Uji Chi-Square (Goodness of Fit & Uji Independensi)

Anda baru selesai menyebar kuesioner. Empat puluh responden pria dan enam puluh wanita, dan tiap orang memilih satu dari dua produk: A atau B. Saat datanya ditata, terlihat pria condong ke Produk A, sedangkan wanita condong ke Produk B. Pertanyaan pembimbing Anda di ruang bimbingan: apakah pilihan produk benar-benar bergantung pada jenis kelamin, atau pola itu cuma kebetulan dari seratus orang yang kebetulan terjaring sampel ini?

Perhatikan bentuk datanya. Bukan nilai rata-rata, bukan skor, melainkan hitungan orang per kategori: sekian pria memilih A, sekian wanita memilih B. Untuk data semacam ini, uji t dan ANOVA tidak berlaku, karena keduanya menuntut angka yang bisa dirata-ratakan. Yang dipakai justru uji khi-kuadrat (chi-square).

Artikel ini menjelaskan khi-kuadrat dari nol: kapan ia dipakai, dua kegunaannya, cara menghitung manual sel demi sel, sampai cara membaca tabel Crosstabs di SPSS.

Intuisi: Membandingkan yang Teramati dengan yang Diharapkan

Sebelum menyentuh rumus, pahami satu ide yang mendasari seluruh uji ini.

Bayangkan dunia tempat jenis kelamin tidak ada hubungannya dengan pilihan produk. Di dunia itu, kalau separuh seluruh responden memilih Produk A, maka separuh pria memilih A dan separuh wanita pun memilih A — proporsinya seragam, tidak peduli kelompoknya. Itulah pola yang diharapkan kalau tidak ada hubungan apa-apa.

Sekarang lihat data nyata Anda. Kalau hitungan nyata (yang teramati) ternyata jauh menyimpang dari pola seragam tadi, itu sinyal bahwa kelompok memang berbeda — ada hubungan. Kalau hitungan nyata kira-kira sama dengan pola harapan, berarti tidak ada yang istimewa.

Jadi khi-kuadrat sebenarnya cuma mengukur satu hal: seberapa jauh kenyataan menyimpang dari harapan. Makin besar simpangannya, makin besar nilai χ², makin kuat dugaan ada hubungan. Sisa artikel ini hanya menerjemahkan kalimat itu menjadi angka.

Kapan Dipakai

Khi-kuadrat dipakai saat data Anda kategorik (nominal atau ordinal) dan disajikan sebagai frekuensi — hitungan, bukan rata-rata. Misalnya jumlah orang per kategori, jumlah produk per merek, jumlah jawaban “ya” dan “tidak”. Ada dua kegunaan utama:

• Goodness of fit (uji kecocokan). Menguji apakah sebaran satu variabel kategorik sesuai dengan harapan tertentu. Contoh: apakah pelanggan tersebar merata di empat cabang, atau apakah komposisi jawaban responden sesuai proporsi populasi yang diteorikan.
• Uji independensi. Menguji apakah dua variabel kategorik saling berhubungan. Datanya disusun dalam tabel kontingensi (tabel silang). Contoh: apakah jenis kelamin berhubungan dengan pilihan produk, atau apakah tingkat pendidikan berhubungan dengan keputusan membeli.

Keduanya memakai rumus inti yang sama; bedanya hanya pada cara menghitung frekuensi harapan dan derajat bebas. Fokus contoh utama di artikel ini adalah uji independensi, karena itu yang paling sering muncul di skripsi. Goodness of fit kita bahas singkat di bagian akhir.

Rumus Inti dan Tiap Lambangnya

Statistik khi-kuadrat menjumlahkan, untuk tiap sel, selisih kuadrat antara teramati dan harapan dibagi harapan:

$$ \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} $$

Mari bedah tiap lambangnya, satu per satu:

• $\chi^2$ (dibaca “khi-kuadrat”) = statistik yang nanti dibandingkan dengan tabel. Makin besar, makin kuat dugaan ada hubungan.
• $O$ = frekuensi teramati (observed) — jumlah nyata di tiap sel, langsung dari data Anda. Misalnya “30 pria memilih Produk A”: di sel itu $O = 30$.
• $E$ = frekuensi harapan (expected) — jumlah yang seharusnya muncul kalau kedua variabel tidak berhubungan.
• $O - E$ = simpangan tiap sel, persis seperti $e = $ (nilai aktual − prediksi). Di sini selisihnya: $O - E = $ (hitungan nyata − hitungan harapan). Kalau Pria-A teramati 30 tapi harapannya 20, simpangannya $30 - 20 = 10$.
• $(O - E)^2$ = simpangan dikuadratkan, supaya simpangan negatif dan positif tidak saling membatalkan, sekaligus memberi bobot lebih besar pada simpangan yang jauh.
• Dibagi $E$ = membuat simpangan relatif terhadap besar harapan. Selisih 10 pada sel berharapan 20 jauh lebih berarti daripada selisih 10 pada sel berharapan 1.000.
• $\sum$ (dibaca “sigma”) = jumlahkan hasil tadi untuk semua sel.

Untuk tabel kontingensi, frekuensi harapan tiap sel dihitung dari total baris dan total kolomnya:

$$ E_{ij} = \frac{(\text{total baris}_i)\,(\text{total kolom}_j)}{N} $$

• $E_{ij}$ = harapan untuk sel di baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$.
• $\text{total baris}_i$ = jumlah seluruh frekuensi di baris itu (mis. total semua pria).
• $\text{total kolom}_j$ = jumlah seluruh frekuensi di kolom itu (mis. total semua pemilih Produk A).
• $N$ = total seluruh pengamatan (mis. 100 responden).

Logika rumus ini: kalau kedua variabel benar-benar tak berhubungan, peluang seseorang ada di baris $i$ dan kolom $j$ sama dengan peluang baris dikali peluang kolom. Kalikan peluang gabungan itu dengan $N$, hasilnya frekuensi harapan.

Derajat bebasnya — banyaknya sel yang “bebas” diisi sebelum sisanya tertentukan oleh total baris dan kolom:

$$ df = (r - 1)(c - 1) $$

dengan $r$ = jumlah baris dan $c$ = jumlah kolom pada tabel kontingensi. Begitu semua total baris dan total kolom dipatok, hanya $(r-1)(c-1)$ sel yang masih bebas; sisanya otomatis tertentukan agar totalnya cocok. Tabel $2 \times 2$ punya $df = (2-1)(2-1) = 1$.

Contoh Hitung Manual dari Nol

Ambil kasus pembuka: jenis kelamin (pria/wanita) versus pilihan produk (A/B). Inilah tabel teramati ($O$), lengkap dengan total baris dan total kolom:

Total seluruhnya $N = 100$. Tabelnya $2 \times 2$, jadi $r = 2$ dan $c = 2$.

Langkah 1 — hitung frekuensi harapan tiap sel dengan $E_{ij} = (\text{total baris}_i)(\text{total kolom}_j)/N$.

$$ E_{\text{Pria-A}} = \frac{40 \times 50}{100} = \frac{2000}{100} = 20 $$$$ E_{\text{Pria-B}} = \frac{40 \times 50}{100} = \frac{2000}{100} = 20 $$$$ E_{\text{Wanita-A}} = \frac{60 \times 50}{100} = \frac{3000}{100} = 30 $$$$ E_{\text{Wanita-B}} = \frac{60 \times 50}{100} = \frac{3000}{100} = 30 $$

Tabel harapan ($E$) — perhatikan total baris/kolomnya tetap sama persis dengan tabel teramati; harapan hanya menata ulang isinya sesuai pola “tidak ada hubungan”:

Langkah 2 — hitung $(O - E)^2 / E$ untuk tiap sel. Inilah jantung perhitungan, jadi kita susun ke dalam satu tabel langkah agar tiap simpangan terlihat:

Perhatikan kolom $O - E$: jumlahnya selalu 0, karena total teramati dan total harapan pasti sama. Itu sebabnya simpangan harus dikuadratkan dulu sebelum dijumlahkan — kalau langsung dijumlah, hasilnya nol terus. (Wanita-A dan Wanita-B masing-masing $100/30 = 3{,}333\ldots$, dibulatkan 3,33.)

Langkah 3 — jumlahkan keempat sel untuk mendapat statistik χ²:

$$ \chi^2 = 5{,}00 + 5{,}00 + 3{,}33 + 3{,}33 = 16{,}67 $$

Langkah 4 — derajat bebas.

$$ df = (r - 1)(c - 1) = (2 - 1)(2 - 1) = 1 $$

Mengambil Keputusan

Sekarang kita punya χ²-hitung = 16,67 dengan $df = 1$. Apa artinya? Bandingkan dengan χ²-tabel (nilai kritis) pada $df = 1$ dan taraf nyata 5%, yaitu 3,841. Gambar di bawah menunjukkan logikanya: kurva khi-kuadrat menceng ke kanan, dan daerah penolakan adalah ekor kanan di luar nilai kritis.

Aturannya:

Karena $16{,}67 > 3{,}841$, χ²-hitung jatuh di daerah penolakan. Kesimpulannya: ada hubungan signifikan antara jenis kelamin dan pilihan produk. Pria dan wanita memang memilih produk secara berbeda, dan polanya terlalu kuat untuk dianggap variasi acak. Kalau dihitung dengan komputer, nilai signifikansinya (p-value) sekitar 0,00004 — jauh di bawah 0,05, jadi keputusannya konsisten.

Catatan penting soal arah dan kekuatan: khi-kuadrat hanya menjawab ada atau tidak hubungan, bukan seberapa kuat. Untuk mengukur kekuatannya, lihat Cramer’s V (rentang 0–1). Pada tabel di atas, Cramer’s V ≈ 0,41 — tergolong hubungan sedang-kuat.

Membaca di SPSS

Di SPSS: Analyze → Descriptive Statistics → Crosstabs, masukkan satu variabel ke Row dan satu ke Column, lalu klik Statistics → centang Chi-square (centang juga Phi and Cramer’s V untuk kekuatan asosiasi). Pada output, baca baris Pearson Chi-Square. Kalau Asymp. Sig. (2-sided) < 0,05, berarti ada hubungan signifikan. SPSS juga menampilkan catatan kaki “n cells have expected count less than 5” — angka ini penting untuk syarat yang dibahas di Kesalahan Umum.

Selingan: Goodness of Fit (Satu Variabel)

Kalau variabelnya hanya satu, rumus intinya identik, hanya cara menentukan harapan yang berbeda. Misal Anda ingin tahu apakah 200 pelanggan tersebar merata di empat cabang. Karena diharapkan merata, harapan tiap cabang $E = 200/4 = 50$.

Misalkan teramati: Cabang 1 = 65, Cabang 2 = 55, Cabang 3 = 45, Cabang 4 = 35.

Maka $\chi^2 = 10{,}0$. Derajat bebas goodness of fit = (banyak kategori − 1) = $4 - 1 = 3$. Nilai kritis pada $df = 3$ taraf 5% adalah 7,815. Karena $10{,}0 > 7{,}815$, kesimpulannya pelanggan tidak tersebar merata antar cabang.

Visualisasi Interaktif

Geser frekuensi tiap sel di bawah ini dan amati bagaimana frekuensi harapan, χ², dan keputusan ikut berubah seketika.

Coba tiga hal ini:

1. Geser sebuah sel teramati, perhatikan frekuensi harapan dan χ² langsung menyesuaikan.
2. Buat tabel makin “miring” (mis. Pria-A besar, Wanita-A kecil) — χ² membesar dan keputusan jadi signifikan.
3. Buat keempat sel hampir seimbang — χ² mengecil mendekati nol, karena teramati ≈ harapan.

Excel Companion

/excel/uji-chi-square.xlsx berisi tabel teramati lengkap dengan total baris/kolom, perhitungan frekuensi harapan tiap sel dengan rumus terlihat (total baris × total kolom ÷ N), kolom $(O-E)^2/E$ per sel, penjumlahan menjadi χ², derajat bebas, perbandingan dengan χ²-tabel, keputusan, plus catatan syarat sel dan langkah Crosstabs SPSS.

Cek Pemahaman

1. Sebuah tabel kontingensi $2 \times 2$ punya total baris 50 dan 50, total kolom 60 dan 40, dengan $N = 100$. Berapa frekuensi harapan untuk sel di baris pertama, kolom pertama?

Lihat jawaban

Pakai $E_{ij} = (\text{total baris} \times \text{total kolom}) / N = (50 \times 60)/100 = 3000/100 = 30$. Jadi harapannya 30, berapa pun isi teramatinya.

2. Pada contoh utama, andai keempat sel teramati persis sama dengan harapannya (Pria-A = 20, Pria-B = 20, Wanita-A = 30, Wanita-B = 30). Berapa nilai χ²-nya, dan apa keputusannya?

Lihat jawaban

Tiap simpangan $O - E = 0$, maka $(O-E)^2/E = 0$ untuk semua sel, sehingga $\chi^2 = 0$. Karena $0 \le 3{,}841$, keputusannya tidak ada hubungan signifikan — teramati persis seperti harapan kalau tidak ada hubungan, jadi memang tidak ada pola.

3. (Transfer) Seorang mahasiswa menguji apakah tingkat pendidikan (SMA/Sarjana) berhubungan dengan keputusan membeli (Beli/Tidak). Datanya: SMA-Beli = 40, SMA-Tidak = 10, Sarjana-Beli = 20, Sarjana-Tidak = 30. Susun harapannya, hitung χ², dan ambil keputusan pada taraf 5%.

Lihat jawaban

Total baris: SMA = 50, Sarjana = 50. Total kolom: Beli = 60, Tidak = 40. $N = 100$.

Harapan: SMA-Beli $= 50 \times 60/100 = 30$; SMA-Tidak $= 50 \times 40/100 = 20$; Sarjana-Beli $= 30$; Sarjana-Tidak $= 20$.

Komponen: SMA-Beli $= (40-30)^2/30 = 3{,}33$; SMA-Tidak $= (10-20)^2/20 = 5{,}00$; Sarjana-Beli $= (20-30)^2/30 = 3{,}33$; Sarjana-Tidak $= (30-20)^2/20 = 5{,}00$.

$\chi^2 = 3{,}33 + 5{,}00 + 3{,}33 + 5{,}00 = 16{,}67$ dengan $df = 1$. Karena $16{,}67 > 3{,}841$, ada hubungan signifikan antara tingkat pendidikan dan keputusan membeli.

Kesalahan Umum

Memakai khi-kuadrat untuk data rata-rata. Khi-kuadrat hanya untuk frekuensi/hitungan kategori. Kalau datanya skor atau rata-rata interval, pakai uji t atau ANOVA, bukan khi-kuadrat.

Ada sel dengan harapan di bawah 5. Syaratnya tiap sel sebaiknya $E \ge 5$ (lebih longgar: tidak lebih dari 20% sel boleh punya $E < 5$). Kalau dilanggar, hasil χ² jadi tidak andal. Solusinya gabungkan kategori yang berdekatan, atau untuk tabel $2 \times 2$ pakai Fisher exact test.

Memasukkan persentase, bukan frekuensi mentah. Rumus khi-kuadrat bekerja pada hitungan asli (jumlah orang), bukan persen. Mengisi persen akan mengacaukan total dan harapan.

Salah hitung derajat bebas. Untuk tabel kontingensi $df = (r-1)(c-1)$, bukan jumlah sel dikurangi satu. Tabel $2 \times 2$ selalu $df = 1$. Untuk goodness of fit, $df = $ (banyak kategori − 1).

Menyimpulkan arah atau kekuatan hubungan dari χ². Khi-kuadrat hanya menjawab ada/tidaknya hubungan, bukan arah atau seberapa kuat. Untuk kekuatan asosiasi, laporkan Cramer’s V atau koefisien kontingensi.

Dipakai di Dunia Nyata

• Skripsi dengan kuesioner kategorik. Hubungan jenis kelamin dengan keputusan membeli, hubungan tingkat pendidikan dengan preferensi merek — pola yang paling sering muncul di Bab IV skripsi manajemen pemasaran.
• Riset pasar dan bisnis. Apakah segmen pelanggan tersebar merata antar wilayah, atau apakah pilihan kemasan bergantung pada kelompok usia.
• Survei sosial dan kependudukan. Hubungan status pekerjaan dengan pilihan tertentu, atau apakah komposisi responden sesuai proporsi populasi (goodness of fit).
• Kendali mutu kategorik. Apakah jumlah produk cacat tersebar merata antar lini produksi, atau terkonsentrasi di satu lini.

Lanjutan

Kalau data Anda kategorik tetapi pertanyaannya soal perbandingan peringkat antar kelompok (bukan sekadar hubungan dua variabel), lanjutkan ke uji non-parametrik:

• Uji Mann-Whitney & Wilcoxon — dua sampel.
• Uji Kruskal-Wallis & Friedman — tiga sampel atau lebih.

Perlu menyegarkan fondasinya?

• Skala Pengukuran — memastikan data Anda memang kategorik.
• Chi-Square Test (teori) — landasan distribusi khi-kuadratnya.