Program Studi Manajemen • FEB UNDIP

Manajemen Sains

Pertemuan 2 — Pemrograman Linier: Konsep & Formulasi

Bagaimana cara memaksimalkan profit atau meminimalkan biaya ketika sumber daya terbatas? Jawabannya: modelkan masalahnya secara matematis, lalu selesaikan secara sistematis.

RPS MINGGU 2 • SUB-CPMK 1 • DURASI 2 × 50 MENIT

Selamat datang di Pertemuan 2 Manajemen Sains. Minggu lalu kita membahas gambaran besar bidang ini — hari ini kita masuk ke alat paling fundamental sekaligus paling banyak dipakai: Pemrograman Linier atau LP (singkatan dari Linear Programming). LP adalah teknik yang membantu pengambil keputusan menjawab pertanyaan paling praktis dalam bisnis: dengan sumber daya yang terbatas, bagaimana kita memilih bauran terbaik sehingga keuntungan maksimal atau biaya minimal? Dari jadwal tenaga kerja Garuda Indonesia, alokasi anggaran iklan Unilever Indonesia, hingga jadwal produksi pabrik kertas di Riau — semuanya bisa dipecahkan dengan LP. Pertemuan ini berfokus pada fondasi: memahami konsep, mengenal asumsinya, dan melatih formulasi. Kalau Anda bisa memformulasikan masalah dengan benar, setengah pekerjaan sudah selesai — komputasinya bisa dikerjakan software.

Tujuan Pembelajaran Hari Ini

Setelah pertemuan ini, Anda diharapkan mampu menjelaskan LP — konsep & formulasi (Sub-CPMK 1). Secara rinci:

CAPAIAN 1 — ASUMSI

ASUMSI

Menyebutkan dan menjelaskan empat asumsi LP (linearitas, divisibilitas, kepastian, non-negativitas) beserta implikasi manajerialnya.

CAPAIAN 2 — KOMPONEN

KOMPONEN

Mengidentifikasi variabel keputusan, fungsi tujuan, dan kendala dari narasi masalah bisnis nyata.

CAPAIAN 3 — FORMULASI

FORMULASI

Menuliskan model LP lengkap dalam notasi matematis standar untuk dua kasus berbeda.

CAPAIAN 4 — INTERPRETASI

INTERPRETASI

Menginterpretasikan solusi optimal LP secara manajerial dan berkenalan dengan Excel Solver.

Ada empat capaian yang harus Anda bawa pulang hari ini. Pertama, memahami asumsi LP — ini sering diabaikan mahasiswa padahal penting karena menentukan apakah sebuah masalah boleh dijawab dengan LP. Kedua, mampu "membaca" narasi masalah bisnis dan mengidentifikasi tiga komponen model: apa yang kita putuskan, apa yang ingin kita capai, dan apa saja batasannya. Ketiga, menulis model matematis yang lengkap — tidak cukup hanya intuitif; kita harus bisa menulis dalam notasi standar yang bisa dibaca oleh manusia maupun software. Keempat, menginterpretasikan solusi: angka yang keluar dari solver harus diterjemahkan kembali menjadi rekomendasi yang bermakna bagi manajer, dan Anda akan mendapat pengenalan awal Excel Solver sebagai alat komputasi. Capaian satu sampai tiga adalah inti hari ini; capaian empat akan terus diperdalam di pertemuan berikutnya.

Masalah Klasik: Pabrik Mebel Jepara

Bayangkan Anda Manajer Produksi di Jepara. Sebuah pabrik mebel ekspor (Jawa Tengah) memproduksi dua produk: Meja (X₁) dan Kursi (X₂).

	Meja (X₁)	Kursi (X₂)	Kapasitas/minggu
Profit	Rp 600 rb/unit	Rp 400 rb/unit	—
Jam kerja	4 jam/unit	3 jam/unit	240 jam
Kayu	3 unit/unit meja	2 unit/unit kursi	180 unit

Pertanyaan: Berapa meja dan kursi yang harus diproduksi tiap minggu agar profit total maksimal? Hari ini kita belajar cara menyusun pertanyaan itu menjadi model matematis yang bisa dipecahkan.

Bagian 1 dari 4

Apa & Mengapa LP?

Definisi, posisi LP dalam lanskap Manajemen Sains, dan tiga pertanyaan diagnostik sebelum kita memilih LP sebagai alat.

Definisi Konteks

Pemrograman Linier (LP) — Definisi

LP (Linear Programming / Pemrograman Linier) adalah teknik optimasi matematis untuk memaksimalkan atau meminimalkan sebuah fungsi tujuan linear dengan memilih nilai variabel keputusan, tunduk pada sekumpulan kendala linear.

KATA KUNCI 1

LINEAR

Fungsi tujuan & kendala berbentuk garis lurus — tidak ada pangkat, akar, atau perkalian antarvariabel.

KATA KUNCI 2

PROGRAM

"Programming" = merencanakan (bukan coding). Dikembangkan George Dantzig (1947) untuk logistik militer.

KATA KUNCI 3

OPTIMASI

Bukan sekadar "cukup baik" — mencari nilai terbaik secara matematis (maksimum atau minimum absolut).

Posisi LP dalam Manajemen Sains: LP → Integer LP → Nonlinear Programming → Jaringan → Simulasi (makin kompleks ke kanan)

Nama "Programming" sering menyesatkan mahasiswa modern yang langsung mengira ini tentang coding komputer. Sebenarnya kata "programming" di sini berasal dari bahasa Inggris tahun 1940-an yang artinya "merencanakan" atau "menyusun jadwal" — LP dikembangkan oleh George Dantzig pada 1947 untuk merencanakan logistik Angkatan Udara Amerika, jauh sebelum komputer modern ada. Yang benar-benar penting dari nama LP adalah kata "Linear": semua hubungan dalam model harus berupa garis lurus — fungsi tujuannya linear, semua kendatanya linear, tidak ada perkalian antarvariabel, tidak ada pangkat dua atau akar. Dalam praktiknya LP adalah salah satu ujung dari spektrum model optimasi: paling sederhana asumsinya tapi sudah sangat berguna untuk puluhan kategori masalah nyata, dan itulah alasannya kita pelajari pertama dalam mata kuliah ini.

Tiga Pertanyaan Sebelum Memilih LP

Sebelum menulis model, tanya dulu tiga hal ini secara berurutan:

Q1 — ADA KEPUTUSAN?

?✔

Apakah ada variabel yang bisa kita kendalikan (berapa unit diproduksi, berapa dana dialokasikan)? Kalau tidak ada, tidak perlu LP.

Q2 — ADA TUJUAN?

★✔

Apakah ada satu ukuran yang ingin dimaksimalkan atau diminimalkan (profit, biaya, waktu)? LP hanya punya satu fungsi tujuan.

Q3 — ADA KENDALA?

⛔✔

Apakah ada batasan sumber daya atau syarat yang harus dipenuhi? Tanpa kendala, jawabannya trivial.

Kalau ketiga jawaban "ya", LP adalah kandidat kuat. Lanjut ke cek asumsi linear di Bagian 2.

Sebelum mulai menulis angka dan simbol, biasakan bertanya tiga pertanyaan ini secara berurutan. Pertanyaan pertama: apakah ada sesuatu yang benar-benar bisa kita putuskan dan kendalikan? Kalau tidak ada variabel keputusan, tidak ada yang dioptimalkan dan LP tidak diperlukan. Pertanyaan kedua: apakah ada satu ukuran keberhasilan yang ingin kita capai setinggi-tingginya atau serendah-rendahnya? LP memerlukan tepat satu fungsi tujuan; kalau ada dua tujuan yang saling bertentangan, itu masalah multi-objektif yang memerlukan pendekatan berbeda. Pertanyaan ketiga: apakah ada batasan yang mencegah kita memilih nilai variabel keputusan sembarangan? Kalau tidak ada kendala, jawabannya tentu "produksi sebanyak mungkin" — tidak perlu LP. Ketiga pertanyaan ini seperti rambu lalu lintas sebelum memasuki jalan LP.

Bagian 2 dari 4

Empat Asumsi & Komponen Model LP

Dua slide asumsi (4 butir) — lalu tiga slide komponen: variabel keputusan, fungsi tujuan, kendala.

Asumsi Komponen

Asumsi 1 & 2: Linearitas + Divisibilitas

ASUMSI 1 — LINEARITAS (Proportionality)

LINEAR

Kontribusi tiap variabel terhadap fungsi tujuan dan kendala proporsional dengan nilainya. Kalau 1 meja butuh 4 jam, maka 10 meja butuh tepat 40 jam. Tidak ada diskon volume, tidak ada skala ekonomis, tidak ada fungsi lengkung.

Contoh pelanggaran: "Profit per unit naik saat produksi > 100 unit (diskon bahan baku)" → tidak linear, LP tidak cocok.

ASUMSI 2 — DIVISIBILITAS (Divisibility)

PECAHAN

Variabel keputusan boleh bernilai pecahan — tidak harus bilangan bulat. Kalau optimal menghasilkan 7,5 meja → model menerima itu. Kalau realitas menuntut bilangan bulat → gunakan Integer Programming (IP).

Contoh pelanggaran: "Tidak mungkin produksi setengah pesawat" → butuh Integer LP.

Asumsi pertama, linearitas atau proportionality, adalah inti dari nama "Linear" itu sendiri. Artinya, jika satu unit meja butuh empat jam kerja, maka sepuluh meja butuh empat puluh jam — tanpa diskon, tanpa kenaikan tiba-tiba, selalu proporsional. Di dunia nyata asumsi ini kadang dilanggar: banyak bisnis menikmati diskon harga bahan baku saat membeli dalam jumlah besar, yang artinya hubungannya tidak lagi linear. Ketika itu terjadi, kita perlu model Non-Linear Programming. Asumsi kedua, divisibilitas, berarti LP tidak peduli apakah jawaban optimalnya bilangan bulat atau pecahan — 7,5 unit meja adalah jawaban yang sah secara matematis. Ini kelemahan LP untuk masalah tertentu: tidak mungkin memproduksi setengah kendaraan atau mengangkut setengah kontainer. Untuk kasus seperti itu, Integer Programming adalah pilihan yang tepat, meski jauh lebih berat secara komputasi.

Asumsi 3 & 4: Kepastian + Non-Negativitas

ASUMSI 3 — KEPASTIAN (Certainty)

PASTI

Semua parameter model diketahui pasti dan tidak berubah selama periode perencanaan. Profit per unit, jam kerja per unit, kapasitas tersedia — semua angka deterministik, bukan rentang atau distribusi probabilitas.

Catatan praktis: Kalau parameter tidak pasti → LP tetap berguna sebagai analisis skenario (ubah parameter → lihat perubahan optimal) atau gunakan Stochastic Programming.

ASUMSI 4 — NON-NEGATIVITAS

≥ 0

Variabel keputusan tidak boleh negatif: X₁ ≥ 0, X₂ ≥ 0. Tidak ada "produksi negatif" atau "alokasi negatif" — secara fisik tidak masuk akal.

Kenapa ditulis eksplisit? Karena perlu dimasukkan sebagai kendala tambahan di model — solver tidak tahu batasan ini kecuali kita tuliskan.

Asumsi kepastian sering menjadi sumber kekhawatiran praktisi, karena di dunia nyata harga bahan baku bisa naik turun, permintaan tidak pasti, dan kapasitas bisa berubah. Respons yang benar bukan menolak LP, melainkan memakainya dengan bijak: jalankan model untuk satu set parameter yang representatif, lalu lakukan analisis sensitivitas — "kalau profit per meja turun jadi Rp 500 ribu, apakah rekomendasi berubah?" Dengan cara itu ketidakpastian tetap bisa ditangani secara pragmatis. Asumsi keempat, non-negativitas, terlihat sepele tapi secara teknis sangat penting: kita harus menuliskan X₁ ≥ 0 dan X₂ ≥ 0 secara eksplisit sebagai bagian dari model, karena secara matematis solver tidak akan tahu batasan ini kecuali kita tuliskan. Tanpa syarat non-negativitas, solver mungkin menghasilkan solusi negatif yang tidak ada artinya secara fisik.

Tiga Pilar Model LP

PILAR 1 — VARIABEL KEPUTUSAN

X₁, X₂

Apa yang kita putuskan? Simbol mewakili besaran yang nilainya akan ditentukan model.
Contoh: X₁ = jumlah meja, X₂ = jumlah kursi (unit/minggu)

PILAR 2 — FUNGSI TUJUAN (Z)

Maks Z

Apa yang ingin dicapai? Fungsi linear dari variabel keputusan. Maksimasi (profit, pendapatan) atau minimasi (biaya, waktu).
Contoh: Maks Z = 600X₁ + 400X₂

PILAR 3 — KENDALA

≤ / ≥ / =

Apa batasannya? Pertidaksamaan atau persamaan linear: (a) kendala sumber daya, (b) syarat pasar, (c) non-negativitas.
Contoh: 4X₁ + 3X₂ ≤ 240

Urutan kerja: (1) definisikan variabel → (2) tulis fungsi tujuan → (3) tulis semua kendala. Jangan dibalik — variabel keputusan yang ambigu membuat fungsi tujuan dan kendala tidak bisa ditulis.

Variabel Keputusan — Mendefinisikan dengan Tepat

Variabel keputusan harus didefinisikan seeksplisit mungkin: satuan, periode waktu, dan konteks.

✗ BURUK

Misalkan X₁ = meja.

Tidak jelas satuannya. Tidak jelas periode waktunya. Model tidak bisa dihitung.

✓ BAIK

Misalkan X₁ = jumlah unit meja yang diproduksi per minggu.
X₂ = jumlah unit kursi yang diproduksi per minggu.

Ada satuan (unit), ada periode (minggu), ada konteks (diproduksi).

Jebakan: Jangan mendefinisikan variabel sebagai sesuatu yang tidak bisa dikendalikan (harga pasar, permintaan, kebijakan pemerintah). Variabel keputusan = yang bisa kita pilih dan ubah.

Fungsi Tujuan — Linear & Satu

Fungsi tujuan mengekspresikan nilai yang ingin dioptimalkan sebagai kombinasi linear variabel keputusan.

Maks Z = c₁X₁ + c₂X₂ + … + cₙXₙ

Min Z = c₁X₁ + c₂X₂ + … + cₙXₙ

Konteks	Tipe Tujuan	Contoh
Produksi / Penjualan	Maks profit	Maks Z = 600X₁ + 400X₂
Pengadaan / Biaya	Min biaya	Min Z = 5.000X₁ + 3.000X₂
Transportasi	Min jarak/biaya	Min Z = cᵢ⬅ Xᵢ⬅ + …
Portofolio	Maks return	Maks Z = r₁X₁ + r₂X₂ + …

LP hanya punya satu fungsi tujuan. Kalau ada dua tujuan (maks profit DAN maks kualitas) → multi-criteria decision making, bukan LP standar.

Fungsi tujuan adalah pernyataan matematis dari apa yang ingin kita capai. Bentuknya selalu kombinasi linear: kalikan jumlah setiap produk atau aktivitas dengan kontribusinya per unit, lalu jumlahkan semuanya. Kalau kita ingin memaksimalkan profit, kita tulis "Maks Z = 600X₁ + 400X₂" — artinya setiap meja menyumbang enam ratus ribu dan setiap kursi empat ratus ribu ke total profit. Koefisien c₁, c₂ dst. disebut koefisien tujuan — yaitu kontribusi per unit variabel terhadap fungsi tujuan. Yang penting diingat: LP hanya bisa menangani satu fungsi tujuan; kalau manajer menginginkan dua hal sekaligus, misalnya memaksimalkan profit sambil meminimalkan emisi karbon, itu adalah masalah multi-kriteria yang memerlukan pendekatan berbeda. Dalam konteks kuliah ini, semua masalah LP memiliki tepat satu fungsi tujuan.

Kendala — Batas yang Membentuk Wilayah Layak

Setiap kendala membatasi nilai variabel keputusan. Kendala LP selalu berupa pertidaksamaan atau persamaan linear.

Tipe	Simbol	Arti	Contoh
Kapasitas sumber daya	≤	Tidak boleh melebihi	Jam kerja ≤ 240
Syarat minimum produksi	≥	Tidak boleh kurang dari	Pesanan min ≥ 50 unit
Keseimbangan / persamaan	=	Tepat sama	Total alokasi = 100%
Non-negativitas	≥ 0	Tidak boleh negatif	X₁, X₂ ≥ 0

Wilayah layak (feasible region) = semua titik (X₁, X₂) yang memenuhi semua kendala secara bersamaan. Solusi optimal berada di dalam (atau di batas) wilayah ini.

Kendala adalah jantung dari LP karena merekalah yang membuat masalah menjadi tidak trivial. Ada empat tipe utama: kendala "kurang dari atau sama dengan" untuk sumber daya yang terbatas (jam kerja maksimum, anggaran maksimum), kendala "lebih dari atau sama dengan" untuk syarat minimum (pesanan wajib, standar kualitas), kendala persamaan untuk keseimbangan yang harus tepat (total alokasi harus 100%), dan syarat non-negativitas yang selalu ada di semua model LP. Bersama-sama, semua kendala ini membentuk apa yang kita sebut wilayah layak, yaitu area yang berisi semua kombinasi variabel yang "dibolehkan" secara fisik dan logis. Solusi optimal yang dicari LP selalu berada di dalam atau di batas wilayah layak ini. Konsep wilayah layak ini akan sangat penting saat kita belajar metode grafis di Pertemuan 3.

Bagian 3 dari 4

Formulasi LP dari Nol

Dua "Hitung dari Nol" penuh: (1) Mebel Jepara — produksi dua produk, (2) Alokasi Anggaran Pemasaran digital vs cetak.

Mebel Pemasaran

Hitung dari Nol — HDN-1: Formulasi Mebel Jepara

Pabrik mebel Jepara: Meja (X₁, profit Rp 600 rb/unit, 4 jam + 3 kayu) dan Kursi (X₂, profit Rp 400 rb/unit, 3 jam + 2 kayu). Kapasitas: 240 jam & 180 unit kayu per minggu.

Langkah	Perhitungan / Uraian	Nilai / Hasil
1 — Variabel	X₁ = unit meja/minggu \| X₂ = unit kursi/minggu	Definisi jelas + satuan
2 — Fungsi Tujuan	Maks Z = 600.000 × X₁ + 400.000 × X₂	Koefisien = profit/unit (Rp)
3 — Kendala Jam	4X₁ + 3X₂ ≤ 240	Jam terpakai ≤ jam tersedia
4 — Kendala Kayu	3X₁ + 2X₂ ≤ 180	Kayu terpakai ≤ kayu tersedia
5 — Non-Negativitas	X₁ ≥ 0, X₂ ≥ 0	Produksi tidak negatif

Maks Z = 600.000 X₁ + 400.000 X₂
s.t. 4X₁ + 3X₂ ≤ 240   [jam kerja]
        3X₁ + 2X₂ ≤ 180   [kayu]
        X₁, X₂ ≥ 0

Model ini selesai dan siap diselesaikan. "s.t." = subject to (tunduk pada). Solusi optimal ditemukan di Pertemuan 3 (metode grafis).

Mari kita formulasikan masalah mebel Jepara langkah demi langkah. Langkah pertama, definisikan variabel dengan jelas: X₁ adalah jumlah unit meja yang diproduksi per minggu, dan X₂ adalah jumlah unit kursi yang diproduksi per minggu. Langkah kedua, tulis fungsi tujuan: karena ingin memaksimalkan profit, Z sama dengan enam ratus ribu dikali X₁ ditambah empat ratus ribu dikali X₂ — koefisiennya adalah profit per unit masing-masing produk. Langkah ketiga dan keempat adalah kendala sumber daya: setiap meja butuh empat jam dan setiap kursi tiga jam, total tidak boleh melebihi 240 jam, jadi kendala pertama adalah 4X₁ + 3X₂ ≤ 240. Serupa untuk kayu: 3X₁ + 2X₂ ≤ 180. Langkah kelima adalah syarat non-negativitas yang selalu ada. Model ini sudah lengkap dan siap diselesaikan — di pertemuan berikutnya kita akan menggambar wilayah layaknya secara grafis dan menemukan titik optimalnya.

Bentuk Umum LP (Canonical / General Form)

Model LP dapat ditulis untuk n variabel dan m kendala:

Maks (atau Min) Z = c₁X₁ + c₂X₂ + … + cₙXₙ
s.t. a₁₁X₁ + a₁₂X₂ + … + a₁ₙXₙ ≤ b₁ [Kendala 1]
        a₂₁X₁ + a₂₂X₂ + … + a₂ₙXₙ ≤ b₂ [Kendala 2]
        ⋮
        aᵐ₁X₁ + aᵐ₂X₂ + … + aᵐₙXₙ ≤ bᵐ [Kendala m]
        X₁, X₂, …, Xₙ ≥ 0

c₁, c₂, …

Koefisien tujuan — profit/biaya per unit X₁

aᵢ⬅

Koefisien teknis — sumber daya i per unit variabel j

bᵢ

Sisi kanan (RHS) — kapasitas sumber daya ke-i

Catatan terminologi: Bentuk kendala ≤ di atas = canonical/general form. Untuk algoritma Simplex, kendala ≤ dikonversi menjadi persamaan (=) dengan menambah slack variable — itulah standard form (Hillier-Lieberman Ch. 4, Taha Ch. 3). Konversi ini dibahas di P3/P4.

Setelah melihat satu contoh konkret, saatnya menggeneralisasi ke bentuk umum LP atau yang sering disebut canonical form. Pada bentuk umum ini, c₁ adalah kontribusi per unit variabel X₁ terhadap fungsi tujuan — untuk meja adalah enam ratus ribu. Aᵢ⬅ adalah koefisien teknis, yaitu berapa banyak sumber daya i yang dipakai oleh satu unit variabel j — untuk meja di kendala jam kerja, a₁₁ = 4. Dan bᵢ adalah kapasitas tersedia untuk sumber daya ke-i — untuk jam kerja, b₁ = 240. Satu hal yang perlu dicatat untuk akurasi terminologi: dalam literatur OR baku seperti Hillier-Lieberman dan Taha, istilah "standard form" justru merujuk pada bentuk di mana SEMUA kendala telah dikonversi menjadi persamaan dengan menambahkan slack variable. Bentuk kendala ≤ yang kita susun ini adalah canonical form, dan itu sudah cukup untuk formulasi; nanti di P3/P4 kita akan lihat bagaimana Simplex memerlukan konversi tambahan.

Membaca Model LP Seperti Seorang Manajer

Tiap baris model LP punya makna bisnis yang harus bisa dijelaskan kepada manajemen.

Ekspresi Matematis	Makna Manajerial
Maks Z = 600.000X₁ + 400.000X₂	"Maksimalkan total profit mingguan pabrik dari penjualan meja dan kursi."
4X₁ + 3X₂ ≤ 240	"Total jam kerja yang dipakai tidak boleh melebihi kapasitas 240 jam/minggu."
3X₁ + 2X₂ ≤ 180	"Total bahan kayu yang terpakai tidak boleh melebihi stok 180 unit/minggu."
X₁, X₂ ≥ 0	"Tidak mungkin memproduksi dalam jumlah negatif — keduanya minimal nol."

Kemampuan menerjemahkan model ke bahasa bisnis adalah keahlian yang membedakan analis yang hanya "hitung" dari yang bisa memberi rekomendasi bermakna kepada klien atau atasan.

Hitung dari Nol — HDN-2: Alokasi Anggaran Pemasaran

Perusahaan FMCG (Fast-Moving Consumer Goods — barang konsumsi berputar cepat) mengalokasikan anggaran Rp 100 juta/bulan antara iklan digital (X₁) dan media cetak (X₂). Jangkauan: digital 5.000 orang/juta Rp, cetak 3.000 orang/juta Rp. Syarat: digital ≥ Rp 20 juta; cetak ≥ Rp 10 juta. Tujuan: maksimalkan total jangkauan.

Langkah	Perhitungan / Uraian	Nilai / Hasil
1 — Variabel	X₁ = anggaran digital (juta Rp/bln) \| X₂ = anggaran cetak (juta Rp/bln)	Satuan: juta Rp
2 — Fungsi Tujuan	Maks Z = 5.000 X₁ + 3.000 X₂	Z = total jangkauan (orang)
3 — Total Anggaran	X₁ + X₂ ≤ 100	Tidak boleh melebihi Rp 100 juta
4 — Min Digital	X₁ ≥ 20	Wajib ≥ Rp 20 juta
5 — Min Cetak	X₂ ≥ 10	Wajib ≥ Rp 10 juta
6 — Non-Negativitas	X₁, X₂ ≥ 0	Otomatis terpenuhi oleh kendala 4 & 5; tetap ditulis konvensi LP

Maks Z = 5.000 X₁ + 3.000 X₂
s.t. X₁ + X₂ ≤ 100 [anggaran total] | X₁ ≥ 20 [min digital] | X₂ ≥ 10 [min cetak]
X₁, X₂ ≥ 0

Kasus kedua ini sengaja dirancang berbeda dari kasus mebel agar Anda melihat bahwa LP tidak hanya untuk produksi, tetapi juga untuk keputusan pemasaran. Perhatikan beberapa perbedaan penting. Pertama, satuan variabel bukan "unit produk" melainkan "juta rupiah" — variabel keputusan adalah alokasi dana, bukan jumlah barang. Kedua, ada kendala tipe "lebih dari atau sama dengan" (X₁ ≥ 20 dan X₂ ≥ 10), yang mewakili syarat minimum, berbeda dari kendala kapasitas tipe "kurang dari atau sama dengan" di kasus mebel. Ketiga, syarat non-negativitas di sini secara teknis sudah ter-implied oleh kendala minimum, tetapi tetap harus ditulis untuk kelengkapan formal model LP. Dengan model ini, seorang analis bisa memberi rekomendasi berbasis data kepada manajer pemasaran — angka optimal X₁ dan X₂ yang memaksimalkan jangkauan total tanpa melanggar batasan anggaran maupun syarat minimum.

Bagian 4 dari 4

Klasifikasi, Interpretasi Solusi, & Excel Solver

Lima kategori masalah LP → dua anchor Indonesia → panduan interpretasi manajerial → pengenalan Excel Solver.

Klasifikasi Interpretasi Solver

Lima Kategori Masalah LP yang Umum

Kategori	Tujuan	Variabel	Contoh Indonesia
Produksi / Bauran Produk	Maks profit	Jml unit tiap produk	Mebel Jepara, Batik Pekalongan
Alokasi Sumber Daya	Maks output / Min biaya	Alokasi ke aktivitas	Anggaran iklan FMCG, SDM per divisi
Campuran / Blending	Min biaya	Proporsi bahan	Formula pakan ternak, blending BBM Pertamina
Jadwal / Penugasan	Min biaya / Min deviasi	Penugasan personel	Jadwal perawat RS, kru penerbangan Garuda
Transportasi / Distribusi	Min biaya pengiriman	Volume antar-rute	Distribusi Indomaret dari DC ke toko

Pertemuan ini fokus pada dua kategori pertama (Produksi + Alokasi). Kategori lain akan muncul sebagai kasus latihan dan di pertemuan lanjutan.

Salah satu keindahan LP adalah universalitasnya: satu kerangka matematis yang sama bisa dipakai untuk masalah yang sangat berbeda. Kategori pertama, produksi atau bauran produk (product mix), adalah yang paling familiar dan sudah kita pelajari lewat kasus mebel Jepara. Kategori kedua, alokasi sumber daya, juga sudah kita lihat lewat kasus anggaran pemasaran. Kategori ketiga, blending (pencampuran bahan), dipakai misalnya oleh Pertamina saat mencampur fraksi-fraksi minyak bumi untuk menghasilkan bahan bakar dengan spesifikasi tertentu pada biaya minimum. Kategori keempat, penjadwalan, digunakan rumah sakit untuk mengatur jadwal shift perawat, atau Garuda untuk mengatur kru penerbangan. Kategori kelima, transportasi, dipakai oleh ritel modern seperti Indomaret atau Alfamart untuk menentukan rute pengiriman dari gudang ke ribuan toko dengan biaya minimum. Kemampuan mengenali kategori masalah adalah pintu awal formulasi.

Studi Kasus — Pengrajin Batik Pekalongan

Workshop batik di Pekalongan (Jawa Tengah) memproduksi dua motif: Batik Cap (X₁) dan Batik Tulis (X₂).

	Batik Cap (X₁)	Batik Tulis (X₂)	Kapasitas/minggu
Profit	Rp 250 rb/lembar	Rp 800 rb/lembar	—
Jam pengrajin	2 jam/lembar	6 jam/lembar	120 jam
Zat warna	1 unit/lembar	2 unit/lembar	50 unit

Maks Z = 250.000 X₁ + 800.000 X₂
s.t. 2X₁ + 6X₂ ≤ 120 [jam pengrajin]
X₁ + 2X₂ ≤ 50 [zat warna]
X₁, X₂ ≥ 0

Latihan cepat: Cek apakah X₁ = 10, X₂ = 15 adalah solusi layak (feasible). Masukkan ke semua kendala — apakah semuanya terpenuhi? (Petunjuk: 2×10 + 6×15 = 110 ≤ 120 ✓; 10 + 2×15 = 40 ≤ 50 ✓ → layak!)

Pekalongan adalah kota batik terpenting di Indonesia setelah Yogyakarta dan Solo, dan industri ini benar-benar menghadapi pilihan alokasi sumber daya setiap harinya. Batik cap (batik yang dibuat menggunakan stempel/cap, lebih cepat dan seragam) lebih cepat diproduksi tetapi profit per lembarnya lebih rendah; batik tulis (batik yang dibuat sepenuhnya dengan tangan menggunakan canting) memerlukan waktu enam kali lebih lama tetapi menjual dengan harga jauh lebih tinggi. Seorang manajer workshop yang bijak tidak akan hanya membuat satu jenis saja, melainkan mencari bauran optimal. Untuk latihan cepat: substitusikan X₁ = 10, X₂ = 15 ke kendala pertama — 2×10 + 6×15 = 110 ≤ 120, terpenuhi. Ke kendala kedua — 10 + 2×15 = 40 ≤ 50, terpenuhi. Jadi titik ini layak (feasible), dengan Z = 250.000×10 + 800.000×15 = Rp 14.500.000/minggu — meski belum tentu optimal.

Studi Kasus — Produksi Multi-Produk (SKT vs SKM)

Perusahaan rokok besar (seperti Sampoerna atau Gudang Garam) memproduksi dua kategori: Sigaret Kretek Tangan (SKT, X₁) dan Sigaret Kretek Mesin (SKM, X₂). Tiap kategori punya margin dan kebutuhan sumber daya berbeda.

	SKT (X₁)	SKM (X₂)	Kapasitas/hari
Margin (Rp/ribu batang)	Rp 120 rb	Rp 90 rb	—
Jam tenaga kerja	5 jam	2 jam	500 jam
Jam mesin	1 jam	4 jam	400 jam

Maks Z = 120.000 X₁ + 90.000 X₂ [X = ribuan batang]
s.t. 5X₁ + 2X₂ ≤ 500 [jam TK]
X₁ + 4X₂ ≤ 400 [jam mesin]
X₁, X₂ ≥ 0

Catatan: Angka margin & kapasitas bersifat ilustratif untuk tujuan pembelajaran. Angka aktual perusahaan bersifat rahasia.

Saya mengambil industri tembakau sebagai contoh karena ini adalah industri manufaktur besar di Indonesia — Sampoerna, Gudang Garam, dan Djarum adalah perusahaan dengan ratusan ribu karyawan. SKT (Sigaret Kretek Tangan — rokok kretek yang dibuat manual oleh pekerja) punya margin lebih tinggi per ribu batang tetapi padat karya; SKM (Sigaret Kretek Mesin) lebih efisien secara volume tetapi padat modal mesin. Dalam skala besar, keputusan bauran produksi antara SKT dan SKM sangat material secara ekonomi. LP adalah salah satu alat yang secara teori bisa membantu manajer menemukan bauran optimal, meski dalam praktik nyata model aktualnya jauh lebih kompleks dari dua variabel. Pola formulasinya riil: dua produk, dua sumber daya terbatas (jam tenaga kerja dan jam mesin), satu tujuan maksimalisasi margin.

Menginterpretasikan Solusi LP secara Manajerial

Setelah model diselesaikan (metode grafis atau solver), dua output utama yang harus Anda baca:

OUTPUT 1

Nilai Optimal

Angka terbaik fungsi tujuan yang bisa dicapai — ditemukan di titik pojok terbaik wilayah layak (P3). Ini adalah target kinerja yang realistis dengan sumber daya saat ini.

OUTPUT 2

X₁*, X₂*

Solusi Optimal

Kombinasi variabel keputusan yang menghasilkan Z* tertinggi. Memberitahu Anda apa yang harus dilakukan — produksi berapa unit masing-masing produk.

Solusi LP selalu harus dikembalikan ke konteks bisnis. Angka tanpa cerita = data; data + cerita = rekomendasi yang berguna. Di P3: sumber daya mana yang menjadi hambatan (binding constraint)? Di P4: shadow price & analisis sensitivitas.

Ketika solver menghasilkan angka, pekerjaan analis belum selesai — justru baru mulai, karena sekarang kita harus menerjemahkan angka ke rekomendasi. Ada dua output utama: pertama, nilai optimal Z*, yaitu angka terbaik fungsi tujuan yang dicapai di titik pojok wilayah layak paling menguntungkan; kedua, kombinasi variabel optimal X* yang memberitahu kita persis apa yang harus dilakukan. Di Pertemuan 3, setelah titik optimal sejati ditemukan melalui metode grafis, kita bisa melanjutkan ke pertanyaan yang lebih dalam: sumber daya mana yang habis tepat (binding constraint) dan sumber daya mana yang masih punya sisa (slack)? Di Pertemuan 4, kita akan mempelajari shadow price (harga bayangan) dan analisis sensitivitas. Untuk hari ini, cukup pahami bahwa Z* dan X* adalah dua angka kunci yang selalu harus Anda baca dan terjemahkan ke bahasa bisnis.

Excel Solver — Komputasi LP Tanpa Coding

Excel Solver adalah add-in (fitur tambahan) bawaan Excel yang bisa menyelesaikan LP tanpa perlu menulis kode apapun.

Tata Letak Worksheet

Sel	Isi / Fungsi
B2	Nilai X₁ (meja) — awal = 0 ← Variable Cell
C2	Nilai X₂ (kursi) — awal = 0 ← Variable Cell
B4	=600000B2+400000C2 ← Objective Cell
B6	=4B2+3C2 (LHS jam; RHS C6=240)
B7	=3B2+2C2 (LHS kayu; RHS C7=180)

Lima Langkah Setup Solver

1Isi B2, C2 = 0; periksa rumus B4, B6, B7 sudah benar.
2Aktifkan Solver: File → Options → Add-ins → Solver Add-in → Go → OK.
3Buka Data → Solver. Set Objective = B4, pilih Max; Variable Cells = B2:C2.
4Tambah kendala: B6 ≤ 240, B7 ≤ 180, B2:C2 ≥ 0. Metode: Simplex LP.
5Klik Solve → baca Z* di B4, X₁* di B2, X₂* di C2.

Praktikum: Anda akan mencoba Solver langsung untuk kasus mebel Jepara di kelas atau lab komputer. File template disediakan di LMS (Learning Management System — platform e-learning kampus).

Excel Solver adalah salah satu alat paling berguna yang pernah ada di komputer Anda, dan hampir pasti Anda belum pernah memakainya sebelum kelas ini. Solver adalah add-in yang tersedia di semua versi Excel modern 2016 ke atas dan bisa diaktifkan melalui menu Add-ins. Setelah Anda memformulasikan model LP dalam sel-sel Excel — sel untuk variabel keputusan, sel untuk fungsi tujuan, sel untuk sisi kiri setiap kendala — Anda tinggal membuka dialog Solver, mengisi alamat sel yang relevan, mendefinisikan kendala, memilih metode Simplex LP, dan menekan Solve. Dalam sepersekian detik Solver menemukan nilai optimal yang mungkin butuh berjam-jam dihitung tangan. Di sesi praktikum berikutnya Anda akan mencoba ini langsung dengan kasus mebel Jepara, dan saya akan menyediakan template Excel di LMS supaya Anda hanya perlu mengikuti lima langkah yang ada di slide ini.

Peta Konsep — Alur Lengkap Formulasi LP

Tiap langkah di atas punya jebakan tersendiri — tapi kalau urutan ini diikuti, formulasi LP selalu bisa diselesaikan. Model lengkap siap ke Metode Grafis (P3) atau Excel Solver / Simplex (P3–P4) → Interpretasi Manajerial + Analisis Sensitivitas (P4).

Peta ini adalah ringkasan visual dari seluruh yang kita pelajari hari ini, dan saya sarankan Anda menyimpannya sebagai panduan kerja untuk pertemuan selanjutnya dan ujian. Prosesnya selalu linear dari atas ke bawah: mulai dari masalah bisnis bernarasi, diagnosis tiga pertanyaan, cek empat asumsi LP, lalu tiga langkah formulasi — variabel, fungsi tujuan, kendala — dan akhirnya model yang lengkap dan siap diselesaikan. Di Pertemuan 3, model yang sama akan kita selesaikan menggunakan metode grafis yang menggambar wilayah layak di bidang koordinat dan menemukan titik optimal secara visual. Di Pertemuan 4, kita akan menggunakan Solver dan mempelajari analisis sensitivitas. Jadi hari ini adalah fondasi yang menjadi prasyarat semua pertemuan selanjutnya — kalau formulasi tidak benar, metode grafis dan Solver pun tidak ada gunanya.

Persiapan Pertemuan 3

SETELAH PERTEMUAN INI

Pastikan Anda bisa mendefinisikan LP dan empat asumsinya tanpa membuka catatan.
Latih formulasi dua kasus berbeda dari soal di buku Winston & Albright Ch. 3.
Aktifkan Excel Solver di komputer Anda (File → Options → Add-ins) sebelum Pertemuan 3.

PERTEMUAN 3 — APA YANG DATANG

Metode Grafis untuk LP dua variabel.
Menggambar garis kendala dan menemukan wilayah layak.
Menemukan titik optimal menggunakan garis iso-profit.
Pra-baca: Winston & Albright (2015), Ch. 3.5–3.6.

Quiz singkat (5 menit) akan membuka Pertemuan 3 — topik: mendefinisikan variabel keputusan dan menulis fungsi tujuan dari satu narasi masalah. Latih sekarang!

Kita menutup Pertemuan 2 ini dengan panduan yang jelas tentang apa yang perlu dilakukan sebelum bertemu lagi. Ada tiga hal penting. Pertama, latih formulasi mandiri dari soal-soal di buku Winston & Albright — jangan menunggu pertemuan berikutnya untuk mencoba, karena kemampuan formulasi hanya tumbuh dari latihan berulang. Kedua, aktifkan Excel Solver di komputer Anda sebelum Pertemuan 3 karena kita akan langsung memakainya di kelas; caranya ada di Slide 24. Ketiga, baca Winston & Albright Ch. 3.5–3.6 sebagai persiapan untuk metode grafis, agar waktu kelas bisa kita gunakan untuk memahami bukan sekadar mencatat. Pertemuan 3 akan membawa kita dari "menulis model" ke "menyelesaikan model secara visual" — dan saya jamin saat Anda melihat wilayah layak tergambar di koordinat, LP akan terasa jauh lebih konkret dan intuitif daripada hari ini.