Materi Tambahan • Kuantitatif T1

{COURSE} • FEB UNDIP

{COURSE}

Tambahan T1 — Statistik untuk Risiko: dari Standar Deviasi ke Portofolio

Dua divisi dengan laba rata-rata sama persis — mana yang lebih berisiko? Kita bangun jawabannya dari nol: rata-rata, deviasi, varians, standar deviasi, CV, kovarians, korelasi, lalu merakit portofolio — setiap angka dihitung tangan, setiap rumus dijelaskan kenapa bentuknya begitu.

PERMINTAAN DOSEN • TAMBAHAN 1/3 • {LABELSEM} • DURASI 100 MENIT

Skenario: PT Semesta Logistik dan Pertanyaan Dewan

PT Semesta Logistik beroperasi di dua lini. Divisi A — Katering Migas: kontrak jangka panjang dengan perusahaan tambang, pesanan nyaris pasti datang. Divisi B — F&B Retail: gerai makanan di area wisata, ramai saat liburan, sepi saat hujan panjang. Lima kuartal terakhir:

Kuartal	Divisi A (Rp M)	Divisi B (Rp M)
Q1	13	20
Q2	10	12
Q3	7	−10 (rugi!)
Q4	9	8
Q5	11	20

Dewan komisaris bertanya satu hal: “Kalau kita harus menjual salah satu divisi — yang mana yang lebih berisiko dipertahankan?” Jawab dengan angka, bukan perasaan.

Kasus ini fiksi tapi wujudnya nyata: perusahaan logistik Indonesia sungguhan punya lini kontrak B2B yang stabil dan lini ritel yang mengikuti musim liburan. Angkanya saya buat bulat agar hitungan manual fokus ke proses, bukan perkalian desimal.

Blok 1 · Ukuran Pusat dan Sebaran

Rata-rata Bisa Menipu

Kalau dua hal punya pusat yang sama, apa yang membedakan nasibnya? Sebaran. Di blok ini kita bangun alat ukurnya satu per satu.

Langkah 1 — Rata-rata: Satu Angka untuk Mewakili Lima

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n = Σxᵢ / n

Divisi A — Katering Migas

Rp10 M

13 + 10 + 7 + 9 + 11 = 50, lalu 50 dibagi 5 = 10. Titik keseimbangan lima kuartal.

Divisi B — F&B Retail

Rp10 M

20 + 12 − 10 + 8 + 20 = 50, dibagi 5 = 10. Angkanya liar, jumlahnya sama.

Definisi buku: rata-rata = pusat gravitasi data, nilai yang kalau semua data diganti dengannya, jumlah total tetap. Padanan lokal: seperti “rata-rata penghasilan ojek daring Rp5 juta/bulan” — terdengar aman, sampai Anda tahu separuh pengemudi dapat Rp2 juta dan sedikit yang dapat Rp15 juta.

Kenapa rata-rata menipu untuk risiko: siapa pun yang hanya membaca laporan “laba rata-rata Rp10 M” akan menyimpulkan kedua divisi setara — padahal Q3 divisi B mencatat rugi dan kas perusahaan nyaris kering. Informasi yang hilang itu bernama sebaran, dan blok ini sisanya mengukurnya.

Langkah 2 — Deviasi: Mengukur Jarak Tiap Kuartal dari Pusat

Pertanyaan alami setelah tahu pusat: seberapa jauh tiap kuartal menyimpang dari pusat itu? Itu deviasi — selisih tiap data terhadap rata-rata, dipertahankan tandanya.

	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5
A laba	13	10	7	9	11
A deviasi	+3	0	−3	−1	+1
B laba	20	12	−10	8	20
B deviasi	+10	+2	−20	−2	+10

Coba jumlahkan deviasi A: +3 + 0 − 3 − 1 + 1 = nol. Selalu nol, untuk data apa pun — itu sifat matematis rata-rata sebagai titik keseimbangan, seperti dua anak bisa-bangkit yang membuat jungkat-jungkit rata di tengah. Kesimpulan yang menyakitkan: deviasi mentah tidak bisa langsung dirata-rata, karena saling makan. Kita butuh cara menghapus tanda tanpa membuang ukuran.

Langkah 3 — Kuadratkan, Rata-ratakan, Lalu Akarkan: σ

σ² = Σ(dᵢ)² / n σ = √σ²

Divisi A — empat langkah

Kuadrat deviasi: 9, 0, 9, 1, 1
Jumlah = 20 → rata-rata = 20/5 = 4,0 (ini σ², “varians”)
Akar: σ = √4 = Rp2,0 M
Satuan kembali ke miliar rupiah — siap dibaca manajer

Divisi B — empat langkah

Kuadrat deviasi: 100, 4, 400, 4, 100
Jumlah = 608 → σ² = 608/5 = 121,6
σ = √121,6 ≈ Rp11,03 M
Perhatikan Q3: −20 → 400 — satu kuartal buruk menguasai hitungan

Kenapa kuadrat, bukan nilai mutlak? Kedua bisa hapus tanda. Kuadrat menang karena (1) menghukum penyimpangan besar secara tidak proporsional — menyimpang dua kali lebih jauh dihukum empat kali lebih berat, dan bagi risiko itu adil: satu kehabisan kas bisa mematikan perusahaan; (2) kuadrat bersifat mulus sehingga bisa diturunkan — kelak di optimasi portofolio, itu penentu. Kenapa akar di akhir? Varians bersatuan miliar-kuadrat yang tak bisa dibaca siapa pun; akar mengembalikannya ke miliar.

Jawaban dewan: dengan σ 2,0 vs 11,03 — divisi B berayun 5,5× lebih liar dari A. Pertanyaan pembuka terjawab dengan angka yang bisa dipertanggungjawabkan.

Membaca σ dengan Mata Manajer — dan CV

Apa kata σ = 2 vs 11?

Divisi A: laba “biasanya” jatuh di 10 ± 2 = Rp8–12 M — direktur keuangan bisa tidur nyenyak
Divisi B: 10 ± 11 = bisa rugi Rp1 M, bisa untung Rp21 M — kas harus siap menambal bulan-bulan negatif
σ besar bukan otomatis buruk bagi spekulan — tapi bagi perusahaan yang gajinya bulanan, ayunan ke bawah mematikan

CV = σ / rata-rata — risiko per rupiah harapan

A: 2/10 = 0,20 — setiap Rp1 harapan laba diguncang 20 sen
B: 11,03/10 = 1,10 — diguncang Rp1,10 per Rp1 harapan
Contoh pemakaiannya: σ Rp2 M pada bisnis Rp10 M = guncangan serius; pada bisnis Rp1 T = noise. CV yang membedakan keduanya secara adil.

Kapan pakai yang mana: bandingkan hal yang seukuran (dua divisi Semesta) → σ cukup. Bandingkan hal beda skala (divisi kecil vs anak perusahaan raksasa, saham vs obligasi) → CV. Di dunia return saham harian, rata-rata nyaris nol sehingga CV meledak tak stabil — itulah kenapa literatur pasar modal bicara σ, bukan CV.

Pekerjaan Rumah: Sheet L1 — Mesin Statistik Milik Anda

Yang dikerjakan hari ini

Unduh workbook + data di halaman matkul ini (folder mr-kuantitatif)
Sheet L1: salin laba kedua divisi → buat kolom deviasi → kolom kuadrat → σ — semua dengan rumus Anda sendiri, baris demi baris
Baru setelah cocok: verifikasi dengan =AVERAGE, =VAR.P, =STDEV.P
Dataset kedua di sheet yang sama: return harian BBCA & BBRI, 119 hari — bahan blok 4 dan sesi T2–T3

Angka pembanding resmi

Semesta: σA = 2,00 · σB = 11,03 · CV 0,20 vs 1,10
BBCA: μ = −0,0009% · σ = 2,4752% per hari
BBRI: σ ≈ 2,21% per hari
Kolom Anda wajib mendarat di angka-angka ini — kalau tidak, ada baris yang keliru, periksa lagi sebelum lanjut

Kenapa manual dulu padahal ada =STDEV.P? Karena rumus jadi itu kotak hitam: ia mengeluarkan angka tanpa Anda tahu isinya. Setelah kolom manual Anda cocok dengan rumus jadi, kotak itu berhenti menjadi hitam — Anda tahu persis apa yang dihitungnya. Prinsip yang sama kita pakai sampai sesi VaR nanti.

Coba Sendiri: Merasakan Sebaran Lewat Slider

Atur dua sampel dengan rata-rata sama tapi lebar berbeda — perhatikan σ yang berubah sementara mean diam di tempat. Itu persis kisah dua divisi Semesta.

Blok 2 · Kovarians

Saat A Jatuh, Apa yang Terjadi pada B?

Sebaran satu variabel sudah kita ukur. Sekarang pertanyaan yang menentukan nasib portofolio: apakah dua divisi berayun bersama, atau saling menopang?

Intuisi Kovarians: Perkalian Deviasi yang Berpasangan

Ambil deviasi A dan deviasi B di kuartal yang sama, kalikan, lalu lihat pola tandanya. Empat kemungkinan arah, dua di antaranya penting:

	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5
deviasi A	+3	0	−3	−1	+1
deviasi B	+10	+2	−20	−2	+10
hasil kali	+30	0	+60	+2	+10

Cara membaca: Q1 — keduanya di atas rata-rata (+×+ = plus). Q3 — keduanya di bawah rata-rata, dikali dua negatif jadi juga plus. Gerak searah selalu menghasilkan plus, apa pun arahnya. Yang menghasilkan minus hanyalah gerak berlawanan: A di atas saat B di bawah, atau sebaliknya. Jadi rata-rata hasil kali ini adalah detektor kebersamaan arah.

Perhatikan Q3 = +60: kuartal terburuk divisi B (rugi 10) terjadi persis saat kuartal terburuk divisi A (laba 7). Keduanya sama-sama terpukul musim ekonomi yang sama — dan angka 60 itu adalah alarm yang akan kita dengar sampai akhir sesi.

Menghitung Kovarians: Angkanya 20,4 — dan Masalahnya

Cov(A,B) = Σ (dAᵢ × dBᵢ) / n = 102 / 5 = 20,4

Cara baca angka ini

Positif → divisi cenderung bergerak searah (konsisten dengan lima hasil kali positif)
Besar kecilnya relatif terhadap apa? Belum ada pembanding — di sinilah masalahnya

Dua kelemahan yang memaksa kita ke korelasi

Satuannya aneh: miliar kali miliar = miliar kuadrat. Coba laporkan “kovarians kami 20,4 miliar kuadrat” ke dewan — ruangan akan bungung
Terpasung skala: gandakan semua angka laba sepuluh kali, cerita risikonya tak berubah, tapi cov meledak jadi 2.040. Angka yang berubah padahal dunia tidak
Kita butuh versi yang dikunci di skala tetap −1 sampai +1

Padanan lokal: cov seperti menimbur berat badan dalam satuan “kilogram kali tinggi” — secara teknis benar, praktis membingungkan. Solusinya selalu sama: normalisasi.

Korelasi: Kovarians yang Dibagi Pasangan σ

ρ = Cov(A,B) / (σA × σB) = 20,4 / (2,0 × 11,03) = 20,4 / 22,05 = 0,925

PT Semesta Logistik

ρ = 0,925

Nyaris +1: dua divisi bergerak hampir selalu searah — keduanya digerakkan satu mesin ekonomi yang sama.

Kenapa pembagi pasangan σ tepat sasaran

Satuan miliar² di pembilang dicabut oleh miliar×miliar di penyebut — hasilnya angka murni
Skala tak lagi berpengaruh: gandakan laba, cov dan σ ikut membesar, rasionya tetap
Kuncinya di rentang [−1; +1]: +1 searah sempurna, 0 tak berhubungan secara linear, −1 berlawanan sempurna
Angka yang bisa dibandingkan antara dua saham, dua divisi, dua cabang — apa pun skala masing-masing

Terjemahan untuk dewan: ρ = 0,925 berarti saat A terpukul, hampir selalu B ikut terpukul. Dua divisi ini bukan dua sepeda motor — mereka dua roda dari motor yang sama. Simpan angka ini; di Blok 4 ia menentukan berapa nyaris nol manfaat diversifikasi kita.

Coba Sendiri: Melihat ρ Sebagai Bentuk Awan Titik

Geser ρ dari +1 turun ke 0 lalu ke −1 — awan titik berubah dari lereng bukit, menjadi kabut acak, menjadi lereng lembah. Tiga lanskap itu adalah tiga dunia portofolio yang berbeda.

Korelasi di Pasar Nyata: BBCA dan BBRI, ρ = 0,72

Dua saham bank, 6 bulan terakhir

ρ = 0,72

118 pasangan return harian BBCA & BBRI, 9 Mar–7 Sep 2026 — dataset kelas. Dihitung dengan logika yang sama persis: deviasi berpasangan, dikali, dirata-rata, dinormalisasi.

Kenapa dua bank berjalan beriringan

Penggerknya satu paket: suku bunga BI, kesehatan kredit (NPL), siklus ekonomi, sentimen sektor
Saat BI menaikkan bunga, BBCA dan BBRI sama-sama dihukum pasar — tidak peduli bedanya merek
Konsekuensi praktis: membeli dua saham bank = membeli satu risiko dua kemasan

Pelajaran untuk calon manajer: diversifikasi yang berhasil menuntut aset yang tidak mengikuti penggerk yang sama — saham bank ditambah, misalnya, saham consumer staples atau obligasi, bukan saham bank kedua. Inilah alasan dana indeks menyebar lintas sektor, dan alasan portofolio “semua saham blue chip bank” tetap rapuh saat sektor keuangan dipukul.

Blok 3 · Portofolio Dua Aset

Merasakit Dua Divisi Menjadi Satu

Rata-rata portofolio mudah. Risikonya tidak: σ portofolio tidak bisa dirata-rata, dan alasan kenapa adalah kovarians yang baru saja kita hitung.

Mean Portofolio: Bagian Mudahnya — dan Jebakan di Belakangnya

E[Rᵢρ] = w₁·E[A] + w₂·E[B] 0,5×10 + 0,5×10 = Rp10 M

Mean memang cukup dirata-rata

Bobot w = porsi modal; 50:50 berarti setengah di masing-masing
Kedua divisi ber-mean 10 → gabungan ber-mean 10, berapa pun bobotnya
Sampai di sini laporan keuangan masih tersenyum

Sekarang bagian yang menjerat

σA = 2,00 dan σB = 11,03 — apakah σ gabungan = 0,5×2 + 0,5×11,03 = 6,52?
Voting kelas dulu: ya atau tidak
Mayoritas kelas (dan tidak sedikit praktisi) menjawab ya
Jawaban benarnya menunggu satu slide — dan bedanya menentukan nasib modal perusahaan

Kenapa mean boleh dirata-rata tapi σ tidak? Karena deviasi tiap aset bisa saling meniadakan di dalam satu periode — itulah yang tidak bisa ditangkap rata-rata biasa. Petunjuknya sudah ada di Blok 2: hidup atau matinya penghematan ada di tanda dan besarnya produk deviasi berpasangan.

Rumus σ Portofolio — Suku Ketiga adalah Kovarians yang Menyamar

σ²ᵢρ = w₁²σ²A + w₂²σ²B + 2·w₁·w₂·Cov(A,B)

Bedah tiga suku

Suku 1 & 2: risiko masing-masing aset, masing-masing dikali kuadrat bobotnya — bagian yang sudah kita kuasai
Suku 3 = interaksi: 2w₁w₂·ρ·σA·σB — dan karena ρσAσB = Cov, suku ini benar-benar kovarians Blok 2 yang kembali tampil
ρ = +1 → suku interaksi maksimal → σ portofolio = rata-rata σ (tidak ada penghematan sama sekali)
ρ < +1 → interaksi menyusut → σ portofolio < rata-rata σ — penghematan muncul dari mana suku ini menyusut

Tiga skenario Semesta 50:50

Jika ρ =	σ portofolio	Vonis
+1 searah sempurna	6,52	= rata-rata naif; diversifikasi kosong
0 tak berhubungan	5,60	hemat 14% cuma-cuma
−1 berlawanan	4,51	hemat 31% — khayalan manajer

Jawaban voting tadi (6,52) ternyata adalah kasus terburuk, bukan jawaban umum.

Hitung Penuh: Portofolio 50:50 Semesta, Suku demi Suku

Substitusi pelan-pelan

w₁²σ²A = 0,25 × 4,0 = 1,0
w₂²σ²B = 0,25 × 121,6 = 30,4
2w₁w₂·Cov = 0,5 × 20,4 = 10,2 — satu suku interaksi seberat 10,2!
σ²ᵢρ = 1,0 + 30,4 + 10,2 = 41,6 → σᵢρ = √41,6 ≈ Rp6,45 M

Vonis untuk dewan direksi

Rata-rata naif 6,52 vs aktual 6,45 — penghematan cuma 0,07 M (≈1%)
Kenapa secuprit? Karena ρ = 0,925 membuat suku interaksi bengkak (10,2 dari total 41,6)
Diversifikasi palsu: membeli dua divisi konjungtural = membeli satu risiko dengan dua kemasan
Obatnya bukan menambah divisi sejenis — tapi mencari lini yang penggerknya beda

Latihan kelas 5 menit: ulangi dengan bobot 70% A : 30% B. (0,49×4,0) + (0,09×121,6) + (2×0,7×0,3×20,4) = ? Lebih aman atau lebih berbahaya dari 50:50? Petunjuk: A adalah divisi yang tenang — dan bobot adalah kemudi yang selalu ada di tangan Anda.

Coba Sendiri: Replikasi Semesta di Laboratorium Portofolio

Setel σA = 2, σB = 11, ρ = 0,93 — konfirmasi σ portofolio ≈ 6,45. Lalu geser ρ turun perlahan dan lihat kurva kombinasi risk-return melengkung menjauh ke kiri.

Frontier Efisien: Peta Semua Kemungkinan Bobot Sekaligus

Dari satu titik ke seluruh peta

50:50 hanyalah SATU titik. 60:40, 70:30, 80:20 … masing-masing satu titik lagi — dengan mean dan σ sendiri
Himpunan seluruh titik membentuk kurva: itulah frontier
Sisi kiri-atas kurva = efisien: untuk return segitu, tak ada kombinasi yang lebih rendah risikonya
Di lembah kurva ada titik khusus: bobot varians minimum (MVP) — titik paling kiri dari semua

Apa gunanya buat manajer

“Jangan taruh telur di satu keranjang” akhirnya punya peta: keranjang = titik di kurva
ρ makin rendah → kurva makin melengkung ke kiri → hadiah diversifikasi makin gemuk
ρ = +1 → kurva jadi garis lurus — tak ada lengkungan, tak ada gratis makan siang
Pekerjaan manajer investasi: memilih titik di frontier sesuai selera risiko klien — dan memindahkan kurva itu sendiri ke kiri lewat pemilihan aset

Sebut namanya sekali untuk kejujuran sejarah: Harry Markowitz, 1952, Nobel 1990 — “teori portofolio”. Rumus yang Anda hitung manual tadi adalah mesin di baliknya; matematika N aset hanya generalisasi dari dua aset kita.

Jelajah Frontier dengan Aset Ketiga

Tambahkan aset ketiga yang berkorelasi moderat — amati seluruh frontier bergeser ke kiri. Itu nilai pasar sebuah aset baru: bukan return-nya saja, tapi seberapa jauh ia memindahkan peta.

Dari Laba Kuartalan ke Return Saham: Rumus yang Sama Tak Berubah

Yang berubah cuma kertasnya

Semesta: satuan miliar laba per kuartal, n = 5 — dunia perusahaan riil
Pasar: persen return per hari, n = 119 — dunia portofolio saham
Mean, σ, Cov, ρ, σ portofolio: rumus persis sama, disalin begitu saja — statistik tak peduli datanya laba katering atau harga saham

Portofolio 50:50 BBCA + BBRI (angka nyata)

σBBCA = 2,475% · σBBRI = 2,213% · ρ = 0,7177
σ²ᵢ = 0,25(6,13) + 0,25(4,90) + 0,5(0,7177)(2,475)(2,213)
= 1,53 + 1,22 + 1,96 = 4,71 → σᵢρ ≈ 2,12% per hari
Rata-rata naif 2,34% → diversifikasi menghemat ±9% risiko — meski ρ 0,72 belum ideal

Simpan angka 2,12% baik-baik. Dua pertemuan lagi ia menjadi input langsung VaR portofolio: batas kerugian harian yang dilaporkan ke direksi. Mesin yang Anda rakit hari ini adalah setengah dari mesin VaR.

Keluarga Besar: Dari 2 Aset ke N Aset

Kenapa berhenti di 2?

2 aset: 1 korelasi yang diawasi · 3 aset: 3 · 4 aset: 6 · 20 aset: 190 pasangan
Jumlah pasangan tumbuh kuadratik — tabel tak lagi cukup, lahir matriks varians-kovarians
Rumus σ portofolio menjadi bentuk matriks w′Σw — dihitung Excel (=MMULT), Python, atau R
Intuisinya tidak berubah: penghematan tetap tinggal di pasangan-ρ-rendah

Yang cukup dibawa pulang hari ini

Menambah aset berkorelasi rendah → σ portofolio turun berarti
Menambah aset sejenis (ρ tinggi) → penghematan sepele — pemborosan biaya transaksi
Matriks penuh, optimasi kuadratik, Black-Litterman — wilayah matkul manajemen investasi / MM; pintunya sudah terbuka

Dari 5 laba kuartal ke matriks 190 pasangan — jaraknya cuma pengulangan logika yang sama. Yang membedakan analis dan manajer bukan kemampuan menghitung 190 angka, tapi tahu pasangan mana yang layak diawasi.

Rangkuman T1 — Enam Rumus, Empat Angka

Enam rumus — urutan ceritanya

x̄ = Σxᵢ/n — pusat; titik di mana deviasi berimbang ke nol
σ² = Σdᵢ²/n — kuadrat menghapus tanda, menghukum outlier
σ = √σ² — kembali ke satuan asli
CV = σ/x̄ — risiko per rupiah harapan, adil antar skala
Cov = Σ(dA×dB)/n — detektor arah bersama
ρ = Cov/(σAσB) — versi ternormalisasi [−1;+1]; masuk ke suku interaksi σ²ᵢρ

Empat angka hafalan Semesta

Mean sama = 10 · σA = 2,00 · σB = 11,03
Cov = 20,4 · ρ = 0,925
σ portofolio 50:50 = 6,45 (naif 6,52)
BBCA×BBRI: ρ = 0,72 → σᵢρ = 2,12% per hari

Satu kalimat untuk seluruh sesi: sebaran mengukur risiko, korelasi menentukan apakah risiko bisa saling meniadakan, portofolio adalah tempat keduanya dirapatkan menjadi satu angka.

Latihan Penutup — Uji Nalar, Bukan Sekadar Uji Hitung

Soal 1 — jalur penuh, data mini

Lini X: laba 8, 12, 10 (Rp M) — Lini Y: 4, 16, 10
Hitung: mean, σ, Cov, ρ — lalu σ portofolio 50:50
Bandingkan dengan rata-rata σ naif; berapa persen penghematan?
Jawaban singkat tersedia di catatan dosen — kerjakan dulu, cek kemudian

Soal 2 — kasus manajerial sungguhan

Manajer investasi berkata: “Kami sudah diversifikasi — 60% saham bank A, 40% saham bank B.”
Dengan ρ antarsaham bank ≈ 0,7, setujukah Anda dengan kalimat itu?
Tuliskan bukti angka apa yang Anda minta darinya — dan angka berapa yang membuat klaim itu gugur

PR sebelum T2: selesaikan sheet L1 (Semesta + BBCA/BBRI) — kolom manual, verifikasi formula. Pre-read 10 menit: /statistik/04-variabilitas/ dan /statistik/korelasi/. Pertemuan depan dimulai dengan pertanyaan: “return −3% dalam sehari — bencana atau kebisingan?” — dan jawabannya butuh peluang.