahan kulit — bukan kapasitas pengering yang masih ada sisa.

Bagian 4 dari 4

Kasus Khusus & Verifikasi Excel

Tiga situasi LP yang tidak biasa (unbounded, infeasible, multiple optimal) dan cara verifikasi menggunakan Excel Solver.

Tak Terbatas Tak Feasible Ganda

Kasus Khusus 1 — Solusi Tidak Terbatas (Unbounded)

Definisi: Fungsi tujuan Z bisa ditingkatkan (untuk maksimasi) atau diturunkan (untuk minimasi) tanpa batas karena daerah feasible terbuka ke arah peningkatan Z.

Penyebab umum & respons

Kendala kapasitas lupa dituliskan
Model minimasi dengan feasible region terbuka ke bawah
Respons: periksa kendala yang terlewat, konsultasikan data operasional, tambahkan kendala yang hilang

Unbounded BUKAN berarti optimal tidak ada karena tidak dicari — Z bisa terus naik tanpa batas. Dalam praktik bisnis selalu ada batas fisik — model unbounded hampir pasti menandakan formulasi yang tidak lengkap.

Kasus unbounded adalah kasus yang dalam praktik biasanya mengindikasikan kesalahan formulasi model. Secara grafis, Anda mengenalinya ketika daerah feasible tidak membentuk poligon tertutup — ada sisi yang terbuka ke arah peningkatan Z, sehingga Anda selalu bisa bergerak lebih jauh dan mendapat Z yang lebih besar. Ini bisa terjadi misalnya jika Anda lupa memasukkan kendala kapasitas mesin maksimum atau kapasitas pasar. Dalam praktik bisnis nyata selalu ada batas — kapasitas fisik, pasar, atau modal — sehingga LP yang menghasilkan solusi unbounded hampir pasti menandakan model yang tidak lengkap. Respon yang tepat: periksa apakah ada kendala yang terlewat, konsultasikan kembali dengan manajer atau data operasional, dan tambahkan kendala yang hilang sebelum mencoba memecahkan LP itu lagi.

Kasus Khusus 2 — Tidak Feasible (Infeasible)

Definisi: Tidak ada titik (X1, X2) yang memenuhi SEMUA kendala secara bersamaan. Daerah feasible kosong.

Penyebab & solusi

Kendala saling bertentangan, mis. X1+X2 ≤ 10 sekaligus X1+X2 ≥ 20
Target produksi terlalu ambisius vs kapasitas tersedia
Solusi: identifikasi pasang kendala yang berkontradiksi, negosiasi dengan manajemen — relaksasi kendala atau revisi target

Infeasible BUKAN kegagalan solver — ini sinyal bahwa kendala-kendala model saling bertentangan. Analoginya: memesan kopi yang harus sekaligus panas dan dingin — permintaannya kontradiksi.

Kasus infeasible bisa terasa membingungkan pertama kali, tetapi interpretasinya sebenarnya sederhana: model Anda secara bersamaan mensyaratkan hal-hal yang tidak mungkin dipenuhi sekaligus. Secara grafis, tidak ada daerah yang masuk ke dalam semua arsiran kendala sekaligus, sehingga daerah feasible-nya kosong. Dalam konteks Indonesia, infeasible sering terjadi misalnya dalam perencanaan produksi pabrik tekstil di Jawa Tengah ketika target ekspor terlalu ambisius dibandingkan kapasitas mesin yang tersedia, atau ketika ada kesalahan data dalam memasukkan nilai kendala. Solusi praktisnya: identifikasi pasang kendala mana yang saling berkontradiksi, lalu bawa ke manajemen untuk negosiasi — apakah ada kendala yang bisa dilonggarkan misalnya dengan tambah jam lembur atau tambah bahan baku, atau apakah target produksi perlu direvisi agar lebih realistis sesuai kapasitas yang ada. Relaksasi kendala berarti melonggarkan persyaratan kendala, misalnya mengubah batas dari 10 menjadi 15.

Kasus Khusus 3 — Banyak Solusi Optimal (Multiple Optimal)

Definisi: Dua atau lebih titik berbeda memberikan nilai Z yang sama dan optimal. Jika terjadi di dua corner points bersebelahan, seluruh segmen antara keduanya juga optimal.

Mengapa terjadi?

Garis isoprofit (garis iso-laba — menghubungkan semua titik dengan nilai Z sama) sejajar dengan salah satu sisi poligon feasible.

Contoh mebel (HDN-1): kemiringan fungsi tujuan −600/400 = −1,5 = kemiringan K2 −3/2 = −1,5 → isoprofit sejajar segmen BC → B & C keduanya Z = 24.000 Rp ribu.

Multiple optimal menguntungkan — memberi fleksibilitas memilih kombinasi produksi sesuai pertimbangan non-finansial (kebijakan ketenagakerjaan, preferensi pelanggan).

Kita sudah menjumpai kasus ini di contoh mebel tadi, dan sekarang saya jelaskan mengapa bisa terjadi secara grafis. Ketika garis fungsi tujuan — yang disebut isoprofit line atau garis iso-laba yang menghubungkan semua titik dengan nilai Z sama — sejajar persis dengan salah satu sisi poligon feasible, maka seluruh segmen tersebut memberikan nilai Z yang sama. Analoginya: bayangkan Anda mendorong penggaris ke arah luar melawan poligon feasible sampai hampir tidak ada lagi yang tersentuh — biasanya hanya satu titik yang tersentuh terakhir, itulah solusi unik. Tetapi kalau pada saat mendorong seluruh satu sisi poligon bersentuhan sekaligus, itu berarti multiple optimal. Dalam kasus mebel, kemiringan fungsi tujuan minus 600 dibagi 400 = minus 1,5 sama persis dengan kemiringan garis K2 minus 3 dibagi 2 = minus 1,5, sehingga isoprofit sejajar dengan segmen BC. Dalam praktik di Indonesia, multiple optimal sebenarnya menguntungkan karena memberi fleksibilitas produksi.

Mengapa Hanya Corner Points? — Teorema Titik Ekstrem

Teorema ini adalah landasan matematis yang membenarkan seluruh prosedur metode grafis (dan metode Simpleks).

Pernyataan (disederhanakan)

Jika masalah LP memiliki solusi optimal, maka setidaknya satu solusi optimal berada di corner point dari daerah feasible. Jika solusi optimal unik, maka solusi itu hanya ada di corner point.

INTUISI GEOMETRI

Fungsi tujuan linear → isoprofit lines adalah garis-garis lurus sejajar. Mendorong garis lurus itu ke luar dari poligon convex (cembung — sifat daerah feasible LP yang menjamin Teorema ini), titik kontak terakhirnya pasti di sudut (vertex) atau pada sisi (multiple optimal).

IMPLIKASI PRAKTIS

Untuk LP dengan n corner points, Anda hanya perlu n evaluasi Z — tidak perlu cek tak terhingga titik di dalam daerah feasible. Ini keunggulan besar LP dibanding optimasi non-linear.

Teorema Titik Ekstrem memberikan jaminan matematis yang mendasari seluruh logika metode grafis dan metode Simpleks. Secara intuitif, bayangkan isoprofit lines sebagai serangkaian garis paralel yang masing-masing mewakili satu nilai Z tertentu — makin jauh garis itu dari titik asal, makin besar nilai Z-nya untuk masalah maksimasi. Sekarang bayangkan Anda mendorong garis-garis ini perlahan ke luar (menjauhi asal), dan pertanyaannya: di titik mana terakhir kali garis itu masih bersentuhan dengan daerah feasible (poligon)? Jawabannya: hampir pasti di salah satu sudut poligon, kecuali kalau garis fungsi tujuan kebetulan sejajar dengan satu sisi poligon yang menghasilkan multiple optimal. Karena daerah feasible LP selalu berbentuk convex yaitu cembung — sifat yang mengikuti dari sifat linear kendala-kendalanya — maka jaminan ini selalu berlaku. Implikasi praktisnya: untuk LP dengan n corner points, Anda hanya perlu menghitung Z sebanyak n kali, bukan mengecek tak terhingga titik di dalam daerah feasible.

Verifikasi dengan Excel Solver

Excel Solver (add-in gratis bawaan Microsoft Excel) dapat menyelesaikan LP dengan cepat — digunakan untuk verifikasi hasil metode grafis dan untuk LP lebih dari 2 variabel.

1
Buat tabel di Excel: sel X1, X2, sel fungsi tujuan (=600*X1+400*X2), sel tiap kendala.
2
Aktifkan Solver: File → Options → Add-Ins → Solver Add-in → Go → centang → OK.
3
Buka Solver: Data → Solver. Set Objective = sel Z. To: Max. By Changing: sel X1 & X2.
4
Tambahkan kendala: Add → sel kendala ≤ nilai RHS. Centang Non-Negative.
5
Solving Method: pilih Simplex LP. Klik Solve. Baca hasil & Sensitivity Report.

Layout Excel (Kasus Mebel)

X1 (kursi) 0 
X2 (meja) 0 
Z ==600*X1+400*X2
K1 (kayu)=2*X1+4*X2
K2 (TK)=3*X1+2*X2

Solver akan mengkonfirmasi: X1=20 atau 40, X2=30 atau 0, Z = 24.000 (multiple optimal). Sensitivity Report akan dibahas di Pertemuan 5.

Excel Solver adalah alat yang wajib Anda kuasai sebagai mahasiswa Manajemen Sains karena ia akan membebaskan Anda dari kalkulasi manual untuk LP dengan banyak variabel dan banyak kendala. Namun pesan saya tegas: pahami dulu metode grafis dengan baik sebelum mengandalkan Solver, karena tanpa pemahaman konseptual yang solid Anda tidak akan bisa menginterpretasikan output Solver atau mendeteksi kalau ada kesalahan input. Enam langkah di slide ini cukup untuk menjalankan Solver pada kasus sederhana — praktikkan di komputer Anda malam ini dengan kasus mebel atau sepatu yang sudah kita kerjakan bersama. Di Pertemuan 4 (Simpleks) dan Pertemuan 5 (Analisis Sensitivitas), Anda akan semakin intensif menggunakan Solver, termasuk membaca Sensitivity Report yang memberikan informasi berharga tentang bagaimana solusi berubah kalau parameter model berubah. Untuk sekarang, cukup verifikasi bahwa Solver mengkonfirmasi hasil manual Anda.

Rangkuman — Peta Konsep Metode Grafis LP

Batas metode grafis: hanya 2 variabel. Untuk 3+ variabel → Metode Simpleks (P4). Tapi logikanya sama: cari corner point terbaik.

Peta konsep ini merangkum keseluruhan Pertemuan 3 dalam satu gambar, dan saya sarankan Anda menggambar ini di buku catatan Anda dengan kata-kata Anda sendiri sebagai latihan memori. Inti dari metode grafis adalah lima langkah berurutan yang tidak boleh dilompati, berujung pada evaluasi Z di semua corner points dan pemilihan yang terbaik. Pemahaman tentang corner points terdiri dari tiga jenis (asal, intercept sumbu, dan perpotongan dua garis), dan masing-masing memerlukan cara hitung yang sedikit berbeda. Interpretasi melampaui sekadar menemukan titik optimal: kita juga harus memahami kendala mana yang binding dan apa implikasinya bagi manajemen sumber daya. Tiga kasus khusus (unbounded, infeasible, multiple optimal) tidak selalu muncul, tetapi ketika muncul Anda harus bisa mengenalinya dari grafik dan menginterpretasikannya dengan benar. Terakhir, ingat bahwa Excel Solver adalah mitra alat Anda — ia memverifikasi, mempercepat, dan di pertemuan berikutnya akan membawa kita ke LP dengan variabel yang jauh lebih banyak dari dua.

Persiapan Pertemuan 4 — Metode Simpleks

YANG SUDAH ANDA KUASAI (P3)

Menggambar garis kendala LP
Mengarsir daerah feasible
Menghitung corner points via substitusi simultan
Mengidentifikasi solusi optimal
Binding vs non-binding (slack)
Tiga kasus khusus LP

YANG AKAN DIPELAJARI (P4 — SIMPLEKS)

Algoritma iterasi berbasis tabel Simpleks
Variabel slack dan variabel artifisial
Pivot operations
LP dengan 3+ variabel
Basis feasible solutions

Tugas sebelum P4: Buka Excel, aktifkan Solver, setup kasus mebel dan sepatu, verifikasi hasilnya sama dengan yang kita hitung tangan hari ini. Kerjakan juga soal Lampiran B (nomor 1–3) untuk memastikan penguasaan metode grafis.
Variabel slack: variabel tambahan yang mengubah pertidaksamaan jadi persamaan — dibahas detail P4. Basis feasible solution: versi aljabar dari corner point — dibahas P4.

Kita sampai di akhir Pertemuan 3, dan hari ini Anda telah menguasai metode grafis LP secara lengkap — dari menggambar hingga menginterpretasikan solusi optimal beserta kasus-kasus khususnya. Checklist di kolom kiri adalah pencapaian Anda hari ini; saya harap Anda bisa mencentang semuanya. Pertemuan 4 akan memperluas kemampuan ini dengan metode Simpleks, yang adalah algoritma yang bisa menangani LP dengan puluhan atau bahkan ratusan variabel — inilah yang dipakai oleh software riset operasi profesional. Fondasi yang Anda bangun hari ini sangat penting: pemahaman tentang corner points, daerah feasible, dan evaluasi Z adalah persis apa yang metode Simpleks lakukan secara sistematis dengan tabel aljabar. Tugas praktis untuk malam ini: buka Excel, aktifkan Solver, masukkan kasus mebel atau sepatu, dan verifikasi hasilnya. Kalau hasilnya cocok dengan yang kita hitung tangan, Anda berarti sudah siap mental dan teknis untuk Pertemuan 4. Selamat belajar dan sampai jumpa di pertemuan berikutnya.

Rekap Aritmetika — Dua Kasus HDN Penuh

HDN-1 Mebel: Z = 600X1 + 400X2

Titik	600·X1	400·X2	Z (Rp ribu)
O (0,0)	0	0	0
A (0,40)	0	16.000	16.000
B (20,30)	12.000	12.000	24.000 ★
C (40,0)	24.000	0	24.000 ★

Multiple optimal: B & C keduanya Z = Rp 24 juta

HDN-2 Sepatu: Z = 50X1 + 80X2

Titik	50·X1	80·X2	Z (Rp ribu)
O (0,0)	0	0	0
A (0,20)	0	1.600	1.600
B (20,10)	1.000	800	1.800 ★
C (30,0)	1.500	0	1.500

Solusi unik: B(20,10) → Z = Rp 1,8 juta/hari

Rangkuman angka kunci dari Lampiran A: Mebel: titik B(20,30) & C(40,0) Z=24.000; Sepatu: titik B(20,10) Z=1.800, slack K3=10 jam.

Slide penutup ini merangkum seluruh aritmetika dari dua kasus Hitung dari Nol yang kita kerjakan hari ini. Jadikan tabel ini referensi cepat saat Anda mengerjakan latihan Lampiran B di rumah. Perhatikan perbedaan antara dua kasus: mebel menghasilkan multiple optimal (dua titik sama-sama Z = Rp 24 juta) sementara sepatu menghasilkan solusi unik tunggal di titik B (Rp 1,8 juta per hari). Di kasus sepatu, K3 non-binding dengan slack 10 jam pengering tersisa — artinya kapasitas pengering masih longgar dan tidak perlu diperhatikan kalau ingin meningkatkan Z, berbeda dengan K1 dan K2 yang keduanya binding dan menjadi bottleneck produksi. Simpan angka-angka ini dengan baik karena Anda akan membutuhkannya sebagai referensi di Pertemuan 4 ketika kita menyelesaikan kasus yang sama dengan metode Simpleks untuk membuktikan bahwa kedua metode memberikan hasil yang identik.

📖 Baca juga: Dcf Valuation — penjelasan mendalam dan contoh numerik.

X1 (kursi)	0
X2 (meja)	0
Z =	=600X1+400X2
K1 (kayu)	=2X1+4X2
K2 (TK)	=3X1+2X2