Materi Tambahan • Kuantitatif T2

{COURSE} • FEB UNDIP

{COURSE}

Tambahan T2 — Peluang untuk Risiko: dari Dadu ke Distribusi

Berapa peluang tiga dari lima minggu bursa berakhir rugi? Berapa peluang sistem gagal empat kali sebulan? Kita bangun jawabannya dari lantai dasar: aturan peluang, seni menghitung cara (kombinasi & permutasi), lalu dua mesin diskrit — binomial dan Poisson — dan ditutup peluang kontinu tempat VaR tinggal.

PERMINTAAN DOSEN • TAMBAHAN 2/3 • {LABELSEM} • DURASI 100 MENIT

Tiga Pertanyaan yang Mengunci Sesi Ini

Pertanyaan dari tiga meja berbeda

Meja trader: “rugi itu biasa — tapi tiga dari lima minggu rugi berturut, itu masih biasa?”
Meja IT: “sistem rata-rata gagal dua kali sebulan — peluangnya bulan depan empat kali?”
Meja direksi: “saham turun 3% hari ini — panik atau tidur nyenyak?”
Tiga meja, satu disiplin: peluang

Peta 100 menit

1Aturan dasar: komplemen, “atau”, “dan”, bersyarat
2Menghitung cara: permutasi & kombinasi
3Dua mesin diskrit: binomial & Poisson
4Kontinu: dari luas ke kurva normal, z, persentil — pintu masuk VaR T3

Blok 1 · Peluang Dasar

Mengukur Keyakinan tentang Masa Depan

Peluang bukan trik angka — ia cara jujur mengatakan “saya tidak yakin, dan ini seberapa tidak yakin saya”.

Dua Wajah Peluang — dan Kenapa Risiko Hidup di Wajah Kedua

Wajah 1: teoretis (simetri)

Dadu enam sisi: P(6) = 1/6 — kita tahu peluangnya sebelum melempar, dari simetri benda
Roulette, undian, lotre — dunia kasino penuh simetri sempurna
Masalahnya: dunia risiko hampir tak punya dadu

Wajah 2: empiris (frekuensi)

38 dari 238 hari bursa terakhir berakhir rugi → P(rugi) ≈ 38/238 ≈ 0,16
Peluang diperkirakan dari sejarah — inilah wajah yang dipakai manajemen risiko
Konsekuensinya penting: estimasi ikut berubah kalau sejarahnya berubah — peluang risiko bukan konstanta alam

Konvensi membaca angka peluang: 0 = mustahil, 1 = pasti, 0,16 = “kira-kira 1 dari 6 kali”. Dan satu disiplin bicara: peluang selalu melekat pada konteks — “0,16” saja belum berarti apa-apa; “0,16 peluang hari bursa rugi” baru bermakna.

Komplemen: Trik Paling Hemat dalam Peluang

P(tidak A) = 1 − P(A) P(minimal satu) = 1 − P(nol)

Kenapa trik ini muncul terus

“Minimal satu hari rugi minggu ini” mencakup 1, 2, 3, 4, atau 5 hari rugi — lima kasus, lima perhitungan
Kebalikannya hanya satu kasus: nol hari rugi
Hitung yang tunggal, baru 1 − itu — pintu belakang yang selalu lebih murah

Contoh dengan angka kelas

P(hari rugi) = 0,16 per hari, hari-hari diasumsikan bebas
P(5 hari semua untung) = 0,84³ = 0,6723... eh, 0,84⁵ = 0,4182
P(minimal 1 rugi dalam 5 hari) = 1 − 0,4182 = 0,58 — mayoritas!
Bagi trader, “minggu bersih tanpa rugi” justru kejadian yang jarang

Aturan “Atau” dan “Dan” — Dua Kata, Dua Rumus

P(A atau B) = P(A) + P(B) − P(A dan B) P(A dan B) = P(A) × P(B) jika bebas

“Atau” — waspadai irisan

P(terkena risiko pasar) = 0,20 · P(terkena risiko kredit) = 0,15 · terkena keduanya = 0,05
Pasar atau kredit = 0,20 + 0,15 − 0,05 = 0,30 — bukan 0,35
Yang dihapus di sini adalah perusahaan yang dihitung dua kali karena masuk dua daftar sekaligus
Di laporan risiko agregat, kelalaian mengurangi irisan membuat total risiko organisasi tampak lebih besar dari kenyataan

“Dan” — dan asumsi besar di baliknya

Dua hari rugi berurutan (p = 0,16, diasumsikan bebas): 0,16 × 0,16 = 0,026
Asumsi “bebas” itu ringan di dadu, berat di pasar
Realita: hari-hari volatil cenderung bergerombol (volatility clustering) — peluang dua hari buruk berurutan nyata lebih besar dari 2,6%
Kita pakai asumsi bebas sebagai titik awal, lalu uji — bukan sebagai dogma

Peluang Bersyarat — dan Jendela Bayes

P(B|A) = P(A dan B) / P(A) ← “peluang B setelah tahu A terjadi”

Contoh dari meja kredit

Populasi debitur: 5% bermasalah (gagal bayar)
60% yang bermasalah menunjukkan sinyal telat bayar di awal
8% yang sehat pun sempat telat (lupa, gajian mundur)
Pertanyaan petugas: debitur ini telat — peluang dia bermasalah?

Bayes: memperbarui keyakinan setelah bukti

P Bermasalah | telat = (0,60×0,05) / (0,60×0,05 + 0,08×0,95)
= 0,030 / 0,106 = 0,283
Keyakinan awal 5% → setelah sinyal telat → 28,3% — naik 5,7×
Inilah logika di balik skor kredit dan fraud scoring industri
Dalam seri ini cukup kenal — jalur kita ke VaR lewat distribusi, bukan pembaharuan keyakinan

Blok 2 · Menghitung Cara

“Dalam Berapa Cara…”

Sebelum menghitung peluang kejadian, harus tahu berapa banyak cara kejadian itu menyusun diri. Permutasi peduli urutan; kombinasi tidak.

Prinsip Perkalian: Fondasi di Bawah Segalanya

Contoh: rute sebuah klaim asuransi

Formulir bisa masuk lewat 3 jenis kanal
Tiap kanal punya 2 jalur verifikasi
Tiap jalur berakhir di 2 keputusan: bayar atau tolak
Total jalur hidup sebuah klaim: 3 × 2 × 2 = 12 cara
Satu jalur di antaranya: “digital → verifikasi otomatis → bayar”

Prinsip umumnya

Proses bertahap: tahap-1 m cara × tahap-2 n cara → total m×n
Kata kunci “dan” (lalu, kemudian, setelah itu) = perkalian
Diagram pohon adalah gambar dari prinsip ini — cabang demi cabang
Dari prinsip sederhana inilah permutasi dan kombinasi diturunkan

Di tim risiko operasional sungguhan, 12 jalur klaim ini berarti 12 titik kematian yang masing-masing harus dipasang kontrol — menghitung cara = memetakan tempat risiko bisa lahir.

Permutasi: Saat Urutan Menjadi Nasib

P(n,r) = n! / (n−r)! contoh: P(5,2) = 5!/3! = 5×4 = 20

Contoh: memilih vendor utama & cadangan

5 vendor masuk shortlist; 2 akan dipilih — satu utama, satu cadangan
Slot utama: 5 pilihan; setelah terisi, slot cadangan tinggal 4
Total: 5 × 4 = 20 susunan berbeda
(Vendor A utama, B cadangan) ≠ (B utama, A cadangan) — kontrak dan harga beda

Mengapa dibagi (n−r)! — dan kenapa urutan kadang peduli

5! menghitung susunan 5 slot; kita hanya butuh 2 slot awal
3 slot sisa yang tak terpakai dibuang lewat pembagian 3! — pembersihan redundant
Urutan peduli saat: peringkat, antrian eksekusi, urutan tampil, rantai pasok berurut
n! tumbuh brutal: 10! = 3,6 juta; 20! ≈ 2,4 kuadriliun — makanya industry pakai logaritma dan simulasi, bukan enumerasi

Kombinasi: Saat yang Penting Hanya Anggota, Bukan Kursi

C(n,r) = n! / [r!(n−r)!] contoh: C(5,2) = 5!/(2!×3!) = 10

Permutasi → kombinasi: buang urutan internal

P(5,2) = 20 susunan; tapi {A,B} terhitung dua kali: (A,B) dan (B,A)
Setiap pasangan terhitung 2! = 2 kali → 20/2 = 10 pasangan unik
Kombinasi = permutasi dibagi redundansi urutan di dalam kelompok terpilih

Mengapa ini bintang sesi

“2 dari 5 hari rugi” — peduli jumlah, bukan hari ke berapa: (Senin,Rabu) rugi = (Rabu,Senin) rugi
Jumlah pola 2-hari-rugi = C(5,2) = 10
Beberapa slide lagi: 10 ini dikalikan peluang per pola → binomial lahir

Latihan 3 Menit: Memilih Rumus adalah Setengah Jawaban

Dua soal kembar, satu beda kata

(a) Tim audit 3 orang dari 6 kandidat — berapa susunan tim yang mungkin?
(b) Pemenang 1, 2, 3 lomba internal dari 6 finalis — berapa susunan pemenang?
Sebelum menghitung: mana kombinasi, mana permutasi? Kenapa?

Jawaban — dan tes kepekaan urutan

(a) Tim {Andi,Budi,Cika} = {Budi,Cika,Andi} — urutan tak peduli → C(6,3) = 20
(b) Juara-1 Andi ≠ Juara-1 Budi — urutan peduli → P(6,3) = 120
120/20 = 6 = 3! — persis redundansi urutan internal

Di audit model risiko, salah pilih kombinasi/permutasi = peluang melipat/terbagi faktorial — kesalahan yang diklasifikasikan temuan MAJOR karena diametral mengubah hasil. Uji cepat setiap soal: tukar dua objek terpilih — hasilnya berubah makna? Ya → permutasi; tidak → kombinasi.

Blok 3 · Distribusi Diskrit

Dua Mesin Peluang Risiko

Binomial menghitung keberhasilan dalam n percobaan; Poisson menghitung kejadian per satuan waktu. Keduanya bermuara pada pertanyaan manajerial yang sama: seberapa sering hal buruk terjadi?

Binomial: Empat Syarat — dan Kehancurannya

Empat syarat B(n, p)

1Jumlah percobaan tetap: n
2Hasil biner: rugi/untung, gagal/lulus, default/tidak
3p konstan di tiap percobaan
4Percobaan saling bebas

Meja trader: 5 hari, p(rugi) = 0,2

Pertanyaan: peluang tepat 2 hari rugi dari 5?
Bahan yang sudah di tangan: C(5,2) = 10 pola — kombinasi blok 2
Dan: peluang satu pola = 0,2² × 0,8³ — aturan “dan” blok 1
Sisa: kalikan keduanya — itulah seluruh isi slide berikut

Syarat adalah kontrak. n=5 hari pasar dengan p tetap 0,2 adalah penyederhanaan — kenyataannya p bergerak bersama volatilitas. Model binomial tetap berguna sebagai perkiraan kerja; yang tidak boleh adalah memakainya sambil lupa kontraknya.

Merakit P(X=2) = 0,2048: Tiga Bahan, Satu Rumus

P(X=k) = C(n,k) · pᵗ · (1−p)^n−k

Rakit pelan-pelan (n=5, p=0,2, k=2)

Cara: C(5,2) = 10 pola dua-hari-rugi (Senin&Rabu, Selasa&Kamis, …)
Peluang tiap pola: 0,2²×0,8³ = 0,04×0,512 = 0,02048 — sama untuk semua pola!
Total: 10 × 0,02048 = P(X=2) = 0,2048
Sekali jalan, selesai — tanpa menghitung 10 pola satu per satu

Mean dan σ bawaan pabrik

E[X] = np = 5×0,2 = 1 hari rugi per minggu
σ = √(np(1−p)) = √0,8 ≈ 0,89
2 hari rugi berada pada (2−1)/0,89 ≈ 1,1σ dari mean — masih wilayah wajar
Kesimpulan untuk meja trader: 2 dari 5 rugi = kebisingan normal, bukan alarm

Coba Sendiri: Laboratorium Binomial

Setel n = 5, p = 0,2 — konfirmasi batang k=2 tingginya 0,205 dan E[X] = 1. Lalu naikkan n ke 30 dan amati bentuk distribusi mulai menyerupai lonceng yang kemarin kita bahas.

Poisson: Ketika Pertanyaannya “Berapa Kali per Bulan?”

P(X=k) = e^−λ · λᵗ/k! λ = laju rata-rata kejadian per satuan waktu

Meja IT: kegagalan sistem

Rekam jejak: rata-rata λ = 2 kegagalan per bulan
P(nol gagal) = e⁻² = 0,135 — bulan mulus itu jarang!
P(tepat 1) = 0,135×2 = 0,271
P(tepat 2) = 0,135×2²/2 = 0,271
P(≥3) = 1 − (0,135+0,271+0,271) = 0,323 — satu dari tiga bulan!

Sifat khas Poisson

Satu parameter saja: λ — dan menakjubkannya E[X] = σ² = λ
Kejadian langka, acak, tak bermemori satu sama lain
Cocok untuk: klaim asuransi, kedatangan nasabah, upaya fraud, bug produksi
P(≥3) = 0,323 inilah angka yang menjual anggaran redundansi ke direksi

Binomial atau Poisson? Tabel Keputusan + Jembatan

	Binomial	Poisson
Pertanyaan	“berapa dari n percobaan?”	“berapa per satuan waktu/ruang?”
Parameter	n dan p	λ saja
Batas atas	ada: maksimal n	tak ada: 0, 1, 2, …
Contoh risiko	hari rugi dari 5; default dari 10 debitur	klaim per bulan; serangan siber per minggu
Jembatan	n besar + p kecil → Binomial ≈ Poisson dengan λ = np

Contoh jembatan: 200 transaksi, p fraud = 0,01 → Binomial(200; 0,01) ≈ Poisson(λ=2). Kedua rumus memberi hasil nyaris sama — pilih yang datanya tersedia.

Kenapa praktisi suka Poisson: data operasional hampir selalu tersimpan sebagai “rata-rata per bulan” — itu persis λ. Poisson sering bukan pilihan, tapi takdir data.

Frekuensi × Severity: Kerangka Basel untuk Risiko Operasional

Model LDA (Loss Distribution Approach)

Risiko operasional = dua pertanyaan: seberapa sering (frekuensi) × seberapa dalam (severity)
Frekuensi kejadian → Poisson (klaim, error, fraud) — bahan sesi ini

Kredit & pasar pakai apa?

Portofolio 100 debitur, p default 3% → binomial(100; 0,03): P(≥5 default) = pertanyaan modal kredit klasik
Hari rugi dalam sebulan (20 hari) → binomial(20; p)
Distribusi diskrit bukan materi ujian semata — ia bahasa resmi industri risiko

Preview: pertemuan reguler P7 (risiko operasional) memakai kerangka frekuensi×severity ini secara penuh — hari ini Anda membangun setengahnya (frekuensi); severity menyusul di P7.

Jeda Praktik: Menumpuk Acak Menjadi Distribusi

Permintaan harian yang acak disimulasikan ratusan kali — perhatikan totalnya membentuk distribusi yang stabil dan teratur. Kekacauan kecil menumpuk jadi pola besar.

Blok 4 · Peluang Kontinu

Dari Tinggi Batang ke Luas Daerah

Return saham bisa bernilai berapa saja: −2,37%, +0,411%, … Tak ada batang untuk tiap nilai — yang tersisa konsep luas.

Kontinu: Peluang Titik Nol, Peluang Interval Berarti

Lompatan konsep terbesar sesi

Diskrit: P(2 klaim) = 0,27 — tinggi batang; sah karena klaim dihitung 0, 1, 2, …
Return saham: −2,37%, −2,36%, … tak terhitung nilai antara — kontinu
P(return = persis −3,000000%) = 0 — titik tak berluas, seperti peluang garis lurus tepat menancap di satu titik
Yang bermakna: P(−4% < return < −2%) = luas di bawah kurva pada interval itu

Dua warga lain kota kontinu (kenalan singkat)

Uniform(a;b): kurva datar — semua nilai sama mungkinnya; model “tak tahu apa-apa”, mis. waktu kedatangan nasabah antar jadwal teller
Eksponensial: waktu antar kejadian Poisson; sifat memoryless — mesin yang sudah 3 jam tanpa gagal tak “mengingat” umurnya, peluang gagal jam berikut tetap
P(antar-kegagalan < 1 jam | λ=2/jam) = 1−e⁻² ≈ 0,865

Normal: Kurva yang Ditentukan Dua Angka

Normal(μ, σ) — bentuk lonceng simetris; cukup tahu pusat dan lebarnya, seluruh kurva (dan semua luasnya) ikut ketemu

Aturan 68–95–99,7

μ±1σ ≈ 68% data · μ±2σ ≈ 95% · μ±3σ ≈ 99,7%
Uji ke data kelas: return BBCA dalam μ±2σ (−4,95%..+4,95%): 112/119 = 94% — model lumayan jujur di tengah
Dua z wajib hafal seumur hidup risiko: z(95%) = 1,645 · z(99%) = 2,326

Peta, bukan wilayah

Normal = model: peta dua parameter atas data yang sesungguhnya tak terbatas kerinciannya
Keuntungan: luas ekor dihitung dari rumus — tanpa menunggu ratusan observasi
Bahayanya: kalau wilayah (data nyata) tak berbentuk lonceng, peta berbohong — khususnya di ekor, tempat risiko tinggal
Karena itu slide kejujuran menunggu dua slide lagi

Coba Sendiri: Menggeser μ dan σ secara Live

Atur μ ≈ 0 dan σ ≈ 2,5 meniru BBCA — lalu baca luas ekor kiri untuk nilai −3%. Bandingkan dengan hitungan histogram T1 yang menunjukkan ≈ 10% hari di bawah −3%.

z dan Persentil: Dua Arah Navigasi Kurva yang Sama

z = (x − μ)/σ ← dari nilai ke peluang persentil ← dari peluang ke nilai

z: semua kurva normal jadi satu bahasa

BBCA: z(−3%) = (−3 − 0)/2,4752 = −1,21 — “1,2σ di bawah pusat”
Konversi ke peluang: =NORM.S.DIST(−1,21; TRUE) ≈ 0,113
Nilai z bisa membandingkan hal serba beda: nilai ujian, return saham, ketebalan produk — semua jadi “berapa sigma”

Persentil: mesin pencari nilai

Diberi peluang 5% → cari nilai yang membatasi 5% terburuk — persentil ke-5
BBCA: =PERCENTILE.INC(return; 0,05) = −4,11%
Perhatikan: dihitung dari data, bukan dari kurva — itu "historis"
Dua pertemuan lagi, angka −4,11% ini diberi nama resmi: VaR historis

Kejujuran Model: Ekor Data vs Ekor Normal

Ambang	Teori normal	Aktual BBCA (119 hari)
< −1σ (−2,48%)	15,9%	12,6%
< −2σ (−4,95%)	2,3%	3,4% (4 dari 119)
< −3σ (−7,43%)	0,13%	0%

Vonis: di tengah kurva, normal bekerja baik (bahkan sedikit konservatif). Di ekor bawah, data nyata lebih tebal dari klaim model — 3,4% vs 2,3% pada −2σ. Fat tail ringan.

Konteks sejarah: 17 Maret 2020, BBCA −7,9% dalam sehari — peristiwa yang menurut normal hampir mustahil, terjadi. Dan jendela data kita (6 bulan tenang) tak memuatnya. Jendela data adalah asumsi terselubung — tema besar T3.

Penutup Blok: Papan Galton — Kenapa Lonceng Muncul di Mana-mana

Bola demi bola melewati deretan pin; tiap pantulan acak kiri-kanan. Hasilnya menumpuk membentuk lonceng. Kekacauan kecil yang dijumlahkan menjadi keteraturan.

Rangkuman & Latihan Penutup

Perangkat yang kini Anda pegang

Komplemen — pintu belakang “minimal satu”
“Atau” kurangi irisan; “dan” = kali (jika bebas)
C(n,r) tak peduli urutan; P(n,r) peduli — uji: tukar dua objek, berubah makna?
Binomial C(n,k)pᵗq^n−k — jumlah dari n percobaan; E=np
Poisson e⁻λλᵗ/k! — laju per waktu; E=σ²=λ
Kontinu: peluang = luas; z dua arah navigasi; P5 BBCA = −4,11% (kenali wajahnya — VaR menunggu)

Latihan 10 menit

1a. p(rugi)=0,2, 5 hari: P(tepat 2)? 1b. P(minimal 1)?
2a. λ=2 gagal/bulan: P(nol)? 2b. P(≥3)?
2c. SLA menuntut “maks 1 gagal/bulan” — seberapa realistis? (P(≤1) = ?)
Jawaban: 1a 0,2048 · 1b 0,672 · 2a 0,135 · 2b 0,323 · 2c 0,406 → SLA gagal ~6 dari 10 bulan

PR sebelum T3: sheet L2 — tabel binomial p=0,2, Poisson λ=2, kolom z & persentil BBCA. Pre-read: /statistik/15-probabilitas-dasar/, /statistik/17-distribusi-binomial/, /statistik/18-distribusi-poisson/. Pertemuan depan: seluruh perangkat tiga sesi dirakit menjadi satu angka untuk direksi — VaR.