Program Studi Bisnis Digital • FEB UNDIP

Valuasi Opsi dengan Black-Scholes dan Machine Learning

Pertemuan 10 — Machine Learning in Finance

Dari rumus tertutup klasik ke pendekatan data-driven: bagaimana Black-Scholes menghitung harga opsi, di mana asumsinya retak di pasar nyata, dan bagaimana machine learning mengisi celah itu.

RPS MINGGU 11 • 2X50 MENIT

Selamat datang kembali, Anda sudah melewati sembilan pertemuan yang membangun fondasi time series dan optimasi portofolio, sekarang kita masuk ke topik yang sering dianggap paling elegan dalam keuangan kuantitatif, yaitu valuasi opsi. Hari ini kita akan mulai dari model Black-Scholes yang legendaris, lalu Anda akan melihat sendiri di mana model itu mulai kewalahan menghadapi data pasar sungguhan seperti pergerakan saham BBCA atau TLKM. Dari situ kita masuk ke pertanyaan inti mata kuliah ini, yaitu bagaimana machine learning bisa membantu memperbaiki valuasi opsi tanpa harus membuang seluruh intuisi Black-Scholes yang sudah kita bangun. Anggap pertemuan ini sebagai jembatan antara teori keuangan klasik yang Anda pelajari di semester-semester awal dan pendekatan data-driven yang menjadi ciri khas mata kuliah ini.

Bagian 1 dari 3

Fondasi Opsi & Payoff

Sebelum masuk ke rumus, kita bangun dulu intuisi: apa itu opsi, siapa untung dan siapa rugi, dan variabel apa saja yang menentukan harganya.

Apa Itu Opsi?

Opsi (option) adalah kontrak yang memberi hak, bukan kewajiban, untuk membeli atau menjual suatu aset dasar (underlying asset) pada harga tertentu, dalam jangka waktu tertentu.

CALL OPTION

HAK BELI

Pemegang berhak membeli aset dasar di strike price (harga eksekusi, K). Untung kalau harga aset naik di atas K.

PUT OPTION

HAK JUAL

Pemegang berhak menjual aset dasar di harga K. Untung kalau harga aset turun di bawah K.

Harga yang dibayar untuk mendapatkan hak ini disebut premi (premium) — inilah yang ingin kita valuasi.

Diagram Payoff Saat Jatuh Tempo

Payoff adalah nilai opsi tepat pada saat jatuh tempo (expiration) — bentuk "siku" ini adalah ciri khas semua opsi.

Kalau payoff > 0, opsi disebut in-the-money; kalau payoff = 0, disebut out-of-the-money.

Coba Sendiri: Geser Harga Saham, Lihat Payoff

Geser harga saham saat jatuh tempo dan strike price, lalu amati bagaimana bentuk "siku" payoff call dan put berubah.

Lima Faktor Penentu Harga Opsi

Harga opsi dipengaruhi lima variabel utama — inilah "bahan baku" yang nanti masuk ke rumus Black-Scholes.

HARGA SAHAM

Harga aset dasar saat ini.

STRIKE PRICE

Harga eksekusi yang disepakati.

JATUH TEMPO

Sisa waktu hingga kedaluwarsa (tahun).

VOLATILITAS

Ukuran fluktuasi harga aset dasar.

SUKU BUNGA

Risk-free rate, mis. imbal hasil SUN.

↑↓

ARAH PENGARUH

σ & T naik → premi opsi naik (lebih tak pasti).

Instrumen Berbasis Opsi di Pasar Indonesia

Opsi saham individu belum likuid di BEI, namun logika opsi hidup di beberapa instrumen yang mungkin sudah Anda kenal.

Contoh Nyata

Waran terstruktur (structured warrant) di BEI — hak beli saham acuan (mis. BBCA, TLKM) yang diterbitkan sekuritas.
Opsi mata uang / NDF yang digunakan korporasi untuk lindung nilai transaksi valas terhadap risiko kurs Rupiah.
Opsi kripto di bursa global (mis. Bitcoin, Ethereum options) — makin diminati trader ritel Indonesia.
Sepanjang deck ini, kita pakai saham BBCA sebagai ilustrasi angka karena likuid & dikenal luas — bukan berarti opsi BBCA diperdagangkan resmi di BEI saat ini.

Saya perlu jujur di sini, opsi saham individu di Bursa Efek Indonesia belum seramai di bursa Amerika seperti Chicago Board Options Exchange, jadi jangan kaget kalau Anda mencari kontrak opsi BBCA secara langsung di aplikasi sekuritas dan tidak menemukannya. Namun logika opsi hidup dalam bentuk lain yang mungkin sudah Anda lihat, misalnya waran terstruktur yang diterbitkan sekuritas dengan saham acuan blue-chip, atau instrumen lindung nilai valuta asing yang dipakai perusahaan ekspor-impor untuk melindungi diri dari fluktuasi kurs Rupiah terhadap Dolar. Untuk keperluan pembelajaran hari ini, kita akan tetap memakai harga saham BBCA sebagai contoh angka karena datanya mudah dibayangkan dan levelnya familiar bagi Anda. Yang penting Anda pahami adalah konsepnya bersifat universal, dipakai di manapun ada ketidakpastian harga di masa depan.

Bagian 2 dari 3

Model Black-Scholes

Rumus tertutup pemenang Nobel Ekonomi 1997 — kita bedah asumsinya, hitung harganya dari nol, lalu uji di mana ia mulai gagal.

Asumsi di Balik Model Black-Scholes

Model ini elegan secara matematis karena berdiri di atas asumsi yang sangat disederhanakan — inilah "harga" dari rumus tertutup.

Langkah	Asumsi	Implikasi
1	Volatilitas σ konstan sepanjang umur opsi	Padahal volatilitas pasar nyata berubah-ubah dari waktu ke waktu
2	Harga saham mengikuti gerak Brown geometris (log-normal)	Mengabaikan lonjakan tiba-tiba (jump), mis. saat rilis laporan keuangan
3	Tanpa biaya transaksi & pasar likuid sempurna	Di praktik, spread bid-ask & slippage tetap ada
4	Suku bunga bebas risiko r konstan	SUN 10 tahun sebenarnya berfluktuasi setiap hari
5	Tanpa dividen selama umur opsi (versi dasar)	Perlu penyesuaian untuk saham pembayar dividen rutin

Rumus Black-Scholes untuk Call Option

C = S·N(d₁) − K·e^−rT·N(d₂)

d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T] / (σ√T) | d₂ = d₁ − σ√T

Membaca Simbol N(·)

N(d₁), N(d₂) = fungsi distribusi kumulatif normal standar — "peluang" nilainya antara 0 dan 1, dibaca dari tabel Z atau fungsi NORM.S.DIST.
N(d₁) ≈ sensitivitas harga opsi terhadap harga saham (akan kita sebut Delta).
K·e^−rT = nilai sekarang (present value) dari strike price K yang dibayar di masa depan.

Hitung dari Nol: Harga Call Option BBCA

S = Rp9.000 · K = Rp9.000 (at-the-money) · T = 0,5 tahun · σ = 25% · r ≈ 6%/tahun (disederhanakan dari SUN ~6,8%)

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. Hitung d₁	[ln(9000/9000) + (0,06+0,25²/2)×0,5] ÷ (0,25×√0,5) = [0 + 0,0456] ÷ 0,1768	0,258
2. Hitung d₂	d₁ − σ√T = 0,258 − 0,177	0,081
3. N(d₁)	interpolasi tabel normal standar pada 0,258	0,6018
4. N(d₂)	interpolasi tabel normal standar pada 0,081	0,5324
5. Harga Call C	9000×0,6018 − 8734×0,5324 = 5416 − 4650	Rp766

Mari kita hitung bersama-sama, langkah pertama adalah mencari d-satu, karena strike sama dengan harga saham saat ini, logaritma dari satu sama dengan nol, sehingga pembilangnya hanya berasal dari suku bunga ditambah setengah volatilitas kuadrat dikali waktu. Setelah dibagi sigma akar T kita dapat angka nol koma dua lima delapan. Langkah kedua tinggal mengurangkan sigma akar T dari d-satu untuk mendapat d-dua. Langkah ketiga dan keempat, kita mencari nilai fungsi distribusi normal standar dari kedua angka tersebut, ini bisa dicari di tabel Z pada buku statistik atau fungsi NORM.S.DIST di Excel. Terakhir kita masukkan semua ke rumus utama dan mendapat harga call sekitar Rp766, artinya untuk hak membeli saham BBCA di harga Rp9.000 enam bulan dari sekarang, pasar akan menghargainya sekitar Rp766 per lembar.

Greeks: Sensitivitas Harga Opsi

Greeks mengukur seberapa besar harga opsi berubah kalau salah satu variabel bergerak sedikit — alat wajib trader opsi untuk manajemen risiko.

DELTA (Δ)

∂C/∂S

Sensitivitas thd harga saham. Delta call kita = N(d₁) = 0,60.

GAMMA (Γ)

∂Δ/∂S

Laju perubahan Delta — kelengkungan payoff.

VEGA (ν)

∂C/∂σ

Sensitivitas thd volatilitas — biasanya terbesar untuk opsi ATM.

THETA (Θ)

∂C/∂T

Peluruhan nilai waktu — opsi "meleleh" mendekati jatuh tempo.

RHO (ρ)

∂C/∂r

Sensitivitas thd suku bunga — biasanya paling kecil pengaruhnya.

PEMAKAIAN

HEDGING

Dealer opsi memakai Greeks untuk delta hedging portofolio.

Hitung dari Nol: Harga Put via Put-Call Parity

Daripada mengulang seluruh rumus N(d), kita pakai put-call parity: relasi tanpa-arbitrase antara harga call dan put dengan strike & jatuh tempo sama.

Langkah	Perhitungan	Nilai
1. Rumus parity	P = C − S + K×e^−rT	relasi
2. Substitusi nilai	C=766 · S=9000 · K×e^−rT=8734	766, 9000, 8734
3. Hitung P	766 − 9000 + 8734	Rp500
4. Cek balik	P + S = C + K×e^−rT → 500+9000 vs 766+8734	9500 = 9500
5. Kesimpulan	Kedua sisi sama — tidak ada peluang arbitrase	Konsisten ✓

Keterbatasan: Volatility Smile

Black-Scholes mengasumsikan σ konstan untuk semua strike. Kenyataannya, volatilitas implisit (implied volatility) yang "dibalik" dari harga pasar membentuk pola melengkung.

Opsi deep in/out-of-the-money punya σ implisit lebih tinggi dari opsi at-the-money — bukti pasar tidak percaya volatilitas benar-benar konstan.

Grafik ini adalah salah satu bukti empiris paling terkenal bahwa asumsi Black-Scholes tidak sepenuhnya benar di dunia nyata. Kalau kita ambil harga opsi yang benar-benar diperdagangkan di pasar, lalu kita "balik" rumus Black-Scholes untuk mencari sigma berapa yang menghasilkan harga tersebut, kita akan menemukan bahwa sigma itu berbeda-beda tergantung strike price-nya, padahal menurut model seharusnya sigma sama untuk semua strike. Pola melengkung seperti senyum inilah yang disebut volatility smile, dan ini muncul karena investor bersedia membayar premi ekstra untuk perlindungan terhadap pergerakan harga ekstrem, semacam asuransi terhadap crash pasar. Fenomena inilah pintu masuk kita ke bagian selanjutnya, karena kalau volatilitas ternyata tidak konstan dan berpola kompleks, machine learning punya keunggulan alami untuk mempelajari pola non-linear semacam ini langsung dari data historis.

Bagian 3 dari 3

Machine Learning untuk Valuasi Opsi

Ketika asumsi model klasik retak, data dan algoritma pembelajaran mesin mengambil alih untuk menangkap pola yang tersisa.

Mengapa Machine Learning untuk Opsi?

Bagian 13 tadi membuktikan Black-Scholes punya error sistematis. Machine learning menawarkan tiga hal yang tidak dimiliki rumus tertutup.

1 — TANPA ASUMSI KAKU

DATA-DRIVEN

Tidak perlu asumsi σ konstan atau distribusi log-normal — model belajar langsung dari pola historis.

2 — POLA NON-LINEAR

FLEKSIBEL

Bisa menangkap volatility smile & efek lain yang gagal ditangkap rumus tertutup.

3 — ADAPTIF

RE-TRAINABLE

Model bisa dilatih ulang saat rezim pasar berubah (mis. pasca krisis, pasca kebijakan BI).

Bukan "ML vs Black-Scholes" — praktik industri umumnya hybrid: Black-Scholes sebagai baseline, ML memodelkan residual atau permukaan volatilitas.

Poin yang sering disalahpahami mahasiswa adalah menganggap machine learning "mengalahkan" Black-Scholes, padahal dalam praktik industri keuangan, pendekatan yang paling umum justru bersifat hibrida. Alih-alih membuang total model klasik, banyak meja perdagangan opsi menggunakan Black-Scholes sebagai kerangka dasar, lalu melatih model machine learning untuk memprediksi selisih antara harga model dan harga pasar, yang disebut residual. Keunggulan machine learning yang paling relevan di sini adalah kemampuannya menangkap pola non-linear seperti volatility smile yang baru saja kita lihat, tanpa harus menuliskan rumus matematis eksplisit untuk pola tersebut. Selain itu, model machine learning bisa dilatih ulang secara berkala mengikuti perubahan rezim pasar, misalnya saat terjadi perubahan kebijakan suku bunga Bank Indonesia yang signifikan, sesuatu yang tidak bisa dilakukan rumus tertutup yang sifatnya statis.

Dari Regresi ke Neural Network

Spektrum kompleksitas model ML untuk memprediksi harga opsi atau volatilitas implisit, dari yang paling sederhana hingga paling fleksibel.

Regresi linear/polinomial → random forest → neural network (seperti diagram di atas): makin kompleks, makin bisa menangkap smile, tapi butuh lebih banyak data & rawan overfitting.

Diagram ini menggambarkan sebuah jaringan saraf tiruan sederhana, di mana lingkaran paling kiri adalah lapisan input yang berisi variabel-variabel yang sama seperti di Black-Scholes, yaitu harga saham, strike, waktu jatuh tempo, volatilitas historis, dan suku bunga. Lingkaran di tengah disebut hidden layer, tempat model belajar kombinasi non-linear dari variabel-variabel tersebut, dan semakin banyak lapisan tersembunyi, semakin kompleks pola yang bisa ditangkap model. Lingkaran paling kanan adalah output, bisa berupa prediksi harga opsi langsung atau prediksi volatilitas implisit yang nanti dimasukkan kembali ke rumus Black-Scholes. Perlu diingat, spektrum model dari regresi sederhana sampai neural network ini punya trade-off, makin fleksibel modelnya, makin besar risiko overfitting kalau data historis yang kita punya terbatas, jadi pemilihan model harus disesuaikan dengan jumlah data yang tersedia.

Feature Engineering untuk Model Opsi

Feature engineering (rekayasa fitur) menentukan kualitas prediksi jauh lebih besar daripada memilih algoritma yang canggih.

Fitur Umum Dipakai

Moneyness (S/K) — posisi harga saham relatif terhadap strike, pengganti pasangan S dan K mentah.
Sisa waktu T — sering ditransformasi ke √T mengikuti bentuk rumus Black-Scholes.
Volatilitas historis (dari model GARCH, Pertemuan 6) sebagai proxy volatilitas masa depan.
Volatilitas implisit lag — nilai σ implisit periode sebelumnya untuk strike/tenor serupa.
Volume & open interest — menangkap sinyal likuiditas & sentimen pasar.
Variabel makro — suku bunga acuan BI, indeks IHSG, nilai tukar Rupiah/USD.

Salah satu pelajaran penting dalam machine learning terapan di bidang keuangan adalah, algoritma paling canggih sekalipun tidak akan berguna kalau fitur input yang kita berikan tidak informatif, jadi feature engineering sering lebih menentukan hasil daripada pemilihan algoritma. Moneyness, yaitu rasio harga saham terhadap strike, biasanya lebih baik dijadikan satu fitur gabungan daripada memasukkan S dan K secara terpisah, karena model lebih mudah belajar pola relatif. Ingat kembali materi volatilitas dan GARCH di pertemuan sebelumnya, karena volatilitas historis hasil model GARCH sering dipakai sebagai salah satu fitur input paling penting dalam model machine learning untuk opsi. Jangan lupakan juga variabel makro seperti suku bunga acuan Bank Indonesia atau pergerakan Indeks Harga Saham Gabungan, karena harga opsi pada akhirnya tetap dipengaruhi kondisi ekonomi yang lebih luas, bukan hanya pergerakan saham itu sendiri.

Black-Scholes vs Machine Learning: Kapan Pakai Yang Mana?

BLACK-SCHOLES

Kelebihan: cepat, interpretable, tidak butuh data besar, jadi bahasa umum industri (Greeks).

Kekurangan: asumsi kaku, buruk saat volatility smile ekstrem/pasar krisis.

MACHINE LEARNING

Kelebihan: menangkap pola non-linear & smile, adaptif terhadap rezim pasar baru.

Kekurangan: butuh data historis besar, risiko overfitting, kurang interpretable ("black box").

Rekomendasi praktik: gunakan Black-Scholes untuk sanity check & komunikasi dengan Greeks, gunakan ML untuk memodelkan residual atau permukaan volatilitas implisit secara keseluruhan.

Sekarang mari kita rangkum perbandingan kedua pendekatan secara adil, tanpa memihak salah satu sebagai "yang lebih baik" secara mutlak. Black-Scholes unggul dalam kecepatan komputasi dan interpretabilitas, seorang trader bisa langsung memahami arti Delta sebesar 0,6 tanpa perlu penjelasan tambahan, sementara model machine learning yang kompleks sering disebut kotak hitam karena sulit dijelaskan mengapa ia menghasilkan angka tertentu. Di sisi lain, machine learning unggul ketika kondisi pasar sedang tidak normal, misalnya saat krisis keuangan atau ketika terjadi gejolak besar seperti pandemi, di mana asumsi volatilitas konstan Black-Scholes benar-benar runtuh. Dalam praktik industri yang matang, kedua pendekatan ini biasanya dipakai bersamaan secara komplementer, bukan saling menggantikan, dan itulah yang perlu Anda bawa sebagai kesimpulan utama dari mata kuliah machine learning in finance ini.

Coba Sendiri: Bandingkan Harga BS vs ML

Ubah kondisi pasar (mis. volatility smile ekstrem) dan bandingkan bagaimana harga hasil Black-Scholes menyimpang dari prediksi model machine learning.

Latihan: Hitung & Refleksikan

Instruksi Tugas

Bagian A (manual): Ulangi perhitungan harga call Black-Scholes seperti Slide 10, tapi untuk saham TLKM dengan S=Rp3.200, K=Rp3.000, T=0,25 tahun, σ=30%, r=6%. Tunjukkan seluruh langkah d₁, d₂, N(d₁), N(d₂), dan harga C.
Bagian B (refleksi tertulis, 150–200 kata): Menurut Anda, fitur data apa yang paling relevan untuk melatih model ML memprediksi volatilitas implisit saham perbankan Indonesia? Kaitkan dengan materi GARCH di Pertemuan 6.
Kumpulkan sebagai PDF satu halaman melalui portal e-learning sebelum pertemuan berikutnya.

Boleh berdiskusi dalam kelompok kecil (maks. 3 orang) untuk Bagian A, tetapi Bagian B wajib dikerjakan & ditulis individual.

Latihan hari ini punya dua bagian dengan tujuan berbeda, Bagian A untuk memastikan Anda benar-benar menguasai mekanika perhitungan Black-Scholes dengan angka yang berbeda dari contoh di kelas, kali ini menggunakan saham Telkom sebagai objeknya. Silakan gunakan kalkulator atau Excel dengan fungsi NORM.S.DIST untuk mencari nilai N-d-satu dan N-d-dua, dan pastikan Anda menuliskan setiap langkah perhitungan, bukan hanya jawaban akhir, karena proses berpikir itulah yang akan dinilai. Bagian B sengaja bersifat reflektif dan terbuka, saya ingin melihat bagaimana Anda menghubungkan materi volatilitas dan GARCH dari pertemuan sebelumnya dengan konteks machine learning yang baru saja kita bahas hari ini. Silakan berdiskusi dengan teman untuk bagian perhitungan, namun ingat bagian refleksi harus murni pemikiran Anda sendiri karena akan menjadi bahan diskusi kelas berikutnya.

Ringkasan & Pratinjau Pertemuan Berikutnya

Yang Sudah Kita Pelajari

Opsi call/put, payoff, & lima faktor penentu harga (S, K, T, σ, r).
Rumus Black-Scholes — dihitung dari nol untuk call & put (parity).
Greeks sebagai ukuran sensitivitas & alat hedging.
Volatility smile sebagai bukti keterbatasan model klasik.
Peran ML: dari regresi hingga neural network, feature engineering, pendekatan hybrid.

Pertemuan 11: Sentiment Analysis

Kita akan bergeser dari opsi ke sentiment analysis untuk algorithmic trading — bagaimana teks berita & media sosial (mis. cuitan tentang saham BEI) diubah menjadi sinyal trading kuantitatif.

Mari kita rangkum perjalanan kita hari ini, dimulai dari memahami opsi sebagai kontrak hak, melihat bentuk payoff yang khas, lalu masuk ke jantung materi yaitu rumus Black-Scholes yang kita hitung sendiri langkah demi langkah untuk harga call maupun put. Kita juga sudah membahas Greeks sebagai alat komunikasi sensitivitas risiko, dan yang terpenting, kita sudah melihat bukti nyata melalui volatility smile bahwa model seelegan apapun tetap punya keterbatasan menghadapi data pasar sungguhan. Pada pertemuan berikutnya kita akan berpindah topik ke sentiment analysis, di mana Anda akan belajar bagaimana teks tidak terstruktur seperti berita ekonomi atau cuitan media sosial tentang saham-saham di Bursa Efek Indonesia bisa diubah menjadi sinyal numerik untuk mendukung keputusan trading algoritmik. Sebelum pertemuan berikutnya, pastikan latihan hari ini sudah dikerjakan, karena pemahaman valuasi opsi ini akan menjadi salah satu fondasi untuk topik-topik lanjutan di paruh akhir semester.

📖 Baca juga: Dcf Valuation — penjelasan mendalam dan contoh numerik.