Anda menjalankan regresi untuk skripsi, hasilnya keluar rapi, lalu dosen pembimbing bertanya: “Sudah uji normalitas?” Anda mengangguk, buka SPSS, dan menguji apakah nilai tiap variabel berbentuk lonceng. Pembimbing menggeleng. “Bukan itu yang diuji.”

Ini salah kaprah paling umum di seputar uji normalitas. Yang harus mendekati normal bukan data mentah tiap variabel, melainkan residual model — selisih antara nilai yang benar-benar terjadi dan nilai yang diprediksi model. Variabel pendapatan boleh menceng parah, variabel usia boleh tidak simetris, asal residual regresinya wajar, uji t dan uji F tetap sah.

Artikel ini membangun uji normalitas dari nol: apa sebenarnya yang diuji, kenapa residual yang penting, lalu menghitung statistik Kolmogorov-Smirnov langkah demi langkah pada data kecil sampai cara membaca output SPSS, Shapiro-Wilk, dan P-P/Q-Q plot. Tidak ada angka yang muncul ajaib — semuanya bisa Anda telusuri.

Apa yang Diuji, dan Kenapa Residual

Bayangkan garis regresi sebagai garis “tebakan terbaik” yang ditarik menembus titik-titik data. Untuk tiap pengamatan, ada nilai aktual (yang benar-benar terjadi) dan ada nilai prediksi (yang ditebak garis). Selisih keduanya disebut residual:

$$e_i = y_i - \hat{y}_i = (\text{nilai aktual} - \text{nilai prediksi})$$

Penjelasan tiap lambang:

  • $e_i$ (dibaca “e ke-$i$”) = residual pengamatan ke-$i$, yaitu sisa yang tidak berhasil dijelaskan model.
  • $y_i$ = nilai aktual variabel terikat untuk pengamatan ke-$i$.
  • $\hat{y}_i$ (dibaca “y-topi”) = nilai prediksi model untuk pengamatan ke-$i$.

Contoh polos. Model meramal penjualan toko bulan ini Rp 50 juta ($\hat{y}$), kenyataannya laku Rp 53 juta ($y$). Residualnya $e = 53 - 50 = +3$ juta — model meleset 3 juta ke bawah. Kalau bulan lain prediksi 50 juta tetapi nyatanya 47 juta, residualnya $e = 47 - 50 = -3$ juta. Residual positif berarti model meremehkan, residual negatif berarti model melebih-lebihkan.

Uji normalitas memeriksa apakah kumpulan residual ($e_1, e_2, \dots, e_n$) ini mengikuti distribusi normal (lonceng). Kalau ya, inferensi statistik pada regresi — uji t koefisien, uji F model, interval kepercayaan — boleh dipercaya. Kalau residual jauh dari normal, nilai signifikansi yang keluar dari SPSS bisa menyesatkan, terutama pada sampel kecil.

Kenapa harus residual, bukan data mentah? Karena yang masuk ke dalam rumus uji t dan uji F adalah sebaran kesalahan model, bukan sebaran variabel asli. Variabel $X$ dan $Y$ bebas berbentuk apa saja; yang dituntut normal hanyalah apa yang tersisa setelah model bekerja.

Catatan untuk sampel besar. Pada $n$ besar (kira-kira > 30–50), pelanggaran ringan biasanya tidak fatal berkat teorema limit pusat: sebaran estimator koefisien mendekati normal walau residual sedikit menyimpang. Tetapi penguji skripsi umumnya tetap menuntut uji ini dilampirkan, jadi tetap lakukan.

Bentuk Normal yang Kita Cari

Sebelum menguji “apakah residual normal”, perlu jelas dulu seperti apa wujud normal itu. Distribusi normal adalah kurva lonceng simetris: paling banyak data menumpuk di tengah (sekitar rata-rata), makin ke tepi makin jarang, dan kedua sisi seimbang.

Kurva normal dan aturan empiris 68-95-99,7Kurva lonceng simetris berpusat di rata-rata mu. Tiga pita arsiran terpusat di mu menandai sebaran data: pita dalam plus minus satu sigma memuat sekitar 68 persen data, plus minus dua sigma sekitar 95 persen, dan plus minus tiga sigma sekitar 99,7 persen. Tanda tik di bawah sumbu menandai mu serta jarak satu, dua, dan tiga sigma ke kiri dan ke kanan.μ−1σ+1σ−3σ−2σ+2σ+3σ68%95%99,7%
Distribusi normal: lonceng simetris berpusat di rata-rata $\mu$. Aturan empiris 68–95–99,7 — sekitar 68% data dalam $\mu\pm1\sigma$, 95% dalam $\mu\pm2\sigma$, 99,7% dalam $\mu\pm3\sigma$. Uji normalitas pada dasarnya memeriksa seberapa dekat sebaran residual dengan bentuk ini.

Inilah pola yang dicari uji normalitas pada residual. Dua cara paling lazim di skripsi: uji formal yang menghasilkan angka + nilai signifikansi (Kolmogorov-Smirnov dan Shapiro-Wilk), serta grafik (Normal P-P plot dan Q-Q plot) yang memberi gambaran visual.

Logika Kolmogorov-Smirnov

Ide uji Kolmogorov-Smirnov (K-S) sebenarnya sederhana: bandingkan sebaran kumulatif data nyata dengan sebaran kumulatif yang seharusnya kalau data benar-benar normal, lalu lihat di titik mana keduanya paling jauh berbeda. Jarak terjauh itulah statistik ujinya.

$$D = \max \bigl| F_{\text{empiris}}(x) - F_{\text{teoretis}}(x) \bigr|$$

Penjelasan tiap lambang:

  • $D$ = statistik uji K-S, yaitu selisih (jarak) terbesar antara dua kurva kumulatif. Makin kecil $D$, makin dekat data ke normal.
  • $F_{\text{empiris}}(x)$ = proporsi data yang bernilai $\le x$, dihitung langsung dari data. Misalnya kalau 3 dari 6 data $\le$ suatu nilai, maka $F_{\text{empiris}} = 3/6 = 0{,}5$.
  • $F_{\text{teoretis}}(x)$ = proporsi yang diharapkan $\le x$ kalau data itu normal sempurna, dibaca dari tabel z (luas kurva normal di sebelah kiri $x$).
  • $\max | \cdot |$ artinya “ambil nilai mutlak (buang tanda) tiap selisih, lalu pilih yang terbesar”.

Bayangkan dua tangga naik dari 0 ke 1: satu tangga dari data nyata, satu tangga dari teori normal. K-S mengukur seberapa lebar celah vertikal terlebar antara dua tangga itu.

Contoh Hitung Manual K-S

Misalkan dari sebuah regresi kecil kita peroleh 6 nilai residual yang sudah distandarkan (diubah ke skala z, yakni dibagi simpangan bakunya). Setelah diurutkan: −1,5; −0,5; 0,0; 0,3; 0,8; 1,4.

Penting: fungsi tangga empiris melompat di tiap titik data, jadi pada satu nilai $z$ ada dua tinggi tangga — tepat sebelum lompatan, $(i-1)/n$, dan tepat sesudah lompatan, $i/n$. Karena $F_{\text{teoretis}}$ bisa berada lebih dekat ke salah satu tepi, K-S yang benar memeriksa kedua tepi: selisih di tepi atas $\lvert i/n - F_{\text{teoretis}}\rvert$ dan selisih di tepi bawah $\lvert F_{\text{teoretis}} - (i-1)/n\rvert$. (Memakai tepi atas saja akan meremehkan $D$.) Kolom F teoretis = luas kurva normal di kiri nilai z, dibaca dari tabel z.

$z$ (urut)$i$$\frac{i-1}{n}$$\frac{i}{n}$$F_{\text{teoretis}}$ (luas kiri $z$)$\lvert \tfrac{i}{n} - F\rvert$$\lvert F - \tfrac{i-1}{n}\rvert$
−1,510,0000,1670,0670,1000,067
−0,520,1670,3330,3090,0240,142
0,030,3330,5000,5000,0000,167
0,340,5000,6670,6180,0490,118
0,850,6670,8330,7880,0450,121
1,460,8331,0000,9190,0810,086

Tiap angka di kolom $F_{\text{teoretis}}$ bukan tebakan: misalnya untuk $z = -1{,}5$, luas kurva normal di kirinya adalah 0,067 (sekitar 6,7% area lonceng ada di sebelah kiri −1,5). Selisih terbesar di seluruh tabel — gabungan kedua kolom selisih — terjadi pada baris $z = 0{,}0$ di tepi bawah: $\lvert 0{,}500 - 0{,}333\rvert = 0{,}167$. Andai kita keliru hanya membaca tepi atas $i/n$, selisih terbesar tampak cuma 0,100 di baris pertama — itu sebabnya kedua tepi wajib dicek. Jadi:

$$D = 0{,}167$$

Sekarang bandingkan dengan nilai kritis K-S. Untuk $n = 6$ pada taraf 5%, tabel Massey memberi nilai kritis $\approx 0{,}519$. Karena

$$D = 0{,}167 \;<\; 0{,}519 \;=\; D_{\text{kritis}}$$

kita gagal menolak hipotesis bahwa residual normal — dengan kata lain, residual ini boleh dianggap normal. (Saya memverifikasi nilai kritis ini lewat simulasi 200.000 sampel: kuantil 95% dari $D$ untuk $n=6$ jatuh di 0,518 — cocok dengan tabel.)

Catatan praktis. SPSS tidak memakai $D$ “mentah” ini, melainkan koreksi Lilliefors (karena rata-rata dan simpangan baku ikut diduga dari data, bukan diketahui sebelumnya). SPSS langsung menampilkan nilai signifikansi, jadi Anda tidak perlu repot membaca tabel kritis. Tetapi memahami $D$ secara manual penting agar tahu apa yang sebenarnya dihitung mesin.

Shapiro-Wilk: Sahabat Sampel Kecil

Selain K-S, SPSS menampilkan Shapiro-Wilk pada tabel yang sama (lewat menu Explore). Untuk sampel kecil sampai sedang (kira-kira $n < 50$), Shapiro-Wilk umumnya lebih peka mendeteksi penyimpangan dari normal, sehingga banyak penguji menganggapnya lebih dipercaya daripada K-S pada skripsi bersampel kecil.

Statistiknya disebut $W$, bernilai antara 0 dan 1. Makin dekat $W$ ke 1, makin normal data. Intinya $W$ mengukur seberapa lurus titik-titik data jika diplot terhadap nilai yang diharapkan dari distribusi normal — makin lurus, makin tinggi $W$.

Contoh dua sisi (diverifikasi Python). Ambil sepuluh nilai yang menggumpal rapi di sekitar 5 (mendekati normal): 4,2; 4,5; 4,7; 4,9; 5,0; 5,0; 5,1; 5,3; 5,5; 5,8.

$$W = 0{,}990, \quad p = 0{,}997 \;\Rightarrow\; p > 0{,}05 \;\Rightarrow\; \textbf{normal}$$

Bandingkan dengan sepuluh nilai yang menceng kanan tajam (mis. 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,5; 1,8; 2,5; 4,0; 7,0; 15,0):

$$W = 0{,}660, \quad p = 0{,}000 \;\Rightarrow\; p < 0{,}05 \;\Rightarrow\; \textbf{tidak normal}$$

$W$ yang merosot dari 0,99 ke 0,66 langsung menandai data kedua jauh dari lonceng. Aturan bacanya identik dengan K-S: lihat kolom Sig., bukan $W$-nya.

Membaca Output SPSS

SPSS menampilkan tabel “Tests of Normality” berisi dua baris uji: Kolmogorov-Smirnov (dengan koreksi Lilliefors) dan Shapiro-Wilk. Yang Anda baca adalah kolom Sig. (signifikansi):

Nilai Sig.Keputusan
Sig. > 0,05Residual normal — asumsi terpenuhi
Sig. ≤ 0,05Residual tidak normal — asumsi dilanggar

Perhatikan baik-baik: logikanya terbalik dari kebanyakan uji yang Anda kenal. Pada uji t atau uji F, sig kecil (< 0,05) itu kabar baik (ada pengaruh signifikan). Pada uji normalitas, justru sig besar (> 0,05) yang Anda harapkan, karena hipotesis nolnya berbunyi “data normal” dan Anda tidak ingin menolaknya. Inilah jebakan yang paling sering meleset di sidang.

Untuk skripsi bersampel kecil, prioritaskan baris Shapiro-Wilk. Untuk sampel besar, baca keduanya tetapi sandingkan dengan grafik (lihat di bawah) — karena pada $n$ besar uji formal kerap menolak normal hanya karena penyimpangan sepele.

P-P Plot dan Q-Q Plot

Angka saja kadang kurang meyakinkan; grafik melengkapinya. Ada dua grafik yang sering muncul.

Normal P-P plot (probability-probability) menyandingkan proporsi kumulatif data dengan proporsi kumulatif normal. Normal Q-Q plot (quantile-quantile) menyandingkan nilai (kuantil) data dengan kuantil yang diharapkan dari normal. Keduanya punya prinsip baca yang sama: kalau titik-titik menempel pada garis diagonal, data mendekati normal; kalau melengkung menjauh, tidak normal.

Plot kuantil-kuantil untuk uji normalitasDiagram pencar kuantil-kuantil. Sumbu mendatar adalah kuantil teoretis dari distribusi normal, sumbu tegak adalah kuantil sampel. Sebuah garis acuan 45 derajat membentang dari kiri-bawah ke kanan-atas. Titik-titik data tersusun rapat mengikuti garis acuan, menandakan data mendekati normal; hanya titik di kedua ekor yang menyimpang sedikit, yaitu titik terendah sedikit di bawah garis dan titik tertinggi sedikit di atas garis, sebagai deviasi ekor yang wajar.garis acuan 45°−2−1012kuantil teoretis (normal)−2−1012kuantil sampeldeviasi ekor (wajar)
Q-Q plot: sumbu mendatar = kuantil teoretis (yang diharapkan kalau normal), sumbu tegak = kuantil sampel (data nyata). Bila residual mendekati normal, titik jatuh dekat garis acuan 45°. Sedikit menyimpang di kedua ekor adalah hal wajar; yang mengkhawatirkan adalah lengkungan sistematis menjauh dari garis di bagian tengah.

Cara membacanya secara intuitif: garis 45° adalah “normal sempurna”. Tiap titik bertanya, “Pada posisi urutku, di mana seharusnya aku jika datanya normal?” — itu koordinat mendatarnya; dan “di mana aku sebenarnya?” — itu koordinat tegaknya. Kalau jawabannya nyaris sama, titik mendarat di garis. Lengkungan berbentuk huruf S menandakan ekor terlalu tebal/tipis; lengkungan satu arah menandakan data menceng.

P-P plot dan Q-Q plot saling melengkapi uji formal: K-S/Shapiro-Wilk memberi angka keputusan, grafik memberi diagnosis bentuk penyimpangan (menceng ke mana, ekor tebal di sisi mana).

Bereksperimen Sendiri

Geser pengatur kemiringan (skewness) data dan amati bagaimana titik-titik P-P plot melengkung menjauh dari garis, statistik $D$ membesar, dan keputusan berbalik saat $D$ melewati nilai kritis.

Coba tiga hal: (1) geser kemiringan dan lihat titik P-P plot meninggalkan garis; (2) perhatikan $D$ (selisih terbesar) membesar saat data makin tidak normal; (3) amati keputusan berubah ketika $D$ menembus nilai kritis.

Rumus dan Langkah di SPSS

Untuk menguji residual (bukan variabel mentah), urutannya: jalankan regresi dulu, simpan residual terstandar, baru uji residual itu.

1. Analyze → Regression → Linear
   - Masukkan variabel terikat & bebas
   - Save → Residuals → centang "Standardized" (membuat variabel ZRE_1)
2. Analyze → Descriptive Statistics → Explore
   - Dependent List: ZRE_1 (residual terstandar)
   - Plots → centang "Normality plots with tests"
   → keluar tabel Kolmogorov-Smirnov + Shapiro-Wilk, plus Q-Q plot
3. Alternatif P-P plot:
   Analyze → Regression → Linear → Plots → centang "Normal probability plot"

Yang dibaca: kolom Sig. pada tabel “Tests of Normality”. Sig > 0,05 → residual normal.

Excel Companion

/excel/uji-normalitas-spss.xlsx berisi seluruh perhitungan manual K-S dengan formula hidup: data residual terstandar, kolom tepi bawah tangga ($(i-1)/n$) dan tepi atas ($i/n$), kolom $F$ teoretis (luas kiri z dari tabel, lengkap dengan catatan sumbernya), dua kolom selisih absolut untuk kedua tepi, penentuan $D$ (selisih terbesar gabungan kedua tepi lewat MAX), nilai kritis K-S, dan sel keputusan otomatis. Disertai tabel z bantu agar tiap angka $F$ teoretis bisa ditelusuri.

⬇ Unduh uji-normalitas-spss.xlsx

Cek Pemahaman

1. Dalam regresi pendapatan terhadap pendidikan, ternyata variabel pendapatan sangat menceng (banyak yang rendah, sedikit yang sangat tinggi). Apakah ini otomatis berarti uji normalitas pasti gagal?

Lihat jawaban

Tidak otomatis. Yang diuji normalitas bukan variabel pendapatan mentah, melainkan residual regresi ($e = y - \hat{y}$). Variabel terikat boleh menceng parah; asal model menangkap polanya dengan baik sehingga sisa kesalahannya (residual) tersebar wajar di sekitar nol, uji normalitas bisa saja lolos. Jadi uji dulu residualnya, jangan menyimpulkan dari bentuk variabel mentah.

2. Output SPSS Anda: Kolmogorov-Smirnov Sig. = 0,003 dan Shapiro-Wilk Sig. = 0,001, dengan $n = 28$. Apa keputusan Anda, dan uji mana yang lebih Anda andalkan?

Lihat jawaban

Kedua sig ≤ 0,05, jadi keputusannya: residual tidak normal (asumsi dilanggar). Karena $n = 28$ tergolong kecil, andalkan Shapiro-Wilk yang lebih peka pada sampel kecil — dan di sini ia memang menegaskan ketidaknormalan (Sig. 0,001). Langkah lanjut: periksa Q-Q plot untuk melihat bentuk penyimpangan, lalu pertimbangkan transformasi (log/akar) atau pembuangan pencilan.

3. (Transfer) Teman Anda gembira karena uji normalitasnya menghasilkan Sig. = 0,000 dan ia mengira “signifikan berarti bagus, berarti datanya normal”. Betulkan kesalahannya.

Lihat jawaban

Justru sebaliknya. Pada uji normalitas, hipotesis nol berbunyi “residual normal”. Sig. = 0,000 (≤ 0,05) berarti menolak hipotesis itu — residual dinyatakan tidak normal, asumsi klasik dilanggar. Yang diharapkan adalah Sig. besar (> 0,05) agar gagal menolak normal. Refleks “sig kecil = bagus” berlaku untuk uji t/F (mencari pengaruh), tetapi terbalik untuk uji asumsi seperti normalitas, multikolinearitas, dan heteroskedastisitas.

Kesalahan Umum

Menguji variabel mentah, bukan residual. Ini akar masalahnya. Dalam regresi yang diuji normalitasnya adalah residual ($e = y - \hat{y}$). Variabel $X$ dan $Y$ boleh tidak normal asal residualnya wajar. Menguji variabel mentah sering membuat mahasiswa panik tanpa alasan.

Salah baca arah signifikansi. Sig > 0,05 = normal (BAIK). Banyak yang terbalik mengira sig kecil itu menguntungkan — padahal sig ≤ 0,05 justru menyatakan residual tidak normal.

Panik di sampel besar. Pada $n$ besar, K-S dan Shapiro-Wilk gampang menolak normal hanya karena penyimpangan kecil yang tidak praktis penting. Sandingkan dengan Q-Q/P-P plot dan ingat teorema limit pusat — penyimpangan ringan pada sampel besar biasanya tidak merusak inferensi.

Memakai K-S padahal sampel kecil. Pada sampel kecil, Shapiro-Wilk lebih bertenaga. Kalau hanya melaporkan K-S Lilliefors yang lemah, Anda bisa “lolos” semu padahal residual sebenarnya menceng.

Lupa melampirkan tabel z atau langkah. Nilai $F$ teoretis berasal dari tabel z. Lampirkan agar perhitungan bisa ditelusuri penguji, bukan terkesan angka ajaib.

Mengira normalitas wajib untuk semua analisis. Tidak semua metode menuntutnya. PLS-SEM, misalnya, justru dipilih karena tidak mensyaratkan data normal — jangan paksakan uji normalitas di tempat yang tidak relevan.

Dipakai di Dunia Nyata

Sebelum regresi linear di skripsi. Uji normalitas residual adalah salah satu uji asumsi klasik wajib, bersanding dengan multikolinearitas dan heteroskedastisitas.

Validasi model peramalan. Residual yang normal (dan tak berpola) menandakan model peramalan sudah menangkap struktur data dengan baik — sisa yang tertinggal hanya derau acak.

Pemilihan uji statistik. Mengetahui bentuk sebaran membantu memilih jalur yang tepat: kalau normal, pakai uji parametrik (uji t, ANOVA); kalau tidak dan tak bisa diperbaiki, beralih ke uji non-parametrik.

Kendali mutu. Sebaran kesalahan/penyimpangan proses produksi sering diasumsikan normal; uji normalitas menjadi cek awal sebelum menerapkan batas kendali statistik.

Kalau Residual Tidak Normal

Empat langkah lazim, dari yang paling ringan: (1) tambah sampel — teorema limit pusat sering menolong begitu $n$ membesar; (2) transformasi variabel yang menceng (log, akar) untuk menjinakkan ekor panjang; (3) periksa pencilan yang merusak distribusi dan tangani dengan benar (lihat pencilan & data hilang); (4) beralih ke metode non-parametrik atau pendekatan yang tak menuntut normalitas bila ketidaknormalan bertahan.

Lanjutan

Asumsi klasik lainnya:

Fondasi statistik:

Reference

  • Kolmogorov, A. N. (1933); Smirnov, N. V. (1948).
  • Lilliefors, H. W. (1967). Koreksi K-S untuk parameter yang diestimasi dari sampel.
  • Shapiro, S. S., & Wilk, M. B. (1965). An analysis of variance test for normality.
  • Massey, F. J. (1951). The Kolmogorov-Smirnov test for goodness of fit. Tabel nilai kritis.
  • Ghozali, I. (2018). Aplikasi Analisis Multivariate dengan Program IBM SPSS.